高二下学期期中考试数学(文科)试题

高二下学期期中考试数学（文科）试题第Ⅰ卷 选择题部分（共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

1．已知集合}0)3(|{<-=x x x P ，}2|||{<=x x Q ，则=Q P ( ) A ．)0,2(- B ．)2,0(C ．)3,2(D ．)3,2(-2．若复数z 满足,21i iz=+ 则z 对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限 C．第三象限D ．第四象限3. 设函数211()21x x f x x x⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩,则((3))f f = （ ）A ．15 B ．3 C ．23 D ． 1394．下列函数中，在定义域内既是奇函数又为增函数的是( ) A.1()2x y = B.sin y x = C.3y x = D.12log y x = 5．阅读右面的程序框图，则输出的k = （ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 6．“lg lg x y >”是“x y >”的 （ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．已知一个空间几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸 (单位：cm)，可得这个几何体的体积为___cm 3. ( ) A ．24 B ．12 C ．8 D ．4 8. 不等式|5||3|10x x -++≥的解集是( ) A ．[-5，7] B ．[-4，6] C ．(][),57,-∞-+∞ D ．(][),46,-∞-+∞9. 函数ax x x f +=ln )(存在与直线02=-y x 平行的切线，则实数a 的取值范围是( )A. ]2,(-∞B. ),2(+∞C. ),0(+∞D. )2,(-∞10．已知抛物线2y =的准线与双曲线22221x y a b-=两条渐近线分别交于A ，B 两点，且||2AB =，则双曲线的离心率e 为（ ）A ．2B ．43CD．311．已知数列:n a 11，21，12，31，22，13，41，32，23，14，…，依它的前10项的规律，则99100a a +的值为( ) A.3724 B.76 C.1115 D.71512．正数a ，b 满足12=+b a ，且214222-≤--t b a ab 恒成立，则实数t 的取值范围是（ ） A ．]22,(-∞ B ． ),22[+∞ C ．]22,22[- D ．),21[+∞. 第Ⅱ卷 非选择题部分（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知向量(cos ,2),(sin ,1),//a b a b αα=-=且,则tan α= .14. 已知实数y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≥+-20062x y x y x ，则目标函数y x z +=2的最小值为______15.在ABC ∆中，内角A ,B ,C 的对边分别是a ，b ，c ，若22a b -=，sin C B =， 则=A ___16.已知函数()2f x x =-，若0a ≠，且,a b R ∈，都有不等式()a b a b a f x ++-≥成立，则实数x 的取值范围是_____________三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（本题满分10分）把函数3sin cos()44y x x ππ⎛⎫=-+⎪⎝⎭的图像向右平移a (0>a )个单位，得到的函数)(x g y =的图像关于直线4π=x 对称.（Ⅰ ）求a 的最小值；（Ⅱ）就a 的最小值求函数)(x g y =在区间]3,12[ππ-上的值域。

18.（本题满分12分）等比数列{}n a 的各项均为正数，且212326231,9a a a a a +==。

（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设 31323log log ......log n n b a a a =+++，求数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和。

19.（本题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，且//AD BC ，90ADC ∠=，平面PAD ⊥底面ABCD ，E 为AD 的中点，M 是棱PC的中点，22,PA PD AD BC CD =====（Ⅰ）求证://PE 平面BDM ； （Ⅱ）求三棱锥P MBD -的体积.20.（本题满分12分）随着工业化以及城市车辆的增加，城市的空气污染越来越严重，空气质量指数API 一直居高不下，对人体的呼吸系统造成了严重的影响．现调查了某市500名居民的工作场所和呼吸系统健康，得到22⨯列联表如下：（Ⅰ）补全22⨯列联表；（Ⅱ）你是否有95%的把握认为感染呼吸系统疾病与工作场所有关；（Ⅲ）现采用分层抽样从室内工作的居民中抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中随机的抽取两人，求两人都有呼吸系统疾病的概率．临界值表：ACBDPME21．（本小题满分12分）如图，焦距为2的椭圆E 的两个顶点分别为A 和B ，且AB 与(2,1)n =-共线．（Ⅰ）求椭圆E 的标准方程；（Ⅱ）若直线m kx y +=与椭圆E 有两个不同的交点P 和Q ，且原点O 总在以PQ 为直径的圆的内部，求实数m 的取值范围．22.（本题满分12分） 已知函数2()(33)xf x x x e =-+⋅定义域为[]t ,2-（2t >-）,设n t f m f ==-)(,)2(．（Ⅰ）试确定t 的取值范围,使得函数)(x f 在[]t ,2-上为单调函数； （Ⅱ）求证:n m >；（Ⅲ）求证:对于任意的2->t ,总存在),2(0t x -∈,满足0'20()2(1)3x f x t e =-,并确定 这样的0x 的个数．高二下学期期中考试 数学（文科）答案1—5 BBDCA 6—10 ADDDD 11-12 AB 13、12-14、 2- 15、6π16、 []0,4 17.（本题满分10分） 解：（1）311sin cos sin cos sin 2cos 24444222y x x x x x x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⋅+=+⋅+=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∴1()cos(22)2g x x a =-，它关于直线4π=x 对称，∴22,4a k k Z ππ⨯-=∈ ∴24k a ππ=-+ ∵0a > 4aπ∴=最小（2）由（1）知11()cos(2)sin 2222g x x x π=-= 21112sin 21()12363242x x x g x ππππ-≤≤∴-≤≤∴-≤≤∴-≤≤ 即()g x 的值域为11,42⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 18.（本题满分12分）解：（Ⅰ）设数列{a n }的公比为q ，由23269a a a =得32349a a =所以219q =。

由条件可知a>0,故13q =。

由12231a a +=得12231a a q +=，所以113a =。

故数列{a n }的通项式为a n =13n 。

（Ⅱ ）111111log log ...log n b a a a =+++(12...)(1)2n n n =-++++=-故12112()(1)1n b n n n n =-=--++ 12111111112...2((1)()...())22311n nb b b n n n +++=--+-++-=-++ 所以数列1{}n b 的前n 项和为21nn -+ 19.（本小题满分12分）（Ⅰ）证明：连接BE ，因为//BC AD ，DE BC =， 所以四边形BCDE 为平行四边形，连接EC 交BD 于O ， 连接MO ，则//MO PE ，则根据线面平行的判定定理可知//PE 平面BDM . （Ⅱ）由于平面PAD ⊥底面ABCD ，PE AD ⊥， 由面面垂直的性质定理可知PE ⊥底面ABCD ， 所以PE 是三棱锥P DBC -的高，且3PE =， 又因为P DMB V -可看成P DBC V -和M DBC V -差构成，由（Ⅰ）20.（本题满分12分）ACBDPME解: （Ⅰ）列联表如下（Ⅱ）23.968 3.841k ≈> 所以有95%的把握认为感染呼吸系统疾病与工作场所有关. （Ⅲ）采用分层抽样从室内工作的居民中抽取6名进行座谈，有呼吸系统疾病的抽4人，记为A 、B 、C 、D ，无呼吸系统疾病的抽2 人，记为E 、F ，从中抽两人，列举得共有15种抽法，A=“从中随机的抽取两人，两人都有呼吸系统疾病”有6种，62()155P A ==21．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）设椭圆E 的标准方程为）（012222>>=+b a b y a x ，由已知得、，)0(a A )0(b B ，∴）（b a AB ,-=，∵AB 与)12(-=，n 共线，∴b a 2=，又122=-b a∴1222==b a ，， ∴椭圆E 的标准方程为1222=+y x （Ⅱ）设),(),,(2211y x Q y x P ,把直线方程m kx y +=代入椭圆方程1222=+y x ， 消去y ，得，0224)12(222=-+++m kmx x k ,∴124221+-=+k kmx x , 12222221+-=k m x x08816)22)(12(416Δ222222>+-=-+⨯-=m k m k m k （*）∵原点O 总在以PQ 为直径的圆内，∴0<⋅OQ OP ，即02121<+y y x x又122)())((2222212121121+-=+++=++=k k m m x x mk x x k m kx m kx y y由0122212222222<+-++-k m k k m 得323222+<k m ，依题意322<m 且满足（*）故实数m 的取值范围是)3636(，-22.（本题满分12分）（1） 因为2()(33)(23)(1)x x xf x x x e x e x x e '=-+⋅+-⋅=-⋅ 由()010f x x x '>⇒><或；由()001f x x '<⇒<<, 所以()f x 在(,0),(1,)-∞+∞上递增,在(0,1)上递减 欲)(x f 在[]t ,2-上为单调函数,则20t -<≤（2）因为()f x 在(,0),(1,)-∞+∞上递增,在(0,1)上递减, 所以()f x 在1x =处取得极小值e 又213(2)f e e-=<,所以()f x 在[)2,-+∞上的最小值为(2)f - 从而当2t >-时,(2)()f f t -<,即m n <（3）因为0'2000()x f x x x e =-,所以0'20()2(1)3x f x t e =-即为22002(1)3x x t -=-, 令222()(1)3g x x x t =---,从而问题转化为证明方程 222()(1)3g x x x t =---=0在(2,)t -上有解,并讨论解的个数因为222(2)6(1)(2)(4)33g t t t -=--=-+-,221()(1)(1)(2)(1)33g t t t t t t =---=+-,所以 ① 当421t t >-<<或时,(2)()0g g t -⋅<,所以()0g x =在(2,)t -上有解,且只有一解② 当14t <<时,(2)0()0g g t ->>且,但由于22(0)(1)03g t =--<, 所以()0g x =在(2,)t -上有解,且有两解③ 当1t =时,2()001g x x x x x =-=⇒==或,所以()0g x =在(2,)t -上有且只有一解；④ 当4t =时,()0g x =在(2,4)-上也有且只有一解综上所述, 对于任意的2->t ,总存在),2(0t x -∈,满足0'20()2(1)3x f x t e =-, 且当421t t ≥-<≤或时,有唯一的0x 适合题意； 当14t <<时,有两个0x 适合题．。