理论力学12达朗伯原理

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X A [(M y Rx 'l2 )(M Qy RQx 'l2 )]/l YA [(M x Ry 'l2 )(M Qx RQy 'l2 )]/l YB [(M x Ry 'l1 )(M Qx RQy 'l1 )]/l X B [(M y Rx 'l1 )(M Qy RQx 'l1 )]/l Z B RRzx’ '
F (e) i
(i)
Fi
Qi
0
注意到 则
Fi(i) 0 , mO (Fi(i) )0
Fi(e) Qi 0 mO (Fi(e) )mO (Qi )0
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表明：对整个质点系来说，动静法给出的平衡方程，只是质点系的惯性力系与 其外力的平衡，而与内力无关。
Qi
mi
ai
MaC
d dt
(mi
vi
)
dK dt
Qy
may
m
d2y dt 2
Qz
maz
m
d2z dt 2
Q
ma
m
d 2s dt 2
Qn
man
m
v2
Qb mab 0
[注] 质点惯性力不是作用在质点上的真实力，它是质点对施 力体反作用力的合力。
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12.2、达朗伯原理
非自由质点M，质量m，受主动力 ，
F
约束反力 ，合力
N
R F N ma
F N ma 0
a
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解：
选单摆的摆锤为研究对象 虚加惯性力
Q ma ( Q ma )
由动静法, 取X坐标如图：有
X 0 , mg sin Qcos 0
解得加速度
a g tg
a a 角随着加速度 的变化而变化，当 不变时， 角也不变。只要测出 角，
就能知道列车的加速度 。
a
（摆式加速计的原理。）
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质点系的达朗伯原理
简化方法就是采用静力学中的力系简化的理论。将虚拟的惯性力系视作力系向
任一点O简化而得到一个惯性力 和一个惯性力偶 。 (简化中R心Q)
M QO
RQ Q ma MaC MQO mO (Q )
与简化中心无关 与简化中心有关
无论刚体作什么运动，惯性力系主矢都等于刚体质量与质心加速度的乘积，方 向与质心加速度方向相反。
M QO mO (Qi )mO (Qi n ) ri miri 0 miri2 IO
(负号表示与反向)
O
17
向O点简化：
RQ MaC
M QO IO
作用在O点
向质心C点简化：
RQ MaC
M QC IC
作用在C点
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讨论：
RQ MaC
M QO IO
①刚体作匀速转动，转轴不通过质心C 。
RQ me2
mO
(Qi
)
mO
(mi
ai
)
ddt
mO
(mi
vi
)
dLO dt
mO (miai )
ri mi
dvi dt
d dt
[(ri
mivi
)
dri dt
mivi
]
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用动静法求解动力学问题时，
对平面任意力系： 对于空间任意力系：
X i(e) Qix 0 Yi(e) Qiy 0 mO (Fi(e) )mO (Qi )0
MQxi MQy jMQzk
mx (Qi )i my (Qi ) jmz (Qi )k
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MQx mx (Qi )mx (Qin )mx (Qi ) zimiain sini zimiai cosi mi zi Ri 2sini mi zi Ricosi
而 sini yi /Ri cosi xi /Ri 故
A
mg
cos 0
a
lε
2
3g 4
cos 0
0ma n mg sin0 RAn
RAn mgsin0
,
RA
mg 4
cos
0
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[例2] 牵引车的主动轮质量为m，半径为R，沿水平直线轨道滚动，设车轮所受的
主动力可简化为作用于质心的两个力 及驱动力偶矩M，车轮对于通过质心C并
垂直于轮盘的轴的回转半径为，轮与轨道间摩擦系数为f , 试求在车轮滚动而S不、滑T
M Qx (mi zi xi ) 2 (mi yi zi )
令 I zx mi zi xi , I yz mi yi zi 惯性积
M Qx I zx I yz 2
平行于X轴的惯性力分量不对X轴 产生力矩
同理可得 M Qy I zx 2 I yz
M Qz mz (Qi )miai Ri mi Ri2 I z
F N Q 0
质点的达朗伯原理
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该方程对动力学问题来说只是形式上的平衡，并没有改变动力学问题的实 质。采用动静法解决动力学问题的最大优点，可以利用静力学提供的解题方法， 给动力学问题一种统一的解题格式。
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[例1] 列车在水平轨道上行驶，车厢内悬挂一单摆，当车厢向右作匀加速运动时， 单摆左偏角度 ，相对于车厢静止。求车厢的加速度 。
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根据动静法：
X A X B Rx 'R'Qx 0 , YA YB Ry 'R'Qy 0 , ZB Rz ' 0 , M x MQx YB OBYAOA 0, M y MQy X AOA X B OB 0, M z MQz 0.
其中前五个式子与五个约束反力有关。设AB=l , OA=l1, OB=l2 可得
由两部分组成，一部分由主动力引起的，不能消除，称为静反力；一部分是由 于惯性力系的不平衡引起的，称为附加动反力，它可以通过调整加以消除。
动反力
静反力 附加动反力
使附加动反力为零，须有
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M Qx I zx I yz 2 MQx MQy 0
M Qy I zx 2 I yz
RQx ' RQy ' 0
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讨论：
RQ MaC
②转轴过质心C，但0，惯性力偶
M QC IC
（与MQ反向）I C
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讨论：
RQ MaC M QC IC
③刚体作匀速转动，且转轴过质心，则
RQ 0 , M QC 0
（主矢、主矩均为零）
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三、刚体作平面运动
假设刚体具有质量对称平面，并且平行于该平面作平面运动。此时，刚体的惯 性力系可先简化为对称平面内的平面力系。
ml
2
RQn man 0
,
M
QA
I
A
ml 2
3
根据动静法，有
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F 0 , RA mgcos0 RQ 0 (1) Fn 0 , RAn mgsin0 RQn 0 (2) mA (F )0 , mgcos0 l/2M QA 0 (3)
由(2)得: RAn mgsin0 ;
由( 3)得:
3g 2l
c
O O
(a) 绳子上加力G
(b) 绳子上挂一重G的物体
对(a) :
MQ1 Gr 0
,
1 2
mr 21
Gr
对(b) :
页
刚体平动时惯性力系合成为一过质心的合惯性力。
请
RQ Mac
看
动
画
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二、定轴转动刚体 先讨论具有垂直于转轴的质量对称平面的简单情况。
直线 i : 平动， 过Mi点，
Qi miai
空间惯性力系—>平面惯性力系（质量对称面）
O为转轴z与质量对称平面的交点，向O点简化：
主矢： 主矩：
RQ MaC
I zx I yz 2 0 I zx 2 I yz 0
I xz I zx I yz 0
( 2 2 4 0) 2
MaCx 0 MaCy 0
xC yC 0
对z 轴惯性积为零，z 轴为刚体在O 点的惯性主轴；
过质心
当刚体转轴为中心惯性主轴时，轴承的附加动反力为零。
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二、静平衡与动平衡的概念 静平衡：刚体转轴过质心，则刚体在仅受重力而不受其它主动力时，不论位置
动的条件下，驱动力偶矩M 之最大值。
解：
取轮为研究对象 虚加惯性力系：
RQ maC mR
MQC IC m 2
O
由动静法，得：
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RQ maC mR MQC IC m 2
X 0 , F T RQ 0
(1)
Y 0 , N PS 0
(2)
mC (F )0 , M FR M QC 0 (3)
本章介绍动力学的一个重要原理——达朗贝尔原理。应用这一原理，就将动 力学问题从形式上转化为静力学问题，从而根据关于平衡的理论来求解。这种解 答动力学问题的方法，因而也称动静法。
2
第十五章 达朗伯原理 §12–1 惯性力的概念 ·质点的达朗伯原理 §12–2 质点系的达朗伯原理 §12–3 刚体惯性力系的简化 §12–4 定轴转动刚体的轴承动反力
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惯性力主矩可以按照定义式(12.6)直接计算。
但标是系， 中F很计I 多算物相体对，运F在动Ii 跟惯随 性简 力M化 主I中 矩心 更方D 便平M，动D下的(F面坐Ii )
推导这个公式。 我们在简化中心 D 上附加一个平动动系 DxD yDzD，如图 所示，可得
rc为平动参考系中看到的质心 C 的矢径。上式将惯性力主矩分解为两项， 第一项为平动参考系中看到的惯性力主矩，即相对运动惯性力主矩； 第二项为质点系的质量集中到简化中心 D 产生的惯性力矩， 为了简化计算，我们希望这一项不出现
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MI ri (miari ) rC (mT aD )
通过选择特殊的简化中心，选择方法与相对运动动 量矩定理中的特殊动矩心相同，这三种特殊的简化 中心为：
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12.3.2 刚体惯性力系的简化
一、刚体作平动
质心相对简化中心的矢径
向质心C简化：
RQ MaC
M rc
翻
MQC mC (Qi )ri (miaC )miri aC 0
由(1)得 RQ mR F T
所以
F T mR
代入(3) 得
O
M
FR
M
QC
FR
m
2
F T mR
M FR 2 (F T )F ( 2 R)T 2 (4)
R
R
R
由(2)得 N= P +S，要保证车轮不滑动，
必须 F<f N =f (P+S) (5)
可见，f 越大越 不易滑动。
Mmax的值为上 式右端的值。
刚体平面运动可分解为 随基点（质心C）的平动： 绕通过质心轴的转动：
RQ MaC
MQC 作用 I于C质心
RQ MaC
M QC IC
22
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对于平面运动刚体：由动静法可列出如下三个方程：
X 0 ,
X (e) RQx 0
Y 0 ,
Y (e) RQy 0
mC (F )0 , mC (F (e) ) M QC 0
X i(e) Qix 0 , mx (Fi(e) )mx (Qi )0 Yi(e) Qiy 0 , my (Fi(e) )my (Qi )0 Zi(e) Qiz 0 , mz (Fi(e) )mz (Qi )0
实际应用时, 同静力学一样任意选取研究对象, 列平衡方程求解。
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§12-3 惯性力系的简化
如何，总能平衡。 动平衡：转动为中心惯性主轴时，转动时不产生附加动反力。
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[例1] 质量不计的刚轴以角速度匀速转动，其上固结着两个质量均为m的小球A和 B。指出在图示各种情况下，哪些是静平衡的？哪些是动平衡的？
动平衡： ( a)
静平衡： (b)、 (d)
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动平衡的刚体，一定是静平衡的；反过来，静平衡的刚体，不一定是动平衡的。 [例2] 两个相同的定滑轮如下图示，开始时都处于静止，问哪个角速度大？
os
0
;
代入(1)得:
RA
mg 4
c
os
0
。
RQn
ml 2
2
0
M QA
I A
ml 2
3
RQ
ml
2
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用动量矩定理+质心运动定理再求解此题：
解：选AB为研究对象
由
I A
mg
cos
l 2
得：
mg
l 2
cos
1 3
ml
2
3g 2l
cos
t 0时
,
0
,
3g c 2l
os
0
,
此时 0
由质心运动定理：
ma
R
设有一质点系由n个质点组成，对每一个质点，有
Fi Ni Qi 0 ( i1,2,...... ,n )
对整个质点系，主动力系、约束反力系、惯性力系形式上构成平衡力系。这就 是质点系的达朗伯原理。可用方程表示为：
Fi Ni Qi 0
mO (Fi )mO (Ni )mO (Qi )0
也可以将质点系受力按内力、外力划分,
实质上：
M
d 2 xC dt 2
X
(e)
,
M
d 2 yC dt 2
Y
(e)Βιβλιοθήκη Baidu
,
I
C
d 2
dt 2
mC
(
F
(
e)
)
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[例1] 均质杆长l ,质量m, 与水平面铰接, 杆由与平面成0角位置静止落下。求开始 落下时杆AB的角加速度及A点支座反力。
解： 选杆AB为研究对象
虚加惯性力系：针对简化中心叠加
RQ
把(5)代入(4)得：
M f (PS)( 2 R)T 2
R
R
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§12-4 定轴转动刚体的轴承动反力
一、刚体的轴承动反力
刚体的角速度 ，角加速度（逆时针）
主动力系向O点简化: 主矢 ,主矩
惯性力系向O点简化: 主矢 ,主矩 R '
MO
RQ '
M QO
RQ MaC
MQO ri Qi mO (Qi )
达朗伯原理的应用
§12-1 惯性力的概念
一、惯性力的概念
人用手推车 F ' F ma
力 F是'由于小车具有惯性，力图保持原来的运动状态，
对于施力物体(人手)产生的反抗力。称为小车的惯性力。
定义：质点惯性力
Q ma
加速运动的质点，对迫使其产生加速运动的物体的惯性反抗的总和。
4
Qx
max
m
d2x dt 2