高等数学第二型曲面积分
高等数学第10章 曲线积分与曲面积分
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10.7.2 旋度的定义及其物理意义
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实际上，我们常常碰到的曲面是双侧曲面，但单侧 曲面也存在，最有名的单侧曲面是拓扑学中的莫比乌斯 带，如图10.28所示.它的产生是将长方形纸条ABCD 先 扭转一次，然后使B与D，及A与C粘合起来构成的一个 非闭的环带.若想象一只蚂蚁从环带上一侧的某一点出发， 蚂蚁可以不用跨越环带的边界而到达环带的另一侧，然 后再回到起点；或者用一种颜色涂这个环带，不用越过 边界，可以涂满环带的两侧.显然这是双侧曲面不可能出 现的现象
第10章 曲线积分与曲面积分
解决许多几何、物理以及其他实际问题时，不仅需 要用到重积分，而且还需要将积分区域推广到一段曲线 弧或一片曲面上，这样推广后的积分称为曲线积分和曲 面积分.本章还将介绍格林公式、高斯公式及斯托克斯公 式，这三个公式刻画了不同类型的积分之间的内在联系， 并且在微积分、场论及其他学科中有着广泛的应用。
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10.4 第一型曲面积分
通过讨论非均匀密度的空间曲面壳质量这一物理问 题，本节引入第一型曲面积分的概念并研究了相关性质。 10.4.1 实例 质量分布在可求面积的曲面壳上，曲面壳占有空间 曲面Σ，其密度函数为ρ（x，y，z），求曲面壳的质量.
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10.2.3 向量值函数在有向曲线上的积分的计算法 设向量值函数F（x，y，z）=P（x，y，z）i+Q（x， y，z）j+R（x，y，z）k在有向曲线Γ上有定义且连续， 有向曲线弧Γ为简单曲线，它的参数方程为
曲面积分(第十讲)
- x2
= ò dq ò (
0 0
- r 2 cos 2 q a -r
2 a 2
+ 2a 2 - 2a a 2 - r 2 - r 2 )rdr
= -4 ò 2 cos 2 q dq ò
0
p
0
1 + p a3 6 a -r
2 2
r 3 dr
p p 1 1 = -4a 3 ò 2 cos 2 q dq ò 2 sin 3 tdt + p a 3 = - p a3 0 0 6 2
r ur uuuuu I = òò Pdydz + Qdxdz + Rdxdy = òò {P, Q, R} ×{dydz, dxdz, dxdy} = òò F × n 0 dS
S
S
U
注意：曲面前侧取“正” ，后侧取“负” ；右侧取“正” ，左侧取“负” ；上侧取“正” ，下侧 取“负” ． 三、向量点积法（转换投影法）
2 2 2
曲面 S 在 xoy 平面的投影域为 Dxy = {( y, z ) | x + y £ 1} ，
2 2
而
òò xdydz = òò
S
S前(向后)
xdydz + òò xdydz
S后
D yz
is
Dyz
= - òò a 2 - y 2 - z 2 dydz - òò a 2 - y 2 - z 2 dydz
曲面 S：z = - a - x - y ,
2 2 2
U
r n = {- f x¢ , - f y¢ ,1} = {
nR
=
1 1 ( z + a ) 2 dxdy = òò (a - a 2 - x 2 - y 2 ) 2 dxdy òò a S a Dxy
高等数学 曲线积分和曲面积分 (10.2.2)--第二类曲线积分和第二类曲面积分
习题10.21. 把下列第二类曲线积分化为第一类曲线积分.(1) 2d d Cx y x x y -⎰, 其中C 为曲线3y x =上从点(1,1)--到点(1,1)的弧段； (2) d d d LP x Q y R z ++⎰, 其中L 为曲线32===t z t y t x ,,上相应于参数t 从0变到1的弧段.2. 计算曲线积分22()d d OAx y x xy y -+⎰，其中O 为坐标原点，点A 的坐标为(1,1)：(1) OA 为直线段x y =； (2) OA 为抛物线段2=x y ； (3) OA 为0=y ,1=x 的折线段. 3. 计算下列第二类曲线积分：(1)d d ||||C x yx y ++⎰，其中C 为1||y x =-上从点(1,0)经点(0,1)到点(1,0)-的折线段；(2) d d C y x x y +⎰, 其中C 为⎩⎨⎧==t a y t a x sin ,cos π:04t ⎛⎫→ ⎪⎝⎭； (3) 222()d 2d d Ly z x yz y x z -+-⎰, 其中L 为⎪⎩⎪⎨⎧===32t z t y t x ,,(:01)t →.(4) ()d ()d ()d L z y x x z y y x z -+-+-⎰, 其中L 为椭圆221,2,x y x y z ⎧+=⎨-+=⎩且从z 轴正向看去, L 取顺时针方向.4. 计算下列变力F 在质点沿指定曲线移动过程中所作的功.(1) ),(2xy y x -=F , 沿平面曲线34()(,)t t t =r 从参数0t =到1t =的点. (2) ),,(22z xy x =F , 沿空间曲线2()(sin ,cos ,)t t t t =r 从参数0t =到π2t =的点. 5. 设变力F 在点(,)M x y 处的大小||||||||k =F r ，方向与r 成2π的角, 其中OM =r (图10-38)，试求当质点沿下列曲线从点)0,(a A 移到点),(a B 0时F 所作的功：(1) 圆周222=+a y x 在第一象限内的弧段； (2) 星形线323232=+a y x 在第一象限内的弧段.6. 在过点(0,0)O 和(π,0)A 的曲线族sin (0)y a x a =>中，求一条曲线C ，使沿该曲线从O 到A 的积分3(1)d (2)d Cy x x y y +++⎰的值最小.7. 把第二类曲面积分(,,)d d (,,)d d (,,)d d P x y z y z Q x y z z x R x y z x y ∑++⎰⎰化为第一类曲面积分：(1) ∑为平面x z a +=被柱面222x y a +=所截下的部分, 并取上侧；图 10-38xyOM (x , y )Fr(2) ∑为抛物面222y x z =+被平面2y =所截下的部分, 并取左侧. 8. 计算下列第二类曲面积分：(1) 2d d z x y ∑⎰⎰, 其中∑为平面1x y z ++=位于第一卦限部分, 并取上侧；(2) 22d d xy z x y ∑⎰⎰, 其中∑为球面2222=++R z y x 的下半部分, 并取外侧；(3)2e d d e d d d d yxy z y z x xy x y ∑++⎰⎰, 其中∑为抛物面22z x y =+ (01x ≤≤,1≤≤0y ), 并取上侧；(4)222d d d d d d x y z y z x z x y ∑++⎰⎰, 其中∑为球面2221xy z ++=位于第二卦限部分,并取外侧； (5)d d d d d d xy y z yz z x zx x y ∑++⎰⎰, 其中∑为平面0x =, 0y =, 0z =和1x y z ++=所围立体的表面, 并取外侧；(6) 2222d d d d x y z z x y x y z ∑+++⎰⎰, 其中∑为圆柱面222x y R +=与平面z R =和z R =- (0)R >所围立体的表面, 并取外侧；(7)d d (1)d d y z x z x y ∑-++⎰⎰, 其中∑为圆柱面4=+22y x被平面2=+z x 和0=z 所截下的部分, 并取外侧； (8)2d d d d d d y y z x z x z x y ∑++⎰⎰, 其中∑为螺旋面cos x u v =，sin y u v =，z v =，(01u ≤≤, 0πv ≤≤), 并取上侧.9. 计算下列流场在单位时间内通过曲面∑流向指定侧的流量：(1) ),(),,(222z y x z y x =v , ∑为球面1=++222z y x 第一卦限部分, 流向上侧； (2) ),,(),,(22y xy x z y x =v , ∑为曲面22+=y x z 和平面1=z 所围立体的表面, 流向外侧.。
高等数学第十章曲线积分与曲面积分(考研辅导班内部资料)
第十章 曲线积分与曲面积分曲线积分一 基本概念定义1 第一类曲线积分（对弧长的曲线积分） （1）平面曲线()L AB 的积分：()()01(,)d lim(,)nkkkL AB T k f x y s f sλξη→==∆∑⎰（2）空间曲线()L AB 的积分：()()01(,,)d lim(,,)nkkkk L AB T k f x y z s f s λξηζ→==∆∑⎰其中()T λ表示分割曲线()L AB 的分法T 的细度，即n 段曲线弧长的最大值，(,)k k ξη或(,,)k k k ξηζ是第k 段弧上的任意一点。
物理意义：第一类曲线积分表示物质曲线L 的质量，其中被积函数(,)f x y 或(,,)f x y z 表示曲线的线密度。
定义2 第二类曲线积分（对坐标的曲线积分） （1）平面曲线()L AB 的积分：()()01(,)d (,)d lim[(,)(,)]nkkkk k k L AB T k P x y x Q x y y f xf y λξηξη→=+=∆+∆∑⎰（2）空间曲线()L AB 的积分：()(,,)d (,,)d (,,)d L AB P x y z x Q x y z y R x y z z ++⎰()01lim[(,,)(,,)(,,)]nkkkk k k k k k k k k T k f x f y f z λξηζξηζξηζ→==∆+∆+∆∑其中()T λ表示分割曲线()L AB 的分法T 的细度，即n 段的最大弧长，(,)k k ξη是第k 段弧上的任意一点。
物理意义：第二类曲线积分表示变力F 沿曲线L 所作的功，被积函数(,),(,)P x y Q x y 或(,,),(,,),(,,)P x y z Q x y z R x y z 表示力F 在各坐标轴上的分量。
二 基本结论定理1 （第一类曲线积分的性质） （1）无向性()()(,)d (,)d L AB L BA f x y s f x y s =⎰⎰．（2）线性性质 (1)(,)d (,)d LLk f x y s k f x y s =⎰⎰；(2)[(,)(,)]d (,)d (,)d LLLf x yg x y s f x y s g x y s ±=±⎰⎰⎰．（3）路径可加性 曲线L 分成两段1L 和2L （不重叠），则12(,)d (,)d (,)d LL L f x y s f x y s f x y s =+⎰⎰⎰．（4）弧长公式d Ls L =⎰(L 表示曲线L 的弧长)．（5）恒等变换 积函数可用积分曲线方程作变换． （6）奇偶性与对称性 如果积分弧段()L AB 关于y 轴对称，()(,)d L AB f x y s ⎰存在，则()()0,(,)(,)d 2(,)d (,)L AB L OB f x y x f x y s f x y s f x y x ⎧⎪=⎨⎪⎩⎰⎰关于是奇函数,，关于是偶函数.其中O 点是曲线弧段()L AB 与y 轴的交点．定理2 （第二类曲线积分的性质） （1）有向性()()(,)d (,)d L AB L BA P x y x P x y x =-⎰⎰．（2）线性性质 (1)(,)d (,)d LLkf x y x k f x y x =⎰⎰；(2) [(,)(,)]d (,)d (,)d L L Lf x yg x y x f x y x g x y x ±=±⎰⎰⎰．（3）路径可加性 曲线L 分成两段1L 和2L （不重叠），则12(,)d (,)d (,)d LL L f x y x f x y x f x y x =+⎰⎰⎰．定理3 （第一类曲线积分与第二类曲线积分的关系）()()d d d d d d d d d d L AB L AB xy z P x Q y R z P Q R s ss s ⎛⎫++=++ ⎪⎝⎭⎰⎰()(cos cos cos )d L AB P Q R s αβγ=++⎰()d L AB =⋅⎰F s其中cos ,cos ,cos αβγ是曲线AB 上的点的切线的方向余弦，且d cos d ,d cos d ,d cos d x s y s z s αβγ===一般地，积分曲线的方向余弦是变量。
高数考研中有关曲面积分问题的求解方法
分等。 笔者以近年研究生入学考试试题为例详细论述曲面积
分有关问题的求解方法。
1.利 用 公 式 转 化 为 二 重 积 分
曲面积分的基本的方法都是化为投影域上的二重积分来
计算。
第一型曲面积分的投影法的公式 ：设 曲 面S的 方 程 为z=z
（x，y），则 ：
姨%
22
蘩蘩f（x，y，z）dS=蘩蘩f（x，y，z（z，y）） 1+zx+zy dxdy。
V 坠x 坠y 坠z
S
（2）
其 中 （cosα，cosβ，cosγ）是 S外 法 线 的 单 位 向 量 。
应 用 高 斯 公 式 时 ，应 注 意 条 件 ：①S必 须 是 封 闭 曲 面 ，若 所
讨论的曲面不是封闭曲面，应当适当补上某块曲面，使它成为
封闭曲面 ；②P、Q、R在V上 连 续 且 偏 导 数 也 连 续 ，若 它 们 及 其
3
3
2
22
蘩蘩 2x dydz+2y dzdx+3（z -1）dxdy=蘩蘩蘩6（x +y +z）dxdydz
∑+∑1
Ω
2π
1
2
1-r
2
=6蘩0 dθ蘩0dr0 （z+r ）rdz
1
=12π蘩0［
1 2
22 3
2
r（1-r ） +r （1-r ）］dr=2π，
3
3
2
而蘩蘩2x dydz+2y dzdx+3（z -1）dxdy=- 蘩蘩 -3dxdy=3π，
蘩蘩 x + y
dxdy =
∑
D
%
姨
2
《高等数学教学课件》2011 第二节 第二型曲线积分
x2(t) y2(t)
其中是 s 与x轴正向的夹角.
x2(t) y2(t)
cos sgn( )x(t) sin sgn( ) y(t) ;
x2(t) y2(t)
x2(t) y2(t)
其中是 s 与x轴正向的夹角. 由定义得:
P( x, y)dx Q( x, y)dy [P( x, y)cos Q( x, y)sin]ds
的切向量的方向余弦为cos ,cos ,cos ,则上的三个第
二型(对坐标的)曲线积分可定义为:
P( x, y, z)dx P( x, y, z)cosds
Q( x, y, z)dy Q( x, y, z)cos ds
R( x, y, z)dz R( x, y, z)cosds 即 P( x, y, z)dx Q( x, y, z)dy R( x, y, z)dz
若曲线L
:
x y
x(t ) ,
y(t )
t
则
f ( x, y)ds
f [ x(t ), y(t )]
x 2 (t ) y 2 (t )dt
L
使用上述计算方法应注意 :
(1).曲线L必须表示为参数方程的形式.
(2).定限后的下限一定小于上限 .
特别地,当曲线L可用显函数表示为L : y y( x), x [a, b]
定理、设L是光滑的有向曲线(从A到B), L可用参数方程
表示为:
L
:
x
y
x(t ) ,
y(t )
t由变化到 , 其中t 对应L的
起点A( x( ), y( )), t 对应于L的终点B( x( ), y( )),
函数x(t ), y(t )导数连续, 设向量值函数
高等数学对坐标的曲面积分
cos
1 1 x2 y2
(z2 x)( x)dxdy
dS
1
z
2 x
z
2 y
dxdy
dxdy
cos
对坐标的曲面积分
(z2 x)dydz (z2 x)( x)dxdy
(z2 x)由dy对dz称性zdxdy
z 1(x2 y2)
[(z2 x14)x((xx2 )yz2 )]d2dxxddyy 0
Q( x, y, z)dzdx Q( x, y, z)cos dS
两类曲面积分之间的联系
Pdydz Qdzdx Rdxdy
(P cos Q cos Rcos )dS
其中cos、cos 、cos 是有向曲面Σ在点 ( x, y, z)
处的法向量的方向余弦. 不论哪一侧都成立.
对坐标的曲面积分
xyzdxdy xyzdxdy xyzdxdy
2
1
xy 1 x2 y2dxdy xy( 1 x2 y2 )dxdy
Dxy
Dxy
对坐标的曲面积分
Dxy : x2 y2 1( x 0, y 0)
xy 1 x2 y2dxdy xy( 1 x2 y2 )dxdy
对坐标的曲面积分 Mobius(1790--1868) 19世纪德国数学家
(2) 单侧曲面
莫比乌斯(Mobius)带.
它是由一张长方形纸条ABCD, 扭转一下,
将A、D粘在一起，B、C 粘在一起形成的环
行带.小毛虫在莫比乌斯带上,不通过边界可以
爬到任何一点去.
这在双侧曲面上是不能实现的.
决定了侧的曲面称为 有向曲面.
i 1
2. 存在条件
当P( x, y, z),Q( x, y, z), R( x, y, z) 在有向光滑
高等数学-第十一章-曲线积分与曲面积分
对弧长的曲线积分及其计算
y
B
一、问题的提出
实例:曲线形构件的质量
L Mn1
(i,i)
M2
Mi
Mi1
匀质之质量 M s. A M 1
o
x
分割 M 1 , M 2 , , M n 1 s i ,
取 (i,i) s i, M i (i,i) s i.
B
M
实L 例:A : 变B 力,沿曲 线所作的功 ALMM1i1
M
yi 2xi
iMn1
F ( x , y ) P ( x , y ) i Q ( x , y ) j o
x
常力所作的功 W F A . B
分割 A M 0 , M 1 ( x 1 , y 1 ) , M n , 1 ( x n 1 , y n 1 ) M n B , .
3
3
ds
2a3 . 3
(2a d,s球面大) 圆周长
注 关于对弧长的曲线积分的对称性
对 Lf(x,y)ds
①若 L 关于 y 轴对称
( 1 ) 当 f ( x , y ) f ( x , y ) 时 L f ( x , y ) d 0 s
( 2 ) 当 f ( x , y ) f ( x , y ) 时 f ( x , y ) d 2 f s ( x , y ) d
n
f(x ,y ,z)d s l i0im 1f(i,i,i) si.
注意：
1 . 若 L ( 或 ) 是分 , (L 段 L 1 L 2 ) 光
f ( x , y ) d s f ( x , y ) d s f ( x , y ) d . s
L 1 L 2
高等数学第十一章习题课(二)曲面积分
z
B
o
dS
n C
y
z
x
3 2
y A x : x y z 1
n 1 (1, 1, 1)
3
1 3
(3) d S
答: 第一类曲面积分的特例.
2) 设曲面 问下列等式是否成立?
不对 ! 对坐标的积分与 的侧有关
练习: P185 题4(3)
计算 x d y d z y d z d x z d x d y, 其中 为半球面
的上侧. 提示: 以半球底面 0 为辅助面, 且取下侧 , 记半球域为 , 利用 高斯公式有 原式 =
x , 2 2 x y y , 2 2 x y
D
x y I y , x , z 2 , 2 ,1dxdy 2 2 x y x y
2
z 2dxdy
( x 2 y 2 )dxdy
D xy
[ Dxy : 1 x 2 y 2 4 ]
用重心公式
利用对称性
2( x z ) d S
0
例7. 设L 是平面
与柱面
的交线
从 z 轴正向看去, L 为逆时针方向, 计算 解: 记 为平面
上 L 所围部分的上侧,
D为在 xoy 面上的投影. 由斯托克斯公式
z
L
I
1 3 x
2z x y z 2 (4 x 2 y 3z )dS 3
2 2
1 3 y 2
2
3x y 2
1 3 z 2
dS
D
o x
y
高等数学 曲线积分和曲面积分 (10.4.2)--高斯公式和司托克斯公式
习题10.41. 利用Gauss 公式, 计算下列第二类曲面积分：(1) 222d d d d d d x y z y z x z x y ∑++⎰⎰, 其中∑为平面0x =, 0y =, 0z =和1x y z ++=所围立体的表面, 并取外侧；(2) ()d d ()d d x y z y z x z x y ∑-+-⎰⎰, 其中∑为圆柱面221x y +=与平面0=z 和3=z 所围立体的表面, 并取外侧；(3) 333d d d d d d x y z y z x z x y ∑++⎰⎰, 其中∑为球面2222x y z R ++=(0R >), 并取内侧； (4) 32()d d 2d d d d x yz y z x y z x z x y ∑--+⎰⎰，其中∑为圆柱面222R y x =+)(1≤≤0z , 并取外侧；(5) (2)d d d d x z y z z x y ∑++⎰⎰，其中∑为定侧曲面22+=y xz )10(≤≤z , 其法向量与z 轴正向夹角为锐角；(6) 24d d 2d d (1)d d xz y z yz z x zx y ∑-+-⎰⎰，其中∑为yOz 平面上的曲线e y z =(0)y a ≤≤绕z 轴旋转所成的曲面, 并取下侧；(7) 33311d d d d d d y y x y z f y z x f z x y z z y z ∑⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎰⎰, 其中函数)(u f 具有连续导数, ∑为球面1=++222z y x ，4=++222z y x 与锥面22+=z y x 所围立体的表面, 并取外侧.(8) 2∑0R >), 其中∑为下半球面z =并取下侧.2. 计算曲面积分2cos(,)d ||||S ∑⎰⎰r n r ，其中∑为一封闭光滑曲面，n 为∑上点),,(z y x 处的外法向量，),,(z y x =r . 讨论下列两种情况：(1) 曲面∑不包含原点；(2) 曲面∑包含原点.3. 计算下列向量场通过曲面∑指定侧的通量：(1) (,,)xz xy yz =A , ∑为平面1=++z y x 在第一卦限部分, 并取上侧； (2) 333(,,)x y z =A , ∑为球面2222x y z R ++=(0R >), 并取外侧.4. 求下列向量场的散度：(1) 2(4,2,)x xy z =-A , 求(1,1,3)div A ；(2) xyz =A r , 其中),,(z y x =r , 求(1,3,2)div A ；(3) 2223(,,2),xz y x y u x yz =-=A , 求div ()u A .(4) r =∇A , 其中r =求div A ；5. 求向量场 32222(2)()()z y z x y x x yz y z x y z x z x yz x y =+-+-+A i j k的散度div A 在点(1,1,2)M 处沿22=+-l i j k 方向的方向导数，并求div A 在点M 的方向导数的最大值.6. 利用Stokes 公式, 计算下列第二类曲线积分：(1) 222()d ()d ()d L xyz x y zx y z xy z -+-+-⎰, 其中L 是任一分段光滑的闭曲线；(2) 22322(e )d (e )d (e )d xy z Lx y z x y z y yz z ++-++⎰, 其中L 是圆周222,0,y z R x ⎧+=⎨=⎩且从x 轴的正向看去，L 取逆时针方向； (3) ()d ()d ()d Lz y x x z y x y z -+-+-⎰, 其中L 是椭圆221,2,x y x y z ⎧+=⎨-+=⎩ 且从z 轴的正向看去, L 取顺时针方向；(4) 222222()d (2)d (3)d Ly z x z x y x y z -+-+-⎰, 其中L 是平面2=++z y x 与柱面||||1x y +=的交线，且从z 轴的正向看去, L 取逆时针方向.7. 试由Stokes 定理推出空间曲线积分与路径无关的条件, 由此验证下列曲线积分与路径无关, 并计算积分值：(1)π3,2,3(0,0,0)(sin )d d cos d y z x x y x z z ⎛⎫ ⎪⎝⎭+++⎰； (2) (,,)222(0,0,0)(2)d (2)d (2)d x y z x yz x y zx y z xy z -+-+-⎰.8. 求下列向量场A 沿定向闭曲线L 的环量：(1) (,,)y x a =-A (a 为常数), L 为圆周221,,x y z a ⎧+=⎨=⎩ 从z 轴的正向看去, L 取逆时针方向；(2) ),,(2z y x xy +=A , L 为圆周222,1,x y z z ⎧+=-⎨=⎩ 其方向与z 轴的正向符合右手法则.9. 求下列向量场的旋度：(1) (,,)xyz xyz xyz =A , 求(1,3,2)rot A ；(2) 222()y z x =，，A , 求(1,1,1)rot A ；(3) 22(cos ,ln ,)x zy y x z =-A , 求rot A ；(4) 2(3,,2)xz yz x z =-+A , 求rot A .10. 设),,(z y x =r ，||||r =r ，)(r f 具有二阶连续导数，C 为常向量，试证： (1) []()rot ()()f r f r r'=⨯C r C ； (2) []{}div rot ()0f r =C .。
对称性在第二类曲面积分计算中的应用
对称性在第二类曲面积分计算中的应用作者：邓艳来源：《速读·下旬》2018年第01期摘要：第二类曲面积分既是高等数学教学中的一个重点，也是一个难点。
其计算方法灵活多样，本文主要介绍对称性在第二类曲面积分计算中的应用，这是一种十分有效而又灵活简便的方法。
关键词：第二类曲面积分；奇偶对称；轮换对称第二类曲面积分的计算既是高等数学教学中的一个重点，也是一个难点。
从学员反馈情况来看，总体掌握不是很好，对称性是积分运算中经常遇到的一种技巧，有效的运用对称性，可以达到简化计算的目的。
为此，本文不仅给出了当空间区域关于坐标面或原点对称，且定义在该区域上的函数具有相应的奇偶性时的简化计算公式，还介绍了轮换对称性在第二类曲面积分计算中的应用。
一、奇偶对称性在第二类曲面积分计算中的应用1.设分块光滑的定向曲面∑关于xoy平面对称，∑在xoy平面上方部分记为∑1（方程为z=z （x，y），（x，y∈Dxy）），下方部分记为∑2，又设R（x，y，z）在∑上连续，则：[∑Rx，y，zdxdy=0，若R关于z为偶数2∑1Rx，y，zdxdy，若R关于z为奇函数]证明：[∑Rx，y，zdxdy=∑1Rx，y，zdxdy+∑2Rx，y，zdxdy]由[∑1]的方程可得[∑2]的方程：[z=-zx，y，（x，y）∈Dxy]，设[∑1]的法向量与z轴正向成锐角，于是[∑2]的法向量与z轴正向成钝角，将面积分化为二重积分得：[∑1Rx，y，zdxdy=DxyRx，y，z（x，y）dxdy][∑2Rx，y，zdxdy=-DxyRx，y，-z（x，y）dxdy][=-DxyRx，y，z（x，y）dxdy，若R关于z为偶函数，DxyRx，y，z（x，y）dxdy，若R 关于z为奇函数。
]两式相加即得结论。
同理可证对于[∑Qx，y，zdzdx]与[∑Px，y，zdxdy]有类似结论。
2.设分块光滑定向曲面∑关于原点对称，记同向对称的有向曲面为[∑1]和[∑2]，又设[R （x，y）]在∑上连续，则：[∑Rx，y，zdxdy=0，若R-x，-y，-z=Rx，y，z 2∑1Rx，y，zdxdy，若R-x，-y，-z=-Rx，y，z]同理对于[∑Qx，y，zdzdx]与[∑Px，y，zdxdy]有类似结论。
∫′-华东师范大学上海市精品课程-高等数学A
第十章 曲线积分和曲面积分1. 第一型曲线积分和第二型曲线积分有什么关系？答：第二型曲线积分是借助于第一型曲线积分定义的，但是它与第一型曲线积分的一个主要区别是：它和曲线的方向有关，这是因为切向量)cos ,cos ,(cos γβα和曲线的方向有关，因此∫∫−++−=++LL Rdz Qdy Pdx Rdz dy Q Pdx ，其中−L 表示与L 方向相反的曲线。
这种区别在计算公式上的表现是：在光滑曲线L ：βαωψϕ≤≤===t t z t y t x ),(),(),(上的第一型曲线积分为：dt t t t t t t f ds z y x f L 222)()()())(),(),((),,(ωψϕωψϕβα′+′+′=∫∫。
右边的定积分的上限总大于下限，而对于第二型曲线积分，如果取L 的方向与参数t 增加的方向一致，则有：∫++Ldz z y x R dy z y x Q dx z y x P ),,(),,(),,( ∫′=βαϕωψϕ)())(),(),(({t t t t P Q +))(),(),((t t t ωψϕdt t t t t R t )}())(),(),(()(ωωψϕψ′+′ 而∫−++L Rdz Qdy Pdx∫′=αβϕωψϕ)())(),(),(({t t t t P Q ++′)())(),(),((t t t t ψωψϕdt t t t t R )}())(),(),((ωωψϕ′ 即右端定积分的上下限与曲线的方向有关，下限对应于曲线的起点，上限对应于曲线的终点。
2.试判断下列结果是否正确，为什么？ 设∫=L xdy I ，L 是圆周：222a y x =+，取逆时针方向，由于积分曲线是关于y 轴对称，被函数x 是关于x 的奇函数，所以∫=Lxdy I 0=。
答：这是不对的，因为第二型曲线积分不能这样用“对称性”，事实上，2220220cos )sin (cos a d a a d a I πθθθθππ===∫∫这是因为第二型曲线积分（以及第二型曲面积分）涉及积分域的定向问题，奇偶对称性比较复杂. 设L 关于y 轴对称,（1L 为L 在y 轴右侧的部分）有∫∫=L L dy y x Q dy y x Q 为偶函数关于当为奇函数关于当x )y ,x (Q 0x )y ,x (Q ),(2),(1如图10-14设21L L L +=，1:(), :0L yx x a ϕ=→，2:(),:0L y x x a ϕ=−−→ 则∫∫∫+=LL L dy y x Q dy y x Q dy y x Q 12),(),(),( dx x x x Q dx x x x Q a a)())(,()())(,(00−′−−++′+=∫∫−ϕϕϕϕ对dx x x x Q a )())(,(0−′−−∫−ϕϕx t =−0(,())()a Q t t t dt ϕϕ′−∫ 则dx x x x Q x x Q dy y x Q La)())](,())(,([),(0ϕϕϕ′−−=∫∫=′=∫∫为偶函数关于为奇函数关于x y x Q x y x Q dy y x Q dx x x x Q a L ),(0),(),(2)())(,(201ϕϕ3.在与路径无关的等价命题中，为什么要限制D 为单连通区域？答：若D 不是单连通域，则与路径无关的等价命题可能不成立. 如,例：计算∫+−=L y x ydx xdy I 22，其中L 为一条分段光滑且不经过原点的连通闭曲线，L 的方向为逆时针方向。
第二型曲面积分论文
第二型曲面积分论文目录1 引言 (1)2 文献综述 (1)3预备知识 (1)3.1第二型曲面积分的定义 (1)3.2第二型曲面积分的性质 (2)4常用计算公式 (2)5 MATHEMATICA相关知识 (3)6第二型曲面积分的计算 (4)6.1用MATHEMATICA计算 (4)6.2分项投影法 (5)6.3参数法 (7)6.4利用高斯公式 (8)6.5定义法 (12)6.6解题技巧（轮换对称性） (14)7结论 (15)7.1主要观点 (15)7.2启示 (15)7.3局限性 (15)7.4努力方向 (16)参考文献 (17)1 引言曲面积分是多元函数积分学的重要组成部分，在曲面积分的计算中，综合运用着一元积分与重积分计算思路、方法与技巧，因而显得更加复杂，繁琐。
在第二型曲面积分的学习过程中，学生必须在理解概念的同时，掌握求第二型曲面积分的方法和技巧。
由于第二型曲面积分的的概念抽象费解，计算方法灵活多变，而且涉及的数学知识面广，掌握起来有一定难度，本文就第二型曲面积分的的计算方法进行了归纳和总结，并用计算机辅助求解.2 文献综述式.3预备知识3.1 第二型曲面积分的定义设S为光滑的有向曲面，P（x,y,z）,Q(x,y,z),R(x,y,z) 在S上有界，把S任意分成n块有向曲面，△Si ，i=1,2......，n，记△Si在xy平面上的有向投影为（△Si）xy ，(εi，iη，iζ)为△Si上任取定的一点, T为每个△Si的直径中的最大者,作和数，∑n i R (iε，iη，iζ)（△Si）xy.如果lim>-T∑niR (iε，iη，iζ)（△Si）xy总存在，则称此极限值为R任有向曲面S上沿xy平面的第二型曲面积分，记为⎰⎰SRdxdy.类似可定义⎰⎰S Pdydz=lim>-T∑niR (iε，iη，iζ)（△Si）yz,⎰⎰S Qdzdx=lim>-T∑niR (iε，iη，iζ)（△Si）zx,分别为P在有向曲面S上沿yz平面的第二型曲面积分，Q在有向曲面S上沿zx平面的第二型曲面积分，并且称⎰⎰S Pdydz+⎰⎰SQdzdx+⎰⎰SRdxdy=RdxdyQdzdxPdydzS++⎰⎰为P,Q,R 在有向曲面S 上的第二型曲面积分.3.2第二型曲面积分的性质第二型曲面积分除曲面可加性外，还具有有向性，即⎰-+S Qdy pdx = —⎰+SQdy Pdx ,⎰-+S Qdy pdx +Rdz= —⎰+SQdy Pdx +Rdz,Rdxdy Qdzdx Pdydz S ++⎰⎰-= —Rdxdy Qdzdx Pdydz S++⎰⎰.3.3第一、第二型曲面积分的关系设空间有向曲面S 上任一点的法线正向的方向角为γβα,,，则Rdxdy Qdzdx Pdydz S++⎰⎰=ds R Q P S)cos cos cos (γβα++⎰⎰.4常用计算公式4.1 投影法设P,Q,R 是定义在光滑曲面上S 上的连续函数，且S 的方程z=z(x,y) (x,y)∈D xy D xy 为S 在xy 平面上的投影，则⎰⎰⎰⎰-=SD xyy x z y x P Pdydz )],(,,[.z/xdxdy ，⎰⎰⎰⎰-=SDxyy z y x z y x Q Qdzdx /)].,(,,[dxdy ，⎰⎰⎰⎰-=SDxyy x z y x R Rdydz )],(,,[dxdy.其中S 取上侧同理，当S 的方程为x=x(y,z)时,⎰⎰⎰⎰-=SdDyzy x z y x P Pdydz )],(,,[dydz,⎰⎰⎰⎰'-=SydD x z y z y x P Qdzdx XY],),,([dydz.4.2参数法常用球面参数和柱面参数：球面参数：sin cos ,sin sin ,cos x R y R z R θϕθϕθ===，可推广到椭球面. 柱面参数；cos ,sin ,x a y a z z θθ===, 其他参数由于计算复杂使用不多.4.3单一坐标平面投影法设以Oxy 平面为投影面SPdydz Qdzdx Rdxdy ++⎰⎰('')xy DzP z Q R dxdy ε=--+⎰⎰,以Oyz,Ozx 平面为投影面情况类似.4.4分项投影法分项投影法是利用第二型曲面积分的线性性：SPdydz Qdzdx Rdxdy ++⎰⎰=SSSPdydz Qdzdx Rdxdy ++⎰⎰⎰⎰⎰⎰,分别将右式三项投影到Oyz,Ozx,Oxy 平面上，由于1SD Pdydz Pdydz =⎰⎰⎰⎰，1SD Pdydz Pdydz =⎰⎰⎰⎰，1SD Pdydz Pdydz =⎰⎰⎰⎰.分别投影直接计算二重积分，避免投影到一面上求偏导的计算，此法非常实用，看似复杂，实则简单，非常实用.计算中要注意原曲面与投影曲面一一对应，若不一一对应要分片投影，如一个完整的球投影到xoy 平面上，上下半球曲面要分别投影计算.计算中注意利用方向性等性质以简化计算.4.5奥高公式设空间有界去区域V 的边界为S ，函数P,Q,R 在V 及S 上具有一阶连续偏导数.则⎰⎰++SRdxdy Qdzdx Pdydz =⎰⎰⎰∂∂+∂∂+∂∂Vdxdydz xR x Q x p )(,其中S 取正向. 5 Mathematica 相关知识5.1曲面表示法(1)直角坐标显式：z=z(x,y);(2)直角坐标隐式：F （x,y,z ）;(3)参数形式：x=x(u.v),y=(u,v),z=(u.v);(4)数据形式：即将曲面上的点表示为{}ijx x =,{}ijy y ={}ij z z =,)...3,2,1(m i =;)...3,2,1(n j =. 5.2曲面绘制法显示曲面z=f(x,y)绘图函数的调用格式： Plot3D[f(x,y),{x,x1,x2},{y,y1,y2},可选项]例1 绘制函数z=x 4+y 4—18(x 2+y 2)在区域-4≦x ≦4，—4≦y ≦4上的图形5.3 隐式曲面F （x,y,z ）=0绘图函数的调用格式：ContourPlot3D[F(x,y,z),{x,x1,x2},{y,y1,y2},{z,,z1,z2},可选项]5.4 Integrate[f[x,y],{x,a,b},{y,c,d}]:计算累次积分6第二型曲面积分的计算6.1 用mathematica 计算例2 求曲面积分⎰⎰Szd σ，其中S 是球面2222b z y x =++，被平面z=h(0<h<b)所截和顶部z h ≥-4 -2 02 4200 400 -4-2024图1解 首先取b=2,h=1画出曲面，确定投影区域：a1 = Plot3D[Sqrt[2^2 - x^2 - y^2], {x, -2, 2}, {y, -2, 2}, DisplayFunction -> Identity];a2 = Plot3D[1, {x, -2, 2}, {Y, -2, 2}, DisplayFunction -> Identity]; Show[a1, a2, AxesLabel -> {"x", "y", "z"}, AspectRatio -> Automatic, DisplayFunction -> $DisplayFunction]-2-112y 00.511.52z-2-1012x易知，曲面S 在xoy 平面上的投影区域D 是2222h b y x -≤+，根据被积函数和积分区域的特点，采用极坐标计算曲面积分： z[x_, y_] := Sqrt[b^2 - x^2 - y^2];d = 1/z[x, y]*Sqrt[1 = D[z[x, y], x]^2 + D[z[x, y], y]^2]/{x -> r*Cos[t], y -> r*Sin[t]}Integrate[d*r, {t, 0, 2pi}, {r, Sqrt[b^2 - h^2]}]])[][(222222h Log h hb b Log b -=π.6.2分项投影法例3 计算积分⎰⎰∑++-++dxdy x z dzdx z y dydz y x )3()()(，∑为球面x 2222R z y =++取外侧.解：对积分()dxdy y x ⎰⎰∑+，分别用后前和∑∑记前半球面和后半球面的外侧.图2则有∑前：222z y R x --= ,D yz : y 222R z ≤+, ∑后: 222z y R x ---=,D yz : y 222R z ≤+,因此, ()dxdy y x ⎰⎰∑+=⎰⎰⎰⎰∑∑+后前()⎰⎰-+--=yzD dydz y z y R 222()⎰⎰=+---yzD dydz y z y R 222=-===========--=⎰⎰⎰⎰≤+==2222022sin ,cos 222 82R z y Rr z r y rdr r R d dydz z y R πθθθ()3023223432214R r R R r r ππ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅--===. 对积分dx dz z y ⎰⎰∑-)(, 分别用右∑和左∑记右半球面和左半球面的外侧, 则有右∑: ,222x z R y --= 222 :R z x D zx ≤+; 左∑: ,222x z R y ---= 222 :R z x D zx ≤+.因此, =-⎰⎰∑dydz z y )(⎰⎰∑右+⎰⎰∑左=()()⎰⎰⎰⎰--------=zxzxD D dzdx z x z R dzdx z x z R 222222⎰⎰≤+=--=2223222342R z x R dzdx x z R π.对积分dxdy x z ⎰⎰∑+)3(, 分别用上∑和下∑记上半球面和下半球面的外侧, 则有上∑: ,222y x R z --= 222 :R y x D xy ≤+; 下∑: ,222y x R x ---= 222 :R y x D xy ≤+.因此, dxdy x z ⎰⎰∑+)3(=⎰⎰∑上+ ⎰⎰∑下=()()⎰⎰⎰⎰=+----+--=xyxyD D dxdy x y x R dxdy x y x R 33222222⎰⎰≤+=--=2223222342R y x R dxdy y x R π.综上, ⎰⎰∑++-++dxdy x z dzdx z y dydz y x )3()()(=334343R R ππ=⨯.例4 计算积分I=dxdy z dydz y dydz x S222++⎰⎰，其中S 是三个坐标面与平面x+y+z=1围成的四面体的外表面.解：分析：S 由四面光滑曲面S 1, S 2， S 3， S 4组成，其中S 1, S 2， S 3分别是xoy,zox,yoz 平面上的三角形，S 4是平面x+y+z=1围成在第一卦线中的部分.于是 I=(⎰⎰1S +⎰⎰2S +⎰⎰3S +⎰⎰4S )x dxdy z dzdx y dydz 222++=I 1+ I 2+ I 3+ I 4解法1：由于S 1在yoz 和zox 两个坐标面上的投影为线段 I 1=dxdy z S ⎰⎰12又由于S 1在xoy 平面，于是I 1=0 同理可得I 2，I 3=0I 4=dxdy z dydz y dydz x S 2224++⎰⎰=4⎰⎰⎰⎰≤≤-≤≤--=101022)1(4x xx S y x dxdy z =⎰⎭⎬⎫⎩⎨⎧----10301])1(31[dx x y x =⎰=-103121)1(31dx x .于是I= I 1+ I 2+ I 3+ I 4=41. 6.3 参数法例5 计算积分⎰⎰Sxyzdxdy ，其中S 是球面x 1222=++z y 在x 0,0≥≥y 部分取外侧解：对S ：x 1222=++z y 在x 0,0≥≥y 部分取上下侧得z=±221y x --D xy ={(x,y)0,0,122≥≥≤+y x y x },于是⎰⎰⎰⎰--=SD xydxdy y x xy xyzdxdy 2212 令⎩⎨⎧==θθsin cos r y r x⎰⎰⎰⎰-=Sdr r r d xyzdxdy 2010222122sin 41πθθ =⎰=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---1022232151)1(1)1(41r d r r6.4利用高斯公式Gauss 公式：()SVP Q RPdydz Qdzdx Rdxdy dxdydz x y x∂∂∂++=++∂∂∂⎰⎰⎰⎰⎰ 注意公式只对闭合曲面成立，Gauss 公式将第二型曲面积分转化为三重积分，被积函数（向量场散度）容易求得，有时十分方便求解.如果空间曲面较为复杂但只差一个简单曲面或平面即可构成闭合曲面，则可利用 补面法进行计算，此时也应特别注意方向的判断.例6 计算⎰⎰+++-Sdxdy xz y dzdx x dydz z x y )()(22,其中S 是边长为b 的正立方体表面并取外侧．图3解 应用高斯公式，所求曲面积分等于⎰⎰+++-Sdxdy xz y dzdx xdydz z x y )()(22dxdydz xz y z x y z x y x V ⎰⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∂∂+∂∂+-∂∂=)()())((22dxdydz x y V⎰⎰⎰+=)(=⎰⎰⎰+bbbdx x y dy dz 000)(=40221b dy b by b b=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎰例7 设空间区域Ω由曲面222y x a z --=与平面0=z 围成，其中a 为正常数.记Ω表面的外侧为,S Ω的体积为,V 证明.)1(2222V dxdy xyz z dzdx z xy dydz yz x S=++-⎰⎰分析：由于求证的是给定的曲面积分等于某个区域的体积值，而高斯公式给出了曲面积分与该曲面包含的区域上的某个三重积分间的关系，考虑到体积值可用相应的三重积分表示，故选用高斯公式进行证明.证明：设,),,(22yz x z y x P = ,),,(22z xy z y x Q -= ),1(),,(xyz z z y x R +=则o∑1∑2∑3∑4∑5∑6xyzbb图4,22xyz x P =∂∂,22xyz y Q -=∂∂.21xyz zR+=∂∂ 由高斯公式知dxdy xyz z dzdx z xy dydz yz x S)1(2222++-⎰⎰ ⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩΩ+=++-=xyzdv dv dv xyz xyz xyz 2)2122(22⎰⎰⎰Ω+=.2xyzdv Vdxdy y x a xy dxdy xyzdz xyzdv a y x a y x y x a ⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰≤+Ω≤+----==2222222222)(][2220,2)(cos sin 202223dr r a r d a ⎰⎰-=πθθθ由于 ,0cos sin 20=⎰θθθπd 则⎰⎰⎰Ω=0xyzdv .例8计算曲面积分I=⎰⎰∑++xydxdyyzdzdx xzdydz 32，其中∑为曲面z=1-x )10(422≤≤-z y 的上侧 解：添加平面)14(0:221≤+=∑y x z ，取下侧 则1∑+∑是一个封闭曲面，取外侧，设所围成的空间区域为Ω P=xz,Q=2yz,R=3xyz z z zR y Q x p 302=++=∂∂+∂∂+∂∂ 由奥高公式I=xydxdy yzdzdx xzdydz 32)(11++-⎰⎰⎰⎰∑+∑∑=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ω≤+-≤++=+1411422220333y x z y x dxdy zdzxydxdy zdV=⎰=+-100)1(6ππdz z z注：（1）Gauss 公式的条件是：封闭、外侧、片倒是连续，三者缺一不可. （2）正确确定P,Q,R 三个函数，并注意分别对那个变量求偏导数曲面积分计算技巧.若积分曲面∑关于想，x,y,z 具有轮换对称性，则⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑∑∑==ds y x z f ds x z y f ds z y x f ),,(),,(),,(,⎰⎰∑++ds y x z f x z y f z y x f ),,(),,(),,(31, .)1(2222V dxdy xyz z dzdx z xy dydz yz xS =++-⎰⎰例9 计算曲面积分⎰⎰∑ds z 2，其中s 是球面2222a z y x =++.解：分析：若按照常规方法来解，计算量相当大，如果用对称函数的特性就非常简捷.球面2222a z y x =++关于x,y,z 具有对称性⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑∑∑==∴ds z ds y ds x 222⎰⎰⎰⎰∑∑++=∴ds z y x ds z )(312222=223431a ds a π=⎰⎰∑图56.5定义法当单位法向量容易求得，易于表达时可考虑用定义法.例10 计算2Sy dzdx zdxdy +⎰⎰，其中S 是椭球面222144x y z ++=，外侧.此题可利用参数法，单一坐标平面投影法，分项投影法等多种方法计算，难度不大，答案是163π. 例11计算I=⎰⎰∑++∂ds z y x )cos cos cos (222γβ，其中∑是锥面x 222z y =+(0h z ≤≤ ),cos γβαcos ,cos ,为锥面的外法线的方向余弦. 解：(解法1) 如图：图6图7∑：z=22y x +(0h z ≤≤ )，下侧∑在xoy 面上的投影Dxy：x 222h y ≤+,dS=dxdy z z y x 221++.z 2222,yx y z yx x y x +=+=cos 221yxx zz z ++=α,221cos yx yzz z ++=β,2211cos yxzz ++-=γI=dxdy y x y x y y x x xyD ⎰⎰+-+++)]([22223223=⎰⎰⎰⎰-=-=+ππθ2043222)(hD h dr r d dxdy y x xy解法2利用第一、第二型曲面积分的关系设空间有向曲面S 上任一点的法线正向的方向角为γβα,,，则Rdxdy Qdzdx Pdydz S++⎰⎰=ds R Q P S)cos cos cos (γβα++⎰⎰.I=⎰⎰∑++dS z y x )cos cos cos (222γβα=⎰⎰∑++dxdy z dzdx y dydz x 222( =42h π-.例12计算⎰⎰∑zdxdy（1）∑为锥面z=22y x +在01≤≤z 部分的下侧； （2）∑为锥面z=22y x +与平面z=1所围曲面的内侧. 解：如下图(1)∑：z=22y x +，01≤≤z ，下侧 D xy ：122≤+y x ,⎰⎰∑zdxdy =-⎰⎰+xyD dxdy y x 22,=-⎰⎰πθ20102dr r d =π32. （2）∑=∑1+∑2∑1：z=22y x +，01≤≤z ，上侧, ∑2：122≤+y x ，下侧, D xy ：122≤+y x .⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑∑∑+=21zdxdy =⎰⎰+xy D dxdy y x 22-⎰⎰xy D dxdy =-π31. 小结：将第二型曲面积分化为二重积分的方法一代：将曲面∑的方程代入被积函数; 二投：将曲面∑投影到坐标平面;三定号：由曲面的侧来决定取正号还是负号; 四换域：改变积分域，曲面∑变为投影域.6.6 解题技巧（轮换对称性）例13计算I=⎰⎰∑++++23222)(z y x zdxdy ydzdx xdydz ，其中∑是球面2222a z y x =++的外侧图8图9xyz1∑2∑o1xyD 11解：由轮换对称性I=⎰⎰⎰⎰∑∑++=++++2322223222)(3)(z y x zdxdy z y x zdxdy ydzdx xdydz =)(33⎰⎰⎰⎰∑∑+下上a =][3xy2222223⎰⎰⎰⎰------xyD D dxdy y x a dxdy y x a a , =⎰⎰--xyD dxdy y x a a 22236=4π.例14 计算曲面积分⎰⎰∑ds z 2，其中s 是球面2222a z y x =++.解：分析：若按照常规方法来解，计算量相当大，如果用对称函数的特性就非常简捷球面2222a z y x =++关于x,y,z 具有对称性,⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑∑∑==∴ds z ds y ds x 222⎰⎰⎰⎰∑∑++=∴ds z y x ds z )(312222=223431a ds a π=⎰⎰∑. 7结论7.1 主要观点第二型曲面积分的被积函数类型有多种，学生在做题的时候学生容易受思维的局限，对于哪一种的类型不知用何种方法，此外，对于有些类型的题可以一题多解，虽然用其中一种能解决，但有时显得繁琐，这是可以思考它其它种解法，这样使解题变得简单.随着技术的发展，我们还可以借助数学软件Mathematica 进行求解使得计算简单.7.2 启示文章对第二型曲面积分中被积函数类型做了一个系统的归纳，这对在做题时容易辨析用何种方法计算及灵活使用计算技巧，从而能进一步提高学生的解题能力，对公式定理的记忆也有较大的帮助.7.3 局限性由于第二型曲面积分计算灵活性较大，在文章中解题技巧不能一一归纳出.另外，Mathematica 在例题中的应用没能一一写出，本文仅针对几个典型例题进行了分析.7.4 努力方向除了文中所述的理论知识外，由于第二型曲面积分的解题方法﹑技巧是复杂多变的，而且要有一定的实践经验为基础.在今后的学习和实践中将不断的深入研究，结合具体的实践经验，以弥补文章中的许多不足之处.参考文献[1]刘玉琏.数学分析讲义[M]. 北京：高等教育出版社，2003:11-19.[2]富景龙.数学试题精选与大体技巧 [M].北京：高等教育出版社，2000:89-99.[3]薛嘉庆.高等数学题库精编（理工类）[M].沈阳：东北大学出版社，2000:198-200.[4]刘国均，陈绍业.数学分析简明教程[M].北京：高等教育出版社，2002:111-119.[5]丁晓庆编.21世纪高等院校教材（工科数学分析）[M]. 北京：科学出版社，2008:61-75.[6]刘莲芬.曲线积分和曲面积分的教学探索[J].重庆交通学院学报，1988,(7):3-4．[7]余孝华.一类可直接化为累次积分的曲面积分[J].大学数学，1999,(5):2-6.[8]王景克. 高等数学解题方法与技巧[M]. 北京：中国林业出版社，2002:111-119.[9]线积分与曲面积分解题技巧[J].有色金属高教研究，1995,(4):4-6.[10]HB.巴格莫洛夫.代数与微积分自学辅导[J]，1999,(9):3-6.[11]四川大学数学系高等数学教研室. 高等数学[M]. 北京：高等教育出版社，2001:56-64.[12]陈先开.数学题型集粹[M]. 北京：理工大学出版社,2011:17-30.[13]格[14]武燕,张丽,李靖,二类曲线和曲面积分的对称性[J].中国教育技术装备,2008:(5):7-8.[15]阳明盛,林建华.Mathemactica基础及数学软件[M].大连：理工大学出版,2006：151-159.致谢值此论文完成之际，谨在此向四年来给予我关心、帮助的老师、同学和家人表示衷心的感谢！首先，特别感谢我的指导老师李自田老师，在论文的撰写过程中，从选题、编写提纲、资料收集、撰写、修改、最后定稿，他都给予了具体的指导，付出了大量的心血；她循循善诱的教导和不拘一格的思路给予我无尽的启迪．这篇论文的每个数据，都离不开他的细心指导．其次感谢曲靖师范学院,给我提供了一个很好的学习环境,让我能够顺利完成学业;感谢班主任李冰老师在这四年里对我的帮助；感谢在学习期间给我诸多教诲和帮助的数学与信息科学学院的各位老师；感谢我的朋友和同学，感谢你们在我失意时给我鼓励，在失落时给我支持，感谢你们和我一路走来，让我在此过程中倍感温暖；感谢我的家人，让我可以拥有一个如此温馨的家庭，让我所有的一切都可以在你们这里得到理解与支持，得到谅解和分担.。
第二型曲面积分计算公式正负号选取的研究
第二型曲面积分计算公式正负号选取的研究摘要：第二型曲面积分计算公式正负号选取是高等数学教学中非常重要的知识点。
通过对第二型曲面积分的定义以及积分计算公式进行分析，并结合实例对第二型曲面积分计算中公式正负号选取问题展开探讨，发现参数法、矢量法、投影法等三种方法能够轻松完成计算过程公式正负号选取，解决了一些实际的问题，值得进行推广应用。
关键词：第二型曲面积分；多元函数；正负号选取中图分类号：O172文献标识码：A 文章编号：2095-0438（2020）06-0156-05（山西警察学院山西太原030401）第二型曲面积分在高等数学学习中非常重要的知识点，也是最难掌握的数学计算理论之一，其涉及了包括积分计算、几何构型、多元函数、曲面建模等应用，具有应用领域广、构型多样化、实践性强等特点。
例如，王世杰利用曲面积分中的高斯公式建立了大气污染热传导的数学模型，精准预测大气污染传导过程的扩散范围与方向[1]。
张若峰使用第二型曲面积分转化第一型曲面积分的方法避免了光反射过程中的曲面投影的复杂计算，更加便捷的解决了车灯线光源的计算问题[2]。
目前，第二型曲面积分的研究已成为众多数学科研工作者的研究热点，但是大部分人的研究方向均集中在第二型曲面积分计算的对称性、等价变换、计算方法以及应用方面。
龚罗中根据重积分的对称性特点建立了适用于第二型曲面积分的对称性定理，为第二型曲面积分计算提供极大便利[3]。
王湘君等人利用等价变换的方法将第二型曲面积分变为边界封闭曲线积分，并提出相应的应用实例[4]。
杨雯靖采用分面投影法、高斯计算公式以及两类曲面积分的转化方程计算了第二类曲面积分，并提供了比较典型的应用实例[5]。
然而，对于第二型曲面积分中公式的正负号选取的研究甚少。
在积分运行过程中正负号选取出错的情况是常有发生的事，往往直接导致计算结果错误[6]。
本文探讨第二型曲面积分计算公式正负号选取的易错原因，并进一步研究特殊情况下的正负号选取的方法，加以分析及推广。
高等数学 曲线积分和曲面积分 (10.3.2)--格林公式及其应用
0,
其中 C
为平面区域
x
内的
任一封闭曲线.
6. 设函数 Q(x, y) 在 xOy 平面上具有一阶连续偏导数，曲线积分 2xydx Q(x, y)dy 与 C 路径无关，并且对任意 t 恒有
(2xydx Q(x, y)dy 2xydx Q(x, y)dy ,
(0, 0)
(0, 0)
求 Q(x, y) .
7. 确定常数 p , 使得在任何不含 y 的点的区域上, 曲线积分
C
x y2
(x2
y2)p
ydx
xdy
与路径无关，并求当 C 从点 (1, 1) 到点 (0, 2) 时的积分值.
8. 求下列微分方程的通解：
(1) [ y ln(1 x)]dx (x 1 ey )dy 0 ；
C
a b
(3)
C
(x2
y
2 y)dx
x3 3
x
dy
，其中 C
是直线
x
1,
y
x,
y
2x
所围三角形区
域的正向边界.
(4) (ex sin y my)dx (ex cos y m)dy ，其中 C 为由点 A(a,) 到点 O(,) 的上 C 半圆周 x y ax ；
t
2π
)与
x
轴.
2. 利用 Green 公式, 计算下列第二类曲线积分：
(1) (2x sin y 4y)dx (x2 cos y x)dy ，其中 C 为圆周 x2 y2 3 , 并取逆时针 C 方向；
高等数学第22章第2节第二型曲面积分
第二十二章 曲面积分§2 第二型曲面积分一 曲面的侧为了给曲面确定方向，先要阐明曲面的侧的概念。
设连通曲面S 上到处都有连续变动的切平面(或法线)，M 为曲面S 上的一点，曲面在M 处的法线有两个方向：当取定其中一个指向为正方向时，则另一个指向就是负方向。
设0M 为S 上任一点，L 为S 上任一经过点0M ，且不超出S 边界的闭曲线。
又设M 为动点，它在0M 处与0M 有相同的法线方向，且有如下特性：当M 从0M 出发沿L 连续移动，这时作为曲面上的点M ，它的法线方向也连续地变动。
最后当M 沿L 回到0M 时，若这时M 的法线方向仍与0M 的法线方向一致，则说这曲面S 是双侧曲面①；若与0M 的法线方向相反，则说S 是单侧曲面。
我们通常碰到的曲面大多是双侧曲面。
单侧曲面的一个典型例子是默比乌斯(M öbius)带。
它的构造方法如下：取一矩形长纸带ABCD(如图22-3(a))，将其一端扭转1800后与另一端粘合在一起(即让A 与C 重合，B 与D 重合。
如图22-3(b)所示)。
读者可以考察这个带状曲面是单侧的。
事实上，可在曲面上任取一条与其边界相平行的闭曲线L ，动点M 从L 上的点0M 出发，其法线方向与① 事实上，可以证明，只需对S 中某一点．．．0M 且又不超出S 的边界的任何闭曲线L 上 具有上述特性，则S 是双侧曲面。
0M 的法线方向相一致，当M 沿L 连续变动一周回到0M 时，由图22-3(b)看到，这时M 的法线方向却与0M 的法线方向相反。
对默比乌斯带还可更简单地 说明它的单侧特性，即沿这个带子上任一处出发涂以一种颜色，则可以不越过边 界而将它全部涂遍(即把原纸带的两面都涂上同样的颜色)。
通常由()y x z z ,=所表示的曲面都是双侧曲面，当以其法线正方向与z 正向的夹角成锐角的一侧(也称为上侧)为正侧时，则另一侧(也称下侧)为负侧。
当S 为封闭曲面时，通常规定曲面的外侧为正侧，内侧为负侧。
斯托克斯公式化为第二型曲面积分
一、引言斯托克斯公式是向量分析中的重要定理之一，它将曲面积分和线积分联系了起来，为解决许多物理、工程、数学等领域的问题提供了重要的数学工具。
斯托克斯公式最初是由苏格兰数学家乔治·斯托克斯在19世纪提出的，它的第一型形式和第二型形式都有着重要的应用价值。
本文将重点讨论斯托克斯定理的第二型形式的推导和应用。
二、斯托克斯定理的第二型形式1. 斯托克斯定理的表述斯托克斯定理是向量分析中的基本定理之一，它建立了曲面积分和线积分之间的联系。
用数学语言描述，斯托克斯定理的第二型形式可以表述为：设M是一个分片光滑的有向曲面，边界为C，f是定义在M 上的有连续偏导数的向量场，则有∮c f·dr=∬s curl f ·n dS其中C为曲面M的边界，f是定义在M上的向量场，curl f是f的旋度，n是曲面M的单位法向量，dS表示曲面元素面积。
2. 斯托克斯公式的推导斯托克斯定理的第二型形式可以通过对曲面积分和线积分的定义以及向量场的旋度的概念进行推导得出。
通过对曲面积分和线积分的定义进行推演，可以得出斯托克斯公式的第二型形式。
在推导的过程中，需要运用高等数学中的向量分析、曲面积分和线积分等知识，并进行一系列的变量替换和积分运算，并且需要注意符号的处理和积分路径的选择。
3. 斯托克斯公式的应用斯托克斯公式的第二型形式在物理学、工程学、地球科学等领域有着广泛的应用。
例如在电磁学中，可以利用斯托克斯公式将曲面积分转化为线积分，从而更方便地求解电场的分布情况。
在流体力学中，斯托克斯公式也可以用来分析流体在曲面上的旋转情况，对于解决流体运动问题具有重要意义。
斯托克斯公式也为工程计算、地质勘探等领域提供了重要的数学工具。
三、结论斯托克斯公式的第二型形式是向量分析中的重要定理，它建立了曲面积分和线积分之间的联系，为解决许多物理、工程、数学等领域的问题提供了重要的数学工具。
通过对斯托克斯公式的第二型形式进行推导和应用，可以更深入地理解向量分析和曲面积分等数学知识，并且可以更灵活地运用这些知识解决实际问题。
高等数学第十章曲面积分
（1）求 1和 2在 yoz 平面上的投影区域：
因 1和 2在 yoz 平面上的投影区域相同， 设为 D yz ： 0 z H 。 R y R，
1
H
z
o
2
x
R
R
y
（2）求微元 dS ：在 1和 2 上，
dS 1 ( x 2 x ) ( ) 2 dydz y z R R y
Pdydz Qdzdx Rdxdy Pdydz Qdzdx Rdxdy
1 2
2．反号性
Pdydz Qdzdx Rdxdy Pdydz Qdzdx Rdxdy
3．奇偶对称性
0 Rdxdy 2 Rdxdy
4 z 2 x y与 形式相同，故可利用曲面方程来简化被积 3 4 z 2 x y 4 代入，从而简化计算。 函数，即将 3 x y 解：平面 方程的为 z 4(1 ) （见下图）， 2 3
在 xoy 面上的投影区域为：
x y D xy : 1, x 0, y 0 2 3 z z 4 2, x y 3
0 i 1
n
2．物理意义 Pdydz Qdzdx Rdxdy
表示流体密度 1 速度场为 V P i Q j R k , 单位时间内流过曲面 一侧的流量。
二、对坐标的曲面积分的性质
1．可加性
1 2
Pdydz Qdzdx Rdxdy
【例1】计算曲面积分 ( z 2 x
x y z 1在第一卦限中的部分。 2 3 4
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n
lim
n
0 i 1
第二型曲面积分的定义 设S是一个分片光滑的双侧曲面, 在S上选定了一侧, 记选定一侧的单位法向量为 n P
假设在S上给定了一个向量函数 F x, y, z ,
在 Si 上任取一点 Mi i ,i , i , 作和式
v
A
(2) 设稳定流动的不可压缩流体 (假定密度为1)
v ( x , y , z ) P ( x , y , z )i + Q ( x , y , z ) j + R ( x , y , z ) k
给出. S是速度场中的一片有向曲面, 函数
的速度场由
P ( x , y , z ), Q ( x , y , z ), R ( x , y , z )z
i 1
i 1 n
n
+ R( i , i , i ) cos i ]Si
[ P ( i , i , i )( Si ) yz + Q ( i , i , i )( Si ) xz
i 1 n
+ R( i , i , i )( Si ) xy
3.取极限
vi ni Si
通过si 流向指定侧的流量的近似值为
i=1,2,,n
m vi ni Si
i 1 n
2. 求和
通过S流向指定侧的流量
m vi ni Si
[ P ( i , i , i ) cos i + Q ( i , i , i ) cos i
S
S
其中
k1 , k2
为任意常数．
3 F dS F dS + F dS .
S S1 S2
其中
S 由互不重叠的两个曲面 S1 , S2 组成．
3. 第二Leabharlann 曲面积分的计算 第二型曲面积分可表示成第一型曲面积分的形式 和坐标的形式
n z
都在S上连续 , 求在单位
时间内流向S指定侧的流 体的质量 .
x
S
o
y
1. 分割 把曲面S分成
n 小块 Si
( Si 同时也代表 第 i 小块曲面的面积 ),
Si上任取一点 i ,i , i ,
在 则该点流速为
z
S i
ni
vi
( i , i , i )
vi
的面积为
则规定
( ) x y , 当cos 0时 ( ) x y , 当cos 0时 当cos 0时 0,
类似可规定
(S ) yz , (S ) zx
2. 第二型曲面积分的概念 实例: 流向曲面一侧的流量. (1) 流速场为常向量v ,有向平面区域 A, 求单位 (假定密度为 1). 时间流过 A 的流体的质量
S
o x
y
法向量为 ni .
vi v(i ,i , i )
P(i ,i , i )i + Q( i ,i , i ) j + R(i ,i , i )k ,
该点处曲面S的单位法向量
ni cosi i + cos i j + cos i k
8-5 第二型曲面积分 1. 双侧曲面 1.双侧曲面; 曲面的分类:
典 型 双 侧 曲 面
2.单侧曲面.
n
动点在双侧曲面上连续移动(不跨越曲面的边 界)并返回到起始点时,其法向量的指向不变.
• 曲面分类
双侧曲面
单侧曲面
曲面分上侧和下侧
曲面分左侧和右侧
曲面分内侧和外侧
典型单侧曲面: 莫比乌斯带
F x, y, z 在Ｓ所指
则称此极限为向量函数 定一侧上的第二型曲面积分，也称为对坐标的曲 面积分
F x, y, z n x, y, z dS
F x, y, z dS
S
或
S
dS n x, y, z dS
第二型曲面积分的性质
若单位法向量
n 的方向余弦为
o x
ds
z f ( x, y)
S
y
dS xy
cos x, y, z ,cos x, y, z ,cos x, y, z , cos dS 为dS 在 xOy 平面上的有向投影面积.
dS xy dxdy
dxdy cos dS
.
0 得到流量 m 的精确值 n m lim vi ni Si
0
i 1
设 ni (cos i , cos i , cos i )
,则
P(i ,i , i ) cos i m lim 0 i 1
+ Q(i ,i , i ) cos i
(上正下负)
0, 当0 / 2; 0, 当 / 2 ;
莫比乌斯带
• 指定了侧的曲面叫有向曲面, 其方向用法向量指向 表示 : 方向余弦
侧的规定
cos
cos
cos
封闭曲面
外侧 内侧
> 0 为前侧 > 0 为右侧 > 0 为上侧
< 0 为后侧 < 0 为左侧 < 0 为下侧
• 设 为有向曲面, 其面元 S 在 xOy 面上的投影记为
(S ) x y , (S ) x y
i 1
将S分割成n个不相重叠的小曲面片 Si i 1,2,, n ,
F i ,i , i n i ,i , i Si ,
n
令 是 Si 中直径的最大者
若和式对Ｓ的任意一种分割及中间点
i ,i , i
的任意的选取，当
0 时总有极限，
1 F ndS F ndS ,
S+ S
其中 S 与 (2)若积分
+
S 为同一个曲面的两个相反的定向. F dS F dS 与 存在, 则 2 1
S
S
S
k1F1 + k2 F2 dS k1 F1 dS + k2 F2 dS ,