高等数学第二型曲面积分

的面积为
则规定
( ) x y , 当cos 0时 ( ) x y , 当cos 0时 当cos 0时 0,
类似可规定
(S ) yz , (S ) zx
2. 第二型曲面积分的概念 实例: 流向曲面一侧的流量. (1) 流速场为常向量v ,有向平面区域 A, 求单位 (假定密度为 1). 时间流过 A 的流体的质量
若单位法向量
n 的方向余弦为
o x
ds
z f ( x, y)
S
y
dS xy
cos x, y, z ,cos x, y, z ,cos x, y, z , cos dS 为dS 在 xOy 平面上的有向投影面积.
dS xy dxdy
dxdy cos dS
1 F ndS F ndS ,
S+ S
其中 S 与 (2)若积分
+
S 为同一个曲面的两个相反的定向. F dS F dS 与 存在, 则 2 1
S
S


S
k1F1 + k2 F2 dS k1 F1 dS + k2 F2 dS ,
8-5 第二型曲面积分 1. 双侧曲面 1.双侧曲面; 曲面的分类:
典 型 双 侧 曲 面
2.单侧曲面.
n
动点在双侧曲面上连续移动(不跨越曲面的边 界)并返回到起始点时,其法向量的指向不变.
• 曲面分类
双侧曲面
单侧曲面
曲面分上侧和下侧
曲面分左侧和右侧
曲面分内侧和外侧
典型单侧曲面: 莫比乌斯带
莫比乌斯带
ห้องสมุดไป่ตู้
• 指定了侧的曲面叫有向曲面, 其方向用法向量指向 表示 : 方向余弦
侧的规定
cos
cos
cos
封闭曲面
外侧 内侧
> 0 为前侧 > 0 为右侧 > 0 为上侧
< 0 为后侧 < 0 为左侧 < 0 为下侧
• 设 为有向曲面, 其面元 S 在 xOy 面上的投影记为
(S ) x y , (S ) x y
(上正下负)
0, 当0 / 2; 0, 当 / 2 ;
S
o x
y
法向量为 ni .
vi v(i ,i , i )
P(i ,i , i )i + Q( i ,i , i ) j + R(i ,i , i )k ,
该点处曲面S的单位法向量
ni cosi i + cos i j + cos i k
F x, y, z 在Ｓ所指
则称此极限为向量函数 定一侧上的第二型曲面积分，也称为对坐标的曲 面积分
F x, y, z n x, y, z dS
F x, y, z dS
S
或
S

dS n x, y, z dS

第二型曲面积分的性质
+ R(i ,i , i ) cos i Si
n
lim
n
0 i 1
第二型曲面积分的定义 设S是一个分片光滑的双侧曲面, 在S上选定了一侧, 记选定一侧的单位法向量为 n P
假设在S上给定了一个向量函数 F x, y, z ,
在 Si 上任取一点 Mi i ,i , i , 作和式
i 1
将S分割成n个不相重叠的小曲面片 Si i 1,2,, n ,
F i ,i , i n i ,i , i Si ,
n
令 是 Si 中直径的最大者
若和式对Ｓ的任意一种分割及中间点
i ,i , i
的任意的选取，当
0 时总有极限，
vi ni Si
通过si 流向指定侧的流量的近似值为
i=1,2,,n
m vi ni Si
i 1 n
2. 求和
通过S流向指定侧的流量
m vi ni Si
[ P ( i , i , i ) cos i + Q ( i , i , i ) cos i
.
0 得到流量 m 的精确值 n m lim vi ni Si
0
i 1
设 ni (cos i , cos i , cos i )
,则
P(i ,i , i ) cos i m lim 0 i 1
+ Q(i ,i , i ) cos i
v

A
(2) 设稳定流动的不可压缩流体 (假定密度为1)
v ( x , y , z ) P ( x , y , z )i + Q ( x , y , z ) j + R ( x , y , z ) k
给出. S是速度场中的一片有向曲面, 函数
的速度场由
P ( x , y , z ), Q ( x , y , z ), R ( x , y , z )z
都在S上连续 , 求在单位
时间内流向S指定侧的流 体的质量 .
x
S
o
y
1. 分割 把曲面S分成
n 小块 Si
( Si 同时也代表 第 i 小块曲面的面积 ),
Si上任取一点 i ,i , i ,
在 则该点流速为
z
S i
ni
vi
( i , i , i )
vi

S
S
其中
k1 , k2
为任意常数．
3 F dS F dS + F dS .
S S1 S2
其中
S 由互不重叠的两个曲面 S1 , S2 组成．
3. 第二型曲面积分的计算 第二型曲面积分可表示成第一型曲面积分的形式 和坐标的形式
n z
i 1
i 1 n
n
+ R( i , i , i ) cos i ]Si
[ P ( i , i , i )( Si ) yz + Q ( i , i , i )( Si ) xz
i 1 n
+ R( i , i , i )( Si ) xy
3.取极限