数学中考专题6线段最值问题
2020年中考数学(线段路径)最值问题解法分类(10种)及试题精练(PDF版带答案)
中考数学专题:线段/路径最值问题线段最值问题解法分类一、定点到定点⇒连线段点P在直线l上，AP+BP何时最小？二、定点到定线⇒作垂线点P在直线l上，AP何时最小？三、定点到定圆⇒连心线点P在圆O上，AP何时最小？线段最值问题一般转化为上述三个问题.例题赏析：1.如图，∠AOB=30°，点M、N分别是射线OA、OB上的动点，OP平分∠AOB，且OP=6，当△PMN 的周长最小值为．思路：把点P分别沿OA、OB翻折得P1、P2，周长即为P1M+MN+P2N，转化为求P1、P2两点之间最小值，得△PMN最小值为P1P2＝OP＝6.2.如图，在锐角△ABC中，AB=4，∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是．思路：点N沿AD翻折至AC上，BM+MN＝BM+MN'，转化为求点B到直线AC的连线最小值，即BN'⊥AC时，最小值为2√2.3.如图，矩形ABCD中，AB=2，BC=3，以A为圆心、1为半径画圆，E是⊙A上一动点，F是BC 上的一动点，则FE+FD的最小值是．思路：点D沿BC翻折至D'，DF+EF＝D'F+EF，转化为求点D'到圆A上各点的最小距离，易求D'E＝4.4.抛物线y=3/5x2-18/5x+3与直线y=3/5x+3相交于A、B两点，点M是线段AB上的动点，直线PM∥y轴，交抛物线于点N．在点M运动过程中，求出MN的最大值.思路：设M（m，3/5m2-18/5m+3），N（m，3/5m+3），用函数关系式表示MN=（3/5m+3）-（3/5m2-18/5m+3）=21/5m-3/5m2，求得最大值即可.5.在菱形ABCD中，对角线AC=8，BD=6，点E、F分别是边 AB、BC的中点，点P在AC上运动，在运动过程中，存在PE+PF 的最小值，则这个最小值是思路：点E沿AC翻折，转化为点到点的距离.（将军饮马问题实质就是通过翻折转化为定点到定点的问题）6.如图，∠MON=90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM，ON上，当B在边ON上运动时，A随之在边OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=2，BC=1，运动过程中，点D到点O 的最大距离为 .思路：取AB中点E，连接DE、OE，由两点间线段最短，得OD≤OE+DE，最大为1+√2.7.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，BC=3，P是AB边上的动点（不与点B重合），将△BCP 沿CP所在的直线翻折，得到△B′CP，连接B′A，则B′A长度的最小值是简解：B'点运动路径为以C为圆心，BC为半径的圆弧，转化为点到圆的最短距离AC-B'C=1.8.如图，正方形ABCD的边长为1，中心为点O，有一边长大小不定的正六边形EFGHIJ绕点O可任意旋转，在旋转过程中，这个正六边形始终在正方形ABCD内（包括正方形的边），当这个六边形的边长最大时，AE的最小值为 .思路：正六边形最大半径为1/2，与正方形中心重合，E点运动路径为圆，转化为求点到圆的最短距离，如下图.9.在⊙O中，圆的半径为6，∠B=30°，AC是⊙O的切线，则CD的最小值是 .思路：D是定点，C是直线AC上的动点，转化为求点到线的最短距离.10.在△ABC中，AB=AC=5，cos∠ABC=3/5，将△ABC绕点C顺时针旋转，得到△A'B'C，点E是BC上的中点，点F为线段AB上的动点，在△A'B'C绕点C顺时针旋转过程中，点F的对应点是F'，求线段EF'长度的最大值与最小值的差.思路：先确定线段A'B'的运动轨迹是圆环，外圆半径为BC，内圆半径为AB边上的高，F'是A'B'上任意一点，因此F'的运动轨迹是圆环内的任意一点，由此转化为点E到圆环的最短和最长距离.E到圆环的最短距离为EF2=CF2-CE=4.8-3=1.8，E到圆环的最长距离为EF1=EC+CF1=3+6=9，其差为7.2.问：何时需要作辅助线翻折其中的定点（定线或定圆）？答：当动点所在直线不在定点（定线或定圆）之间时，需把定点（定线或定圆）沿动点所在直线翻折以使定点（定线或定圆）处于动点所在直线的两侧，从而便于连接相关线段或作垂线与动点所在直线找到交点.如上述例3，动点F所在直线不在定圆A和定点D之间，因而需把D点沿BC翻折至D'，即可转化为定点D'到定圆A的最短距离，另外亦可把圆A沿BC翻折至另一侧，同样可以转化为定点D到定圆A'的最短距离，如下图.关键方法：动中求定，动点化定线；以定制动，定点翻两边.（1）动中求定，动点化定线：如例7、例8、例10，动点所在路径未画出时需先画出动点所在轨迹，一般动点所在轨迹为线或圆.（2）以定制动，定点翻两边：如例1、例2、例3、例5，定点（线或圆）在动点所在直线同侧时需翻折至两侧，转化为上述三种关系.练1、如图，已知直线112y x =+与y 轴交于点A ，与x 轴交于点D ，抛物线212y x bx c =++与直线交于A 、E 两点，与x 轴交于B 、C 两点，且B 点坐标为 (1，0)。
人教版数学九年级上册专题6 最值问题-课件
数学
1．如图，MN 是⊙O 的直径，MN＝4，点 A 在⊙O 上， ∠AMN＝30°，B 为A︵N的中点，P 是直径 MN 上一动点． (1)利用尺规作图，确定当 PA＋PB 最小时点的位置 (不写作法，但要保留作图痕迹)； (2)求 PA＋PB 的最小值．
【解析】A，B的位置与直线MN有什么关系？根据这种关系最小值是一 个什么模型？如何作图？
将点 C(－3，2)，D′(0，－2)代入，解得k＝－43， b＝－2，
∴直线 CD′的解析式为 y＝－43x－2. 令 y＝0，解得 x＝－32，∴点 P 的坐标为(－32，0)
3．(原创题) 已知菱形 OABC 在平面直角坐标系的位置如图所示， 顶点 A(5，0)，OB＝4 5，点 P 是对角线 OB 上的一个动点， D(0，1)，当 CP＋DP 最短时，求点 P 的坐标．
解方程组yy＝＝43－x－34x324－，49x＋3，得xy11＝＝10，或yx22＝＝－－952，，
∴点 M 的坐标为(1，0)或(－5，－92)时， |PM－AM|的值最大，最大值为 5
6．如图，透明的圆柱形容器(容器厚度忽略不计)的高为12 cm，底面周长 为10 cm，在容器内壁离容器底部3 cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁 正好在容器外壁，且离容器上沿3 cm与饭粒相对的点A处，求蚂蚁吃到饭 粒需爬行的最短路径． 【解析】将容器侧面展开，建立A关于EF的对称点A′，根据两点之间线段 最短可知A′B的长度即为所求．
解：(1)设抛物线的解析式为 y＝ax2＋bx＋c， 将 A(1，0)，B(0，3)，C(－4，0)代入， 解得 a＝－34，b＝－94，c＝3，∴y＝－34x2－94x＋3
(2)设直线 PA 的解析式为 y＝kx＋b(k≠0)，将 A(1，0)，P(5，3)代入解得 k＝34，
2020年重庆中考复习数学课件 “线段最值问题”漫谈(56张PPT)
y
B
M1
O
点M1为最值点， P1D1为所求线段 M
x
D1
H
P1
P
D C
“阿氏圆”问题
【问题背景】阿氏圆又称阿波罗尼斯圆，已知平面上两点 A、B， 则所有满足PA/PB=k（k≠1）的点 P 的轨迹是一个圆，这个轨迹 最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿波罗尼斯圆”简称 “阿氏圆”.如下图所示，其中PA：PB＝OP：OB＝OA：OP＝k.
小伙子从A走到P，然后从P折往B，可望最早到达B。
问 题 ： 若 在 驿 道 上 行 走 的 速 度 为 v1=8km/h ， 在 沙 地 上 行 走 的 速 度 为
v2=4km/h.（1）小伙子回家需要的时间可表示为 （2）点P选择在何处他回家的时间最短？
AP P; B
84
1 4
1 2
PA
PB
PA最长 PB最短
⑦圆圆之间，连心线截距最短（长）
基本图形
E
A
O
C
B DM
F
结论
AB最长 CD最短
解决策略
复杂的几何最值问题都是在基本图形的基础上进行变式 得到的，在解决这一类问题的时候，常常需要通过几何变换 进行转化，逐渐转化为“基本图形”，再运用“基本图形” 的知识解决。常运用的典型几何变换有： （1）平移------“架桥选址” （2）翻折------“将军饮马“ （3）旋转------“费马点问题“ （4）相似------“阿氏圆问题“ （5）三角------“胡不归问题“ （6）多变换综合运用
解题要点：
将定点沿定长方向平移
定长距离 将军饮马
B1
B1
架桥选址类
【例20】如图，在矩形ABCD中，AB＝ 3 ，BC＝1，将△ABD
初中数学线段最值问题解题技巧
初中数学线段最值问题解题技巧（最新版4篇）目录（篇1）1.线段最值问题的定义和特点2.解题思路和方法3.具体解题步骤和技巧正文（篇1）一、线段最值问题的定义和特点线段最值问题是指在已知线段长度范围内，求取最大或最小值的问题。
此类问题在数学中较为常见，尤其是在几何学和代数中的应用广泛。
其特点在于，通常需要结合线段长度、角度、边长等几何要素进行求解。
二、解题思路和方法1.转化：将问题转化为具体几何模型或代数方程。
2.寻找最大值点：通过观察线段或几何图形，找到最大值点。
3.应用数学知识：利用数学知识求解最大值，如三角函数、勾股定理等。
4.运用数学公式：运用特定数学公式，如辅助线公式、几何倍增等，来寻找最大值。
三、具体解题步骤和技巧1.分析问题：首先需要认真阅读问题，理解问题的要求。
2.构建模型：根据问题建立几何模型或代数方程。
3.寻找最大值点：根据题目中的条件，找到最大值点。
这可能需要对几何图形或代数方程进行深入分析。
4.应用数学知识：使用所学的数学知识求解最大值，例如：三角函数、勾股定理等。
5.验证结果：验证所求得的解是否符合题目要求，必要时进行修正。
总之，解决线段最值问题需要灵活运用数学知识，同时注意分析问题、建立模型、寻找最大值点和应用数学知识等多个步骤。
目录（篇2）一、初中数学线段最值问题解题技巧概述1.解题技巧简介2.解题技巧的应用范围和优势3.解题技巧的适用条件和限制二、初中数学线段最值问题解题技巧详解1.寻找临界点法2.构造辅助线法3.转化角度法4.函数思想法三、初中数学线段最值问题解题技巧的实际应用案例1.题目类型：线段和的最值问题2.题目类型：线段长的最值问题3.题目类型：线段差的的最值问题4.题目类型：三角形中的最值问题正文（篇2）初中数学线段最值问题解题技巧是解决线段相关问题的有效工具。
它通过寻找临界点、构造辅助线、转化角度以及运用函数思想等方法，将复杂的问题简单化，从而快速准确地求解。
人教版中考数学总复习微专题六 几何最值问题 模型三 线段和差——造桥选址
微专题六 几何最值问题
目录
01 基本模型 02 针对训练 03 针对巩固
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基本模型
图示
问题概述：A，B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥 MN．桥造在何处才能使从A到B的路径AMNB最短？（假定河的 模型总结 两岸是平行的直线，桥要与河垂直） 解决方法：过点B作BB′⊥l2，且BB′等于河宽，连接AB′交 l1于点M，作MN⊥l1交l2于点N，则MN就是桥所在的位置
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谢谢
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针对训练 例3 如图W－6－5，已知直线a∥b，且a与b之间的距离为4， 点A到直线a的距离为2，点B到直线b的距离为3，试在直线a上 找一点C，直线b上找一点D，满足CD⊥a，AC+CD+DB的长度和 最短，且AC+DB＝8．求AB的长度.
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解：如答图W－6－5，过点A作AE⊥a，使得线段AE＝4，连接 EB交直线b于点D，过点D作DC⊥b交直线a于点C，连接AC，过 点B作BF⊥AE交AE的延长线于点F． ∵CD＝AE＝4，CD∥AE， ∴四边形AEDC是平行四边形. ∴AC＝ED. ∴AC+CD+BD＝ED+BD+CD＝BE+CD， 此时AC+CD+DB的值最小. 由题意，得AF＝2+4+3＝9，EF＝9－4＝5，BE＝AC+BD＝8. ∴BF＝ BE2－EF2＝ 82－52＝ 39， ∴AB＝ BF2 + AF2＝ 39 + 81＝2 3至点A′，使得AA′＝35 m，连 接A′B，交公路b于点D，过点D作CD⊥公路a于点C，连接AC， BD，过点B作BF⊥AA′，交AA′的延长线于点H. 则天桥建在CD处能使由A经过天桥走到B的路程最短，最短路 线的长为AC+CD+DB＝A′B+CD. 由题意，得AB＝100，AH＝20+25+35＝80， A′H＝80－35＝45. ∴BH＝ AB2－AH2＝ 1002－802＝60. ∴A′B＝ BH2 + A′H2＝ 602 + 452＝75. ∴这个最短距离为A′B+CD＝75+35＝110(m)．
专题六 几何最值问题-中考二轮专题复习(原卷版)(全国适用)
专题六几何最值问题一、最短路径问题例题（2022·全国·八年级）如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝6，AC＝8，点P为AC边上的一个动点，过点P作PD⊥AB于点D，求PB+PD的最小值．请在横线上补充其推理过程或理由．练习题1．（2020·山东·东营市实验中学三模）如图，正方形ABCD的边长为8，点M在DC上且DM＝2，N是AC上的一动点，则DN＋MN的最小值是______．2．（2022·广西·上思县教育科学研究所八年级期末）如图，正△ABC的边长为2，过点B的直线l⊥AB，且△ABC与△A′BC′关于直线l对称，D为线段BC′上一动点，则AD+CD的最小值是_____．3．（2022·甘肃庆阳·八年级期末）如图，在等边△ABC中，E为AC边的中点，AD垂直平分BC，P是AD上的动点．若AD=6，则EP+CP的最小值为_______________．4．（2021·贵州·峰林学校八年级期中）如图，方格图中每个小正方形的边长为1，点A，B，C都是格点．（1）画出△ABC关于直线MN对称的△A1B1C1．（2）若B为坐标原点，请写出A1、B1、C1的坐标，并直接写出AA1的长度．．（3）如图2，A，C是直线同侧固定的点，D是直线MN上的一个动点，在直线MN上画出点D，使AD+DC最小．（保留作图痕迹）5．（2022·湖南师大附中博才实验中学九年级开学考试）如果有一条直线经过三角形的某个顶点，将三角形分成两个三角形，其中一个三角形与原三角形相似，则称该直线为三角形的“自相似分割线”．如图1，在△ABC中，AB=AC=1，∠BAC=108°，DE垂直平分AB，且交BC于点D，连接AD．(1)证明直线AD是△ABC的自相似分割线；(2)如图2，点P为直线DE上一点，当点P运动到什么位置时，P A+PC的值最小？求此时P A+PC的长度．(3)如图3，射线CF平分∠ACB，点Q为射线CF上一点，当AQ+√5−1CQ取最小值时，求4∠QAC的正弦值．6．（2021·江苏·南京郑和外国语学校九年级期中）问题情境：如图1，P是⊙O外的一点，直线PO分别交⊙O于点A，B，则P A是点P到⊙O上的点的最短距离．（1）探究证明：如图2，在⊙O上任取一点C（不与点A，B重合），连接PC，OC．求证：P A＜PC．（2）直接应用：如图3，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝3，以BC为直径的半圆交AB于D，P是弧CD上的一个动点，连接AP，则AP的最小值是．（3）构造运用：如图4，在边长为2的菱形ABCD中，∠A＝60°，M是AD边的中点，N 是AB边上一动点，将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A1MN，连接A1B，则A1B长度的最小值为．（4）综合应用：如图5，平面直角坐标系中，分别以点A（﹣2，3），B（4，5）为圆心，以1，2为半径作⊙A，⊙B，M，N分别是⊙A，⊙B上的动点，P为x轴上的动点，直接写出PM+PN的最小值为．二、线段最值问题例题在锐角△ABC中，AB=4，BC=5，∠ACB=45°，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转，得到△A1BC1．（1）如图1，当点C1在线段CA的延长线上时，求∠CC1A1的度数；（2）如图2，连接AA1，CC1．若△ABA1的面积为4，求△CBC1的面积；（3）如图3，点E为线段AB中点，点P是线段AC上的动点，在△ABC绕点B按逆时针方向旋转过程中，点P的对应点是点P1，求线段EP1长度的最大值与最小值．练习题1．（2021·广东·铁一中学九年级期中）如图，⊙M 的半径为2，圆心M 的坐标为（3，4），点P 是⊙M 上的任意一点，P A ⊥PB ，且P A 、PB 与x 轴分别交于A 、B 两点，若点A 、点B 关于原点O 对称，则AB 的最小值为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．62．（2019·广西玉林·中考真题）如图，在Rt ABC ∆中，90︒∠=C ，4AC =，3BC =，点O 是AB 的三等分点，半圆O 与AC 相切，M ，N 分别是BC 与半圆弧上的动点，则MN 的最小值和最大值之和是（ ）A ．5B ．6C ．7D ．83．（2021·四川师范大学附属中学九年级阶段练习）如图，矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝3，点E ，F 分别在边AB ，边BC 上运动，点G 在矩形内，且DG ⊥CG ，EF ⊥FG ，FG ：EF ＝1：2，则线段GF 的最小值为_______．4．（2021·全国·九年级专题练习）如图，正方形ABCD 的边长为4，E 为BC 上一点，且BE ＝1，F 为AB 边上的一个动点，连接EF ，以EF 为边向右侧作等边△EFG ，连接CG ，则CG 的最小值为______．5．（2021·全国·九年级专题练习）在边长为2的菱形ABCD 中，∠A ＝60°，M 是AD 边的中点，若线段MA 绕点M 旋转得线段MA ′．（1）如图①，线段MA '的长＝___．（2）如图②，连接A 'C ，则A 'C 长度的最小值是___．6．（2020·江苏扬州·中考真题）如图，在ABCD Y 中，60B ∠=︒，10AB =，8BC =，点E 为边AB 上的一个动点，连接ED 并延长至点F ，使得14DF DE =，以EC 、EF 为邻边构造EFGC Y ，连接EG ，则EG 的最小值为________．三、周长、面积最值问题例题（2021·云南昭通·八年级期中）如图，在ABC V 中，已知AB AC =，AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交AC 于点E ，连接BE ．（1）若68ABC ∠=︒，求AED ∠的度数；（2）若点P 为直线DE 上一点，8,6AB BC ==，求PBC V 周长的最小值．练习题1．（2021·陕西·西安交通大学附属中学航天学校八年级阶段练习）如图，凸四边形ABCD 中，90,90,60,3,3A C D AD AB ∠=︒∠=︒∠=︒==M 、N 分别为边,CD AD 上的动点，则BMN △的周长最小值为（ ）A．26B．36C．6D．32．（2021·河南省直辖县级单位·八年级期末）如图，在直角坐标系中，点A（2，2），C（4，4）是第一象限角平分线上的两点，点B的纵坐标为2，且BA＝CB，在y轴上取一点D，连接AB，BC，AD，CD，使得四边形ABCD的周长最小，则这个周长的最小值为____．3．（2021·全国·九年级专题练习）如图，∠AOB＝45°，角内有一点P，PO＝10，在角两边上有两点Q、R（均不同于点O），则△PQR的周长最小值是____；当△PQR周长最小时，∠QPR的度数＝__．4．（2021·湖北武汉·八年级期中）如图，将△ABC沿AD折叠使得顶点C恰好落在AB边上的点M处，D在BC上，点P在线段AD上移动，若AC＝6，CD＝3，BD＝7，则△PMB周长的最小值为___．5．（2021·云南红河·八年级期末）在平面直角坐标系中，矩形纸片AOBC按如图方法放置，点A、B分别在y轴和x轴上，已知OA=2，OB=4，点D在边AC上，且AD=1．解答下列问题．（1）点C 的坐标为 _______；（2）在x 轴上有一点E ，使得△CDE 的周长最短，求出点E 的坐标及直线CE 的解析式． （3）在平面直角坐标系内是否存在点P ，使得以C 、D 、P 、E 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．6．（2021·山东·日照市田家炳实验中学一模）如图，已知抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）过原点O 和点A (3，﹣3)，F (1，34)是该抛物线对称轴上的一个定点，过y 轴上的点B (0，54)作y 轴的垂线l ．（1）求抛物线的解析式；（2）点P (m ，n )是抛物线上的任意一点，过点P 作直线l 的垂线，垂足为M ．求证：点P 在线段FM 的垂直平分线上；（3）点E 为线段OA 的中点，在抛物线上是否存在点Q ，使V QEF 周长最小？若存在，求点Q 的坐标和V QEF 周长的最小值；若不存在，请说明理由．7．（2021·重庆市万盛经济技术开发区溱州中学九年级阶段练习）已知如图，在ABCD Y 中，点E 是AD 边上一点，连接,,,BE CE BE CE BE CE =⊥，点F 是EC 上一动点，连接BF ． （1）如图1，当BF AB ⊥时，连接DF ，延长,BE CD 交于点K ，求证：FD DK =； （2）如图2，以BF 为直角边作等腰,90Rt FBG FBG ∠=︒△，连接GE ，若2,5DE CD =当点F 在运动过程中，求BEG V 周长的最小值．8．（2022·广东广州·八年级期末）在长方形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝8，点P 、Q 为BC 边上的两个动点（点P 位于点Q 的左侧，P 、Q 均不与顶点重合），PQ ＝2(1)如图①，若点E 为CD 边上的中点，当Q 移动到BC 边上的中点时，求证：AP ＝QE ；(2)如图②，若点E 为CD 边上的中点，在PQ 的移动过程中，若四边形APQE 的周长最小时，求BP 的长；(3)如图③，若M 、N 分别为AD 边和CD 边上的两个动点（M 、N 均不与顶点重合），当BP ＝3，且四边形PQNM 的周长最小时，求此时四边形PQNM 的面积．9．（2021·湖北·沙市中学九年级阶段练习）如图，抛物线26y ax bx =+−交x 轴于(2,0),(6,0)A B −两点，交y 轴于点C (0,6)−，点Q 为线段BC 上的动点．（1）求抛物线的解析式；（2）求QA QO +的最小值；（3）过点Q 作QP AC P 交抛物线的第四象限部分于点P ，连接,PA PB ，记PAQ △与PBQ △的面积分别为12,S S ，设12S S S =+，当S 最大时，求点P 的坐标，并求S 的最大值．四、隐形圆问题例题（2021·全国·九年级专题练习）如图，在矩形ABCD 中，AB ＝6，AD ＝8，点E ，F 分别是边CD ，BC 上的动点，且∠AFE ＝90°（1）证明：△ABF ∽△FCE ；（2）当DE 取何值时，∠AED 最大．练习题1．（2021·山东济南·二模）如图，菱形ABCD 的边AB =8，∠B =60°，BP =3，Q 是CD 边上一动点，将梯形APQD 沿直线PQ 折叠，A 的对应点为A ′．当CA ′的长度最小时，CQ 的长为（ ）A ．5B ．7C ．8D ．6.52．（2021·全国·九年级课时练习）如图，在Rt ABC ∆中，ACB Rt ∠=∠，8AC =cm ，3BC =cm ．D 是BC 边上的一个动点，连接AD ，过点C 作CE AD ⊥于E ，连接BE ，在点D 变化的过程中，线段BE 的最小值是（ ）A ．1B 3C ．2D 53．（2022·湖北荆州·九年级期末）如图，长方形ABCD 中，23AB =BC =2，点E 是DC 边上的动点，现将△BEC 沿直线BE 折叠，使点C 落在点F 处，则点D 到点F 的最短距离为________．4．（2022·重庆·一模）如图，已知ABC V ，外心为O ，18BC =，60BAC ∠=︒，分别以AB ，AC 为腰向形外作等腰直角三角形ABD △与ACE V ，连接BE ，CD 交于点P ，则OP 的最小值是______．5．（2021·江苏泰州·九年级期中）如图，在Rt V ABC 中，∠ACB ＝90°，D 为AC 的中点，M 为BD 的中点，将线段AD 绕A 点任意旋转（旋转过程中始终保持点M 为BD 的中点），若AC ＝8，BC ＝6，那么在旋转过程中，线段CM 长度的取值范围是____．6．（2021·山东潍坊·九年级期中）如图，点A ，B 的坐标分别为()4,0A ，()0,4B ，C 为坐标平面内一动点，且2BC =，点M 为线段AC 的中点，连接OM ，当AC 取最大值时，点M 的纵坐标为____．7．（2021·全国·九年级课时练习）如图，AB 是O e 的直径，4AB =，点C 为O e 上一点，60ABC ∠=︒，点P 为O e 上一动点，点D 是AP 的中点，求CD 的最小值．8．（2021·湖北·武汉第三寄宿中学九年级阶段练习）问题背景如图（1），△ABC 为等腰直角三角形，∠BAC ＝90°，直线l 绕着点A 顺时针旋转，过B ，C 两点分别向直线l 作垂线BD ，CE ，垂足为D ，E ，此时△ABD 可以由△CAE 通过旋转变换得到，请写出旋转中心、旋转方向及旋转角的大小（取最小旋转角度）．尝试应用如图（2），△ABC 为等边三角形，直线l 绕着点A 顺时针旋转，D 、E 为直线l 上两点，∠BDA ＝∠AEC ＝60°．△ABD 可以由△CAE 通过旋转变换得到吗？若可以，请指出旋转中心O 的位置并说明理由；拓展创新如图（3）在问题背景的条件下，若AB ＝2，连接DC ，直接写出CD 的长的取值范围．9．（2022·重庆忠县·九年级期末）已知等腰直角ABC ∆与ADE ∆有公共顶点A ，90BAC DAE ︒∠=∠=，8AB AC ==，4AD AE ==．现将ADE ∆绕点A 旋转．(1)如图①，当点B ，A ，D 在同一直线上时，点F 为DE 的中点，求BF 的长；(2)如图②，连接BE ，DC ．点G 为DC 的中点，连接AG 交BE 于点P ，求证：AG BE ⊥；(3)如图③，点F 为DE 的中点，以BF 为直角边构造等腰Rt FBN ∆，连接CN ，在ADE ∆绕点A 旋转过程中，当BN 最小时，直接写出BCN ∆的面积．。
中考数学专题复习-例说线段的最值问题 (共62张)
MA MD 1 AD 1，FDM 60. 2
A
N
B
解答过程：
F M D 3 0 ， F D = 1 M D = 1 .
2
2
FM =MD cos30= 3 . 2
MC = FM 2+CF 2 = 7.
A 'C = M C M A ' = 7 1.
FD
C
M
A‘'
A
N
B
小结：
“关联三角形”的另外两条边尽可能长度已知（或 可求），再利用三角形三边关系求解，线段取得最值时 ，“关联三角形”不存在（三顶点共线）.
解答过程：
连接OC交e O于点P，此时PC最小. 在RtBCO中， Q BC=4，OB=3， OC=5，PC=OC OP=2. 即PC最小值为2.
小结：
此道作业题构造“辅助圆”的突破口在于发现动点与 两定点连线的夹角为确定值；若点P在△ABC外部，则CP 长存在最大值；若∠APB为非直角时，则作△ABP的外接 圆，此时AB为非直径的弦.
'
2
2
2
在 R t C D D '中 ，
C D '= C D 2 D D '2 3 2 4 2 5 , 即 PC PD的 最 小 值 为 5.
小结：
1. 本题从形的角度得到点P的位置，再从数的角度计算 出点P的坐标，进而得到最小值.这正是体现了数形结合 的重要性.
典型例题2：
D
C
M
A‘'
，52
)，B(4，m)两点，点P是线段AB上异于A，B的动点
，过点P作PC⊥x轴于点D，交抛物线于点C.
（1）求抛物线的表达式.
y
人教版九年级数学上知识点巩固与综合运用 专题6 抛物线中与线段有关的最值问题【一题一课】
＝ − ，
＋ = ，
ቊ
解得 ቊ
= .
= ，
∴ y ＝－ x ＋5. 当 x ＝2时， y ＝－2＋5＝3.
∴点 P hank you for watching!
∴ S四边形 ABCN ＝ S△ AON ＋ S△ BOC ＋ S△ CON ＝
2
×3（－ m －2 m ＋3）＋ ×1×3＋ ×3（－ m ）
2
2
＝－ m － m ＋6＝－ （ m ＋ ） ＋ .
∵－ ＜0，
∴当 m ＝－ 时， S四边形 ABCN 取最大值 .
∵0＜ t ＜4，
∴当 t ＝2时， PQ 取最大值，最大值为4，此时点 P
的坐标为（2，6）.
（3）【一题多解】如图②，过点 P 作 PH ⊥直线 AC
于点 H ，当点 P 的坐标为多少时， PH 最大？
【思路1】参数法：利用坐标设参，表示出线段 PH
与 t 之间的函数关系，利用函数的性质解决.
P 的坐标.
解：如图，连接 BC ，
交对称轴于点 P ，
连接 AP ，AC .
∵ AC 长为定值，∴要使△ PAC 的周长最小，只需
PA ＋ PC 最小.
令 y ＝－ x2＋4 x ＋5＝0，解得 x1＝5， x2＝－1.
把 x ＝0代入 y ＝－ x2＋4 x ＋5，得 y ＝5.
∴ A （－1，0）， B （5，0）， C （0，5）.
抛物线于点 N .
（1）求这个二次函数的解析式；
解：（1）∵抛物线的对称轴是直线 x ＝－1，
2017数学中考专题--6-线段最值问题.doc
几何中的最值问题几何中最值问题包括：“面积最值”及“线段（和、差）最值”.求面积的最值，需要将面积表达成函数，借助函数性质结合取值范围求解；求线段及线段和、差的最值，需要借助“垂线段最短”、“两点之间线段最短”及“三角形三边关系”等相关定理转化处理 .常用定理：1、两点之间，线段最短（已知两个定点时）2、垂线段最短（已知一个定点、一条定直线时）3、三角形三边关系（已知两边长固定或其和、差固定时）B AA B'PllPB' BPA+PB 最小，需转化，使点在线异侧|PA- PB|最大，需转化，使点在线同侧4、圆外一点P 与圆心的连线所成的直线与圆的两个交点，离P 最近的点即为P 到圆的最近距离，离P 最远的点即为 P 到圆的最远距离类型一线段和最小值1. 如图，圆柱形玻璃杯，高为12cm，底面周长为18cm，在杯内离杯底4cm 的点 C 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm 与蜂蜜相对的点 A 处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为______cm．AAP D A D 蚂蚁 AM P Q E KC 蜂蜜QOB BC BP CN第1题图第2题图第3题图第4题图2.如图 , 点 P 是∠ AOB内一定点，点 M、 N 分别在边 OA、OB上运动，若∠ AOB=45°， OP=3 2，则△ PMN周长的最小值为.3. 如图，正方形ABCD的边长是 4，∠ DAC的平分线交 DC于点 E，若点 P， Q分别是 AD和 AE 上的动点，则 DQ+PQ的最小值为.4. 如图，在菱形ABCD中， AB=2，∠ A=120°，点 P、 Q、K 分别为线段 BC、 CD、 BD 上的任意一点，则PK+QK的最小值为.5. 如图，当四边形PABN的周长最小时， a = ．6.如图，在平面直角坐标系中，矩形OACB的顶点 O在坐标原点，顶点 A、B 分别在 x 轴、 y 轴的正半轴上， OA=3，OB=4，D 为边 OB的中点 .若E、F为边OA上的两个动点，且EF=2，当四边形CDEF的周长最小时，则点 F 的坐标为.yyB CP(a, 0) N(a+2, 0)O x DB(4,- 1)A(1,- 3) O EF A x第 5题图第 6题图第 7题图变式加深：7、如图 , 正方形 ABCD边长为 2, 当点 A 在 x 轴上运动时 , 点 D 随之在 y 轴上运动 , 在运动过程中 , 点 B到原点 O的最大距离为 ()A. B. C. D.yBPO A x第8题图第9题图第10题图8、如图，∠ MON=90°，矩形 ABCD的顶点 A、B 分别在边O M，ON上，当 B 在边 ON上运动时， A 随之在边OM上运动，矩形 ABCD的形状保持不变，其中AB=2， BC=1，运动过程中，点D到点 O的最大距离为9、如图， E、 F 是正方形ABCD的边 AD上的两个动点，满足AE=DF，连接 CF交 BD于点 G,连接 BE 交 AG与点 H。
初中数学线段最值问题解题技巧
初中数学线段最值问题解题技巧【最新版2篇】目录（篇1）1.线段最值问题的基本概念和类型2.利用垂线段最短解决线段最值问题3.线段最值问题在生活中的应用4.解题技巧和方法总结正文（篇1）初中数学线段最值问题是数学学科中的一个重要内容，它涉及到解析几何、代数方程、数学建模等多个方面，而解决线段最值问题也是初中数学教学中的一个重要环节。
目录（篇2）1.线段最值问题的基本概念和分类2.垂线段最短的定理及证明3.垂线段最短定理在求线段最值问题中的应用4.求线段最值问题的其他解题技巧正文（篇2）初中数学线段最值问题解题技巧一、线段最值问题的基本概念和分类线段最值问题是初中数学中的一个重要题型，主要涉及求解线段的长度问题。
线段最值问题可以分为两类：一类是求线段的最大值，另一类是求线段的最小值。
在解决这类问题时，需要掌握一些基本的几何知识和数学技巧。
二、垂线段最短的定理及证明在解决线段最值问题时，经常会用到垂线段最短的定理。
这个定理的表述如下：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。
为了证明这个定理，我们可以作点 P 关于直线 AB 的对称点 P"，并连接 CP"和 DP"。
然后，通过证明 CP=CP"，DP=DP"，我们可以得出 PP"是所有线段中最短的。
具体证明过程如下：作点 P 关于直线 AB 的对称点 P"，连接 CP"，DP"。
易知 CP=CP"，DP=DP"。
根据连点之间线段最短可得，PP"≤CP"，PP"≤DP"。
所以，PP"是所有线段中最短的。
三、垂线段最短定理在求线段最值问题中的应用1.求线段最值问题中的应用在求线段最值问题时，我们可以利用垂线段最短的定理来解决。
下面通过一个例子来说明：如图，ABC 是等边三角形，边长为 6，点 E 是对称轴 AD 上一点，将点 E 绕点 C 逆时针旋转 60 得到点 F。
中考数学试题研究类型线段最值问题练习
类型3线段最值问题6•问题探究⑴如图①，点M N在直线l异侧，在直线l上找一点P,使P到M N两点的距离之和最短；⑵如图②，点M N在直线I同侧，若MN= 2，点M N到直线I的距离分别为2和1,在直线I上找一点P,使P到M N两点的距离之和最短，求最短距离为多少？问题解决(3)聪聪的爸爸是供电公司的线路设计师，公司准备在输电农田区I上连接一个分支线路，为M N两个村落同时输电•如图③所示，农田区两侧AB与CD平行，且农田区宽为0.5千米，村落M到农田AB—侧的距离为2千米，村落N到农田CD一侧的距离为1千米，两村落M N的连线与农田区I所夹锐角恰好为45°,根据架线要求，当线路通过农田区时，要求线路与农田区垂直.请你帮助聪聪的爸爸设计出最短的分支线路，并根据所画示意图计算出最短线路.(要求：写出计算过程，结果保留根号第6题图两点的距离最短.过点M作M Q I于点Q并延长到点C,使OC= 1,过点N作NF1M（于点F,连接N' C, 根据作图可知四边形NDOf为矩形，即ND= N' D= FO= OC= 1.又••• MQ= 2, MN= 2，贝V MF= MO- FO= 2- 1= 1, MC= MOb OC= 3,••• N C= FN= M N- MF= 22—12= 3 ,••• N'M= MC+ N' C= . 32+（；3）2= 2 3;⑶如解图③，过点M作I的垂线，过点N作I的平行线，两条线交于点Q再在MOk找一点P,使得点P与点O关于I对称，连接PN与农田区CD—侧的交点为点F,过点F作农田区AB—侧的垂线，垂足为E,然后连接MN及ME解：⑴如解图①，连接MN与直线I相交于点P,点P即为所求;第6题解图①(2)如解图②，连接MN作点N关于I的对称点N',连接MN交I于点P,此时P到M N.!/■第6题解图②o第6题解图③根据题意可知在Rt△ MON中, vZ MNQ45°,•••△ MOt为等腰直角三角形，故0M= ON= 3.5千米，结合作图中的对称性，可知PO= 3千米，•MA MO- PO= 3.5 — 3 = 0.5（千米）,又v EF丄I , MC L I，且MP= EF •四边形MPF为平行四边形,•ME= PF,即MB FN+ EF= PN^ EF,•线路M&Ei FN的线路为最短线路.v在Rt △ PON中，PN= ：OP+ ON= ；32 + 3.5 2=亠学（千米），•最短线路长为選口千米.7•问题探究⑴如图①，点M N分别是△ ABC边AB AC上任意一点，在BC边上确定一点P,使得PM+ PN的值最小；⑵ 如图②，点M是边长为2的正方形ABC时角线AC上一动点，点N为CD边的中点，求厶DMN 周长的最小值；问题解决⑶如图③，以矩形OABC勺顶点O为原点，OA所在的直线为x轴，OC所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系. 已知OA= 3, OC= 2,点E是AB边的中点，在OA上取一点D,将厶BDA沿BD翻折，使点A落在BC边上的点当四边形MNF的周长最小时，求出点第7题图解：（1）如解图①，作点M关于BC的对称点M，连接的点;• MH EF+ FN= PN+ EF='85+ 1^"2 （千米）.F处•若M为x轴上任意一点，N为y轴上任意一点,N交BC于点P,则点P就是所求图①图②第7题解图⑵如解图②，连接BD交AC于点0,•••正方形的对角线互相垂直平分，•••点D关于AC的对称点为点B,连接BN交AC于点M连接DM•DMb MN= MBb MN= BN在AC上任取一点M，连接BM、DM、MN,则DM + M N= BM + M N>BN•••点M就是所求的点，•••线段DN的长为定值，•••当DW MN的值最小时△ DM的周长最小，即周长的最小值为BW DN的值.•••正方形ABC啲边长为2, N为DC的中点，•DN= 1, BN=迂 + 12 = ：5,•△ DMN勺周长的最小值为：5+ 1 ;⑶T在矩形0AB(中, 0A= 3, 0C= 2，点E是AB的中点，•••点E坐标为(3 , 1).又•••△ BDA沿BD翻折，使点A落在BC边上的点F处，可知四边形ADFB是正方形，•BF= A* 0C= 2,CF= BC- BF= 3 -2 = 1,••点F的坐标为(1 , 2).如解图③，作点E关于x轴的对称点E,作点F关于y轴的对称点F',连接E' F',分别与x轴、y轴交于点M N,连接FN ME EF,在0C上任取一点N',在0A上任取一点M , 连接F' N'、N M、M E'、FN、EM，贝U EF+ FN + N' M + M E= EF+ F ' N' + N' M + M E' >E ' F '，则取M N点时四边形MNFE勺周长最小.■c F HE1:甘A第7题解图③• E ' (3 , - 1) , F ' ( —1 , 2),设直线E ' F '的解析式为y= kx + b,将点E'、F '的坐标分别代入,3k+ b= —1得—k +b= 2’解得35•••直线E' F'的解析式为y= —-x + -.4455当y= 0时，x=-，故点M的坐标为(-,0),3 35 5当x= 0时，y= 4，故点N的坐标为(0 , 4).•••点E与E关于x轴对称，点F与F'关于y轴对称，••• NF= NF , ME= ME , F' B= 4, E' B= 3.在Rt△ BE F'中，E' F'= BE 2+ BF 2= 32+ 42= 5, •FN+ NW ME= F ' N+ NW ME = F ' E' = 5,在Rt△ BEF中, EF= BE+ BF = 12+ 22= 5,•FN+ NW MEF EF= 5+ .'5 ,•四边形MNF周长的最小值是5 + 5.。
数学中考专题 6 线段最值问题
几何中的最值问题几何中最值问题包括：“面积最值”及“线段（和、差）最值”.求面积的最值，需要将面积表达成函数，借助函数性质结合取值范围求解；求线段及线段和、差的最值，需要借助“垂线段最短”、“两点之间线段最短”及“三角形三边关系”等相关定理转化处理. 常用定理：1、两点之间，线段最短（已知两个定点时）2、垂线段最短（已知一个定点、一条定直线时）3、三角形三边关系（已知两边长固定或其和、差固定时）llBPA+PB 最小，需转化，使点在线异侧 |PA -PB|最大，需转化，使点在线同侧4、圆外一点P 与圆心的连线所成的直线与圆的两个交点，离P 最近的点即为P 到圆的最近距离，离P 最远的点即为P 到圆的最远距离类型一 线段和最小值1. 如图，圆柱形玻璃杯，高为12cm ，底面周长为18cm ，在杯内离杯底4cm 的点C 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm 与蜂蜜相对的点A 处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为______cm ．蜂蜜蚂蚁CNOQP ED CBAQPKDCBA第1题图 第2题图 第3题图 第4题图2.3. 如图，正方形ABCD 的边长是4，∠DAC 的平分线交DC 于点E ，若点P ，Q 分别是AD 和AE 上的动点，则DQ+PQ的最小值为 .4. 如图，在菱形ABCD 中，AB=2，∠A=120°，点P 、Q 、K 分别为线段BC 、CD 、BD 上的任意一点，则PK+QK 的最小值为 .5. 如图，当四边形PABN 的周长最小时，a = ．6. 如图，在平面直角坐标系中，矩形OACB 的顶点O 在坐标原点，顶点A 、B 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，OA=3，OB=4，D 为边OB 的中点. 若E 、F 为边OA 上的两个动点，且EF=2，当四边形CDEF 的周长最小时，则点F 的坐标为 .N (a +2,0)P (a ,0)B (4,-1)A (1,-3)OyxF D CBA xy O E第5题图 第6题图 第7题图变式加深：7、如图,正方形ABCD 边长为2,当点A 在x 轴上运动时,点D 随之在y 轴上运动,在运动过程中,点B 到原点O 的最大距离为() A. B. C. D.第8题图 第9题图第10题图8、如图，∠MON=90°，矩形ABCD 的顶点A 、B 分别在边OM ，ON 上，当B 在边ON 上运动时，A 随之在边OM 上运动，矩形ABCD 的形状保持不变，其中AB=2，BC=1，运动过程中，点D 到点O 的最大距离为9、如图，E 、F 是正方形ABCD 的边AD 上的两个动点，满足AE=DF ，连接CF 交BD 于点G,连接BE 交AG 与点H 。
中考线段最小值问题四种常见解法
方法一：利用几何性质解决问题知识点1：垂线段最短（点到直线的距离，垂线段最短）知识点2：两点之间线段最短（即“将军饮马”问题）知识点3：利用“画圆”来确定动点问题解决最值问题运用画圆解决问题有两种情况：情况1：动点到某一定点的距离是定值（圆上的点到圆心的距离恒等于半径）情况2：动点为90°固定角的顶点（直径所对的圆周角恒定为90°）在中考中最常用的是“知识点2”、“知识点3”方法二：利用代数法直接证明知识点1：利用配方法求三次二项式的最值知识点2：运用二次函数中顶点求最值代数方法较为常见，所以我们本篇暂时不会涉及.接下来，我们来简单看一下每个几何知识点对应的问题知识点1：垂线段最短常出现几何图形问题中，通常在初二会见到，中考中不会涉及。
例：如图，在△ABC中有一点D在AC上移动，若AB=AC=5，BC=6则AD+BD+CD的最小值为_______.分析:题目中问“AD+BD+CD”的最小值，通过图形我们可以知道“AD+CD”是定值，所以问题可以转换为求BD的最小值.那么求BD的最小值即为求一点B到某一直线AC上的最小值，所以可以利用“垂线段最短”的性质来求解.过点B作AC垂线即可解决问题.知识点2：两点之间线段最短这类问题常出现在函数的大题中，考生如果函数知识不过关也不能拿到满分，因为仅作出图形别不能得出答案，还需要利用函数知识进行求点坐标.解题思路：通常做定点关于动点所在直线的对称点（两个动点所在直线就做两个对称点），然后连接对称点与另一点与动点所在直线的交点即为动点位置。
例1.如图，在直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（1，3）和（2，0），点C是y轴上的一个动点，且A、B、C三点不在同一条直线上，当△ABC的周长最小时，点C的坐标是______.分析：典型的“将军饮马”问题。
通过作点B关于y轴的对称点即可解决问题.例2：如图所示，直线y=x+2与两坐标轴分别交于A、B两点，点C 是OB的中点，D、E分别是直线AB、y轴上的动点，则△CDE周长的最小值是_______.分析：本题中存在两个动点，分别是点D、点E所以我们只需要做点C关于直线AB、关于y轴的对称点即可解决问题.知识点3：利用“画圆”来确定动点问题解决最值问题例1：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=6，点D是边BC的中点，点E是边AB上的任意一点（点E不与点B重合），沿DE翻折△DBE使点B落在点F处，连接AF，则线段AF长的最小值是________.分析：由翻折得到，DF=DB=3.所以点F在以点D为圆心以3为半径的圆上.连接A与圆心D，AD与圆的交点即为F'所以AF的最小值是AD-DF'=5-3=2.例2：如图，E，F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE=DF．连接CF交BD于点G，连接BE交AG于点H．若正方形的边长为2，则线段DH长度的最小值是________.分析：根据正方形的性质可得AB=AD=CD，∠BAD=∠CDA，∠ADG=∠CDG，然后利用“边角边”证明△ABE和△DCF全等，根据全等三角形对应角相等可得∠1=∠2，利用“SAS”证明△ADG和△CDG 全等，根据全等三角形对应角相等可得∠2=∠3，从而得到∠1=∠3，然后求出∠AHB=90°.所以点H在以AB为直径的圆上，所以以AB中点为圆心，以AB长的一半为半径画圆，连接D与圆心交点即为点H.所以DH'=OD-OH'中考中常见的求最值方法就是上面所提到的这些。
中考数学几何专项练习：线段和最值问题(解析版)
中考数学几何专项练习：线段和最值问题【答案】855【分析】在Rt ABE 中，时，AP PQ A Q ＝的值最小，进而求得【详解】解：设BE x ，则【详解】【答案】3【分析】过点G 作GH 210GF BE ，推出【详解】解：如图，过点∵四边形ABCD 是正方形，∴AB BC ，A ABC【答案】32/132【分析】作点O关于CD的对称点F在同一直线上，且O F BD时，足为F，交CD于点G，OO 交CD 即可．则GO GO，∵四边形ABCD 为菱形，∴AC BD ，AO CO ，AB BC 1602BAC DAC BAD ，【答案】22【分析】如图，BC的下方作 ，推出AF()ADF TBE SAS【详解】解：如图，BC的下方作∵四边形ABCD 是菱形，ABC 60ADC ABC ，ADF AD BT ∵，30ADF TBE ()ADF TBE SAS ，AF ET ，6030ABT ABC CBT ∵2222222AT AB BT AE AF AE ET ，AE ET AT ∵，22AE AF ，AE AF 的最小值为22，【点睛】本题考查了矩形的性质、勾股定理、直角三角形的性质及最值问题，掌握它们的性质是解决此题关键．【答案】14237【分析】根据题意，将点B沿BC向右平移【点睛】本题主要考查了四边形周长的最小值问题，涉及到含掌握相关轴对称作图方法以及线段长的求解方法是解决本题的关键．12．如图，在菱形ABCD中，过点3【答案】23【分析】将DEF沿直线2l翻折得到是平行四边形，推出证明四边形E JMN,∵∥AB MN60,ABC NMC∵ACB MCD60,DCM NMD,∵∥DN CM,∴四边形CDNM是等腰梯形，【答案】29【分析】过C 作CF AC 于F ，使CF 2BE CD BE EF BF ，即最小值为【详解】方法一：过C 作CF AC 于F ∵2CE AD ，∴2CE CF AD AC，∵90DAC FAC ，∴DAC ECF ，∴2CE CF EF AD AC CD，即2EF CD ，∴2BE CD BE EF BF ，∴当B E F 、、三点共线时2BE CD 有最小值，最小值为BF 的长∴ 2222221BE AE AB x，CD 设22y BE CD ，∴ 2222211122y BE CD x x【答案】3【分析】如图，取AB的中点最小值，只要求出DT+BD的最小值即可，作点DT+DB=DT+DL≥LT=3，可得结论．∵∠CAB=30°，∠ACB=90°，∴∠ABC=60°，∵AT=TB，∴CT=AT=TB，∴△BCT是等边三角形，∴∠TBC=∠DBE=60°，【答案】2410 25【分析】如图所示，作点C关于直线时，EF+IE最小，此时点F与点J重合；连接ABC DCE ACB DCE【点睛】本题主要考查了轴对称最短路径问题，相似三角形的性质与判定，已知正切值求边长，勾股定理等等，解题的关键在于能够正确作出辅助线．19．如图，平行四边形ABCD ，AB AD ，4 AD ，60ADB ，点E 、F 为对角线连接AE 、CF ，则2AE CF 的最小值为．【详解】连接AD，CE，∵分别以A，B为旋转中心，把边AC，BA逆时针旋转60°，得到线段AE，BD，∴AB=BD，AE=AC，∠ABD=∠EAC=60°，∴△ABD和△ACE是等边三角形，∴∠DAC=∠EAB=90°+60°=150°，在△ADC和△ABE中∵AB BD DAC EABAE AC，∴△ADC≌△ABE（SAS）∴∠AEB=∠ACD，∵∠APB=120°，∴∠APF=60°，在PE上截取PF=PA，∴△APF是等边三角形，∴∠PAF=60°，∴∠EAF+∠BAP=150°-60°=90°，∠PAC+∠BAP=∠BAC=90°，∴∠EAF=∠PAC，∵AE=AC，∠AEB=∠ACD，∴△AFE≌△APC，∴PC=FE∴AP+BP+CP=PF+BP+FE=BE过点E作EG⊥BA，交BA的延长线于点G，∵∠GAE=180°-150°=30°，【答案】213．【分析】取D(2，-2)，连接CD、DQ，作C得△OCP≌△DCQ，CP=CQ=C′Q，所以当且仅当【点睛】本题考查旋转的性质，含30 角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，两点之间线段最短以及勾股定理等知识，较难．能够想到利用旋转的性质作出复杂的辅助线是解答本题的关键．23．如图，在ABC 中，15A ，2AB ，P 为AC 边上的一个动点（不与22AP PB 的最小值是．【答案】3【分析】以A 为顶点，AC 为一边，在AC 下方作45CAM 是等腰直角三角形的22AD PD AP ，即22AP PB PD由作图可知：ADP △是等腰直角三角形，∴22AD PD AP，∴22AP PB PD PB ，2【答案】33【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，25．如图，在边长为6的等边边形PCDQ面积的最大值为773【点睛】本题考查翻折变换，矩形的性质，轴对称最短问题等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题题型．试卷第41页，共41页资料整理。
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几何中的最值问题几何中最值问题包括：“面积最值”及“线段（和、差）最值”.求面积的最值，需要将面积表达成函数，借助函数性质结合取值范围求解；求线段及线段和、差的最值，需要借助“垂线段最短”、“两点之间线段最短”及“三角形三边关系”等相关定理转化处理. 常用定理：1、两点之间，线段最短（已知两个定点时）2、垂线段最短（已知一个定点、一条定直线时）3、三角形三边关系（已知两边长固定或其和、差固定时）llBPA+PB 最小，需转化，使点在线异侧 |PA -PB|最大，需转化，使点在线同侧4、圆外一点P 与圆心的连线所成的直线与圆的两个交点，离P 最近的点即为P 到圆的最近距离，离P 最远的点即为P 到圆的最远距离类型一 线段和最小值1. 如图，圆柱形玻璃杯，高为12cm ，底面周长为18cm ，在杯内离杯底4cm 的点C 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm 与蜂蜜相对的点A 处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为______cm ．蜂蜜蚂蚁CNOQP ED CBAQPKDCBA第1题图 第2题图 第3题图 第4题图2.3. 如图，正方形ABCD 的边长是4，∠DAC 的平分线交DC 于点E ，若点P ，Q 分别是AD 和AE 上的动点，则DQ+PQ的最小值为 .4. 如图，在菱形ABCD 中，AB=2，∠A=120°，点P 、Q 、K 分别为线段BC 、CD 、BD 上的任意一点，则PK+QK 的最小值为 .5. 如图，当四边形PABN 的周长最小时， a = ．6. 如图，在平面直角坐标系中，矩形OACB 的顶点O 在坐标原点，顶点A 、B 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，OA=3，OB=4，D 为边OB 的中点. 若E 、F 为边OA 上的两个动点，且EF=2，当四边形CDEF 的周长最小时，则点F 的坐标为 .N (a +2,0)P (a ,0)B (4,-1)A (1,-3)OyxF D CBA xy O E第5题图 第6题图 第7题图 变式加深：7、如图,正方形ABCD 边长为2,当点A 在x 轴上运动时,点D 随之在y 轴上运动,在运动过程中,点B 到原点O 的最大距离为() A. B. C. D.第8题图 第9题图 第10题图8、如图，∠MON=90°，矩形ABCD 的顶点A 、B 分别在边OM ，ON 上，当B 在边ON 上运动时，A 随之在边OM 上运动，矩形ABCD 的形状保持不变，其中AB=2，BC=1，运动过程中，点D 到点O 的最大距离为9、如图，E 、F 是正方形ABCD 的边AD 上的两个动点，满足AE=DF ，连接CF 交BD 于点G,连接BE 交AG 与点H 。
若正方形的边长为2，则线段DH 长度的最小值是10、如图，点P 在第一象限，△ABP 是边长为2的等边三角形，当点A 在x 轴的正半轴上运动时，点B 随之在y 轴的正半轴上运动，运动过程中，点P 到原点的最大距离是________.若将△ABP 中边PA 的长度改为22，另两边长度不变，则点P 到原点的最大距离变为_________．ABOPxy类型二 线段差最大值1、如图，两点A 、B 在直线MN 外的同侧，A 到MN 的距离AC=8，B 到MN 的距离BD=5，CD=4，P 在直线MN 上运动，则PA PB -的最大值等于 ．ABC D P MNxOABy第1题图 第2题图 第3题图2、点A 、B 均在由面积为1的相同小矩形组成的网格的格点上，建立平面直角坐标系如图所 示．若P 是x 轴上使得PA PB -的值最大的点，Q 是y 轴上使得QA+QB 的值最小的点，则OP OQ ⋅＝ ．3、如图所示,已知A(1/2,y 1),B(2,y 2)为反比例函数y=1/x 图象上的两点,动点P(x,0)在x 轴正半轴上运动,当线段AP 与线段BP 之差达到最大时,点P 的坐标是 ．4、如下图，一次函数y 1=kx-2与反比例函数y 2=m/x （m < 0）的图象交于A ，B 两点，其中点A 的坐标为（-6，2） （1）求m ，k 的值；（2）点P 为y 轴上的一个动点，当点P 在什么位置时|PA-PB| 的值最大？并求出最大值.yxO BA核心：画曲为直5、已知如图，圆锥的底面圆的半径为1，母线长OA 为2，C 为母线OB 的中点．在圆锥的侧面上，一只蚂蚁从点A 爬行到点C 的最短线路长为 ．6、如图，圆柱底面半径为2cm ，高为9cm π，点A 、B 分别是圆柱两底面圆周上的点，且A 、B 在同一母线上，用一棉线从A 顺着圆柱侧面绕3圈到B ，求棉线最短为 cm 。
7、在锐角三角形ABC 中，BC=24，∠ABC=45°，BD 平分∠ABC ，M 、N 分别是BD 、BC 上的动点，则CM+MN 的最小值是第5题图 第6题图 第7题图O C B A类型三 线段最值1、已知⊙O 是以原点为圆心，2为半径的圆，点P 是直线6y x =-+上的一点，过点P 作⊙O 的一条切线PQ ，Q 为切点，则切线长PQ 的最小值为________2、在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为圆心的圆过点A （13,0），直线y=kx-3k+4与圆O 交于B 、C 两点，则弦BC 的长的最小值为______________.第3题图 第4题图 第5题图3、如图，在△ABC 中，AB=6，AC=8，BC=10，P 为边BC 上一动点，PE ⊥AB 于E ，PF ⊥AC 于F ，M 为EF 中点，则AM 的最小值为_________．4、如图，已知AB=10，P 是线段AB 上任意一点，在AB 的同侧分别以AP 和PB 为边作等边△APC 和等边△BPD ，则CD 长度的最小值为 ．5、如图，在△ABC 中，∠BAC=120°，AB=AC=4，M 、N 两点分别是边AB 、AC 上的动点，将△AMN 沿MN 翻折，A 点的对应点为A ′，连接BA ′，则BA ′的最小值是_________．第6题图 第7题图 第8题图 第9题图6、如图，一副三角板拼在一起，O 为AD 的中点，AB=a ．将△ABO 沿BO 对折于△A ′BO ，点M 为BC 上一动点，则A ′M 的最小值为7、如图，在Rt △ACB 中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，P 、Q 两点分别是边AC 、BC 上的动点，将△PCQ 沿PQ 翻折，C 点的对应点为C'，连接A C'，则A C'的最小值是_________8、如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=4，BC=2，点A 、C 分别在x 轴、y 轴上，当点A 在x 轴上运动时，点C 随之在y 轴上运动，在运动过程中，点B 到原点的最大距离是 .9、如图,△ABC 是以AB 为斜边的直角三角形,AC=4,BC=3,P 为边AB 上一动点,且PE ⊥AC 于点E,PF ⊥BC 于点F,则线段EF 长度的最小值是_____60°A'45°MOCDBAABCE FPM ABCDPA'N MCBAAy xOCBC'CQP BACBADF EP10、如图,正方形ABCD 边长为2,当点A 在x 轴上运动时,点D 随之在y 轴上运动,在运动过程中,点B 到原点O 的最大距离为_______第10题图 第11题图 第11题备用图 11、如图，直角梯形纸片ABCD ，AD ⊥AB ，AB=8，AD=CD=4，点E 、F 分别在线段AB 、AD 上，将△AEF 沿EF 翻折，点A 的落点记为P ．（1）当P 落在线段CD 上时，PD 的取值范围为 ； （2）当P 落在直角梯形ABCD 内部时，PD 的最小值等于 .类型四 圆外点和圆的最值1、动手操作：在矩形纸片ABCD 中，AB =3,AD =5．如图所示，折叠纸片，使点A 落在BC 边上的A ′处，折痕为PQ ，当点A ′在BC 边上移动时，折痕的端点P 、Q 也随之移动．若限定点P 、Q 分别在AB 、AD 边上移动，则点A ′在BC 边上可移动的最大距离为 ． A DCB PQ A'第1题图 第2题图2、如图，菱形ABCD 中，∠A=60°，AB=4，⊙A 、⊙B 的半径分别为2和1，P 、E 、F 分别是边CD 、⊙A 和⊙B 上的动点，则PE+PF 的最小值是 ．A B C D EFPP F E D CB A3、在平面直角坐标系中，对于任意两点与的“非常距离”，给出如下定义：若1212||||x x y y -≥-，则点1P 与点2P 的“非常距离”为12||x x -； 若1212||<||x x y y --，则点1P 与点2P 的“非常距离”为12||y y -． 例如：点1(1,2)P ，点2(3,5)P ，因为|13||25|-<-，所以点1P 与点2P 的“非常距离”为|25|=3-，也就是图1中线段1PQ 与线段2PQ 长度的较大值（点Q 为垂直于y 轴的直线1PQ 与垂直于x 轴的直线2PQ 的交点）． 1）已知点1(,0)2A -，B 为y 轴上的一个动点，①若点A 与点B 的“非常距离”为2，写出一个满足条件的点B 的坐标； ②直接写出点A 与点B 的“非常距离”的最小值；（2）已知C 是直线334y x =+上的一个动点，①如图2，点D 的坐标是（0，1），求点C 与点D 的“非常距离”的最小值及相应的点C 的坐标；②如图3，E 是以原点O 为圆心，1为半径的圆上的一个动点，求点C 与点E 的“非常距离”的最小值及相应的点E 和点C 的坐标4、在平面直角坐标系中，已知抛物线212y x bx c =-++（,b c 为常数）的顶点为P ，等腰直角三角形ABC 的定点A 的坐标为(0,1)-，C 的坐标为(4,3)，直角顶点B 在第四象限. （1）如图，若该抛物线过 A ，B 两点，求该抛物线的函数表达式；（2）平移（1）中的抛物线，使顶点P 在直线AC 上滑动，且与AC 交于另一点Q . i ）若点M 在直线AC 下方，且为平移前（1）中的抛物线上的点，当以M P Q 、、 三点为顶点的三角形是等腰直角三角形时，求出所有符合条件的点M 的坐标； ii ）取BC 的中点N ，连接,NP BQ .试探究PQNP BQ+是否存在最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由.。