几何概率的计算方法
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几何概率的计算方法
——高中数学必修3第三章3.3几何概型教学探讨
汝阳县第一高中——孟臣杰 从某中意义上说，几何概率是古典概率的补充和推广，在现代概率的发展中，曾经起过积极的作用。深入考察几何概率问题，对进一步理解概率的基本性质，具有十分重要的意义。 本文主要讨论几何概率的计算方法，探索解题思路，总结解题技巧。
解答几何概率问题，一般包含相互联系的四个步骤： 1. 判明问题的性质
判明问题的性质是解题的第一步，就是先弄清所解的问题，是不是几何概率问题。如果问题所及的试验，具有以下两个特征：（1）.试验的样本空间包含无穷多个元素，每个样本点由几何空间（一维、二维、三维，甚至n 维）中的某一区域G 的点的随机位置来确定；（2）各个样本点的发生是等可能的，也就是区域G 的点的任何位置是等可能的，那么，我们就可以判断它是一个几何概率问题。
2.明确参数的含义
任何一个几何概率问题，它的样本点都可以归结为具有某种等可能的几何元素。为了叙述方便，通常把相应的几何元素叫做等可能值的参数，弄清具有某种等可能性的随机点是什么。也就是要正确理解“等可能”、“随机”、“均匀分布”等词在题中的实际意义，正确揭示他们的本质，以使问题的解答有一个可靠的基础。
3.确定区域的测度
明确了等可能值的参数以后，我们就可以根据题设条件，借助于适当的几何模型，把事件A 所处的样本空间和有利场合，分别与几何空间中的区域G 和G A 对应起来。从而，利用初等几何或微积分知识，确定G 和G A 测度，即计算他们的长度、面积或体积等。
4.明确事件的概率
确定了区域G 和G A 的测度后，就可以直接利用公式推求事件A 的概率。几何概率的计算公式和古典概率相仿，结构比较简单，如果用L(G)和L(G A )分别表示区域G 和G A 的测度，那么事件A 的概率是
()
()()
A L G P A L G
上述四个步骤是一个完整的统一体。容易看出，明确等可能值的参数，是解题的基础，确定区域的测度，是解题的关键。几何概率计算中的种种技能和技巧，大多是围绕确定L(G)和L(G A)而展开的。
一、 简单几何概率的解法
几何概率的问题，大体上可以分两类，一类是样本空间具有明显的几何意义，样本点所在的区域已直接给出，另一类是样本空间所在的几何区域，题中没有直接指明，需要对问题做深入分析，才能把样本空间归结为几何空间的某个区域。前者结构简单，易于求解；后者结构复杂，解答富有技巧性。
本节重点讨论简单几何概率的解法。解答这类问题，通常可以从明确等可能值参数的含义入手，先找出相应的区域G 和G A ,确定他们的测度，再代入几何概率公式计算求解。 例1. 在半径为R 的圆画平行弦，如果这些弦与垂直于弦的直径的交点在该直径上的位置
是等可能的，求任意画的弦的长度不小于R 的概率。
思考方法：由平面几何知识可知，垂直于弦的直径平分这条弦，所以，题中的等可能参数是平行弦的中点，它等可能地分布在于平行弦垂直的直径上（如图1-1）。也就是说，样本空间所对应的区域G 是一维空间（即直线）上的线段MN ，而有利场合所对应的区域G A ，是长度不小于R 的平行弦的中点K 所在的区间。
图1-2
图1-1
M N
M N
[解法1].设EF
与E 1F
1是长度等于R 的两条弦，直径MN 垂直于EF 和E 1F 1，与他们分别相交于K 和K 1(图1-2)。依题设条件，样本空间所对应的区域是直径MN ，有L(G)=MN=2R ，注意到弦的长度与弦心距之间的关系比，则有利场合所对对应的区域是KK 1，有
1()2K L G KK OK ====
以几何概率公式得()()22
A L G P L G R =
==
。 [解法2].如图
1-1所示，设园O 的半径为R, EF 为诸平行弦中的任意一条，直径MN ⊥弦EF ，
它们的交点为K ，则点K
就是弦EF 的中点。设OK=x ，则 x ∈[-R,R], 所以 L(G)=2R
设事件A 为“任意画的弦的长度不小于R
”，则A 的有利场合是
R ,
解不等式，得
x 2R ≤
所以 ()22
A L G R == 于是 ()P A =
=[评注] 本题结构比较简单，题中直接给出了等可能值参数；样本空间和有利场合所对应的
区域，从图上都可以直接看出。两种解法各有特色，解法1充分利用平面几何知识，在本题似较简便，解法2引进变量x 把代数知识和几何知识有机的结合起来，从表面上看解题过程不甚简便，但确具有推广价值，这种方法可以求解复杂的几何概率问题。
[例2].平面上画有一组平行线，其间隔交替为1.5cm 和10cm ，任意地往平面上投一半径为2cm 的圆，求此圆不与平行线相交的概率。
[思考方法] 本题的难处，在于题中没有直接指明等可能值参数，为此，需发掘“任意的往平面上投一直径为2cm 的圆”之真实含义，找出具有某种等可能的随机点。注意到定半径的圆的位置决定于圆心，可以取圆心作随机点，由于平行线可以向两端无限延伸，而往平面上投圆又是任意的，所以只要取这组平行线的某一条垂线就可以了；考虑到题设平行线的间隔交替的为1.5cm 和10cm ，则研究相邻三条平行线之间情况就可以反映问题的全貌。经上面的分析，我们可以取圆心为随机点，它等可能地分布在相邻三条平行线的某一垂线上（如图
1-3）由此原题不难解出。
[解] 设L 1、L 2、L 3是三条相邻的平行线，EPF 是它们之间的垂线（图1-3），则样本空间所对的区域是线段EF,有
L(G)=EF=1.5+10=11.5(cm)
注意到L 1与L 2相邻1.5cm ，所以圆心如果落在线段EP 上，那么圆与平行线必定相交。设半径为2cm 的⊙O 、⊙O 1分别切L 2、L 3于P 、F ，则事件的有利场合所对应的区域应是线段OO 1有
L(G A )=OO 1=PF-OP-O 1F=10-2-2=6cm 。
6
p=
0.512711.5
∴≈
l
图1-4
图1-3
A
评注 从本题可以看出，如果题中没有直接指明等可能值参数，则解题的关键，在于斟酌题设条件，发掘等可能值参数的含义，找出随机点的分布情况。
不难发现，上面两个例子中的空间和有利场合，他们所对应的区域都是一维的。我们可以把解题思路推广到二维空间或三维空间的场合，可以解答下列各题
（1） 平面上有两组互相垂直的平行线把平面划分为边长为a 的正方形。向平面任意投一