第二次-几种常见的概率分布律(1)

练一练
课本习题 p 53，No. 19
，
泊松分布曲线图

是泊松分布所依赖的唯一参数。 值愈小，分布愈偏倚，随着 的增大，分布趋于对称。
泊松分布的应用
【例 2】调查某种猪场仔猪畸形数，共记录200窝，
畸形仔猪数的分布情况如下表所示。试判断畸形仔
猪数是否服从泊松分布。
解：计算样本平均数和方差S2，如下：
x
=Σfk/n =(120×0+62×1+15×2+2×3+1×4)/200 =0.51
0.0064 0.0003
【例 4】求仔猪黄痢病平均死亡猪数及死亡 数的标准差。
解：以 = 0.2，n = 5代入公式得： = 5×0.2 = 1.0(头)
平均死亡猪数 μ= n
标准差 (头 5 npq 5 0.0 2. 0.8 0.) 894 npq 0. 2 0 .8 894
记下性别后放回；共做了10次抽样。 问（1）其中包括3只公鸡的概率是？ p (3)， （2）包括3只及3只以下公鸡的概率是？ F (3)，
（1）在10 次抽样中，抽到 3 只公鸡的所有方式数， 就相当于从 10 个元素中取 3 个的组合数 C103
任何方式中，抽到3只公鸡的概率都是：
因此，抽到3只公鸡的总概率为：
1 1 14 C15 0.2 0.8
0.1671
由计算可知，注射A 疫苗无效的概率为0.0352（小概率
事件），B 疫苗无效的概率0.1671（P >0.05)。因此， 可以认为A 疫苗是有效的，但不能认为B 疫苗也是有 效的。
【例 3】仔猪黄痢病在常规治疗下死亡率为20％，求5 头病猪治疗后死亡头数各可能值相应的概率。 解：设5头病猪中死亡头数为X，则X 服从二项分布，其 所有可能取值为0，1，…，5，按 算概率，用分布列表示如下： 0 0.3277 1 0.4096 2 0.2048 3 0.0512 4 5 计
P ( x 7)
7 C10 0.75 7 0.25 3
10! 0.75 7 0.25 3 0.2503 7!3!
【例 2】设在家畜中感染某种疾病的概率为20％，现有
两种疫苗，用疫苗A 注射了15头家畜后无一感染，用
疫苗B 注射15头家畜后有1头感染。设各头家畜没有
相互传染疾病的可能，问：应该如何评价这两种疫苗?
解：假设疫苗A 完全无效，那么注射后的家畜感 染的概率仍为20％，则15 头家畜中染病头数
x=0的概率为
p( x 0)
0 0 15 C15 0.20 0.80
0.0352
同理，如果疫苗B 完全无效，则15头家畜中最多有1头 感染的概率为
p( x 1)
0 0 15 C15 0.2 0.8
)值的曲线
1、当
值较小且n不大时，分布是偏倚的。
但随着n的增大，分布逐渐趋于对称；
2、当
值趋于0.5时，分布趋于对称。
二项分布的应用
遗传学中，若两个纯合亲本杂交，F1代自交，其 F2代的基因型分离比就是一个二项分布的问题。
显性基因和隐性基因出现的概率都为1/2。
1）对于一对等位基因，n = 2；二项式展开为
2）对于两对等位基因，n = 4；二项式展开为
1/16
:
4/16
:
6/16
:
4/16
:
1/16
【例 1】纯种白猪与纯种黑猪杂交，根据孟德尔
理论，子二代中白猪与黑猪的比率为3 :1。求
窝产仔10头，有7头白猪的概率。
解：n =10，
=3/4=0.75，
=1/4=0.25。
设10头仔猪中白色的为X 头，则X 为服从二项分布 的随机变量。10头仔猪中有7头是白色的概率为：
对于任意 n 和 x ，有通式：
此式正好是二项式展开中的一项（见下页）， 因此产生了概率分布理论中的“二项分布”这一名称；
以上即为二项分布的概率函数。
二项展开式：
（2）在10 次抽样中，抽到 3 只及以下公鸡的概率
服从二项分布的随机变量的特征数
总体平均数
总体方差
二项分布曲线图
当n=20时，不同p (
s
2


n 1 2 (120 0 2 62 12 15 2 2 2 3 2 1 4 2 102 ) / 200 200 1
fk 2 ( fk ) 2 / n
0.52
x =0.51，S2=0.52,这两个数是相当接近的，
因此可以认为畸形仔猪数服从泊松分布。
第三章 几种常见的概率分布律
--- 对总体的描述

3.1
二项分布 泊松分布
离散型
3.2
3.1
二项分布
应用条件：
随机试验，每次试验都可能有两种互不相容的
结果，每种结果在每次试验中出现的概率是恒定的， 且不受其它各次试验结果的影响，即试验之间是独 立的。
常 用 符 号
抽到雌、雄性的 例. 从雌雄各半的100只鸡中随机抽取一只， 概率各为 0.5
P( x 4) 1
p( x k ) 1 0.9999 0.0001
k 0
4来自百度文库
把上面各项概率乘以总观察窝数(n=200)即得 各项按泊松分布的理论窝数。 泊松分布与 相应的频率分布列于下表中。
畸形仔猪数的泊松分布
比较后发现畸形仔猪的频率分布与平均数为 0.51 的泊松分布是吻合得很好的。 进一步说明畸形仔猪数是服从泊松分布的。
课本例题 3.4，p 39
练一练
课本习题 p 51，No. 4，5，8，17，18
3.2
泊松分布
泊松分布是一种描述和分析稀有事件的概率分 布；要观察到这类事件，样本含量 n 必须很大； 即：
泊松分布的概率函数：
e 是自然对数的底数
可见，泊松分布的特点就是：其概率函数内的 不但是它的平均数，还是它的方差。
例2中已判断畸形仔猪数服从泊松分布，并已算出
样本平均数=0.51。将0.51 以及e-0.51=1.6653代
入公式，求得畸形仔猪数各项的概率为： P(x=0)= ( 0.510／0! )×1.6653=0.6005 P(x=1)= ( 0.511／1! )×1.6653=0.3063 P(x=2)= ( 0.512／2! )×1.6653=0.0781 P(x=3)= ( 0.513／3! )×1.6653=0.0133 P(x=4)= ( 0.514／4! )×1.6653=0.0017