一种等高齿螺旋锥齿轮齿面方程的简化方法

凹齿面的矢量方程：
Ｒ埘＝Ｅ单＋Ｒ叩＋Ｓ，
（５）
式中：孙ｑ为在参考中点Ｍ时刀盘与产形 轮的位置关系夹角，Ｓ、口是参变量。
对式（５）中的内刀齿半径见稍加修正就
可以得到产形轮的凸齿面方程：
Ｒ。＝Ｅ即＋Ｒ＂＋Ｓｐ
（６）
式（６）中，Ｒ呷＝Ｒ，＋△（△是为了获得齿
形鼓形的一个修正量），其它参数与式（５）相同。
１．２共轭齿面上瞬时接触迹线和齿轮齿面方程
Ｒ，＝Ｅ，＋尺ｏ＋Ｓ
（１）
其中：Ｅ，＝Ｅ（ｃｏｓｑｉ＋ｓｉｎ西）
Ｒ。＝Ｒ。（一ｓｉｎｒ／／＋ｃｏｓ谚） ｓ＝ｓ‘一ｓｉｎａ。ｃ０６母。ｉ＋ｓｉｎａ。ｓｉｎ００＋
ｃｏｓ口．ｋ） 式中Ｓ的含义是在初始位置处，内齿上任 意一点Ｐ’距点肘的有向距离。 匕（匕）
（Ｘｔ） 图ｌ 平面产形轮切齿原理
令．￡ｌ＝Ｅ，／Ｅ．，根据平面产形轮原理，当产 形轮转角为０时，刀盘自转与公转的总转动角 为（１＋Ⅳ）０。在产形轮上任意点Ｐ处，矢量 丘、见、Ｓ分别转过０角、（１＋∥）０角、（１＋／ｚ）０ 角。令它们转动后的矢量分别为Ｅ矿Ｒ叩、ｓ，， 根据矢量旋转公式得：
设由ｄ，［０。；以，匕，Ｚｓ］到ｄ２［０２；Ｘ２，Ｙ２，
ｚ：］的变换矩阵为肘：，，则大齿轮齿面上的瞬时 接触迹线方程：
｛‘五尺羔啦Ｍ々＝ ：ｊ２Ｒ，：。：（（ＳＳ，’∞∞
（”９）７
式（９）也是大齿轮的齿面方程。
同理可得小齿轮齿面方程：
‘
｛一。 ｌｉ：ｓａ＂Ｕ。ｐ。ｌｆ。０Ｒ
。。＝
Ｍ 。Ｒ；（。．（．ｓ。ｓ。口口））
螺旋锥齿轮是机械传动中的重要零件，被 广泛应用于行走机械、起重机械及木材加工设 备中。等高齿螺旋锥齿轮是螺旋锥齿轮家族中 的新成员。以其在噪音和强度方面的优异表现 而受到国内外的重视。
国内对等高齿螺旋锥齿轮的理论研究开展 得较晚，成果较少。文献［１］介绍了对等高齿螺 旋锥齿轮进行分析的通用理论方法，应用该方 法得到的齿面第二基本齐式相当繁琐。齿面第 二基本齐式是求解齿面法曲率的重要基础。其 繁琐的表达不利于后继分析的进行，同时也将
第３７卷第６期 ２００８年１１月
吉林林业科技 ＪＩＵ：Ｎ ＦＯＲＥＳ，ＩＲＹ ＳＣＩＥＮＣＥ ＡＮＤ ＴＥＣＨＮＯＩＤＧＹ
文章编号：１００５—７１２９（２００８）０６—００４５—０３ 中图分类号：ＴＨｌ３２．４２２ 文献标识码：Ａ
Ｖ０１．３７ Ｎｏ．６ ＮＯＶ．２００８
一种等高齿螺旋锥齿轮齿面方程的简化方法
参考文献(5条) 1.曾韬 螺旋锥齿轮设计与加工 1989 2.《齿轮手册》编委会 齿轮手册 2000 3.岑益南 弧线摆线等高齿锥齿轮 1992
4.张申林 螺旋锥齿轮的三维弯曲应力有限元分析[期刊论文]-西安公路交通大学学报 2000(04)
5.Ф.Л.李特文 齿轮啮合原理 1984
本文读者也读过(10条) 1. 白秀芳.刘敏 螺旋锥齿轮等高齿制的加工和安装调整[期刊论文]-中国科技信息2005(9) 2. 曹雪梅.王军.周彦伟.邓效忠.杜发荣 弧齿锥齿轮大轮齿面的三维仿真[期刊论文]-机械传动2003,27(5) 3. 吴乃云 等高齿齿轮的特点及设计调整方法[会议论文]-2008 4. 马承文.邹慧君.周双林 新型等高齿螺旋锥齿轮的参数优化设计[期刊论文]-机械科学与技术2001,20(4) 5. 吴乃云 延伸外摆线等高齿的设计及应用[期刊论文]-汽车工艺与材料2008(2) 6. 孙柏峰.SUN Bai-feng 等高螺旋锥齿轮接触的计算机模拟及有限元分析[期刊论文]-长春大学学报（自然科学版 ）2007,17(6) 7. 许浩.曾韬.XU Hao.ZENG Tao 网络化螺旋锥齿轮齿面加工集成制造系统[期刊论文]-工程图学学报2006,27(2) 8. 刘万春.刘光磊.Liu Wanchun.Liu Guanglei 基于MATLAB和Pro/E的弧齿锥齿轮三维造型[期刊论文]-机械制造 2008,46(7) 9. 张华.张明柱.杨宏斌.曹雪梅.ZHANG Hua.ZHANG Ming-zhu.YANG Hong-bin.CAO Xue-mei 螺旋锥齿轮硬齿面高速 铣削与计算机切齿仿真[期刊论文]-拖拉机与农用运输车2006,33(5) 10. 陈书涵.严宏志.明兴祖 含误差螺旋锥齿轮齿面方程建立与分析[期刊论文]-机械传动2008,32(2)
＋７／）＋（１＋Ａ）ＡＥ，Ｒ，ＣＯＳｔ／．ｓｉｎ（ｑ＋０二－７一ａｏ）＋
Ａ３ Ｓ２ｓｉｎ２口。Ｃ０８。一（Ｉ＋Ａ）ＡＳＥ，ｓｉｎａ。ｃ∞口。ＣＯＳ（ｑ
＋０＋凡一Ａ口）］ａ０２‘
（１２）
式中：
妒＝“瓦Ｆ玎百—可了
（１３）
一４６～
而（，Ｉ。）２＋（ｒ／．，）２＋（，ｋ）２＝Ｅ２．ｃｏｓ＇口。＋
Ｅ２，８ｌ’ｎ２口．ｃ０８２（风＋ｇ ４－０一Ａ疗）＋Ａ２ ＪＲ：００８２口。一
２ａＳＥ．ｓｉｎａ。ＣＯＳ（ｑ＋０＋风一ａｏ）＋２Ａ ２ＳＲ。ｓｉｎ（凤
＋叩）］ｄ０２
（１１）
Fra Baidu bibliotek
第二基本齐式为：
ＩＩ＝÷［ＡＥ，ｓｉｎａ。ｃ０８ａ．ｓｉｎ（ｑ＋０＋卢。＋Ａ０） ‘工，
＋Ａ２ Ｒ。ｓｉｎ口．ｃ０８叩∞（卢ｍ＋７）］ｄＳｄＯ＋吉×
［（磋＋Ａ ３ Ｒ：）Ｃ０８０：．＋２Ａ３ＳＲ。ｓｉｎａ．ｃｏ鲰。ｓｉｎ（凤
·－——４７·－——
万方数据
一种等高齿螺旋锥齿轮齿面方程的简化方法
作者： 作者单位： 刊名：
英文刊名： 年，卷(期)：
孙冰寒， SUN Bing-han 长春大学汽车服务工程系,吉林,长春,130022
吉林林业科技 JILIN FORESTRY SCICNCE AND TECHNOLOGY 2008,37(6)
１．２．２齿面方程
为得到加工齿轮的齿面方程，必须对式
（７）、（８）进行坐标变换。取固定坐标系％［０。；
以，匕，乙］与平面产形轮相固连，坐标系ｄ： ［０：；Ｘ：，Ｙ２，Ｚ：］与大齿轮的安装基面相连。经
过盯，［０。；Ｘｓ，匕，Ｚ，］到ｄ２［０２；ｘ２，Ｙ２。Ｚ２］的 坐标变换，可得到大齿轮上的瞬时接触迹线方 程。
１．３第二基本齐式的导出
（”１０…）
设点Ｍ处齿面的一阶偏导数为訾、
警’二阶偏导数为祭、貉、等小ｔ
＋卢，则齿面的第一基本齐式为： Ｉ＝嬲２＋２［Ｅ，ｓｉｎａ。ｓｉｎ（风一ｑ—ａＯ一０）
＋ＡＲ。ｓｉｎａ．Ｃ０６（风＋叩）］ｄＳｄＯ＋［Ｅ：＋Ａ２ ＲＬ＋
Ａ２ Ｓ２ｓｉｎ２口。＋２ＡＥ，Ｒ。ｓｉｎ（ｑ＋０一可一ＡＯ）一
孙冰寒
（长春大学汽车服务工程系，吉林长春 １３００２２）
摘要：本文依据结构特性，提出了一种简化等高齿螺旋锥齿轮齿面方程的方法，大幅度简化了齿轮参数 化设计过程。实验验证，该简化方法无不良影响，方便实用。 关键词：等高齿螺旋锥齿轮；齿面方程；简化方法
Ａ ｓｉｍｐｌｉｆｉｅｄ ｍｅｔｈｏｄ ｆｏｒ ｔｏｏｔｈ ｓｕｒｆａｃｅ ｅｑｕａｔｉｏｎ ｏｆ ａｌｌ ｅｑｕａｌ·－－ｈｅｉｇｈｔ ｓｐｉｒａｌ ｂｅｖｅｌ ｇｅａｒ
度（ｑ＋０一叩一ｘｏ）的变化范围在０。左右，角度 （凤＋蛩）、（穹４－０＋反一ａｏ）的余弦平方为一小
量，角度（ｑ＋０一叩＋朋）的正弦平方也是一小 量，其值均非常接近于０。
据此，简化中可令骞。＋可９０。、ｇ＋８＋凡
一朋一９０。、ｇ＋０＋凤一加一０。。处理后，式
（１４）可改写为 （ｎ，）２＋（乃，）２＇４－（Ｊ；，）２＝或ｃｏｓ２口．＋
ＳＵＮ Ｂｉｎｇ··ｈａｎ
（Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ ｏｆ Ａｕｔｏｍｏｔｉｖｅ Ｅｎ＃ｎｅｅｒｉｎｇ Ｓｅｒｖｉｃｅｓ，Ｃｈａｎｇｃｈｕｎ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ；Ｃｈａｎｇｃｈｕｎ １３００２２；Ｃｈｉｎａ）
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｂａｓｅｄ ｏｎ ｔｈｅ ｓｔｒｕｃｔｕｒａｌ ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃｓ，ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ ｓｈｏｗｓ ｔｈａｔ Ｓ ｓｉｍｐｌｉｆｉｅｄ ｍｅｔｈｏｄ ｆｏｒ ｔｏｏｔｈ ８ｕ／ｆａｃｅ ｅｑｕａｔｉｏｎ
２ＡＥ．Ｒ。８ｉｎ２口．ｓｉｎ（凤＋，／）ｃ０６（风＋ｑ＋口一Ａ口）＋
叉２聂２－ｓｌ’ｎ２口。８ｉｎ？（ｐ＿＋蹿）＋天２Ｓ２ｓｉｎ２ａ。ａ。：ｓ２９。＋
２Ａ２觎，ｓｉｎａ．ｓｉｎ（忍 ＋ ７／）＋Ａ２Ｓ２ｓｉｎ４口。＋
２ＡＥ，Ｒ。ｃ０８２口．ｓｉｎ（ｑ＋０—７＇／＋ＡＯ）一
２；ｔＳＥ，ｓｉｎａ。ｃｏｓ（ｑ＋劈＋风一艚）
Ａ２５ｚｓｉｎ２口。ＣＯＳ２口。 ＋ Ａ２Ｒ：４－ Ａ２ｓ２ｓｉｎ４口。 ＋
２Ａ２ ＳＲ。ｓｉｎａ。
（１５）
从式（１５）的结果看，第二基本齐式的表达
已经简单了许多。
３筒化处理的实验验证
设计模型如图２、图３，根据参数化设计加工所 得的实物样件如图４所示。
图３等离齿螺旋锥齿轮大齿轮模型
田４等高齿螺旋锥齿轮大小轮的实际样件 齿轮实物样件经检测并传动实验后，未发
１．２．１瞬时接触迹线
瞬时接触迹线是两共轭齿面上的瞬时接触
点的集合。若把式（５）和（６）分别表达为Ｒ。＝
Ｒ，．（Ｓ，０）、Ｒ。＝Ｒ。（Ｓ，０），则产形轮上凸凹面
万方数据
的瞬时接触迹线方程为：
｛』“ ｎＵ．＝ ．Ｒｐｎ１（亍Ｓｕ。，、口）
、。７
（７）Ｒ
ｌ？”～ｕ２ ‘Ｒ。＝Ｒ。、Ｓ０．。口、）
（、８。）７
Ｅ。＝Ｅ，［Ｃ０８（ｑ＋０）ｆ＋ｓｉｎ（ｑ＋Ｏ）ｊ］ （２）
Ｒ叩＝一Ｒ。ｓｉｎ［刁＋（１＋Ｐ）０］ｆ＋Ｒ。００８［７＋
（１＋／．ｔ）ｏ］ｊ
（３）
Ｓ，＝一Ｓｓｉｎａ。ＣＯＳ［凤一（１＋∥）０］￡＋
Ｓｓｉｎａ。ｓｉｎ［凤一（１＋Ｐ）Ｏ］ｊ＋Ｓｃｏｓａ。ｋ
（４）
由式（２）、（３）、（４）可以得到平面产形齿轮
现明显缺陷，说明对第二基本齐式的简化处理 是合适的。 ４结论
应用通用经典理论设计等高齿螺旋锥齿轮 方法可行，但设计计算的结果过于复杂，不便于 应用。对第二基本齐式的相关角度可以进行近 似化处理，其简化结果对应用没有造成明显的 影响。
参考文献
圈２等高齿螺旋锥齿轮小齿轮模型 利用第一基本齐式和简化处理后的第二基 本齐式可以求得齿面的法曲率，并完成齿轮的 后继参数化设计。利用Ｐ∞，Ｅ软件实现的齿轮
收稿日期：２００８—０９—２０ 作者简介：孙冰寒（１９７７一），男，吉林农安人，助教。硬 士，主要从事机械制造方面的教学与研究。
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万方数据
影响齿轮的参数化设计和加工调整，有必要对 其进行简化处理。
ｌ等高齿螺旋锥齿轮齿面第二基本齐式的导出
１．１等高齿螺旋锥齿轮产形轮的齿面方程
建立图１所示坐标系，固定坐标系％［Ｏ。；
五，匕。ｚ。］与平面产形轮固连。动坐标系为ｄｒ，
［Ｏｐ；ｘｐ，Ｌ，ｚ，］。点肘是产形轮上的参考点， 口。是齿形角，风为螺旋角，Ｒ。，尺。分别为内外
切削刃刀尖半径，初始位置时０＝０，点Ｐ与点
肘重合。设刀盘以∞。反时针回转。摇台以∞。
顺时针回转，则内切齿上任意点Ｐ７在坐标系瓯
［Ｏ，；茸，匕，乙］上的径矢可以表示为：
【１］曾韬．螺旋锥齿轮设计与加工【Ｍ］．啥尔滨：啥尔 滨工业大学出版社，１９∞． 【２］齿轮手册编委会．齿轮手册（下册）（第二版）［Ｍ］． 北京：机械工业出版社，２０００． 【３］岑益南．弧线摆线等高齿锥齿轮［Ｍ］．济南：山东 机械出版社，１９９２． ［４］张申林．螺旋锥齿轮的三维弯曲应力有限元分析 ［Ｊ］．西安公路交通大学学报，２０（３０，２０（４）：１１９—１２２． 【５］ｏ．ＪＩ．李特文（苏）．齿轮啮合原理（第二版）【Ｍ］．上 海：上海科学技术大学出版，１９８４·
ｏｆ ａｎ ｅｑｕａｌ—ｈｅｉｇｈｔ ｓｐｉｒａｌ ｂｅＶｅｌ ｇｅａｒ．Ｔｈｅ ｍｅｔｈｏｄ Ｃｇｌｌ ｓｉｍｐｉｉｆｙ ｔｈｅ ｄｅｓｉｇｎ ｐｒｏｃｅｓｓ ｏｆ ｇｅａｒ ｐａｒａｍｅｔｅｒｓ．Ｔｈｒｏｕｇｈ ｅｘｐｅｒ— ｉｍｅｎｔａｌ ｖｅｒｉｆｉｃａｔｉｏｎ．ｔｈｅ ｓｉｍｐｌｉｆｉｅｄ ｍｅｔｈｏｄ ｈａｓ ｒｉｏ ａｄｖｅｒｓｅ ｅｆｆｅｃｔｓ ａｎｄ ｃｏｎｖｅｎｉｅｎｔ ａｎｄ ｐｒａｃｔｉｃａｌ ｔ０ ｔｈｅ ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ｅｑｕａｌ—ｈｅｉｇｈｔ ｓｐｉｒａｌ ｂｅｖｅｌ ｇｅａｒ；ｔｏｏｔｈ ｓｕ如ｃｅ ｅｑｕａｔｉｏｎ；ｓｉｍｐｌｉｆｉｅｄ ｍｅｔｈｏｄ
（１４）
２第二基本齐式的简化
将式（１３）、（１４）代入式（１２），可以看出第二 基本齐式的表达非常繁琐。如此繁琐的表达对 后继的推导和应用十分不利，应该简化。
分析式（１４）可知，该式所描述的是齿面啮 合点处单位法矢量模的平方，丽单位法矢量的
模是Ｉ，量值很小。另外结合图ｌ，角度（风＋
叩）、（ｇ＋口＋风一加）的变化范围在９０。附近，角