杨辉三角PPT
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中考复习 杨辉三角ppt课件
11 +
12 1 +
13 3 1 +
14 6 4 1
第5行
1 5 10 10 5 1
第6行
1 6 15 20 15 6 1
第7行
1 7 21 35 35 21 7 1
一般有
············
Cr r
Cr r1
Cr r2
Cr n1
C r1 (n n
r)
5
探究3
杨辉三角中试写出斜行直线上数字的和, 有
1 + 5 +10 + 10 + 5 + 1= 32 , 1 + 6 +15 +20 + 15 + 6 + 1= 64 ,
············ 2n
4
探究2
杨辉三角中与腰平行的第m条斜线(从右上到
左下)上前n个数字的和, 与第m+1条斜线上的第n
个数有什么关系?
第0行
1
相等关系
第1行 第2行 第3行 第4行
1.（2018年德州）我国南宋数学家杨辉所著的《详 解九章算术》一书中，用如图的三角形解释二项 式（a+b）n的展开式的各项系数，此三角形称为 “杨辉三角”根据”杨辉三角”请计算（a+b）8的 展开式中从左起第四项的系数为（ ） A．84 B．56 C．35 D．28
7
1（2018年孝感）我国古代数学家杨辉发现了如图
中考复习 规律问题之杨辉三角
1
杨辉简介
杨辉 ( 约公元13世纪中叶至后 半叶 ) 字谦光, 钱塘 ( 今浙江杭州 ) 人, 是中国南宋末年的数学家、数 学教育家. 著作甚多, 他编著的数 学书共五种二十一卷, 著有《详解九章算法》十二 卷 (1261年)、《日用算法》二卷(1262年)、等.
杨辉三角PPT
C C C C
0 n 2 n 1 n 3 n
1答案 2答案
3 n 1 n
启示：在二项式定理中，对a,b赋予一些特定的值， 是解决二项式有关问题的一种重要方法——赋值法。
0 2 1 2 2 2 n 2 n 思考2求证: (Cn ) (Cn ) (Cn ) (Cn ) C2 n. 略证：由(1+x)n(1+x)n=(1+x)2n，两边展开 后比较xn的系数得：
(a+b)n展开式的二项式系数依次是:
(1)对称性: 与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．
m n m Cn 这就是组合数的性质 1: Cn
C ,C ,C ,
0 n
1 n
2 n
,C ， , C .
r n
n n
(2)递推性: 除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和. (3)增减性与最大值. k k 1 增减性的实质是比较 Cn 与Cn 的大小. 从第一项起至中间项,二项式系数逐渐增大,随后又逐渐减 n! n k 1 n! n k 1 k 1 小. C k Cn n k ! (n k )! k (k 1)! (n k 1)! k 0 1 2 r n (4)各二项式系数的和. Cn Cn Cn Cn Cn 2n
新课标人教版课件系列
《高中数学》
选修2-3
1.3.2《二项式定理 -杨辉三角》
教学目标
• 1理解和掌握二项式系数的性质，并会简单的应用； • 2.初步了解用赋值法是解决二项式系数问题； • 3.能用函数的观点分析处理二项式系数的性质，提 高分析问题和解决问题的能力 学习 • 重点：二项式系数的性质及其对性质的理解和应用 学习。 • 难点：二项式系数的性质及其对性质的理解和应用 • 授课类型：新授课 • 课时安排：1课时 • 教 具：多媒体、实物投影仪
杨辉三角上课用PPT课件
(a+b)6…1 6 15 20 15 6 1
观察每一行的第一个和最后一个数有什么特点？
(1)对称性: Cn0 1,Cnn 1
与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．
这就是组合数的性质
1: Cnm
C nm n
第2页/共32页
(a性+b质)1…………… 1 1
(2)递推性:
除(a1+以b)外2…的…每…一个…数…都1等2于它1肩上两个数的和.
第15页/共32页
题型 证明不等式
例20．证明： 当n N*且n 1 2 (1 1)n 3
n
证明 (1
1 )n n
1 Cn1
1 n
Cn2
1 n2
11 Cn2
1 n2
2
通项
Cnk
1 nk
n(n
1)
k
(n !
k
1)
1 nk
nk k!
1 nk
1 k!
(1
1)n n
1
C
1 n
1 n
Cn2
1，1，2，3，5，8，13，21，34，．．．
第21页/共32页
探究：横行规律
第0行
1 2 3
4 5 6 7
8 9 10 11 12 13 14
15
1）杨辉三角中的第1，3，7，15，…行，即第 2n-1行的 各个数字为奇数？
则第2n行的数字有什么特点？除两端的1之外都是偶数.
第22页/共32页
解:?1二项式系数之和为C90 C91 C92 C99 29 512.
解 : 设2x 3y9 a0x9 a1x8y a2x7y2 a9y9. 2令x y 1得各项系数之和为a0 a1 a2 a9 21 319 1.
(展示)杨辉三角ppt_高三数学
r n r −1 n−1
C = C +C …… …… 2 r n−2 r −1 1 … Cn−1 Cn−1 … Cn−1 第n-1行 1 Cn−1 Cn−1 行 r n−1 2 1 … … Cn Cn 第n行 1 Cn Cn 行 …… … …
r n−1
一.简介:杨辉三角的基本性质 简介: 表中每个数都是组合数， 1）表中每个数都是组合数，第n行的第 n ! r r+1个数是 r+1个数是 C =
3.杨辉三角与“纵横路线图” 3.杨辉三角与“纵横路线图” 杨辉三角与 “纵横路线图”是数学中的一类有趣 纵横路线图” 纵横路线图 的问题：如图是某城市的部分街道图， 的问题：如图是某城市的部分街道图， 纵横各有五条路，如果从A处走到 处走到B处 纵横各有五条路，如果从 处走到 处 (只能由北到南，由西向东 ，那么有多 只能由北到南， 只能由北到南 由西向东)， 少种不同的走法？ 少种不同的走法？
（2）斜看杨辉三角中各数的和，又有何规律？ 斜看杨辉三角中各数的和，又有何规律？
列斜线上的前Q个数之和等于第 列斜线上的第Q个数 第P列斜线上的前 个数之和等于第 列斜线上的前 个数之和等于第(P+1)列斜线上的第 个数。 列斜线上的第 个数。
（3）如图，写出斜线上各行数字的和，有什么规律？ 如图，写出斜线上各行数字的和，有什么规律？
= (C a + C a b +⋯+ C a b +⋯+ C )(a + b) 0 k+1 1 k r +1 k−r b+1 k k = Ck a + Cka b +⋯+ Ck a b +⋯+ Ck ab +
0 k k 1 k −1 1 k r k k −r r k k
C = C +C …… …… 2 r n−2 r −1 1 … Cn−1 Cn−1 … Cn−1 第n-1行 1 Cn−1 Cn−1 行 r n−1 2 1 … … Cn Cn 第n行 1 Cn Cn 行 …… … …
r n−1
一.简介:杨辉三角的基本性质 简介: 表中每个数都是组合数， 1）表中每个数都是组合数，第n行的第 n ! r r+1个数是 r+1个数是 C =
3.杨辉三角与“纵横路线图” 3.杨辉三角与“纵横路线图” 杨辉三角与 “纵横路线图”是数学中的一类有趣 纵横路线图” 纵横路线图 的问题：如图是某城市的部分街道图， 的问题：如图是某城市的部分街道图， 纵横各有五条路，如果从A处走到 处走到B处 纵横各有五条路，如果从 处走到 处 (只能由北到南，由西向东 ，那么有多 只能由北到南， 只能由北到南 由西向东)， 少种不同的走法？ 少种不同的走法？
（2）斜看杨辉三角中各数的和，又有何规律？ 斜看杨辉三角中各数的和，又有何规律？
列斜线上的前Q个数之和等于第 列斜线上的第Q个数 第P列斜线上的前 个数之和等于第 列斜线上的前 个数之和等于第(P+1)列斜线上的第 个数。 列斜线上的第 个数。
（3）如图，写出斜线上各行数字的和，有什么规律？ 如图，写出斜线上各行数字的和，有什么规律？
= (C a + C a b +⋯+ C a b +⋯+ C )(a + b) 0 k+1 1 k r +1 k−r b+1 k k = Ck a + Cka b +⋯+ Ck a b +⋯+ Ck ab +
0 k k 1 k −1 1 k r k k −r r k k
人教高中数学选修2“杨辉三角”与二项式系数的性质PPT课件
,
C1n
,
C
2 n
,,
C
n n
从函数角度看，C
r n
可看
成是以r为自变量的函数f (r) ,
其定义域是：0,1,2,, n
当 n 6 时，其图象是右
图中的7个孤立点．
人教高中数学选修2“杨辉三角”与二 项式系 数的性 质PPT 课件
人教高中数学选修2“杨辉三角”与二 项式系 数的性 质PPT 课件
在二项式定理中，令 a 1, b 1 ，则：
11 n Cn0 Cn1 Cn2 Cn3 (1)nCnn
0 (Cn0 Cn2 ) (Cn1 Cn3 )
C
0 n
C2n
C1n
C3n
2n 2
2n1
赋值法
例题
1.C110 C120
C 10 10
2_1_0 __1_;
二项式系数的性质
①对称性
与首末两端“等距离” 的两个二项式系数相等．
这一性质可直接由公式
C
m n
C
n n
m
得到．
图象的对称轴：r n 2
人教高中数学选修2“杨辉三角”与二 项式系 数的性 质PPT 课件
人教高中数学选修2“杨辉三角”与二 项式系 数的性 质PPT 课件
练习：
1、在(a＋b)６展开式中，与倒数第三项二 项式系数相等是( B )
r 8
所以当r 8时，系数绝对值最大的项为
T9
C
8 20
312
28
x12
y8
例题点评
解决系数最大问题，通常设第 r 1项是系数最
大的项，则有
TTrr
1 1
Tr Tr 2
杨辉三角ppt PPT课件
2. 杨辉三角与弹子游戏
在游艺场，可以看到如图的弹子游戏，小 球 (黑色 ) 向容器内跌落，碰到第一层阻 挡物后等可能地向两侧跌落，碰到第二层 阻挡物再等可能地向两侧第三层跌落，
如是，一直下跌，最终小 球落入底层，根据具体区 域获得奖品。试问：为什 么两边区奖品高于中间区 奖品？
3.杨辉三角与“纵横路线图” “纵横路线图”是数学中的一类有趣
第1行
11
第2行
121
第3行
1 3 31
第4行
1 4 6 41
第5行
1 5 10 10 5 1
第6行
1 6 15 20 15 6 1
第7行
1 7 21 35 35 21 7 1
…… ………
… … 第n-1行 1
C C 1
2
n1 n1
C C r1 r n1 n1
第n行1
C
1 n
Cn2
… ……C…nr … …
研究性课题：
杨辉三角
杨辉三角
第0行
1
第1行
11
第2行 第3行 第4行 第5行
12
4=1+3
10=6+4 1
15=5+10
1
4
3
6
1 6=3+3 3 1 10=6+4
4 1 20=10+10
1 5 10 10 5 1
第6行
1 6 15 20 15 6 1
…… ……
C
r n
C r1 n1
C
r n1
A
B
由此看来，杨辉三角与纵横路线图问题有天然的联系
五、小结
1、杨辉三角蕴含的基本性质 2、杨辉三角蕴含的数字排列规律
杨辉三角PPT优秀课件
B 1
1 1 4
A
1 1 3
1
3
2
1
1
A
6 4 1 5 10 5 10 15 20 15 35 35 B70
2、杨辉三角的对称性：
C C .
r n
nr n
3、杨辉三角的第 n行就是二项式 (a b) 的展开式的系数，即：
n
(a b) C a C a b
n r 0 n n 1 n
2.1杨辉三角(1)
杨辉最重要的著作是《详解九章算法》． 为了使《九章算术》便于自学，杨辉对 该书的246个问题中较难的80题作了详解， 并增添了“图解、乘除算法和纂类”三卷． “详解”包括三个方面：一是“解题”，即解 释题意、名词术语，校勘文字，并对题目 作出评注；二是“细草”，即详细的解题过 程及必要的图示；三是“比类”，即增选与 原题算法相同或类似的例题进行对照分析． “纂类”是把《九章算术》中的全部问题按 解题方法由浅入深的顺序重新整理分类．
杨辉三角与“纵横路线图” “纵横路线图”是数学中的一类有趣 的问题．图 1 是某城市的部分街道 图，纵横各有五条路，如果从 A 处 走到 B 处 ( 只能由北到南，由西向 东 ) ，那么有多少种不同的走法？
我们把图顺时针转 45 度，使 A 在 正上方， B 在正下方，然后在交叉 点标上相应的杨辉三角数．有趣的 4 是， B 处所对应的数 C 8 =70 ， 正好是答案 ( 70) ． 一般地 , 每个交点上的杨辉三角数， 就是从 A 到达该点的方法数．由此 看来，杨辉三角与纵横路线图问题 有天然的联系．
n1
Ca
r n
n r
b C b
n n n
请用数学归纳法证明这一性质 。
14.2乘法公式--杨辉三角(共19张PPT)
(2)直接写出25+5×24×(-3)
+10×23×(-3)2+10×22×(-3)3
+5×2×(ー3)4+(-3)5=
；
(3)直接写出25-5×24+10×23-
10×22+5×2-1=
；
13
知识点二：利用“杨辉三角”解决规律问题
针对练习 1
(4)若(2xー1)2018＝a1x2018+a2x2017+a3 x2016+ …+a2017 x2+a2018 x+a2019， 求a1+a2+a3+…+a2017+a2018的值.
14
知识点二：利用“杨辉三角”解决规律问题
针对练习
我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列，如南宋 数学家杨辉(约13世纪)所著的《详解九章算术》一书中， 用下图所示的三角形解释二项式(a+b)n的展开式的各项系 数，此三角形称为“杨辉三
角”根据“杨辉三角”,计算(a+b)20
的展开式中第三项的系数为( D )
6
知识点一：“杨辉三角”的认识
新知探究
杨辉三角中斜行和水平行之间的关系
①
把斜行①中第7行之前的数
②
字相加得1+1+1+1+1+1+1=6
③
②：1+2+3+4+5=15
④ ⑤
⑥
③：1+3+6+10=20 ④：1+4+10=15 ⑤：1+5=6
⑥1
将上面得到的数字与第7行中的数字对比你有什么发现？
杨辉三角(小学版)ppt课件
古老的杨辉三角， 即使在我们现代生活中 也能得到充分的利用， 我们中国人的祖先在几 百年前就能最先发现这 个有用的规律，是不是 令我们由衷地为我们中 国灿烂的古代文明心生 自豪之情呢？
6
7
2
杨辉三角的规律
杨辉三角的主要特征是：
1.两条斜边都是由数字1组成，其余的数则是等于上一行左右两个数字之和. 2.每行数字左右对称，由1开始逐渐变大，然后变小，最后再回到1. 3.第n行的数字个数为n个。 4.n行中第i个数是斜行i-1中前n-1个数之和。
杨辉三角计算演示
3
杨辉三角的应用 Ⅰ
杨辉三角可以用来帮助解决11的几次方的问题
杨辉三角
Chinese triangle
四年级（4）班
1
什么是杨辉三角？
杨辉是南宋时期杭州人。在
他1261年所著书中，记录了右边图所 示的三角形数表，这三角形就被称为 杨辉三角。在欧洲直到1623年以后， 法国数学家帕斯卡才发现了同样规律， 因此欧洲人又称这个三角为“帕斯卡三 角”。但是大家从杨辉发现这个规律的 年代与帕斯卡发现这个规律年代相比 就会知道，我国的杨辉发现此规律比 帕斯卡早了300多年。近年来国外也逐 渐承认这项成果属于中国，开始称这 个三角是“中国三角形”。（Chinese triangle）。好是杨辉三角所
对应的第n行的数字，很神奇吧！
4
杨辉三角的应用 Ⅱ
大家请看一下下面的表格能发现什么吗？
对，这就是杨辉三角的又一个应用： 2的n次方也就是第 n行数字之和，很有意思对吧？
5
概括
杨辉三角除了以上两个应用，我
们还可以在日常生活中来用它来计算最近的 路径问题以及弹子游戏中弹子掉落的概率等 许多问题。
6
7
2
杨辉三角的规律
杨辉三角的主要特征是：
1.两条斜边都是由数字1组成，其余的数则是等于上一行左右两个数字之和. 2.每行数字左右对称，由1开始逐渐变大，然后变小，最后再回到1. 3.第n行的数字个数为n个。 4.n行中第i个数是斜行i-1中前n-1个数之和。
杨辉三角计算演示
3
杨辉三角的应用 Ⅰ
杨辉三角可以用来帮助解决11的几次方的问题
杨辉三角
Chinese triangle
四年级（4）班
1
什么是杨辉三角？
杨辉是南宋时期杭州人。在
他1261年所著书中，记录了右边图所 示的三角形数表，这三角形就被称为 杨辉三角。在欧洲直到1623年以后， 法国数学家帕斯卡才发现了同样规律， 因此欧洲人又称这个三角为“帕斯卡三 角”。但是大家从杨辉发现这个规律的 年代与帕斯卡发现这个规律年代相比 就会知道，我国的杨辉发现此规律比 帕斯卡早了300多年。近年来国外也逐 渐承认这项成果属于中国，开始称这 个三角是“中国三角形”。（Chinese triangle）。好是杨辉三角所
对应的第n行的数字，很神奇吧！
4
杨辉三角的应用 Ⅱ
大家请看一下下面的表格能发现什么吗？
对，这就是杨辉三角的又一个应用： 2的n次方也就是第 n行数字之和，很有意思对吧？
5
概括
杨辉三角除了以上两个应用，我
们还可以在日常生活中来用它来计算最近的 路径问题以及弹子游戏中弹子掉落的概率等 许多问题。
人教版高中数学选修2-31.3.2杨辉三角中的一些秘密(共24张PPT)
左 衺 乃 积 《数
,
贾宪
1C1405C143101CC0312410C162C11133100CC11442211CC531121CC12432C33C每 式 以44 系写一杨数成个，组数辉都合三都可数角是都中二可的项
——
开右
1C506 C1551 2C052 15C53 6 C154 C55
方衺 作乃
1 7 21 35 35 21 7 1
1 8 28 56 70 56 28 8 1
....................
1
Cn1-1 Cn2-1
...
Cr 1 n-1
Cnr-1 ...
1 Cn1 Cn2
... Cnr ...
Cn2 n-1
1
Cnn1 1
杨辉三角中每一个数均为肩上两数之和
C r1 n-1
Cr n-1
Cnr
杨辉恒等式
第 1行 1 第 2行 1 1 第 3行 1 2 1 第 4行 1 3 3 1 第 5行 1 4 6 4 1 第 6行 1 5 10 10 5 1 第 7行 1 6 15 20 15 6 1 第 8行 1 7 21 35 35 21 7 1 第 9行 1 8 28 56 70 56 28 8 1 第10行 1 9 36 84 126126 84 36 9 1
再见
宁波市正始中学 陈碧文
藏 (a b)n Cn0an Cn1an1b... Cnranrbr ... Cnn1abn1 Cnnbn
》者 贾皆 宪廉
杨辉三角中,第n行第r个数为
an,r
C r1 n1
1
11
121
13 31
146 41
相关主题
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1 1 1 1 1 1
1 2 1 3 3 1 4 6 4 1 5 10 10 5 1 6 15 20 15 6
1
通过计算填表，你发现了什么规律？
从上表可以发现，每一行中的数具有对称性， 除此之外，还有什么规律呢？为了方便观察研究，可 将上表写成下面的形式。
(a+b)1
1 1 1 1 1 4 2 3 3 6 4 1 1 1
(a+b)2
(a+b)3
(a+b)4
(a+b)5
1
1
5 10 10 5 1
6 15 20 15 6
(a+b)6
1
探究 你能借助上面的杨辉三角发现一些新的规律吗？
…… …… 2 r n 2 r 1 1 … C n 1 C n 1 … C n 1 第n-1行 1 C n 1 C n 1 1 r n 1 2 1 … … C C 第 n行 1 C n C n 1 n n …… … … (a b)n
n 2 n
因此，当n为偶数时，中间一项的二项式系数 取得最大值；
n 1 2 n 、
C
当n为奇数时，中间两项的二项式系数 C 相等，且同时取得最大值。
C
n 1 2 n
二项式系数的性质
性质3： 各项二项式系数的和
令x=1，
0 1 2 2 n r r n n 1 x C C x C x C x C ） n n nx n （ n
二项式系数的性质
性质1： 对称性
(a b) 展开式的二项式系数依次是：
n
1 2 n C0 , C , C , , C n n n n
与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．
这一性质可直接由公式 C
m n
C
nm 得到． n
二项式系数的性质
性质2： 增减性与最大值
n( n 1)(n 2) ( n k 1) 由于：C k n k ( k 1)! k 1 n k 1 Cn k
1 2 n n C0 C C C n n n n 2 ？
赋值法
也就是说, (a+b)n的展开式 中的各个二项式 系数的和为2n
一般地， ( a b)
n
展开式的二项式系数
C , C , C
0 n
1 n
（ 1） C （ 2） C
n n 有如下性质： m nm n n
C
m n
C
m 1 n
C
m n 1
时，
n 1 r （3）当 2
C C
r n
r 1 n
时， 0 1 n （ 4） C n C n C n
n 1 r当 2
C
r 1பைடு நூலகம்n
C
n
r n
2
学习小结:
利用杨辉三角可得二项式系数的对称 性、增减性和最大值;以及各项二项式系 数的和。
小试牛刀：
1）已知 C a, C b ，那么 C = a+b ；
5 15 9 15
10 16
2） (a b) 的展开式中，二项式系数的最大值 是 126；
9
3）若 (a b) 的展开式中的第十项和第十一 项的二项式系数最大，则n= 19 ；
n
所以 C 相对于 C
k n
k 1 n 的增减情况由
n k 1 决定． k
n k 1 n 1 由： 1 k k 2 n 1 可知，当 k 时， 二项式系数是逐渐增大的， 2
二项式系数的性质
性质2： 增减性与最大值
由对称性可知它的后半部分是逐渐减小的，且 中间项取得最大值。
r r 1 r Cn Cn C 1 n 1
在同一行中，每行两端都是 1等距 杨 辉 三 1，与这两个 角 离的项的系数相等；在相邻的两行中，除1以外的 (a b)0 第 0行 1 每一个数都等于它“肩上”两个数之和。 1 ( a b ) 第 1行 1 1 2 第 2行 1 2 1 6=3+3 (a b) 3 4=1+3 (a b) 第 3行 1 3 3 1 4 10=6+4 20=10+10 ( a b ) 第 4行 1 4 1 4 6 15=5+10 5 ( a b ) 第 5行 1 5 10 10 5 1 第 6行 1 6 15 20 15 6 1 (a b)6
第一章 计数原理 “杨辉三角”与二项式系数 的性质（1）
高二数学组 刘霄
学习目标
1.建立杨辉三角与二项式系数之间的直觉， 并探索其中的规律. 2.理解和掌握二项式系数的性质(重难点)．
n a b 探究 用计算器计算 展开式的二项式系数
并填入下表
n
a bn 展开式的二项式系数
1 2 3 4 5 6