北师大版初三下册数学知识点总结
(完整版)新北师大九年级数学下册知识点总结

新北师大版九年级数学下册知识点总结第一章直角三角形边的关系一•锐角三角函数 1.正切:定义:在Rt △ ABC 中,锐角/A 的对边与邻边的比叫做/A的正切,记作tanA ,① tanA 是一个完整的符号,它表示/A的正切,记号里习惯省去角的符号“/”;② tanA 没有单位,它表示一个比值,即直角三角形中/A 的对边与邻边的比;③ tanA 不表示"tan ”乘以"A ”;④ 初中阶段,我们只学习直角三角形中,/A是锐角的正切;⑤ tanA 的值越大,梯子越陡,ZA 越大;ZA 越大,梯子越陡,tanA 的值越大。
2. 正弦:定义:在Rt △ ABC 中,锐角/A 的对边与斜边的比叫做/A 的正弦,记作sinA ,即sin AA的对边................................... """■ 斜边3. 余弦:定义:在Rt △ ABC 中,锐角/A 的邻边与斜边的比叫做/A 的余弦,记作cosA ,即cosA A的邻边 .............................. ■■■■■斜边之变化三•三角函数的计算1. 仰角:当从低处观测高处的目标时,视线与水平线所成的锐角称为 仰角2. 俯角:当从高处观测低处的目标时,视线与水平线所成的锐角称为 俯角值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小);余弦值随着角度的增大 < sin a< 1, 0< cos a< 1。
4. 坡度:如图2,坡面与水平面的夹角叫做坡角坡角的正切称为坡度i tan Al5. 方位角:从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角,叫做方位角...。
如图3,OA OB OC 的方位角分别为 45 °、135 °、225 °。
6. 方向角:指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角,叫做方向角.。
北师大版九年级下册数学第7讲《待定系数法求二次函数的解析式》知识点梳理

1 2 北师大版九年级下册数学第 7 讲《待定系数法求二次函数的解析式》知识点梳理【学习目标】1. 能用待定系数法列方程组求二次函数的解析式;2. 经历探索由已知条件特点,灵活选择二次函数三种形式的过程,正确求出二次函数的解析式,二次函数三种形式是可以互相转化的.【要点梳理】要点一、用待定系数法求二次函数解析式1. 二次函数解析式常见有以下几种形式 :(1)一般式: y = ax 2 + bx + c (a ,b ,c 为常数,a ≠0);(2)顶点式: y = a (x - h )2 + k (a ,h ,k 为常数,a ≠0);(3)交点式: y = a (x - x 1 )(x - x 2 ) ( x 1 , x 2 为抛物线与 x 轴交点的横坐标,a ≠0).2. 确定二次函数解析式常用待定系数法,用待定系数法求二次函数解析式的步骤如下第一步,设:先设出二次函数的解析式,如 y = ax 2 + bx + c 或 y = a (x - h )2 + k ,或 y = a (x - x 1 )(x - x 2 ) ,其中 a ≠0;第二步,代:根据题中所给条件,代入二次函数的解析式中,得到关于解析式中待定系数的方程(组); 第三步,解:解此方程或方程组,求待定系数;第四步,还原:将求出的待定系数还原到解析式中.要点诠释:在设函数的解析式时,一定要根据题中所给条件选择合适的形式:①当已知抛物线上的三点坐标时,可设函数的解析式为 y = ax 2 + bx + c ;②当已知抛物线的顶点坐标或对称轴或最大值、最小值时.可设函数的解析式为y = a (x - h )2 + k ;③当已知抛物线与 x 轴的两个交点(x 1,0),(x 2,0)时,可设函数的解析式为 y = a (x - x )(x - x ) .【典型例题】类型一、用待定系数法求二次函数解析式1. 已知抛物线 经过 A ,B ,C 三点,当 时,其图象如图 1 所示.求抛物线的解析式,写出顶点坐标.⎩∴ ⎪图 1【答案与解析】设所求抛物线的解析式为 ( ).由图象可知 A ,B ,C 的坐标分别为(0,2),(4,0),(5,-3).⎧c = 2, ⎨16a + 4b + c = 0, ⎪25a + 5b + c = -3, 解之,得抛物线的解析式为该抛物线的顶点坐标为 .【总结升华】这道题的一个特点是题中没有直接给出所求抛物线经过的点的坐标,需要从图象中获取信息.已知图象上三个点时,通常应用二次函数的一般式列方程求解析式.要特别注意:如果这道题是求“图象所表示的函数解析式”,那就必须加上自变量的取值范围 .2. (2016•丹阳市校级模拟)形状与抛物线 y=2x 2﹣3x +1 的图象形状相同,但开口方向不同,顶点坐标是 (0,﹣5)的抛物线的关系式为 .【思路点拨】形状与抛物线 y=2x 2﹣3x +1 的图象形状相同,但开口方向不同,因此可设顶点式为 y=﹣2(x ﹣h ) 2+k ,其中(h ,k )为顶点坐标.将顶点坐标(0,﹣5)代入求出抛物线的关系式.【答案】y=﹣2x 2﹣5.【解析】解:∵形状与抛物线 y=2x 2﹣3x +1 的图象形状相同,但开口方向不同,设抛物线的关系式为 y=﹣2(x ﹣h )2+k ,将顶点坐标是(0,﹣5)代入,y=﹣2(x ﹣0)2﹣5,即 y=﹣2x 2﹣5.∴抛物线的关系式为y=﹣2x2﹣5.【总结升华】在利用待定系数法求二次函数关系式时,要根据题目给定的条件,选择恰当的方法设出关系式,从而代入数值求解.3.已知抛物线的顶点坐标为(-1,4),与轴两交点间的距离为6,求此抛物线的函数关系式.【答案与解析】因为顶点坐标为(-1,4),所以对称轴为,又因为抛物线与轴两交点的距离为6,所以两交点的横坐标分别为:,,则两交点的坐标为(,0)、(2,0);求函数的函数关系式可有两种方法:解法(1) :设抛物线的函数关系式为顶点式:(a≠0),把(2,0)代入得,所以抛物线的函数关系式为;解法(2) :设抛物线的函数关系式为两点式:y =a(x + 4()x- 2)(a≠0),把(-1,4)代入得,所以抛物线的函数关系式为:y=-4(x+4()x- 2);9【总结升华】在求函数的解析式时,要根据题中所给条件选择合适的形式.举一反三:【变式】(2014•永嘉县校级模拟)已知抛物线经过点(1,0),(﹣5,0),且顶点纵坐标为,这个二次函数的解析式.【答案】y=﹣x 2﹣2x+ .提示:设抛物线的解析式为y=a(x+2)2+,将点(1,0)代入,得a(1+2)2+=0,解得a=﹣,即y=﹣(x+2)2+ ,∴所求二次函数解析式为y=﹣x2﹣2x+ .类型二、用待定系数法解题⎩ ⎩4.(2015 春•石家庄校级期中)已知二次函数的图象如图所示,根据图中的数据,(1) 求二次函数的解析式;(2) 设此二次函数的顶点为 P ,求△ABP 的面积.【答案与解析】解:(1)由二次函数图象知,函数与 x 轴交于两点(﹣1,0),(3,0),设其解析式为:y=a (x+1)(x ﹣3),又∵函数与 y 轴交于点(0,2),代入解析式得,a ×(﹣3)=2,∴a=﹣ ,∴二次函数的解析式为:,即;(2) 由函数图象知,函数的对称轴为:x=1, 当 x=1 时,y=﹣×2×(﹣2)= ,∴△ABP 的面积 S===.【总结升华】此题主要考查二次函数图象的性质,对称轴及顶点坐标,另外巧妙设函数的解析式,从而来减少计算量.【答案与解析】(1)把 A(2,0),B(0,-6)代入 y = - 1 x 2 + bx + c 2得⎧-2 + 2b + c = 0, 解得⎧b = 4, ⎨c = -6, ⎨c = -6. ∴ 这个二次函数的解析式为 y = - 1 x 2 + 4x - 6 . 2(2)∵ 该抛物线的对称轴为直线 x = - 4 2 ⨯⎛ - 1 ⎫= 4 , 2 ⎪ ⎝ ⎭ ∴ 点 C 的坐标为(4,0),∴AC=OC-OA=4-2=2.∴S△ABC =1g AC g OB =1⨯ 2 ⨯ 6 = 6 .2 2【总结升华】求△ABC 的面积时,一般要将坐标轴上的边作为底边,另一点的纵(横)坐标的绝对值为高进行求解.(1)将A、B 两点坐标分别代入解析式求出b,c 的值.(2)先求出点C 的坐标再求出△ABC 的面积.举一反三:⎛0 3 ⎫【变式】已知二次函数图象的顶点是(-1,2) ,且过点 ⎝ ,⎪.2 ⎭(1)求二次函数的表达式;(2)求证:对任意实数m,点M (m,-m2 ) 都不在这个二次函数的图象上.【答案】(1)y =-1 x 2-x +3 ;2 2(2)证明:若点M (m,-m2 ) 在此二次函数的图象上,则-m2=-1(m+1)2+2.2得m2- 2m + 3 = 0 .△=4 -12 =-8 < 0 ,该方程无实根.所以原结论成立.。
北师大版初中数学各册章节知识点总结

北师大版初中数学各册章节知识点总结第一册:《初二上册》1.直角三角形:直角三角形的定义、直角三角形的性质、勾股定理。
2.平面图形的表示:点、线、线段、射线、角度、平行线、垂直线、相交线等基本概念。
3.二次根式:二次根式的定义、运算法则。
4.初中平面几何基本定理:垂线定理、等腰三角形的性质、三角形中位线定理、角平分线定理等。
5.多边形:多边形的定义、正多边形、变位积分、多边形的内角和、多边形的外角和。
6.梅涅劳斯定理:梅涅劳斯定理的概念、定理的应用。
第二册:《初二下册》1.线性方程:线性方程的定义、解线性方程的常用方法。
2.三角函数的定义和初步认识:三角函数的定义、正弦函数、余弦函数、正切函数等。
3.平行线与相交线:平行线的性质、平行线之间的角对、相交线之间的角对等。
4.二次函数:二次函数的基本性质、二次函数图像的性质与应用。
5.海伦公式:海伦公式的概念、海伦公式的应用。
第三册:《初三上册》1.集合:集合的概念、集合的运算、集合的表示等。
2.图形的相似:图形相似的概念、相似比、相似三角形的性质等。
3.三角形的性质:三角形的角与边的关系、角边关系等。
4.空间几何基本概念:欧几里得空间几何学的基本概念、空间图形与平面图形的关系等。
5.高中数学预修知识:比例与相似、复数等。
第四册:《初三下册》1.数系的扩充:有理数和无理数的概念、实数的分类等。
2.几何体的计算:几何体的表面积、几何体的体积等。
3.空间几何基本定理:角的平分线、角的辅助线等。
4.三角恒等式:三角函数的反函数、三角函数的周期等。
第五册:《九年级上册》1.一次函数:一次函数的定义、一次函数图像的性质、线性规律等。
2.向量几何:向量的定义、向量的运算、向量的平行和垂直等。
3.数的四则运算:整数、有理数、无理数的四则运算等。
4.二次方程与不等式:二次方程的定义、解二次方程的方法等。
5.三角形的面积:三角形的名字、面积的计算公式等。
第六册:《九年级下册》1.指数与对数:指数、对数和底数的概念、指数与对数的性质等。
北师大版九年级数学知识要点(复习提纲)

北师大版九年级数学知识要点(复习提纲)一、整数与有理数
- 整数的概念
- 整数的运算:加法、减法、乘法、除法
- 有理数的概念
- 有理数的分类:正有理数、负有理数、零、无理数
- 有理数的比较
- 有理数的运算:加法、减法、乘法、除法
二、代数初步
- 代数式的概念与运算
- 开放式与等式
- 方程的概念与解方程
- 不等式的概念与解不等式
- 函数的概念
- 线性函数与一次函数
三、平面图形的认识
- 二维坐标系的认识与运用- 点、线、面的基本概念- 角的概念与性质
- 三角形的分类
- 三角形的面积与周长
- 四边形的分类
- 四边形的面积与周长
四、比例与相似
- 比例的概念与性质
- 等式与比例
- 相似的概念与判定
- 相似图形之间的比较
- 相似三角形的性质与判定- 平行线与比例
五、数据的收集和处理
- 统计调查的概念与方法
- 数据的收集与整理
- 平均数的概念与计算
- 数据的图表表示
- 相关系数的概念与计算
- 折线图与趋势线
六、立体几何初步
- 空间直线的概念与性质
- 平面与直线之间的位置关系
- 立体图形的概念与表示
- 空间几何体的性质与计算
- 三视图的绘制与应用
以上是北师大版九年级数学知识的复习提纲,包括整数与有理数、代数初步、平面图形的认识、比例与相似、数据的收集和处理
以及立体几何初步等内容。
希望能帮助同学们复习并掌握数学知识。
北师大版九年级下册数学第12讲《圆的有关概念及圆的确定》知识点梳理

北师大版九年级下册数学第 12 讲《圆的有关概念及圆的确定》知识点梳理【学习目标】1.知识目标:理解圆的描述概念和圆的集合概念;理解半径、直径、弧、弦、弦心距、圆心角、同心圆、等圆、等弧的概念;经历探索点与圆的位置关系的过程,会运用点到圆心的距离与圆的半径之间的数量关系判断点与圆的位置关系;了解不在同一直线上的三点确定一个圆,了解三角形的外接圆、三角形的外心、圆的外接三角形的概念.2.能力目标:能应用圆半径、直径、弧、弦、弦心距的关系,进行计算或证明;会过不在同一直线上的三点作圆.3.情感目标:在确定点和圆的三种位置关系的过程中体会用数量关系来确定位置关系的方法,逐步学会用变化的观点及思想去解决问题,养成学生之间发现问题、探讨问题、解决问题的习惯.【要点梳理】要点一、圆的定义1.圆的描述概念如图,在一个平面内,线段OA 绕它固定的一个端点O 旋转一周,另一个端点A 随之旋转所形成的图形叫做圆,固定的端点O 叫做圆心,线段OA 叫做半径. 以点O 为圆心的圆,记作“⊙O”,读作“圆O”.要点诠释:①圆心确定圆的位置,半径确定圆的大小;确定一个圆应先确定圆心,再确定半径,二者缺一不可;②圆是一条封闭曲线.2.圆的集合概念圆心为O,半径为r 的圆是平面内到定点O 的距离等于定长r 的点的集合.平面上的一个圆,把平面上的点分成三类:圆上的点,圆内的点和圆外的点.圆的内部可以看作是到圆心的距离小于半径的的点的集合;圆的外部可以看成是到圆心的距离大于半径的点的集合.要点诠释:①定点为圆心,定长为半径;②圆指的是圆周,而不是圆面;③强调“在一个平面内”是非常必要的,事实上,在空间中,到定点的距离等于定长的点的集合是球面,一个闭合的曲面.P rPrPr要点二、点与圆的位置关系点和圆的位置关系有三种:点在圆内,点在圆上,点在圆外.若⊙O 的半径为r,点P 到圆心O 的距离为d,那么:点P 在圆内⇔d <r ;点P 在圆上⇔d=r;点P 在圆外⇔d >r.“⇔”读作“等价于”,它表示从左端可以推出右端,从右端也可以推出左端.要点诠释:点在圆上是指点在圆周上,而不是点在圆面上;要点三、与圆有关的概念1.弦弦:连结圆上任意两点的线段叫做弦.直径:经过圆心的弦叫做直径.弦心距:圆心到弦的距离叫做弦心距.要点诠释:直径是圆中通过圆心的特殊弦,也是圆中最长的弦,即直径是弦,但弦不一定是直径.为什么直径是圆中最长的弦?如图,AB 是⊙O 的直径,CD 是⊙O 中任意一条弦,求证:AB≥CD.证明:连结OC、OD∵AB=AO+OB=CO+OD≥CD(当且仅当CD 过圆心O 时,取“=”号)∴直径AB 是⊙O 中最长的弦.2.弧弧:圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧.以A、B 为端点的弧记作,读作“圆弧AB”或“弧AB”.半圆:圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧,每一条弧都叫做半圆;优弧:大于半圆的弧叫做优弧;劣弧:小于半圆的弧叫做劣弧.要点诠释:①半圆是弧,而弧不一定是半圆;②无特殊说明时,弧指的是劣弧.3.等弧在同圆或等圆中,能够完全重合的弧叫做等弧.要点诠释:①等弧成立的前提条件是在同圆或等圆中,不能忽视;②圆中两平行弦所夹的弧相等.4.同心圆与等圆圆心相同,半径不等的两个圆叫做同心圆.圆心不同,半径相等的两个圆叫做等圆.要点诠释:同圆或等圆的半径相等.5.圆心角顶点在圆心的角叫做圆心角.要点诠释:在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等,反之也成立.要点四、确定圆的条件(1)经过一个已知点能作无数个圆;(2)经过两个已知点A、B 能作无数个圆,这些圆的圆心在线段AB 的垂直平分线上;(3)不在同一直线上的三个点确定一个圆.(4)经过三角形各个顶点的圆叫做三角形的外接圆,外接圆的圆心叫做三角形的外心,这个三角形叫做圆的内接三角形.如图:⊙O 是△ABC 的外接圆,△ABC 是⊙O 的内接三角形,点O 是△ABC 的外心.外心的性质:外心是△ABC 三条边的垂直平分线的交点,它到三角形的三个顶点的距离相等.要点诠释:(1)不在同一直线上的三个点确定一个圆.“确定”的含义是“存在性和唯一性”.(2)只有确定了圆心和圆的半径,这个圆的位置和大小才唯一确定.【典型例题】类型一、圆的定义1.(2014 秋•邳州市校级月考)如图所示,BD,CE 是△ABC 的高,求证:E,B,C,D 四点在同一个圆上.【思路点拨】要证几个点在同一个圆上,就是证明这几个点到同一点的距离都相等即可.【答案与解析】证明:如图所示,取BC 的中点F,连接DF,EF.∵BD,CE 是△ABC 的高,∴△BCD 和△BCE 都是直角三角形.∴DF,EF 分别为Rt△BCD 和Rt△BCE 斜边上的中线,∴DF=EF=BF=CF.∴E,B,C,D 四点在以F 点为圆心,BC 为半径的圆上.【总结升华】要证几个点在同一个圆上,只能依据圆的定义,去说明这些点到平面内某一点的距离相等.举一反三:【变式】平行四边形的四个顶点在同一圆上,则该平行四边形一定是()A.正方形B.菱形C.矩形D.等腰梯形【答案】C.2.爆破时,导火索燃烧的速度是每秒0.9cm,点导火索的人需要跑到离爆破点120m 以外的安全区域.这个导火索的长度为18cm,那么点导火索的人每秒钟跑6.5m 是否安全?【思路点拨】计算在导火索燃烧完的时间内人跑的距离与120m比较.【答案与解析】∵导火索燃烧的时间为18=2(0s)0.9相同时间内,人跑的路程为20×6.5=130(m)∴人跑的路程为130m>120m,∴点导火索的人安全.【总结升华】爆破时的安全区域是以爆破点为圆心,以120m为半径的圆的外部,如图所示.类型二、圆的有关计算3.已知,点P 是半径为5 的⊙O 内一点,且OP=3,在过点P 的所有的⊙O 的弦中,弦长为整数的弦的条数为( )A.2B.3C.4D.5【思路点拨】在一个圆中,过一点的最长弦是经过这一点的直径,最短的弦是经过这一点与直径垂直的弦.【答案】C.【解析】作图,过点P 作直径AB,过点P 作弦,连接OC则OC=5,CD=2PC,由勾股定理,得,∴CD=2PC=8,又∵AB=10,∴过点P 的弦长的取值范围是,弦长的整数解为8,9,10,根据圆的对称性,弦长为9 的弦有两条,所以弦长为整数的弦共4 条.故选C.【总结升华】利用垂径定理来确定过点P 的弦长的取值范围.根据圆的对称性,弦长为9 的弦有两条,容易漏解. 举一反三:【变式】平面上的一个点到圆的最小距离是4cm,最大距离是9cm,则圆的半径是().A.2.5cmB.6.5cmC. 2.5cm 或6.5cmD. 5cm 或13cm【答案】C.类型三、确定圆的条件的有关作图与计算4.已知:不在同一直线上的三点A、B、C,求作:⊙O 使它经过点A、B、C.【思路点拨】作圆的关键是找圆心得位置及半径的大小,经过两点的圆的圆心一定在连接这两点的线段的垂直平分线上,进而可以作出经过不在同一直线上的三点的圆.【解析】作法:1、连结AB,作线段AB 的垂直平分线MN;2、连接AC,作线段AC 的垂直平分线EF,交MN 于点O;3、以O 为圆心,OB 为半径作圆.所以⊙O 就是所求作的圆.【总结升华】通过这个例题的作图可以作出锐角三角形的外心(图一),直角三角形的外心(图二),钝角三角形的外心(图三).探究各自外心的位置.52 - 42【变式】(2015•江干区二模)给定下列图形可以确定一个圆的是( )A .已知圆心B .已知半径C .已知直径D .不在同一直线上的三个点【答案】D.提示:A 、已知圆心只能确定圆的位置不能确定圆的大小,故错误;B 、C 、已知圆的半径和直径只能确定圆的大小并不能确定圆的位置,故错误;D 、不在同一直线上的三点确定一个圆,故正确,故选 D .5. 如图,⊙O 的直径为 10,弦 AB=8,P 是弦 AB 上的一个动点,那么 OP 的长的取值范围是 .【思路点拨】求出符合条件的 OP 的最大值与最小值.【答案】3≤OP ≤5.【解析】OP 最长边应是半径长,为 5;根据垂线段最短,可得到当 OP ⊥AB 时,OP 最短.∵直径为 10,弦 AB=8∴∠OPA=90°,OA=5,由圆的对称性得 AP=4,由勾股定理的 OP= = 3 ,∴OP 最短为 3.∴OP 的长的取值范围是 3≤OP ≤5.【总结升华】关键是知道 OP 何时最长与最短.举一反三:【变式】已知⊙O 的半径为 13,弦 AB=24,P 是弦 AB 上的一个动点,则 OP 的取值范围是.【答案】 OP 最大为半径,最小为 O 到 AB 的距离.所以 5≤OP ≤13.。
初三数学知识点北师大版

初三数学知识点北师大版学习从来无捷径,循序渐进登高峰。
如果说学习一定有捷径,那只能是勤奋,因为努力永远不会骗人。
学习需要勤奋,做任何事情都需要勤奋。
下面是小编给大家整理的一些初三数学的知识点,希望对大家有所帮助。
九年级下册数学知识点归纳知识点1.概念把形状相同的图形叫做相似图形。
(即对应角相等、对应边的比也相等的图形)解读:(1)两个图形相似,其中一个图形可以看做由另一个图形放大或缩小得到.(2)全等形可以看成是一种特殊的相似,即不仅形状相同,大小也相同.(3)判断两个图形是否相似,就是看这两个图形是不是形状相同,与其他因素无关.知识点2.比例线段对于四条线段a,b,c,d,如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等,即(或a:b=c:d)那么这四条线段叫做成比例线段,简称比例线段.知识点3.相似多边形的性质相似多边形的性质:相似多边形的对应角相等,对应边的比相等.解读:(1)正确理解相似多边形的定义,明确“对应”关系.(2)明确相似多边形的“对应”来自于书写,且要明确相似比具有顺序性.知识点4.相似三角形的概念对应角相等,对应边之比相等的三角形叫做相似三角形.解读:(1)相似三角形是相似多边形中的一种;(2)应结合相似多边形的性质来理解相似三角形;(3)相似三角形应满足形状一样,但大小可以不同;(4)相似用“∽”表示,读作“相似于”;(5)相似三角形的对应边之比叫做相似比.知识点5.相似三角的判定方法(1)定义:对应角相等,对应边成比例的两个三角形相似;(2)平行于三角形一边的直线截其他两边(或其他两边的延长线)所构成的三角形与原三角形相似.(3)如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似.(4)如果一个三角的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例,并且夹角相等,那么这两个三角形相似.(5)如果一个三角形的三条边分别与另一个三角形的三条边对应成比例,那么这两个三角形相似.(6)直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形都相似.知识点6.相似三角形的性质(1)对应角相等,对应边的比相等;(2)对应高的比,对应中线的比,对应角平分线的比都等于相似比;(3)相似三角形周长之比等于相似比;面积之比等于相似比的平方.(4)射影定理九年级下册数学知识点总结【篇一:直线与圆的位置关系】①直线和圆无公共点,称相离。
(完整版)北师大版九年级数学下册知识点归纳复习提纲

图1 新北师大版九年级数学下册知识点总结第一章 直角三角形边的关系一.锐角三角函数 1.正切:定义:在Rt△ABC 中,锐角∠A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切..,记作tanA , 即的邻边的对边A A A ∠∠=tan ;①tanA 是一个完整的符号,它表示∠A 的正切,记号里习惯省去角的符号“∠”; ②tanA 没有单位,它表示一个比值,即直角三角形中∠A 的对边与邻边的比; ③tanA 不表示“tan”乘以“A”;④初中阶段,我们只学习直角三角形中,∠A 是锐角的正切;⑤tanA 的值越大,梯子越陡,∠A 越大;∠A 越大,梯子越陡,tanA 的值越大。
2.正弦..: 定义:在Rt△ABC 中,锐角∠A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦,记作sinA ,即斜边的对边A A ∠=sin ;3.余弦:定义:在Rt△ABC 中,锐角∠A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦,记作cosA ,即斜边的邻边A A ∠=cos ; 锐角A 的正弦、余弦和正切都是∠A 的三角函数当锐角A 变化时,相应的正弦、余弦和正切之也随之变化。
二.特殊角的三角函数值30 º45 º 60 º sin α21 22 23 h i=h:lBC三.三角函数的计算1. 仰角:当从低处观测高处的目标时,视线与水平线所成的锐角称为仰角..2. 俯角:当从高处观测低处的目标时,视线与水平线所成的锐角称为俯角..3.规律:利用特殊角的三角函数值表,可以看出,(1)当角度在0°~90°间变化时,正弦值、正切值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小);余弦值随着角度的增大(或减小)而减小(或增大)。
(2)0≤sin α≤1,0≤cos α≤1。
4.坡度:如图2,坡面与水平面的夹角叫做坡角坡角的正切称为坡度........... (或坡比..)。
用字母i 表示,即A lhi tan ==5.方位角:从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角,叫做方位角...。
北师大版九年级下册数学[圆的对称性—知识点整理及重点题型梳理](提高)
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北师大版九年级下册数学重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习圆的对称性—知识讲解(提高)【学习目标】1.理解圆的对称性;并能运用其特有的性质推出在同一个圆中,圆心角、弧、弦之间的关系,能运用这些关系解决问题,培养学生善于从实验中获取知识的科学的方法;理解弦、弧、半圆、优弧、劣弧、等弧等与圆有关的概念,理解概念之间的区别和联系;2.通过探索、观察、归纳、类比,总结出垂径定理等概念,在类比中理解深刻认识圆中的圆心角、弧、弦三者之间的关系;3. 掌握在同圆或等圆中,三组量:两个圆心角、两条弦、两条弧,只要有一组量相等,就可以推出其它两组量对应相等,及其它们在解题中的应用.【要点梳理】要点一、圆的对称性圆是轴对称图形,过圆心的直线是它的对称轴,有无数条对称轴.圆是中心对称图形,对称中心为圆心.要点诠释:圆具有旋转不变的特性.即一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度,都能与原来的图形重合.要点二、与圆有关的概念1.弦弦:连结圆上任意两点的线段叫做弦.直径:经过圆心的弦叫做直径.弦心距:圆心到弦的距离叫做弦心距.要点诠释:直径是圆中通过圆心的特殊弦,也是圆中最长的弦,即直径是弦,但弦不一定是直径.为什么直径是圆中最长的弦?如图,AB是⊙O的直径,CD是⊙O中任意一条弦,求证:AB≥CD.证明:连结OC、OD∵AB=AO+OB=CO+OD≥CD(当且仅当CD过圆心O时,取“=”号)∴直径AB是⊙O中最长的弦.2.弧弧:圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧.以A、B为端点的弧记作,读作“圆弧AB”或“弧AB”.半圆:圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧,每一条弧都叫做半圆;优弧:大于半圆的弧叫做优弧;劣弧:小于半圆的弧叫做劣弧.要点诠释:①半圆是弧,而弧不一定是半圆;②无特殊说明时,弧指的是劣弧.3.等弧在同圆或等圆中,能够完全重合的弧叫做等弧.要点诠释:①等弧成立的前提条件是在同圆或等圆中,不能忽视;②圆中两平行弦所夹的弧相等.要点三、垂径定理1.垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧.2.推论平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.要点诠释:(1)垂径定理是由两个条件推出两个结论,即(2)这里的直径也可以是半径,也可以是过圆心的直线或线段.要点四、垂径定理的拓展根据圆的对称性及垂径定理还有如下结论:(1)平分弦(该弦不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧;(2)弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧;(3)平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧.要点诠释:在垂径定理及其推论中:过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧,在这五个条件中,知道任意两个,就能推出其他三个结论.(注意:“过圆心、平分弦”作为题设时,平分的弦不能是直径)要点五、弧、弦、圆心角的关系1.圆心角与弧的关系:在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦也相等.2. 圆心角、弧、弦的关系:在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等.要点诠释:(1)一个角要是圆心角,必须具备顶点在圆心这一特征;(2)注意关系中不能忽视“同圆或等圆”这一前提.3. 圆心角的度数与它所对的弧的度数相等.【典型例题】类型一、应用垂径定理进行计算与证明1.(2015春•安岳县月考)如图,⊙O直径AB和弦CD相交于点E,AE=2,EB=6,∠DEB=30°,求弦CD长.【答案与解析】解:过O作OF⊥CD,交CD于点F,连接OD,∴F为CD的中点,即CF=DF,∵AE=2,EB=6,∴AB=AE+EB=2+6=8,∴OA=4,∴OE=OA﹣AE=4﹣2=2,在Rt△OEF中,∠DEB=30°,∴OF=OE=1,在Rt△ODF中,OF=1,OD=4,根据勾股定理得:DF==,则CD=2DF=2.【总结升华】对于垂径定理的使用,一般多用于解决有关半径、弦长、弦心距之间的运算(配合勾股定理)问题.举一反三:【变式1】如图所示,⊙O两弦AB、CD垂直相交于H,AH=4,BH=6,CH=3,DH=8,求⊙O半径.【答案】如图所示,过点O分别作OM⊥AB于M,ON⊥CD于N,则四边形MONH为矩形,连结OB,∴12MO HN CN CH CD CH==-=-11()(38)3 2.522CH DH CH=+-=+-=,111()(46)5222BM AB BH AH==+=+=,∴在Rt△BOM中,OB==【变式2】如图,AB为⊙O的弦,M是AB上一点,若AB=20cm,MB=8cm,OM=10cm,求⊙O的半径.【答案】14cm.2.已知:⊙O的半径为10cm,弦AB∥CD,AB=12cm,CD=16cm,求AB、CD间的距离.【思路点拨】⊙O中,两平行弦AB、CD间的距离就是它们的公垂线段的长度,若分别作弦AB、CD的弦心距,则可用弦心距的长表示这两条平行弦AB、CD间的距离.【答案与解析】(1)如图1,当⊙O的圆心O位于AB、CD之间时,作OM⊥AB于点M,并延长MO,交CD于N点.分别连结AO、CO.∵AB∥CD∴ON⊥CD,即ON为弦CD的弦心距.∵AB=12cm,CD=16cm,AO=OC=10cm,=8+6=14(cm)图1 图2(2)如图2所示,当⊙O的圆心O不在两平行弦AB、CD之间(即弦AB、CD在圆心O的同侧)时,同理可得:MN=OM-ON=8-6=2(cm)∴⊙O中,平行弦AB、CD间的距离是14cm或2cm.【总结升华】解这类问题时,要按平行线与圆心间的位置关系,分类讨论,千万别丢解.举一反三:【变式】在⊙O中,直径MN⊥AB,垂足为C,MN=10,AB=8,则MC=_________.【答案】2或8.类型二、垂径定理的综合应用3.(2015•普陀区一模)如图,某新建公园有一个圆形人工湖,湖中心O处有一座喷泉,小明为测量湖的半径,在湖边选择A、B两个点,在A处测得∠OAB=45°,在AB延长线上的C处测得∠OCA=30°,已知BC=50米,求人工湖的半径.(结果保留根号)【答案与解析】解:过点O作OD⊥AC于点D,则AD=BD,∵∠OAB=45°,∴AD=OD,∴设AD=x,则OD=x,OA=x,CD=x+BC=x+50).∵∠OCA=30°,∴=tan30°,即=,解得x=25﹣25,∴OA=x=×(25﹣25)=(25﹣25)(米).答:人工湖的半径为(25﹣25)米.【总结升华】本题考查的是垂径定理的应用,根据题意作出辅助线,构造出直角三角形是解答此题的关键.4. 不过圆心的直线l交⊙O于C、D两点,AB是⊙O的直径,AE⊥l于E,BF⊥l于F.(1)在下面三个圆中分别画出满足上述条件的具有不同位置关系的图形;(2)请你观察(1)中所画图形,写出一个各图都具有的两条线段相等的结论(OA=OB除外)(不再标注其他字母,找结论的过程中所连辅助线不能出现在结论中,不写推理过程);(3)请你选择(1)中的一个图形,证明(2)所得出的结论.【答案与解析】(1)如图所示,在图①中AB、CD延长线交于⊙O外一点;在图②中AB、CD交于⊙O内一点;在图③中AB∥CD.(2)在三个图形中均有结论:线段EC=DF.(3)证明:过O作OG⊥l于G.由垂径定理知CG=GD.∵ AE⊥l于E,BF⊥l于F,∴ AE∥OG∥BF.∵ AB为直径,∴ AO=OB,∴ EG=GF,∴ EC=EG-CG=GF-GD=DF.【总结升华】在运用垂径定理解题时,常用的辅助线是过圆心作弦的垂线,构造出垂径定理的基本图形. 类型三、圆心角、弧、弦之间的关系及应用5.已知:如图所示,⊙O 中弦AB =CD .求证:AD =BC .【思路点拨】本题主要是考查弧、弦、圆心角之间的关系,要证AD =BC ,只需证AD BC =或证∠AOD=∠BOC 即可.【答案与解析】证法一:如图①,∵ AB =CD ,∴ A B C D =.∴ A B B DC D B D -=-,即AD BC =, ∴ AD =BC .证法二:如图②,连OA 、OB 、OC 、OD ,∵ AB =CD ,∴ ∠AOB =∠COD .∴ ∠AOB -∠DOB =∠COD -∠DOB ,即∠AOD =∠BOC ,∴ AD =BC .【总结升华】在同圆或等圆中,证两弦相等时常用的方法是找这两弦所对的弧相等或所对的圆心角相等,而图中没有已知的等弧和等圆心角,必须借助已知的等弦进行推理.举一反三:【变式】如图所示,已知AB 是⊙O 的直径,M 、N 分别是AO 、BO 的中点,CM ⊥AB ,DN ⊥AB . 求证:AC BD =.【答案】证法一:如上图所示,连OC、OD,则OC=OD,∵OA=OB,且12OM OA=,12ON OB=,∴OM=ON,而CM⊥AB,DN⊥AB,∴Rt△COM≌Rt△DON,∴∠COM=∠DON,∴A C B D=.证法二:如下图,连AC、BD、OC、OD.∵M是AO的中点,且CM⊥AB,∴AC=OC,同理BD=OD,又OC=OD.∴AC=BD,∴A C B D=.。
新北师大版九年级数学下册知识点复习汇总

新北师大版九年级数学下册知识点汇总第一章 直角三角形边的关系一.锐角三角函数1.正切:定义:在Rt△ABC 中,锐角∠A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切..,记作tanA , 即的邻边的对边A A A ∠∠=tan ;①tanA 是一个完整的符号,它表示∠A 的正切,记号里习惯省去角的符号“∠”;②tanA 没有单位,它表示一个比值,即直角三角形中∠A 的对边与邻边的比;③tanA 不表示“tan”乘以“A”;④初中阶段,我们只学习直角三角形中,∠A 是锐角的正切;⑤tanA 的值越大,梯子越陡,∠A 越大;∠A 越大,梯子越陡,tanA 的值越大。
2.正弦..: 定义:在Rt△ABC 中,锐角∠A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦,记作sinA ,即斜边的对边A A ∠=sin ; 3.余弦:定义:在Rt△ABC 中,锐角∠A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦,记作cosA ,即斜边的邻边A A ∠=cos ; 锐角A 的正弦、余弦和正切都是∠A 的三角函数当锐角A 变化时,相应的正弦、余弦和正切之也随之变化。
二.特殊角的三角函数值图1 图3 图4三.三角函数的计算 1. 仰角:当从低处观测高处的目标时,视线与水平线所成的锐角称为仰角..2. 俯角:当从高处观测低处的目标时,视线与水平线所成的锐角称为俯角..3.规律:利用特殊角的三角函数值表,可以看出,(1)当角度在0°~90°间变化时,正弦值、正切值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小);余弦值随着角度的增大(或减小)而减小(或增大)。
(2)0≤sin α≤1,0≤cos α≤1。
4.坡度:如图2,坡面与水平面的夹角叫做坡角坡角的正切称为坡度........... (或坡比..)。
用字母i 表示,即A lh i tan == 5.方位角:从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角,叫做方位角...。
如图3,OA 、OB 、OC 的方位角分别为45°、135°、225°。
北师大版九年级数学(下)全书知识总结

(2) 的值越大,梯子越陡。
(3) 的值越小,梯子越陡。
3、导出公式
(1) ; 。
(2) 。
(3) .
要点诠释:
(1)公式成立的条件是
(2)锐角三角函数之间的关系式可由锐角三角函数的意义推导得出,常应用在三角函数的计算中,计算时巧用这些关系式可使运算简便.
1.230°、45°、60°角的三角函数值
要点一、1.2 30°、45°、60°角的三角函数值
利用三角函数的定义,可求出30°、45°、60°角的各三角函数值,归纳如下:
锐角
30°
45°
1
60°
要点诠释:
(1)通过该表可以方便地知道30°、45°、60°角的各三角函数值,它的另一个应用就是:如果知道了一个锐角的三角函数值,就可以求出这个锐角的度数,例如:若 ,则锐角 .
(3)任何一个锐角都有相应的锐角三角函数值,不因这个角不在某个三角形中而不存在.
(4)由锐角三角函数的定义知:
当角度在0°<∠A<90°间变化时, , ,tanA>0.
要点二、梯子的倾斜程度与梯子的关系
1、坡度:坡面的铅直高度 与水平宽度 的比称为坡度(或坡比),用字母 表示。设坡角为 ,则坡度 = = ,如图,坡度通常写成 的形式.
顶点坐标
对称轴
函数变化
最大(小)值
y=ax2
a>0
向上
(0,0)
y轴
x>0时,y随x增大而增大;
x<0时,y随x增大而减小.
当x=0时,
y最小=0
y=ax2
a<0
向下
(0,0)
y轴
x>0时,y随x增大而减小;
北师大版九年级数学知识点汇总

一、数与代数1.数的概念与数的读法2.数的比较大小3.整数的四则运算4.分数的概念与分数的四则运算5.小数的概念与小数的四则运算6.百分数的概念与百分数的四则运算7.有理数的概念与有理数的四则运算8.正数、负数与绝对值9.代数式与代数方程10.一次代数方程的解11.二次根式的概念与运算12.分式的概念与运算13.根式的概念与运算14.简单的函数与函数的图象二、几何1.平行线与平行四边形2.相交线与相交角3.三角形的分类与性质4.角的概念与角的分类5.直角三角形与斜角三角形6.相似三角形与比例7.圆的概念与性质8.圆内接四边形与正多边形9.三视图与棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台的概念三、统计与概率1.统计调查与统计图表2.频率分布直方图与频率分布折线图3.统计数据的分析与统计平均数、中位数、众数4.概率的概念与概率的计算四、函数与方程1.函数的概念与函数的性质2.函数关系与函数图象3.函数与方程的思想与方法4.一次函数的概念与性质5.一次函数图象与应用6.一次函数方程与问题7.二次函数的概念与性质8.二次函数的图象与应用9.二次函数方程与问题的解法五、计量与单位1.长度、面积与体积2.常用度量单位与换算3.时间与速度4.英制单位与国际单位六、解析几何初步1.平面直角坐标系2.点的坐标与位置关系3.直线的方程与性质4.圆的方程与性质5.解直线与圆的方程及几何应用七、三角函数的初步研究1.角的三要素2.角度与弧度3.正弦定理与余弦定理4.解三角形的问题以上是北师大版九年级数学的主要知识点汇总,涵盖了数与代数、几何、统计与概率、函数与方程、计量与单位、解析几何初步、三角函数的初步研究等各个方面。
对于学生来说,掌握这些知识点将有助于他们在九年级数学学习中取得更好的成绩。
北师大版初三(下)数学重点知识点汇总

初三(下)重点知识点汇总第1课锐角三角函数1.锐角三角函数的定义在Rt△ABC中,∠C=90°.(1)正弦:我们把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的______,记作sinA.即sinA=∠A的对边斜边=ac.(2)余弦:锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的______,记作cosA.即cosA=∠A的邻边斜边=bc.(3)正切:锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的______,记作tanA.即tanA=∠A的对边∠A的邻边=ab.(4)三角函数:锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数.2.锐角三角函数的增减性(1)锐角三角函数值都是___值.(2)当角度在0°~90°间变化时,①正弦值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小);②余弦值随着角度的增大(或减小)而减小(或增大);③正切值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小).(3)当角度在0°≤∠A≤90°间变化时,0≤sinA≤1,0≤cosA≤1.当角度在0°<∠A<90°间变化时,tanA>0.3.互余两角三角函数的关系在直角三角形中,∠A+∠B=90°时,正余弦之间的关系为:(1)一个角的正弦值等于这个角的余角的______值,即sinA=(90°﹣∠A);(2)一个角的余弦值等于这个角的余角的______值,即cosA=sin(90°﹣∠A);也可以理解成若∠A+∠B=90°,那么sinA=cosB或sinB=cosA.参考答案:1.(1)正弦;(2)余弦;(3)正切2.(1)正3.(1)余弦正弦第2课特殊角的三角函数值1.特殊角的三角函数值特指___、_____、_____角的各种三角函数值.sin30°=;cos30°=;tan30°=;sin45°=;cos45°=;tan45°=1;sin60°=;cos60°=;tan60°=;2.特殊角的三角函数值的应用(1)应用中熟记特殊角的三角函数值,一是按值的变化规律去记,正弦逐渐_______,余弦逐渐_______,正切逐渐_______;二是按特殊直角三角形中各边特殊值规律去记.(2)特殊角的三角函数值应用广泛,一是它可以当作数进行运算,二是具有三角函数的特点,在解直角三角形中应用较多.参考答案:1. 30°、45°、60°2.(1)增大减小增大第2课解直角三角形(1)1.解直角三角形(1)解直角三角形的定义在直角三角形中,由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形.(2)解直角三角形要用到的关系①锐角直角的关系:∠A+∠B=90°;②三边之间的关系:__________;③边角之间的关系:sinA=∠A的对边:斜边=a:c,cosA=∠A的邻边:斜边=b:c,tanA=∠A的对边:邻边=a:b.(a,b,c分别是∠A、∠B、∠C的对边)2.特殊角的三角函数值特指___、_____、_____角的各种三角函数值.sin30°=;cos30°=;tan30°=;sin45°=;cos45°=;tan45°=1;sin60°=;cos60°=;tan60°=;参考答案:1.(2)a2+b2=c22. 30°、45°、60°第3课解直角三角形(2)1.解直角三角形的应用(1)通过解直角三角形能解决实际问题中的很多有关测量问.如:测不易直接测量的物体的高度、测河宽等,关键在于构造出直角三角形,通过测量角的度数和测量边的长度,计算出所要求的物体的高度或长度.(2)解直角三角形的一般过程是:①将实际问题抽象为数学问题(画出平面图形,构造出直角三角形转化为解直角三角形问题).②根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形,得到数学问题的答案,再转化得到实际问题的答案.2.解直角三角形的应用-坡度坡角问题(1)坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比,又叫做_____,它是一个比值,反映了斜坡的陡峭程度,一般用i表示,常写成i=1:m的形式.(2)把坡面与水平面的夹角α叫做坡角,坡度i与坡角α之间的关系为:i=h/l=tanα.(3)在解决坡度的有关问题中,一般通过作高构成直角三角形,坡角即是一锐角,坡度实际就是一锐角的正切值,水平宽度或铅直高度都是直角边,实质也是解直角三角形问题.应用领域:①测量领域;②航空领域③航海领域:④工程领域等.3.解直角三角形的应用-仰角俯角问题(1)概念:仰角是_____的视线与水平线的夹角;俯角是_____向下看的视线与水平线的夹角.(2)解决此类问题要了解角之间的关系,找到与已知和未知相关联的直角三角形,当图形中没有直角三角形时,要通过作高或垂线构造直角三角形,另当问题以一个实际问题的形式给出时,要善于读懂题意,把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决.4.解直角三角形的应用-方向角问题(1)在辨别方向角问题中:一般是以第一个方向为始边向另一个方向旋转相应度数.(2)在解决有关方向角的问题中,一般要根据题意理清图形中各角的关系,有时所给的方向角并不一定在直角三角形中,需要用到两直线平行内错角相等或一个角的余角等知识转化为所需要的角.参考答案:2.(1)坡比3.(1)向上看向下看第4课二次函数1.二次函数的定义(1)二次函数的定义:一般地,形如y=ax2+bx+c(a、b、c是常数,a≠0)的函数,叫做二次函数.其中x、y是变量,a、b、c是常量,a是二次项系数,b是一次项系数,c是常数项.y═ax2+bx+c(a、b、c是常数,a≠0)也叫做二次函数的一般形式.判断函数是否是二次函数,首先是要看它的右边是否为_____,若是整式且仍能化简的要先将其化简,然后再根据二次函数的定义作出判断,要抓住二次项系数不为0这个关键条件.(2)二次函数的取值范围:一般情况下,二次函数中自变量的取值范围是__________,对实际问题,自变量的取值范围还需使实际问题有意义.2.二次函数的性质二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标是______________,对称轴直线____________,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象具有如下性质:①当a>0时,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的开口向____,x<﹣时,y随x的增大而减小;x>﹣时,y随x的增大而增大;x=﹣时,y取得最小值,即顶点是抛物线的最低点.②当a<0时,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的开口向____,x<﹣时,y随x的增大而增大;x>﹣时,y随x的增大而减小;x=﹣时,y取得最大值,即顶点是抛物线的最高点.③抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象可由抛物线y=ax2的图象向右或向左平移||个单位,再向上或向下平移||个单位得到的.3.根据实际问题列二次函数关系式根据实际问题确定二次函数关系式关键是读懂题意,建立二次函数的数学模型来解决问题.需要注意的是实例中的函数图象要根据_______的取值范围来确定.①描点猜想问题需要动手操作,这类问题需要真正的去描点,观察图象后再判断是二次函数还是其他函数,再利用待定系数法求解相关的问题.②函数与几何知识的综合问题,有些是以函数知识为背景考查几何相关知识,关键是掌握数与形的转化;有些题目是以几何知识为背景,从几何图形中建立函数关系,关键是运用几何知识建立量与量的等式.参考答案:1.(1)整式;(2)全体实数2.(﹣,)x=﹣①上;②下3.自变量第5课二次函数的图像1.二次函数的图象(1)二次函数y=ax2(a≠0)的图象的画法:①_______:先取原点(0,0),然后以原点为中心对称地选取x值,求出函数值,列表.②_______:在平面直角坐标系中描出表中的各点.③_______:用平滑的曲线按顺序连接各点.④在画抛物线时,取的点越密集,描出的图象就越精确,但取点多计算量就大,故一般在顶点的两侧各取三四个点即可.连线成图象时,要按自变量从小到大(或从大到小)的顺序用平滑的曲线连接起来.画抛物线y=ax2(a≠0)的图象时,还可以根据它的对称性,先用描点法描出抛物线的一侧,再利用对称性画另一侧.(2)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象看作由二次函数y=ax2的图象向右或向左平移||个单位,再向上或向下平移||个单位得到的.2.二次函数图象与系数的关系二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)①二次项系数a决定抛物线的______和_______.当a>0时,抛物线向上开口;当a<0时,抛物线向下开口;|a|还可以决定开口大小,|a|越大,开口就越___.②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置.当a与b同号时(即ab>0),对称轴在y轴左;当a与b异号时(即ab<0),对称轴在y轴右.(简称:左同右异)③.常数项c决定抛物线与y轴交点.抛物线与y轴交于(0,c).④抛物线与x轴交点个数.△=b2﹣4ac>0时,抛物线与x轴有2个交点;△=b2﹣4ac=0时,抛物线与x轴有1个交点;△=b2﹣4ac<0时,抛物线与x轴没有交点.3.二次函数图象与几何变换由于抛物线平移后的形状____,故a不变,所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法:一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标,利用待定系数法求出解析式;二是只考虑平移后的顶点坐标,即可求出解析式.参考答案:1.(1)①列表;②描点;③连线;2.①开口方向大小小3.不变第6课二次函数解析式的判定1.二次函数解析式的三种常见形式二次函数的解析式有三种常见形式:①_________:y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0);②_________:y=a(x﹣h)2+k(a,h,k是常数,a≠0),其中(h,k)为顶点坐标;③_________:y=a(x﹣x1)(x﹣x2)(a,b,c是常数,a≠0);2.待定系数法求二次函数解析式用待定系数法求二次函数的解析式.在利用待定系数法求二次函数关系式时,要根据题目给定的条件,选择恰当的方法设出关系式,从而代入数值求解.一般地,当已知抛物线上三点时,常选择________,用待定系数法列三元一次方程组来求解;当已知抛物线的顶点或对称轴时,常设其解析式为________来求解;当已知抛物线与x 轴有两个交点时,可选择设其解析式为_______来求解.参考答案:1.①一般式;②顶点式;③交点式2. 一般式 顶点式 交点式第7课 用函数观点看一元二次函数1.二次函数与一元二次方程的关系如果抛物线与x 轴有公共点,公共点的横坐标是,那么当时,函数的值是0,因此______就是方程ax bx c 20++=的一个根。
北师大版九年级下册数学知识点大全

北师大版九年级下册数学知识点大全数学演算题的特点就在于:解题方法虽然不同,但最后的答案一定只有一个,只要演算正确,就可殊途同归。
接下来小编在这里给大家分享一些关于北师大版九年级下册数学知识点,供大家学习和参考,希望对大家有所帮助。
北师大版九年级下册数学知识点1 二次函数及其图像二次函数(quadratic function)是指未知数的次数为二次的多项式函数。
二次函数可以表示为f(x)=ax^2+bx+c(a不为0)。
其图像是一条主轴平行于y 轴的抛物线。
一般的,自变量x和因变量y之间存在如下关系:一般式y=ax∧2;+bx+c(a≠0,a、b、c为常数),顶点坐标为(-b/2a,-(4ac-b∧2)/4a) ;顶点式y=a(x+m)∧2+k(a≠0,a、m、k为常数)或y=a(x-h)∧2+k(a≠0,a、h、k为常数),顶点坐标为(-m,k)对称轴为x=-m,顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax∧2的图像相同,有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式;交点式y=a(x-x1)(x-x2) [仅限于与x轴有交点A(x1,0)和 B(x2,0)的抛物线] ;重要概念:a,b,c为常数,a≠0,且a决定函数的开口方向,a>0时,开口方向向上,a0时,抛物线向上开口;当a0),对称轴在y轴左; 因为若对称轴在左边则对称轴小于0,也就是- b/2a0),对称轴在y轴左;当a与b异号时(即ab0时,抛物线与x轴有2个交点。
Δ= b^2-4ac=0时,抛物线与x轴有1个交点。
_______Δ= b^2-4ac0时,函数在x= -b/2a处取得最小值f(-b/2a)=4ac-b?/4a;在{x|x-b/2a}上是增函数;抛物线的开口向上;函数的值域是{y|y≥4ac-b^2/4a}相反不变当b=0时,抛物线的对称轴是y轴,这时,函数是偶函数,解析式变形为y=ax^2+c(a≠0)特殊值的形式7.特殊值的形式①当x=1时 y=a+b+c②当x=-1时 y=a-b+c③当x=2时 y=4a+2b+c④当x=-2时 y=4a-2b+c二次函数的性质8.定义域:R值域:(对应解析式,且只讨论a大于0的情况,a小于0的情况请读者自行推断)①[(4ac-b^2)/4a,正无穷);②[t,正无穷)奇偶性:当b=0时为偶函数,当b≠0时为非奇非偶函数。
北师大版九年级数学下册知识点归纳复习提纲(K12教育文档)

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图1新北师大版九年级数学下册知识点总结第一章 直角三角形边的关系一.锐角三角函数 1。
正切:定义:在Rt△ABC 中,锐角∠A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切..,记作tanA, 即的邻边的对边A A A ∠∠=tan ;①tanA 是一个完整的符号,它表示∠A 的正切,记号里习惯省去角的符号“∠”; ②tanA 没有单位,它表示一个比值,即直角三角形中∠A 的对边与邻边的比; ③tanA 不表示“tan”乘以“A”;④初中阶段,我们只学习直角三角形中,∠A 是锐角的正切;⑤tanA 的值越大,梯子越陡,∠A 越大;∠A 越大,梯子越陡,tanA 的值越大。
2。
正弦..: 定义:在Rt△ABC 中,锐角∠A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦,记作sinA ,即斜边的对边A A ∠=sin ;3。
余弦:定义:在Rt△ABC 中,锐角∠A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦,记作cosA ,即斜边的邻边A A ∠=cos ;锐角A 的正弦、余弦和正切都是∠A 的三角函数当锐角A 变化时,相应的正弦、余弦和正切之也随之变化。
二.特殊角的三角函数值30 º 45 º 60 ºsin α 21 22 23 cos α23 22 21 图2h i=h:lBC图3三.三角函数的计算1。
北师大版九年级下册数学[《圆》全章复习与巩固—知识点整理及重点题型梳理](提高)
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北师大版九年级下册数学重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习《圆》全章复习与巩固—知识讲解(提高)【学习目标】1.理解圆及其有关概念,理解弧、弦、圆心角的关系;探索并了解点与圆、直线与圆的位置关系,探索并掌握圆周角与圆心角的关系、直径所对的圆周角的特征;2.了解切线的概念,探索并掌握切线与过切点的半径之间的位置关系,能判定一条直线是否为圆的切线,会过圆上一点画圆的切线;3.了解三角形的内心和外心,探索如何过一点、两点和不在同一直线上的三点作圆;4.了解正多边形的概念,掌握用等分圆周画圆的内接正多边形的方法;会计算弧长及扇形的面积;【知识网络】【要点梳理】要点一、圆的定义、性质及与圆有关的角1.圆的定义(1)线段OA绕着它的一个端点O旋转一周,另一个端点A所形成的封闭曲线,叫做圆.(2)圆是到定点的距离等于定长的所有点组成的图形.要点诠释:①圆心确定圆的位置,半径确定圆的大小;确定一个圆应先确定圆心,再确定半径,二者缺一不可;②圆是一条封闭曲线.2.圆的性质(1)旋转不变性:圆是旋转对称图形,绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合;圆是中心对称图形,对称中心是圆心.在同圆或等圆中,两个圆心角,两条弧,两条弦,两条弦心距,这四组量中的任意一组相等,那么它所对应的其他各组分别相等.(2)轴对称:圆是轴对称图形,经过圆心的任一直线都是它的对称轴. (3)垂径定理及推论:①垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧.②平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧. ③弦的垂直平分线过圆心,且平分弦对的两条弧.④平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心,且垂直平分此弦. ⑤平行弦夹的弧相等. 要点诠释:在垂经定理及其推论中:过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧,在这五个条件中,知道任意两个,就能推出其他三个结论.(注意:“过圆心、平分弦”作为题设时,平分的弦不能是直径) 3.与圆有关的角(1)圆心角:顶点在圆心的角叫圆心角.圆心角的性质:圆心角的度数等于它所对的弧的度数. (2)圆周角:顶点在圆上,两边都和圆相交的角叫做圆周角. 圆周角的性质:①圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半.②同弧或等弧所对的圆周角相等;在同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧相等. ③90°的圆周角所对的弦为直径;半圆或直径所对的圆周角为直角.④如果三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形. ⑤圆内接四边形的对角互补;外角等于它的内对角. 要点诠释:(1)圆周角必须满足两个条件:①顶点在圆上;②角的两边都和圆相交. (2)圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中.要点二、与圆有关的位置关系 1.判定一个点P 是否在⊙O 上 设⊙O 的半径为,OP=,则有点P 在⊙O 外; 点P 在⊙O 上;点P 在⊙O 内. 要点诠释:点和圆的位置关系和点到圆心的距离的数量关系是相对应的,即知道位置关系就可以确定数量关系;知道数量关系也可以确定位置关系.2.判定几个点12nA A A 、、在同一个圆上的方法当时,在⊙O 上.3.直线和圆的位置关系设⊙O 半径为R ,点O 到直线的距离为. (1)直线和⊙O 没有公共点直线和圆相离.(2)直线和⊙O 有唯一公共点直线和⊙O 相切.(3)直线和⊙O 有两个公共点直线和⊙O 相交.4.切线的判定、性质 (1)切线的判定:①经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.②到圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线.(2)切线的性质:①圆的切线垂直于过切点的半径.②经过圆心作圆的切线的垂线经过切点.③经过切点作切线的垂线经过圆心.(3)切线长:从圆外一点作圆的切线,这一点和切点之间的线段的长度叫做切线长.(4)切线长定理:从圆外一点作圆的两条切线,它们的切线长相等,这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.要点三、三角形的外接圆与内切圆、圆内接四边形与外切四边形1.三角形的内心、外心(1)三角形的内心:是三角形三条角平分线的交点,它是三角形内切圆的圆心,在三角形内部,它到三角形三边的距离相等,通常用“I”表示.(2)三角形的外心:是三角形三边中垂线的交点,它是三角形外接圆的圆心,锐角三角形外心在三角形内部,直角三角形的外心是斜边中点,钝角三角形外心在三角形外部,三角形外心到三角形三个顶点的距离相等,通常用O表示.要点诠释:(1) 任何一个三角形都有且只有一个内切圆,但任意一个圆都有无数个外切三角形;(2) 解决三角形内心的有关问题时,面积法是常用的,即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的一半,即(S为三角形的面积,P为三角形的周长,r为内切圆的半径).(3) 三角形的外心与内心的区别:2.圆内接四边形和外切四边形(1)四个点都在圆上的四边形叫圆的内接四边形,圆内接四边形对角互补,外角等于内对角.(2)各边都和圆相切的四边形叫圆外切四边形,圆外切四边形对边之和相等.要点四、圆中有关计算1.圆中有关计算圆的面积公式:,周长.圆心角为、半径为R的弧长.圆心角为,半径为R,弧长为的扇形的面积.弓形的面积要转化为扇形和三角形的面积和、差来计算.要点诠释:(1)对于扇形面积公式,关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的,即;(2)在扇形面积公式中,涉及三个量:扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角,知道其中的两个量就可以求出第三个量.(3)扇形面积公式,可根据题目条件灵活选择使用,它与三角形面积公式有点类似,可类比记忆;(4)扇形两个面积公式之间的联系:.【典型例题】类型一、圆的有关概念及性质1. 如图,已知⊙O是以数轴的原点O为圆心,半径为1的圆,∠AOB=45°,点P在数轴上运动,若过点P且与OA平行(或重合)的直线与⊙O有公共点, 设OP=x,则x的取值范围是().A.-1≤x≤1 B.≤x≤2C.0≤x≤2 D.x>2【思路点拨】关键是通过平移,确定直线与圆相切的情况,求出此时OP的值.【答案】C;有公共点时,0≤OP≤,举一反三:类型二、弧、弦、圆心角、圆周角的关系及垂径定理2.如图所示,已知在⊙O 中,AB 是⊙O 的直径,弦CG ⊥AB 于D ,F 是⊙O 上的点,且CF CB =,BF 交CG 于点E ,求证:CE =BE .【思路点拨】主要用垂径定理及其推论进行证明. 【答案与解析】证法一:如图(1),连接BC ,∵ AB 是⊙O 的直径,弦CG ⊥AB ,∴ CB GB =.∵ CF BC =,∴ CF GB =.∴ ∠C =∠CBE .∴ CE =BE .证法二:如图(2),作ON ⊥BF ,垂足为N ,连接OE . ∵ AB 是⊙O 的直径,且AB ⊥CG ,∴ CB BG =.∵ CB CF =,∴ CF BC BG ==.∴ BF =CG ,ON =OD .∵ ∠ONE =∠ODE =90°,OE =OE ,ON =OD , ∴ △ONE ≌△ODE ,∴ NE =DE . ∵ 12BN BF =,12CD CG =, ∴ BN =CD ,∴ BN-EN =CD-ED ,∴ BE =CE .证法三:如图(3),连接OC 交BF 于点N .∵ CF BC =,∴ OC ⊥BF . ∵ AB 是⊙O 的直径,CG ⊥AB ,∵ BG BC =,CF BG BC ==.∴ BF CG =,ON OD =.∵ OC =OB ,∴ OC-ON =OB-OD ,即CN =BD .又∠CNE =∠BDE =90°,∠CEN =∠BED , ∴ △CNE ≌△BDE ,∴ CE =BE .【总结升华】在平时多进行一题多解、一题多证、一题多变的练习,这样不但能提高分析问题的能力,而且还是沟通知识体系、学习知识,使用知识的好方法.举一反三:【变式】如图所示,在⊙O 内有折线OABC,其中OA=8,AB=12,∠A=∠B=60°,则BC 的长为( )A .19B .16C .18D .20【答案】如图,延长AO 交BC 于点D,过O 作OE ⊥BC 于E.则三角形ABD 为等边三角形,DA=AB=BD=12,OD=AD-AO=4在Rt △ODE 中,∠ODE=60°,∠DOE=30°,则DE=12OD=2,BE=BD-DE=10 OE 垂直平分BC ,BC=2BE=20. 故选D类型三、与圆有关的位置关系3.一个长方体的香烟盒里,装满大小均匀的20支香烟.打开烟盒的顶盖后,二十支香烟排列成三行,如图(1)所示.经测量,一支香烟的直径约为0.75cm ,长约为8.4cm. (1)试计算烟盒顶盖ABCD 的面积(本小题计算结果不取近似值);(2)制作这样一个烟盒至少需要多少面积的纸张(不计重叠粘合的部分,计算结果精确到,取)0.1cm 3173..【答案与解析】 (1)如图(2),作O 1E ⊥O 2O 3)324AB cm ∴==∴四边形ABCD 的面积是:(2)制作一个烟盒至少需要纸张:.【总结升华】四边形ABCD中,AD长为7支香烟的直径之和,易求;求AB长,只要计算出如图(2)中的O1E长即可.类型四、圆中有关的计算4.(2015•丹东)如图,AB是⊙O的直径,=,连接ED、BD,延长AE交BD的延长线于点M,过点D作⊙O的切线交AB的延长线于点C.(1)若OA=CD=2,求阴影部分的面积;(2)求证:DE=DM.【答案与解析】解:如图,连接OD,∵CD是⊙O切线,∴OD⊥CD,∵OA=CD=2,OA=OD,∴OD=CD=2,∴△OCD为等腰直角三角形,∴∠DOC=∠C=45°,∴S阴影=S△OCD﹣S扇OBD=﹣=4﹣π;(2)证明:如图,连接AD,∵AB是⊙O直径,∴∠ADB=∠ADM=90°,又∵=,∴ED=BD,∠MAD=∠BAD,在△AMD和△ABD中,,∴△AMD≌△ABD,∴DM=BD,∴DE=DM.【点评】本题考查的是切线的性质、弦、弧之间的关系、扇形面积的计算,掌握切线的性质定理和扇形的面积公式是解题的关键,注意辅助线的作法.举一反三:【变式】(2015•贵阳)如图,⊙O是△ABC的外接圆,AB是⊙O的直径,FO⊥AB,垂足为点O,连接AF并延长交⊙O于点D,连接OD交BC于点E,∠B=30°,FO=2.(1)求AC的长度;(2)求图中阴影部分的面积.(计算结果保留根号)【答案】解:(1)∵OF⊥AB,∴∠BOF=90°,∵∠B=30°,FO=2,∴OB=6,AB=2OB=12,又∵AB为⊙O的直径,∴∠ACB=90°,∴AC=AB=6;(2)∵由(1)可知,AB=12,∴AO=6,即AC=AO,在Rt△ACF和Rt△AOF中,∴Rt△ACF≌Rt△AOF,∴∠FAO=∠FAC=30°,∴∠DOB=60°,过点D作DG⊥AB于点G,∵OD=6,∴DG=3,∴S △ACF +S △OFD =S △AOD =×6×3=9, 即阴影部分的面积是9.类型五、圆与其他知识的综合运用5.ABC D BC DB DC DA +=如图,△是等边三角形,是上任一点,求证:.【思路点拨】由已知条件,等边△ABC 可得60°角,根据圆的性质,可得∠ADB =60°,利用截长补短的方法可得一个新的等边三角形,再证两个三角形全等,从而转移线段DC.【答案与解析】延长DB 至点E ,使BE =DC ,连结AE∵△ABC 是等边三角形∴∠ACB =∠ABC =60°,AB =AC∴∠ADB =∠ACB =60°∵四边形ABDC 是圆内接四边形∴∠ABE =∠ACD在△AEB 和△ADC 中,∴△AEB ≌△ADC∴AE =AD∵∠ADB =60°∴△AED 是等边三角形∴AD =DE =DB +BE∵BE =DC∴DB +DC =DA.【总结升华】本例也可以用其他方法证明.如:(1)延长DC至F,使CF=BD,连结AF,再证△ACF≌△ABD,得出AD=DF,从而DB+CD=DA.(2)在DA上截取DG=DC,连结CG,再证△BDC≌△AGC,得出BD=AG,从而DB+CD=DA.6.如图,直径AB为6的半圆,绕A点逆时针旋转60°,此时点B到了点B′,则图中阴影部分的面积是().A. 3πB. 6πC. 5πD. 4π【答案】B;【解析】阴影部分的面积=以AB′为直径的半圆的面积+扇形ABB′的面积-以AB为直径的半圆的面积=扇形ABB′的面积.则阴影部分的面积是:=6π故选B.【总结升华】根据阴影部分的面积=以AB′为直径的半圆的面积+扇形ABB′的面积-以AB为直径的半圆的面积=扇形ABB′的面积.即可求解.举一反三:【变式】某中学举办校园文化艺术节,小颖设计了同学们喜欢的图案“我的宝贝”,图案的一部分是以斜边长为12cm的等腰直角三角形的各边为直径作的半圆,如图所示,则图中阴影部分的面积为( ).A. B.72 C.36 D.72【答案】本题解法很多,如两个小半圆面积和减去两个弓形面积等.但经过认真观察等腰直角三角形其对称性可知,阴影部分的面积由两个小半圆面积与三角形面积的和减去大半圆面积便可求得,所以由已知得直角边为,小半圆半径为(cm),因此阴影部分面积为.故选C.。
新北师大版九年级数学下册知识点总结

新北师大版九年级数学下册知识点总结第一章:有理数1. 有理数的概念:有理数包括整数和分数,整数包括正整数、负整数和零,分数包括正分数和负分数。
2. 有理数的比较:两个有理数的大小可以通过比较它们的大小关系来确定。
3. 有理数的加法和减法:有理数的加法和减法遵循相同数相加减法则。
第二章:平面直角坐标系1. 平面直角坐标系的概念:平面直角坐标系是一个有序数对的平面,其中包括横轴和纵轴。
2. 坐标的表示方法:在平面直角坐标系中,点的位置可以用坐标表示,横坐标表示横轴上的位置,纵坐标表示纵轴上的位置。
3. 点的位置关系:在平面直角坐标系中,有不同的点的位置关系,如同一点、同一直线、同一平面等。
第三章:相似三角形1. 相似三角形的概念:两个三角形的对应角相等,对应边成比例,则这两个三角形相似。
2. 相似三角形的性质:相似三角形的各对应角相等,对应边成比例。
3. 判断相似三角形的方法:可以通过判断三角形的角度和边长是否成比例来确定两个三角形是否相似。
第四章:代数式1. 代数式的概念:由数、字母和运算符号组成的式子称为代数式。
2. 代数式的运算:代数式可以进行加法、减法、乘法和除法运算。
3. 代数式的化简:将代数式中的同类项合并,进行合并加减法运算。
第五章:线性方程与方程组1. 线性方程的概念:一次方程称为线性方程,形如ax + b = 0。
2. 解线性方程的方法:可以通过逆运算求解线性方程,将方程两边加上同一个数或将方程两边乘以同一个数。
3. 方程组的概念:包含多个方程的组合称为方程组。
以上是新北师大版九年级数学下册的知识点总结,希望对你有帮助!。
北师大初三下册数学知识点总结

北师大初三下册数学知识点总结一、内容综述初三下册数学,知识点众多且密集,但别担心我们来一起梳理一下。
这册数学书可是咱们迈向高中数学殿堂的重要阶梯,里面涵盖了各种数学小技巧和大学问。
三角函数、相似图形、概率统计等等,这些都是我们即将深入学习的大主题。
每个知识点都像数学世界中的一颗珍珠,串联起来就能形成美丽的数学项链。
那么让我们一起打开这册数学书的大门,开启探索之旅吧!1. 简述北师大初三下册数学课程的重要性进入初三数学课程的学习愈发重要,北师大初三下册数学,不仅仅是知识点的学习,更是思维能力的培养。
这门课程仿佛打开了一扇探索数学世界的门户,让我们在数字与图形的世界里自由遨游。
说到其重要性,不只是因为它关系到升学考试,更是因为它培养了我们的逻辑思维、空间想象等核心能力。
数学是百科之基础,而北师大初三下册数学课程更是这一基础的关键部分。
那么接下来,我们就来详细梳理一下这本教材中的知识点。
2. 概括本文的目的和主要内容开篇先给大家介绍一下,这篇文章主要是为大家梳理北师大初三下册数学的知识点。
目的呢就是帮助大家更好地理解和掌握数学知识,为中考打好基础。
咱们都知道,初三下册的数学知识点那可是一大堆,要是不理出个头绪来,复习的时候肯定会手忙脚乱。
所以这篇文章就是来帮助大家解决这个问题,让大家对北师大初三下册的数学知识点有个清晰的了解。
接下来咱们就一起来看看这些重要的知识点都有哪些吧!二、数与代数数字的世界:我们会复习整数、小数、百分数等基础知识,还会接触到新的数,如二次根式等。
这些都是数学世界的基础砖块,得打好扎实的基础才行。
式的演变:我们将深入学习代数式,理解什么是变量、什么是表达式,如何化简代数式等。
这就像解读一本充满未知字母的书,每一次的解析都会让我们离答案更近一步。
方程与不等式:通过解一元一次方程、不等式等,我们学习如何找到未知数的秘密。
这些方程在生活中无处不在,掌握了它我们就能更好地解决实际问题。
函数的初步认识:函数是数学的一个重要概念,我们会学习如何识别函数、如何画出函数的图像等。
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2013最新版初三下册数学知识点总结第一章 直角三角形边的关系※一. 正切:定义:在Rt △ABC 中,锐角∠A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切..,记作tanA , 即的邻边的对边A A A ∠∠=tan ;①tanA 是一个完整的符号,它表示∠A 的正切,记号里习惯省去角的符号“∠”; ②tanA 没有单位,它表示一个比值,即直角三角形中∠A 的对边与邻边的比; ③tanA 不表示“tan”乘以“A”;④初中阶段,我们只学习直角三角形中,∠A 是锐角的正切; ⑤tanA 的值越大,梯子越陡,∠A 越大;∠A 越大,梯子越陡,tanA 的值越大。
※二. 正弦..: 定义:在Rt △ABC 中,锐角∠A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦,记作sinA ,即斜边的对边A A ∠=sin ;※三. 余弦: 定义:在Rt △ABC 中,锐角∠A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦,记作cosA ,即斜边的邻边A A ∠=cos ;※余切: 定义:在Rt △ABC 中,锐角∠A 的邻边与对边的比叫做∠A 的余切,记作cotA ,即的对边的邻边A A A ∠∠=cot ;※一个锐角的正弦、余弦、正切、余切分别等于它的余角的余弦、正弦、余切、正切。
(通常我们称正弦、余弦互为余函数。
同样,也称正切、余切互为余函数,可以概括为:一个锐角的三角函数等于它的余角的余函数)用等式表达:若∠A 为锐角,则 ①)90cos(sin A A ∠-︒=;)90sin(cos A A ∠-︒=②)90cot(tan A A ∠-︒=;)90tan(cot A A ∠-︒=图1图 3图4※当从低处观测高处的目标时,视线与水平线所成的锐角称为仰.角. ※当从高处观测低处的目标时,视线与水平线所成的锐角称为俯角..※利用特殊角的三角函数值表,可以看出,(1)当角度在0°~90°间变化时,正弦值、正切值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小);余弦值、余切值随着角度的增大(或减小)而减小(或增大)。
(2)0≤sin α≤1,0≤cos α≤1。
※同角的三角函数间的关系:倒数关系:tg α·ctg α=1。
※在直角三角形中,除直角外,一共有五个元素,即三条边和二个锐角。
由直角三角形中除直角外的已知元素,求出所有未知元素的过程,叫做解直角三角形。
◎在△ABC 中,∠C 为直角,∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c ,则有 (1)三边之间的关系:a 2+b 2=c 2;(2)两锐角的关系:∠A +∠B=90°; (3)边与角之间的关系:;cot ,tan ,cos ,sin a bA b aA c bA c aA ====;cot ,tan ,cos ,sin baB abB caB cbB ====(4)面积公式:c ch ab 2121S ==∆(h c 为C 边上的高); (5)直角三角形的内切圆半径2cb a r -+=(6)直角三角形的外接圆半径c R 21=◎解直角三角形的几种基本类型列表如下:◎解直角三角形的几种基本类型列表如下:图2h i=h:lBC※ 如图2,坡面与水平面的夹角叫做坡角.. (或叫做坡比..)。
用字母i 表示,即A lhi tan ==◎从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角,叫做方位角...。
如图3,OA 、OB 、OC 的方位角分别为45°、135°、225°。
◎指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角,叫做方向角...。
如图4,OA 、OB 、OC 、OD 的方向角分别是;北偏东30°,南偏东45°(东南方向)、南偏西为60°,北偏西60°。
第二章 二次函数※二次函数的概念:形如c bx ax y ++=2(a 、b 、c 是常数,a ≠0)的函数,叫做x 的二次..函数..。
自变量的取值范围是全体实数。
)0(2≠=a ax y 是二次函数的特例,此时常数b=c=0.※在写二次函数的关系式时,一定要寻找两个变量之间的等量关系,列出相应的函数关系式,并确定自变量的取值范围........。
※二次函数y =ax 2的图象是一条顶点在原点关于y 轴对称的曲线,这条曲线叫做抛物线...。
描述抛物线常从开口方向、对称性、y 随x 的变化情况、抛物线的最高(或最低)点、抛物线与x 轴的交点等方面来描述。
①函数的取值范围是全体实数;②抛物线的顶点在(0,0),对称轴是y 轴(或称直线x =0)。
③当a >0时,抛物线开口向上,并且向上方无限伸展。
当a <0时,抛物线开口向下,并且向下方无限伸展。
④函数的增减性:A 、当a >0时⎩⎨⎧≥≤.,0;,0增大而增大随时增大而减小随时x y x x y xB 、当a <0时⎩⎨⎧≥≤.,0;,0增大而减小随时增大而增大随时x y x x y x⑤当|a |越大,抛物线开口越小;当|a |越小,抛物线的开口越大。
⑥最大值或最小值:当a >0,且x =0时函数有最小值,最小值是0;当a <0,且x =0时函数有最大值,最大值是0。
※二次函数c ax y +=2的图象是一条顶点在y 轴上且与y 轴对称的抛物线※二次函数c bx ax y ++=2的图象是以abx 2-=为对称轴,顶点在 (ab2-,a b ac 442-)的抛物线。
(开口方向和大小由a 来决定)※|a|的越大,抛物线的开口程度越小,越靠近对称轴y 轴,y 随x 增长(或下降)速度越快;|a|的越小,抛物线的开口程度越大,越远离对称轴y 轴,y 随x 增长(或下降)速度越慢。
※二次函数c ax y +=2的图象中,a 的符号决定抛物线的开口方向,|a|决定抛物线的开口程度大小,c 决定抛物线的顶点位置,即抛物线位置的高低。
※二次函数c bx ax y ++=2的图象与y =ax 2的图象的关系:c bx ax y ++=2的图象可以由y =ax 2的图象平移得到,其步骤如下: ① 将c bx ax y ++=2配方成k h x a y +-=2)(的形式;(其中h=ab2-,k=a b ac 442-);②把抛物线2ax y =向右(h>0)或向左(h<0)平移|h|个单位,得到y=a(x-h)2的图象;③再把抛物线2)(h x a y -=向上(k>0)或向下(k<0)平移| k|个单位,便得到k h x a y +-=2)(的图象。
※二次函数c bx ax y ++=2的性质:二次函数c bx ax y ++=2配方成ab ac a b x a y 44)2(22-++=则抛物线的①对称轴:x =a b2-②顶点坐标:(ab 2-,a b ac 442-) ③增减性:若a>0,则当x<ab2-时,y 随x 的增大而减小.....; 当x>ab2-时,y 随x 的增大而增大。
...... 若a<0,则当x<ab2-时,y 随x 的增大而增大.....; 当x>ab2-时,y 随x 的增大而减小。
...... ④最值:若a>0,则当x=ab2-时,a b ac y 442-=最小;若a<0,则当x=ab2-时,a b ac y 442-=最大※画二次函数c bx ax y ++=2的图象:我们可以利用它与函数2ax y =的关系,平移抛物线而得到,但往往我们采用简化了的描点法----五点法来画二次函数来画二次函数的图象,其步骤如下:①先找出顶点(ab 2-,a b ac 442-),画出对称轴x=a b 2-;②找出图象上关于直线x=ab2-对称的四个点(如与坐标的交点等); ③把上述五点连成光滑的曲线。
¤二次函数的最大值或最小值可以通过将解析式配成y=a(x-h)2+k 的形式求得,也可以借助图象观察。
¤解决最大(小)值问题的基本思路是:①理解问题;②分析问题中的变量和常量,以及它们之间的关系; ③用数学的方式表示它们之间的关系;④做数学求解;⑤检验结果的合理性、拓展性等。
※二次函数c bx ax y ++=2的图象(抛物线)与x 轴的两个交点的横坐标x 1,x 2是对应一元二次方程02=++c bx ax 的两个实数根※抛物线与x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定: ac b 42->0 <===> 抛物线与x 轴有2个交点; ac b 42-=0 <===> 抛物线与x 轴有1个交点;ac b 42-<0 <===> 抛物线与x 轴有0个交点(无交点);※当ac b 42->0时,设抛物线与x 轴的两个交点为A 、B ,则这两个点之间的距离:2122121224)()(||||1x x x x x x x x AB -+=-=+=化简后即为:)04(||4||22>--=ac b a ac b AB ------ 这就是抛物线与x 轴的两交点之间的距离公式。
第三章 圆一. 车轮为什么做成圆形 ※1. 圆的定义:描述性定义:在一个平面内,线段OA 绕它固定的一个端点O 旋转一周,另一个端点A 随之旋转所形成的圆形叫做圆.;固定的端点O 叫做圆心..;线段OA 叫做半径..;以点O 为圆心的圆,记作⊙O ,读作“圆O ”集合性定义:圆是平面内到定点距离等于定长的点的集合。
其中定点叫做圆.心.,定长叫做圆的半径....,圆心定圆的位置,半径定圆的大小,圆心和半径确定的圆叫做定圆..。
对圆的定义的理解:①圆是一条封闭曲线,不是圆面;②圆由两个条件唯一确定:一是圆心(即定点),二是半径(即定长)。
※2. 点与圆的位置关系及其数量特征:如果圆的半径为r,点到圆心的距离为d,则①点在圆上 <===> d=r;②点在圆内 <===> d<r;③点在圆外 <===> d>r.其中点在圆上的数量特征是重点,它可用来证明若干个点共圆,方法就是证明这几个点与一个定点、的距离相等。
二. 圆的对称性:※1. 与圆相关的概念:①弦和直径:弦:连接圆上任意两点的线段叫做弦.。
直径:经过圆心的弦叫做直径..。
②弧、半圆、优弧、劣弧:弧:圆上任意两点间的部分叫做圆弧..,简称弧.,用符号“⌒”表示,以CD为端点的弧记为“”,读作“圆弧CD”或“弧CD”。
半圆:直径的两个端点分圆成两条弧,每一条弧叫做半圆..。
优弧:大于半圆的弧叫做优弧..。
劣弧:小于半圆的弧叫做劣弧..。
(为了区别优弧和劣弧,优弧用三个字母表示。