5-2刚体绕定轴转动的转动定律和转动惯量.

d
C
m
O
J O J C md
2
5-2 刚体绕定轴转动的转动定律和转动惯量
例：圆盘对P 轴的转动惯量
J J c md 2
1 J P mR 2 mR 2 2
P
R
C
m
Z
例：圆球对Z 轴的转动惯量
2 J C mR 2 5
m
2 7 2 2 J z mR mR mR 2 5 5
例1 由长l 的轻杆连接的质点如图所示，求 质点系对过A垂直于纸面的轴的转动惯量 解:
2 3 m ( 2 l ) J 2ml
4m
2
( 4 m 5m )( 2l )2
32ml
2
m
l l l
2m
3m
A
l
5m
5-2 刚体绕定轴转动的转动定律和转动惯量
例2一长为L 的细杆质量 m均匀分布,求该杆对 垂直于杆,分别过杆的中点和一端端点的轴的转动 惯量. 解：(1) 轴过中点
2
Fi Fi
Fi
Fi '
对刚体中一切质量元求和：
2 Fi ri ∑ Fi ri ∑mi ri ∑
o ri
M 外 M内 mi ri
2
5-2 刚体绕定轴转动的转动定律和转动惯量
M 外 M内 mi ri2
外力矩 内力矩
M内 0
F
M rF sin θ rF
r
F
F ma mr
m Fn
M rF mr
2
5-2 刚体绕定轴转动的转动定律和转动惯量
取刚体中第 i 个质量元
mi a mi ri Fi Fi 两边同乘以 ri
ri mi ri Fi ri Fi
dm
L 2
o
x
L 2
x
L 2
m m1 3 J r dm x dm x dx x L L 3 L 2 3 3 1 m 1 L L 2 mL 12 L 3 8 8

2

2
L 2 L 2
2
(2) 轴过一端端点
5-2 刚体绕定轴转动的转动定律和转动惯量
5-2 刚体绕定轴转动的转动定律和转动惯量
力矩 用来描述力对刚体 的转动作用． F 对转轴 z 的力矩 一
M r F M rF sin rF
z
O
M r
F
*
Fr sin Fd
d
P

d : 力臂
5-2 刚体绕定轴转动的转动定律和转动惯量
讨论
(1) 若力 F 不在转动平面内,把力分解为
2 j j
质量连续分布
J dJ r dm
2
dm：质量元
积分元选取：
dm dl 线元 ：dl
5-2 刚体绕定轴转动的转动定律和转动惯量
线密度 ： ,
线分布
dm dS
面密度 ： , 面元 ：dS
面分布
dm dV
体密度 : , 体积元 : dV
体分布
5-2 刚体绕定轴转动的转动定律和转动惯量
dJ r dm 2lr dr
2 3
dr
J dJ 2Lr dr
3 0
R
o R
r
1 R 4 L 2
m 1 2 , J mR 2 R L 2
5-2 刚体绕定轴转动的转动定律和转动惯量
3 两个重要定理 (1) 平行轴定理
质量为m 的刚体， 如果对其质心轴的转动 惯量为 J C ，则对任一与 该轴平行，相距为 d 的 转轴的转动惯量
( 4 ) 为瞬时关系．
5-2 刚体绕定轴转动的转动定律和转动惯量
三 转动惯量 1 定义 J m j rj2
j
J dJ r dm
2
(1) 转动惯量是转动惯性大小的量度 (2) 与刚体的体密度 有关． (3) 与刚体几何形状(体密度 (4) 与转轴的位置有关． (5) 转动惯量的单位：kg· m2
Байду номын сангаас
的分布)有关．
5-2 刚体绕定轴转动的转动定律和转动惯量
飞轮的质量为什么 大都分布于外轮缘？
竿 子 长 些 还 是 短 些 较 安 全 ？
5-2 刚体绕定轴转动的转动定律和转动惯量
2 转动惯量J 的计算方法 质量离散分布
J m r m r m r m r
2 j j 2 11 2 2 2
M M1 M 2 M 3
(3) 刚体内作用力和反作用力的力矩互 相抵消．
M ij
rj
j
Fji
ij
O
M ji
d
iF ri
Mij M ji
5-2 刚体绕定轴转动的转动定律和转动惯量
二 转动定律
单个质点 m 绕转轴 转动
z
M
O
dm
o
x
2 2
L
x
J ' r dm x dm
L
0
m x dx L
2
m1 3 x 1 mL2 L 3 3 0
L
5-2 刚体绕定轴转动的转动定律和转动惯量
例3 求质量为m、半径为R、厚为L 的均匀圆 盘的转动惯量.轴与盘平面垂直并通过盘心.
解：取半径为r宽为dr的薄圆环, dm dV 2rdr L
平行和垂直于转轴方向的两个分量
力矩为零，故 F 对转 轴的力矩
其中 Fz 对转轴的
F Fz F
z
k
O
F
M z k r F M z rF sin
r
Fz

F
5-2 刚体绕定轴转动的转动定律和转动惯量
(2) 合力矩等于各分力矩的矢量和
2
M外 (mi ri )
定义转动惯量
Fi Fi
Fi
Fi
J mi ri
i
o r
2
转动定律
M外 J
5-2 刚体绕定轴转动的转动定律和转动惯量
讨论
转动定律
M （ 1） J
M J
d （2）M J J dt
（3）M
0， ω =常量
5-2 刚体绕定轴转动的转动定律和转动惯量
(2) 薄板的正交轴定理
z
对薄板刚体平面
x
o
y
Jz Jx Jy
例：对质量均匀的薄圆板
1 J z mR 2 2
1 1 J x J y J Z mR 2 2 4
5-2 刚体绕定轴转动的转动定律和转动惯量
例4 质量为mA的物体A 静止在光滑水平 面上,和一质量不计的绳索相连接,绳索跨过 一半径为R、质量为mC的圆柱形滑轮C,并系 在另一质量为mB 的物体B上,B 竖直悬挂,滑 轮与绳索间无滑动,且滑轮与轴承间的摩擦 力可略去不计.(1)两物体的线加速度为多少? 水平和竖直两段绳索的张力各为多少?(2) 物 体 B 从静止落下距离 y 时,其速率是多少?