恒定磁场

q qndSut
dI
q t
qnudS
J dI qnu dS
J qnu
q
dI
I
dS
ut
2.欧姆定律及其微分形式
2.1 欧姆定律
S
I
I VA VB VAB VA
l
VB
R
R
R l l S S
不均匀导体
R
dl S
dl
S
S
VA dl
I VB
1.2 欧姆定律的微分形式
dI dV R
dI JdS R dl
B
0
qv er
4 r 2
作业： 7-2、7-5、7-6
1.磁感应线
1.1 定义
切线方向: B的方向 磁感应线密度 : B的大小: B N / S
1.2 性质 1）永远闭合（与电流相互套联） 2）永不相交
各种典型的磁感应线的分布
直线电流的磁感线
圆形电流的磁感线
直螺线管电流的磁感线
B dl L
0
Ii
i
安培环路定理的验证：
无限长直电流穿过积分回路：
B dl Bdl cos Brd 0I rd 0I d
2 r
2
B dl 0I
L
2
L d 0I
L
B
O
r+dr
d
I
r
dl
无限长直电流无穿过积分回路：
B dl B dl B dl 0I d 0I d
2.磁场
2.1 磁相互作用的场的观点
运动电荷
磁场
运动电荷
2.2 磁场 运动电荷（电流）周围空间存在的一种场。
2.3 磁场的的基本性质
对处在磁场中的运动电荷（电流）产生作用力.
3.磁感应强度
定义磁感应强度的大小：
B
B Fmax
q0v
v
定义磁感应强度的方向：
q0 +
Fmax
Fmax v
➢ B 磁感应强度只决定于产生磁场的运动电荷（电
B = 0
B B||
dB sin
0 Idl sin 4 r2
2R 0
0 4
Rdl R2 x2
32
0
2
R2I R2 x2 3 2
x = 0（圆心）：
B 0I
2R x R :
电偶极子在延长线上的场强：
E
p
20 x3
B
0 IR 2
2x3
0 2
R2 x3
I
0m 2 x3
其中
L
L1
L2
L1 2
L2 2
0I [ ()] 0 2
A
O
I
L1
L2
C
一般情况：推广
B dl L
0
Ii
i
➢ 安培环路定理反映了磁场与电流之间的关系。
➢ 安培环路定理表明磁场是有旋场。
➢
B dl
L
0
i
Ii 中，
i
Ii 表示穿过 L 为边线的任．
一．曲．面．的电流强度的代数和，而 B 则是由空间所有的
0
/
2
/
2, d , d
0 0
3.磁场的高斯定理
穿过磁场中任意封闭曲面的磁通量为零：
S B dS 0
➢ 高斯定理表明，磁场是无源场.
1.安培环路定理
在恒定电流的磁场中，磁场感应强度
B
沿任一闭
合路径 L 的积分（ B 的环流）等于穿过以 L 为边线的
任一曲面的电流强度的代数和乘以 0 ：
dS
dV Edl
J E
V+dV dl
V dI
dS
VA
I VB
J E
例 9-1 有一球形电容器, 内外半径分别为 R1 和 R2, 两极间加上 V 的电压, 电容器两极间充满介电常
数为, 电导率为的电介质, 求两极间的漏电电
流强度。
dr
r R1 O R2
,
解 1: R dl R2 dr 1 ( 1 1 )
dB
0 4
Idl sin
r2
2）判断 dB 的方向，把 dB 进行分解：
dB
dBx dBy
3）对各分量分别积分：
Bx dBx
By dBy
4）求积分。
2.2 几种常见电流的磁场(I) （1）直线电流的磁场：
D 2
dB
0 4
Idl sin
r2
Idl
r
l a ctg
a d dl sin2
dB
0 4
Idl sin
r2
I
0 4
(qnvS )dl sin
r2
dN nSdl
B
dB dN
0 4
qv sin
r2
dl
qv
+ +
+ +
+ +
S
r
B
方向： 1） q 0, v与Idl 同向 B沿v r 2） q 0, v与Idl 反向 B沿 v r
q
q
v
v
r
r
B
(a)
B
(b)
矢量式：
4.2 部分含源电路的欧姆定律
J (Ek E) E J / Ek
B
B
B
VA VB
E dl
A
(J / ) dl
A
A Ek dl
I1R1 I2R2 1 2
VB VC I1R1 I3R3 2 3
A
I1 I2
B
1 R1
I3 R2 2
R3
3
C
一般地：
VA VB (IiRi ) (i )
S R1 4 r 2 4 R1 R2 I V 4 R1R2V
R R2 R1
解 2:
I
S
J
dS
S
E
dS
S
D
dS
ຫໍສະໝຸດ Baidu
Q
Q CV
I CV 4 R1R2V
R2 R1
3.电源及电源电动势
3.1 非静电力
+
Fk qEk
Ek－－非静电场的场强 3.2 电源
+
+Q
-Q
+
＋E －
＋
+＋
Fk
+ q
电流共同产生。
➢ Iint 的正负号：
B dl
L
0 (I2 I1)
I1 L
I2
I3
2.安培环路定理的应用
—— 求解具有对称性的磁场分布 2.1 解题要点
1）分析磁场特点，选择适当的积分回路
2）计算 B dl L
3）计算 Ii i
4）由
B dl
L
0
Ii 求 B
i
2.2 几种常见电流的磁场（II） （1）无限长圆柱形载流导体的磁场
tan d
dBy
0 I 2 a
d
Bx
0 I 2 a
1 tan d 0
1
By
0 I 2 a
1 d 0I1 0I tan1 a
1
a a 2x
1）x或a 0 ：
By
0I 2 x
2）x0或a ：
By
0 I
2a
1 2
0
j
j I ——面电流密度 a
例9-4 半径为 R 的圆盘均匀带电，电荷密度为。 若该圆盘以角速度 绕圆心 O 旋转，求轴线上距
流），而与试验运动电荷无关。
➢ 单位：1（T）=104（G）
1.毕奥─萨伐尔定律
电流元: Idl
毕奥─萨伐尔定律 的矢真径空r ）中产电生流的元磁Id感l 在应强P 点度（dB由为电：流元指向 P 点
dB
0 4
Idl er r2
大小 :
dB
0 4
Idl sin
r2
方向: Idl r
1
2
0 nI
2
(cos
2
cos
1)
长螺线管中心：1 , 2 0
B 0nI
长螺线管端口：1 ,
2
2
B
1 2
0
nI
例9-3 如图，无限长载流平板，宽度为a ，沿长度方
向通以恒定面电流I，电流I 沿宽度方向均匀分布。
求在平板中垂线上到平板距离为x的P点的磁感应强
度。
y
a dBy dB
dy y
(o= 410-7 T·m·A-1)
Idl
dB
r
P
➢ 电荷元的电场具有球对称性，电流元的磁场具有 轴对称性
dE
r dq
电荷元的电场具有球对称性
一段电流的磁感应强度：
B dB 0 Idl er
4 r2
➢ B dB 为矢量积分。
2.毕奥─萨伐尔定律的应用
2.1 解题要点
1）取电流元 Idl ，计算由 Idl 产生的 dB 的大小：
形成电流的条件： 1）导体中有载流子； 2）导体中有电场存在或导体两端有电势差。
电流强度：单位时间里通过导体某一截面的电量：
dq
I
q
t2 Idt
dt
t1
1.2 电流密度 通过垂直于正电荷运动方向的单位面积的电流强度:
dI J
d S
dS dI
I
➢ 电流密度为矢量, 导体中某点电流密度的方向 沿该点正电荷运动的速度方向:
4.1 全电路的欧姆定律
J (Ek E)
R
J
dl
L
L Ek dl
E dl
L
I
L
Ek
dl
,r
LE dl 0
L
J
dl
L Jdl
I
L
dl S
I (R r)
I
Rr
一般地：
I (i ) Ri
➢ i 的正负号：任意选择一回路走向，则电源方向
（由负极指向正极）与选择回路走向一致时取 “＋”，相反时取“－”。 ➢ 电流的方向： I 0 ，与选择的回路走向一致； I 0 ，与回路走向相反。
环形螺线管电流的磁感线
2.磁通量
通过磁场中某一曲面的磁感应线数的代数和:
Φ S B dS
闭合曲面：
Φ S B dS
en
B
dS
➢ 为标量，无方向，但有正负号。
➢ 的正负号：
0 / 2, d 0 d B dS BdS cos / 2 , d 0
闭合曲面：
穿出 穿入
: :
R
1. 磁现象的本质
1.1 磁现象 早期观测的磁现象
奥斯特实验（1819年）
安培实验（1820年） （1）磁体附近的载流导线受到力的作用：
（2）电流与电流之间存在相互作用：
（3）磁场对运动电荷的作用：
电子束
S
+
N
1.2 磁现象的本质 磁现象都起源于运动电荷（电流），磁相互作
用的本质是运动电荷（电流）之间的相互作用。 分子环流：电子绕原子核运动和电子自旋所形成。
I
R
rP
L
LO r P
R
(b) (a)
L B dl B 2 r
Ii
I R2
r2
Ir 2 R2
(r R) L
LO r
P
i
I
(r R)
R
由
B dl
L
0
Ii 得：
i
0 Ir
B
2R
0
I
2
2r
(r R) (r R)
(b) B
O
R
r
（2）长直载流螺线管的磁场
d
c
⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙
圆心 x 处的磁感应强度。
dr
r
dI RO
x
R
dB x P
解：
dB
0r 2dI
2(x2 r 2 )3
2
dI dq 2 rdr rdr T 2 /
B
dB
R 0r3 dr
0 2(x2 r 2 )3 2
0
2
R2 2x2 R2 x2
2x
3.匀速运动点电荷的磁场
大小：
（1） I 2 1 4(A)
R1 R2 r1 r2
（2）VA VB I (R1 r1) 1 20(V)
作业：
如 图 所 示 电 路 ， 已 知 1 12V , 2 10V ,
3 8V , r 1 , R 2 ，求 a 与 b 两点的电
势差。
1 r
R
2 r
R
R
ab
R
3 r
r a
sin
l
a
P
O
dB 0I sin d
1
4 a
C
B
2 0I sin d 1 4 a
0 I 4 a
cos1
cos2
无限长载流导线：1= 0 , 2 =
B 0I 2 a
（2）环形电流的磁场
dB 0 Idl sin 4 r2
Idl dB dB
R
r
0 4
Idl r2
(
)
2
O
x
P dB|| x
IO
r
1
x
P dBx
x
dI
z
y
dy dI
dBy dB
dB y
y O
r 1
x
P dBx x
解：
dB 0 dI 2 r
dBx
dB sin
0 dI 2 r
sin
dB y
dB cos
0 dI 2 r
cos
r x
cos
y x tan
dI
I a
dy
Ix
a cos2
d
dBx
0 I 2 a
m ISen
m
en
S
为载流线圈的磁矩。
I
I
（3）载流直螺线管内部的磁场
⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙
R
1
2
O
x
x
dx
dB
0
2
R2dI (x2 R2 )3/2
x Rctg , dI Indx InR csc2 d
dB 0 nI sin d
2
B 2 ( 0 nI sin )d
➢ Ii、i 的正负号：
i：电源方向与 A B 走向一致时取“＋”，相反时取“－”。 Ii：电流方向与 A B 走向一致时取“＋”，相反时取“－”。
例 9-2 如图,求:(1)I=? (2)VA VB ?
1=8(V)
A
R1=2() r1= 1() B
I
解：
R2=3() 2=36(V)
r2= 1()
－ －
+
＋
－
＋
－
A
B
能提供非静电力以把其它形式的能量转化为电
能的装置。
3.3 电源的电动势 在电源内将单位正电荷从负极移动到正极的过
程中非静电力所作的功：
_ Ek dl
闭合回路的电动势：
L Ek dl
+
+
+Q
-Q
+
＋E －
＋
+＋
Fk
+ q
－ －
+
＋
－
＋
－
A
B
4.含源电路的欧姆定律
a
b
B dl B dl B dl B dl B dl
J
dI dS
en
➢ 电流密度反映了电流在载流导体内的分布:
J J (r ) J (x, y, z)
➢ 电流线: 形象反映导体中电流的分布。
+
-
1.3 电流强度与电流密度的关系:
J dI d S
dI Jd S Jd S cos J dS
I S J dS
en
dI
I
dS dS
1.4 电流与载流子的运动的关系
§9-1 恒定电流 电动势 §9-2 磁场 磁感应强度 §9-3 毕奥─萨伐尔定律 §9-4 磁场中的高斯定理 §9-5 安培环路定理 §9-6 磁场对运动电荷的作用 §9-7 磁场对载流导线的作用 §9-8 磁介质(简介）
1.电流强度与电流密度
1.1 电流 电流强度 电流：导体内的载流子定向运动而形成电流。