一元一次方程小结与复习导学案
人教版七年级上册第三章《一元一次方程》复习导学案
七级上数学NO ：3 主备人：银 波 审核人： 授课人： 第 周 星期 第 组 学生 预习评价： 整理评价第三章 《一 元一次方程》期末复习一、知识回顾（一）方程的概念1. 方程：含 的等式叫做方程 。
2. 方程的解：使方程的等号左右两边相等的 ，就是方程的解。
3.解方程：求 的过程叫做解方程。
4. 一元一次方程：只含有一个未知数（元），未知数的最高次数是1的整式方程叫做一元一次方程。
（二）方程变形——解方程的重要依据 1、等式的基本性质等式的性质1：等式的两边同时加（或减） （ ），结果仍相等。
即：如果a=b ，那么a ±c=b ；等式的性质2：等式的两边同时乘或除以 数，结果仍相等。
即：如果a=b ，那么ac =bc ； 或 如果a=b ，那么cbc a =（c ≠0） 2、分数的基本的性质分数的分子、分母同时乘以或除以同一个不为0的数，分数的值不变。
即：mb m a bm am b a ÷÷==（其中m ≠0） 分数的基本的性质主要是用于将方程中的小数系数（特别是分母中的小数）化为整数，如方程：6.12.045.03=+--x x 可化为6.12401053010=+--x x 的形式后，更可用习惯的方法解了。
（三）、解一元一次方程的一般步骤说明：1、上表仅说明了在解一元一次方程时经常用到的几个步骤，但并不是说解每一个方程都必须经过五个步骤；2、解方程时，一定要先认真观察方程的形式，再选择步骤和方法；3、对于形式较复杂的方程，可依据有效的数学知识将其转化或变形成我们常见的形式，再依照一般方法解。
（四）、一元一次方程的应用方程，在解决问题中有着重要的作用，依据题目中的信息将问题转化为解方程的问题。
二、课堂练习：1、选项中是方程的是（ ） A.3+2=5 B. a-1>2 C. a ²＋b ²－5 D. a ²+2a-3=5；2、下列各数是方程a ²+a+3=5的解的是（ ） A.2 B. -2 C.1 D. 1和-2；3、下列方程是一元一次方程的是（ ）A 、x2+1=5 B. 3(m-1)-1=2 ； C. x-y=6 D.都不是 4、下列变形中，正确的是（ ）55,253==-x x x A 得、由 23,23-==-x x B 得、由21,4)1(2=-=-x x C 得、由 23,032==y y D 得、由5、若=-=+++y x x y 则,0)5(22 。
一元一次方程导学案
课题《一元一次方程1》设计人：赵攀审核人: 赵攀班级：小组：姓名：组内评价：________教师评价：_______【学习目标】1、分析简单问题中的数量关系，建立方程解决问题；2、通过具体问题的解决体会方程解决问题的关键是寻找等量关系。
【学习重点】寻找等量关系，列方程【学习难点】寻找等量关系，列方程【学习过程】（教师寄语：最淡的墨水，也胜过最强的记性。
）一、课前预习：学习任务一：问题探究：今年小亮11岁，小亮的爸爸39岁。
多少年后爸爸的年龄是小亮年龄的3倍？1）想一想：这个问题中的已知数是_________________，未知数是_____________________2）填一填：设x年后爸爸的年龄是小亮年龄的3倍，你能用含x的代数式表示其他的量吗？试填写下表小亮的年龄爸爸的年龄今年X年后3）议一议：在这个问题中有怎样的等量关系？你能利用问题中的等量关系列出方程吗？4）看一看：下面是小颖和小明的做法，他们所列的方程正确吗？他们分别根据什么等量关系列的方程？小颖：小亮的年龄爸爸的年龄今年11 39X年后11+x 39+x列方程，得39+x=3(11+x)小明：小亮的年龄爸爸的年龄今年11 39X年后11+x 3(11+x)列方程，得3（11+x）-39=x（二）总结思路，归纳步骤：理解题意，寻找等量关系，设未知数，列方程，解方程，作答。
【我的疑惑】____________________________________________________ 二、合作探究：探究一：1）在上面的问题中，多少年前，小亮的年龄是爸爸的51？2）经过若干年后，小亮的年龄能等于爸爸年龄的54吗？3）小川今年6岁，他的祖父72岁，几年后小川的年龄是他祖父年龄的414）某造纸厂为节约木材，大力扩大再生纸的生产，这家工厂前年和去年共生产再生纸3000吨，去年比前年生产量的2倍还多150吨，它去年生产再生纸多少吨？三、拓展提升（教师寄语：：读一书，增一智。
一元一次方程小结与复习教案
一元一次方程小结与复习教案第一章：一元一次方程的概念与特点1.1 方程的概念：引导学生回顾方程的定义，即含有未知数的等式。
1.2 一元一次方程的定义：介绍一元一次方程的概念，即形如ax + b = 0 的方程，其中a 和b 是常数，x 是未知数。
1.3 一元一次方程的特点：强调一元一次方程中未知数的最高次数为1，系数a 不为0等特点。
第二章：一元一次方程的解法2.1 公式法：复习一元一次方程的解法公式x = -b/a，并解释其推导过程。
2.2 移项法：引导学生掌握移项法解一元一次方程的步骤，如将含有未知数的项移到等式的一边，常数项移到另一边。
2.3 应用实例：给出几个实际问题，让学生运用公式法和移项法解决。
第三章：一元一次方程的解的存在性3.1 讨论方程有解的条件：引导学生回顾一元一次方程有解的条件，即系数a 不为0。
3.2 探讨方程无解的情况：介绍当a = 0 时，方程无解的原因。
3.3 应用实例：给出几个实际问题，让学生判断方程是否有解。
第四章：一元一次方程的应用4.1 线性问题：引导学生运用一元一次方程解决线性问题，如长度、面积、体积等。
4.2 比例问题：介绍比例问题的一元一次方程解决方法，如已知两内项求两外项，已知两外项求两内项等。
4.3 应用实例：给出几个实际问题，让学生运用一元一次方程解决。
第五章：一元一次方程的巩固练习5.1 课堂练习：给出几个一元一次方程问题，让学生现场解答。
5.2 课后作业：布置几个一元一次方程问题，要求学生课后完成。
5.3 答案与解析：提供练习题的答案和解析，帮助学生巩固所学知识。
第六章：一元一次方程与图像6.1 方程与直线：介绍一元一次方程对应的直线方程y = ax + b，并解释直线在坐标系中的位置。
6.2 直线图像的性质：探讨直线斜率、截距等性质，并引导学生理解斜率和截距与方程系数的关系。
6.3 应用实例：让学生通过观察直线图像来解决一元一次方程问题。
第七章：一元一次方程的变换7.1 方程的加减法：引导学生掌握如何通过加减法变换来解决一元一次方程，例如将两个方程相加或相减以消去未知数。
人教版数学七年级一元一次方程复习导学案
一元一次方程复习导学案一、教学目标：1、理解一元一次方程概念，掌握等式性质及一元一次方程的解法。
2、能列出一元一次方程解应用题，提高分析问题、解决问题的能力。
二、教学重点：等式性质及一元一次方程的解法.三、教学难点：用一元一次方程解决实际问题。
四、教学过程：<考点一> 一元一次方程的定义与等式性质1、下列方程中，是一元一次方程的是( )A 、()232x x x x +-=+B 、()40x x +-=C 、1x y +=D 、10x y+= 2、如果21m x -+8=0是一元一次方程，则m=3、下列变形正确的是( )A 4x －5＝3x ＋2变形得4x －3x ＝－2＋5B 6x ＝2变形得x ＝3C 3(x －1)＝2(x ＋3)变形得3x －1＝2x ＋6D 23 x －1＝12x+3变形得4x －6＝3x ＋18 4、下列等式变形中，正确的是（ ）<考点二> 解一元一次方程()()()y y y -=---161432 ()[]()x x x -=--121231411012=---x x 421312+-=-x x21132x x +--= 52221+-=--y y y4131312--=--n n nm m m 3213123+-=--1359232+-=-+x x x257352+-=--y y y3.07416.015x x --=- x x 23231423=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛-<考点三> 一元一次方程变式训练1、若()01222=++-y x ，则y x += 。
2、单项式4124192b a b a x x -+-与是同类项，则x =3、对于非零的两个实数a 、b ，规定a ⊗b =3a －b ，若1)1(1=+⊗x ，则x 的值为 。
4、若y=1是方程12()23m y y --=的解，则关于x 的方程(4)2(3)m x mx +=+的解是 。
(完整word版)一元一次方程导学案(DOC)
一元一次方程导学案【学习目标】1、知道什么是方程，会判断一个数学式子是算式还是方程；2、能根据简单的实际问题列一元一次方程，并了解其步骤；3、会判断方程的解。
【学习重点】一元一次方程的含义。
【学习难点】根据简单的实际问题列一元一次方程。
课前自主学习(查阅教材和相关资料,完成下列内容)考点一.方程的概念1、含有的等式叫方程。
考点二.一元一次方程的概念1.只含有个未知数，未知数的次数都是次的方程，叫做一元一次方程。
考点三.列方程遇到实际问题时,要先设字母表示 ,然后根据问题中的 ,最后写出含有未知数的 ,就能列出方程.归纳:列方程解实际问题的步骤:第一步: ,第二步: ,第三步: .考点四.解方程及方程的解的含义解方程就是求出使方程中等号左右两边的的值,这个值就是方程的 .【重要思想】1.类比思想:算式与方程的对比2.转化思想:把实际问题转化为数学问题,特别是方程问题.学练提升问题1:判断下列数学式子X+1, 0.5x-x, 2x-3=7, 3x+2=2x-5 , 2x2+3x-8=0,x+2y=7.是方程有 ,是一元一次方程有【规律总结】【同步测控】1.自己编造两个方程: , .2.自己编造两个一元一次方程: , .问题2.根据问题列方程:1.用一根长24cm的铁丝未成一个正方形,正方形的变长是多少?2.一台计算机已使用1700小时,预计每月再使用150小时,经过多少月这台计算机的使用时间他到规定的检修时间2450小时?【同步测控】根据下列问题,设未知数,列出方程1.环形跑道一周长400m,沿跑道跑多少周,可以跑3000m?2.甲种铅笔每只0.3元,乙种铅笔铅笔每只0.6元,用9元钱买了两种铅笔共20支,两种铅笔各买了多少支?【规律总结】【同步测控】1.一个梯形的下底比上底多2cm,高是5cm,面积是40cm2,求上底.2.x的2倍于10的和等于18;3.比b的一半小7的数等于a与b的和;4.把1400元奖学金按照两种奖项将给22名学生,其中一等奖每人200元,二等奖每人50元,获得一等奖的学生多少人?问题三、判断方程的根1.判断下列各数X=1,x=2,x=-1,x=0.5.那个是方程2x+3=5x-3的解?2.当x= 时,方程3x-5=1 两边相等?等式性质导学案【学习目标】1、了解等式的两条基本性质，并会用数学式子表示；2、能利用等式的基本性质解简单的方程； 【学习重点】理解等式的两条基本性质。
解一元一次方程去分母专题复习导学案
姓名：班级：授课时间 课型 学 习 目 标 新授课 备课教师 纪文静 审核
掌握去分母解一元一次方程的方法。 理解一元一次方程解法的一般步骤
导学过程
一、复习概念 1．去分母：方程两边都乘以各分母的____________，不要漏乘不含分母的项；当分子是 多项式时应加括号；如果分母中有小数，要首先化小数为 _________ ，去分母的依据是 __________． 2．解一元一次方程的基本步骤：(1)去分母；(2)去括号；(3)移项；(4)合并同类项；(5)系 数化为 1.但并不是解每一个方程都需要这五个步骤，这五个步骤的先后顺序并非固定不 变，要根据方程的特点，确定恰当的步骤，灵活解方程． 二、学习思考探究提升
其依据是____________________________.
4. 方 程
������ 12
−
2������−1 20
=
3������ +4 8
−1 ， 去 分 母 后 得 到 的 方 程 式 式 是
_________________ 5.若 x=-2 为方程 A.1 B. 2 C.
������−1 3
16.已知关于 x 的方程 9x-3=kx+14 有整数解，求整数 k 的值。
3
5x −1 2 1.若 与 互为倒数，则 x 6 3 A. 1 B. -1 C.. 2 D. .-2 x+1 5x 2.方程 − =1 的解是（） 3 6 1 1 4 4 A. B. − C. D. − 3 3 3 3
的值为（）
3.将方程
������ +2 4
=
2������ +3 6
的两边同时乘______可得到 3 （x+2） =2(2x+3),这种方法叫______,
第六章 一元一次方程小结与复习(一)教学设计.doc
小结与复习(一)教学目标了解一元一次方程的概念，根据方程的特征，灵活运用一元一次方程的解法求一元一次方程的解，进一步培养学生快速准确的计算能力，进一步渗透“转化”的思想方法。
重点、难点1．重点：一元一次方程的解法。
2．难点：灵活运用一元一次方程的解法。
教学过程一、复习提问 定义：只含有一个未知数，且含未知数的项的次数1的整式方程。
一元一次方程 解法步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为l ，把一个一元一次方程“转化”成x=a “的形式。
二、练习1．下列各式哪些是一元一次方程。
(1)2x +1=3x —4 (2) 532+x = 21-x (3)—x=0 (4) x 5一2x=0 (5)3x 一y=l 十2y ((1)、(2)、(3)都是一元一次方程，(4)、(5)不是一元一次方程)2．解下列方程。
(1)21(x 一3)＝2一21(x 一3) (2) 45[54(21x 一3)－254]=1－x 学生认真审题，注意方程的结构特点。
选用简便方法。
第(1)小题，可以先去括号，也可以先去分母，还可以把x 一3看成一个整体，解关于x一3的方程。
第（2）题有双重括号，一般情况是先去小括号，再去中括号，但本题结构特殊，应先去中括号简便，注意去中括号时，要把小括号看作一个整体，中括号里先看成2项。
3．解力程:(l) 2x —6115+x =l+342-x (2)3.05.01x -—32x=02.03.0x +l 点拨：去分母时注意事项，右边的“1”别忘了乘以6，分数线有两层含义，去掉分数线时，要添上括号。
(2)先利用分数的基本性质，将分母化为整数。
点拨：“将分母化为整数”与“去分母”的区别。
本题去分母之前，也可以先将方程右边的230x 约分后再去分母。
4．解方程。
(1)｜5x 一2｜＝3(2)｜321x -｜=1 分析：(1)把5x 一2看作一个数a ，那么方程可看作｜a ｜＝3，根据绝对值的意义得a ＝3或a ＝一3(2)把321x -看作一个数，或把｜321x -｜化成｜321x -｜ 5．已知，｜a 一3｜+(b 十1)2 =o ，代数式22m a b +-的值比21b 一a 十m 多1，求m 的值。
华师大版七年级数学下第6章一元一次方程小结与复习导学案
第6章一元一次方程小结与复习【教学目标】知识与技能1.经历对本章所学知识回顾与思考的过程,将本章内容条理化,系统化, 梳理本章的知识结构.2正确理解方程及方程的解的概念和等式的两个性质，了解算术和代数的主导思想的区别及找准问题中的等量关系。
过程与方法通过对知识的疏理,进一步加深对所学概念的理解,进一步熟悉和掌握本章知识情感态度与价值观提高学生的归纳整理能力。
【教学重点】一元一次方程的解法和列一元一次方程解应用题。
【教学难点】根据具体问题中的数量关系列一元一次方程．【教学过程】一、知识回顾二、重点题型总结及应用题型一灵活解一元一次方程解一元一次方程的一般步骤是：(1)去分母；(2)去括号；(3)移项；(4)合并同类项；(5)把系数化为1．根据方程的特点，可灵活运用五个步骤，以简化运算．例1 解方程：1121(1)3232x x x ⎡⎤⎛⎫--=- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭．分析：此题中括号外的系数是分数，小括号外的系数也是分数，这种类型的方程解法比较灵活，可以先去括号，再去分母；也可以先去分母，再去括号． 解法1：去中括号，得()112113632x x x ⎛⎫--=- ⎪⎝⎭． 去小括号，得1112136633x x x -+=-． 去分母，得2x － x ＋1=4 x －2．移项，得2 x － x －4 x ＝－2－1．合并同类项，得－3 x ＝－3．系数化为1，得x ＝1． 解法2：方程两边同乘6，得112(1)422x x x ⎡⎤⎛⎫--=- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭． 去中括号，得2x －(x －1)=4(x －12)．去小括号，得2x － x ＋1=4 x －2． 移项，得2 x － x －4 x =－2－1．合并同类项，得－3 x ＝－3．系数化为1，得x ＝1． 点拨若方程中合有多层括号，则应按照分配律先由内向外(或由外向内)去括号，再去分母，但也有时先去分母，再去括号会更简便，这取决于所给方程的特点，因此解方程时，应灵活地选取方法，尽量使过程简单，而又不产生错误. 例2 解方程：21101136x x ++-=． 分析：本题按照常规的解方程的步骤，应先去分母，但考虑本题特点，可把213x +拆成2133x +，把1016x +-拆成10166x --来解．解：原方程可写成2133x +10166x --=1.约分，移项，得25111.3336x x -=-+合并同类项，得－x ＝56.系数化为1，得x ＝－56.评注本题采用的是“拆项法”，此方法比常规方法简便，但这种方法不是对所有的一元一次方程都适用，需要根据方程的特点灵活应用．题型二 方程的解的应用例3 关于x 的方程2x －4＝3m 和x ＋2＝m 有相同的解，则m 的值是( ) A ．10 B ．－8 C ．－10 D ．8解析：解方程2x －4=3m ，得x=342m +．解方程x ＋2＝m ，得x ＝m －2．由两方程解相同，得342m +＝m －2，解得m ＝－8． 答案：B例4 已知y＝3是6＋14(m－y)＝2y的解，那么关于x的方程2m(x－1)＝(m＋1)(3x－4)的解是多少?分析：把y＝3代入第一个方程，使这个方程转化为关于m的方程，解出m的值，再代入第二个方程，求出x的值．解：y＝3代入方程6＋14(m－y)＝2y，得6＋14(m－3)＝6．解得m＝3．将m＝3代入2m(x－1)＝(m＋1)(3x－4)，得2×3(x－1)＝(3＋1)(3x－4)．解得x＝53.方法先利用第一个方程求出字母m的值，再把m值代入第二个方程解第二个方程，培养思考问题的综合能力．题型三一元一次方程的应用例5一通讯员骑摩托车需要在规定时间，把文件送到某地，若每小时走 60千米，就早到12分钟；若每小时走50千米，则要迟到7分钟，求路程．分析：如果设规定时间为x小时，当每小时走60千米时，则路程为601260x⎛⎫-⎪⎝⎭千米；当每小时走50千米时，则路程为50760x⎛⎫+⎪⎝⎭千米．这时可用路程相等列出方程．解：设规定时间为x小时，根据题意，得601260x⎛⎫-⎪⎝⎭=50760x⎛⎫+⎪⎝⎭．解得10760x=．所以路程为61260x⎛⎫-⎪⎝⎭=60×107126060⎛⎫-⎪⎝⎭＝95千米．答：路程为95千米．例6某校校长暑假将带领该校市级“三好学生”去北京旅游，甲旅行社说：“如果校长买全票一张，则其余学生可享受半价优惠”．乙旅行社说：“包括校长在内全部按全票价的六折优惠”，若全票价为240元，(1)设学生数为x，甲旅行社收费为y甲，乙旅行社收费为y乙，分别计算两家旅行社的收费(建立表达式)；(2)当学生数是多少时，两家旅行社的收费一样?分析：(1)问分别用含x的式子表示y甲、y乙. (2)问是当y甲=y乙时求x.解：(1)因为全票价为240元，所以半票价为120元，这样甲旅行社收费为y甲＝120x＋240．又因为全票价为240元，所以全票价的60％为240×60100=144(元)，这样乙旅行社收费为y乙＝144x＋144．(2)因为甲旅行社收费为y甲，乙旅行社收费为y乙，所以当两家旅行社收费一样时，即有方程120x＋240＝144x＋144．解这个方程，得x＝4．答：当学生数为4时，两家旅行社收费一样．例7某商场将彩电先按原价提高40％，然后在广告中写上“大酬宾，八折优惠”，结果每台彩电比原价多赚了270元，那么每台彩电原价是多少元?分析：假设每台彩电原价是x元，则提高40％后为(1＋40％)x元，八折为(1＋ 40％)x·80％元，也就是现售价为(1＋40％) x·80％元．解：设每台彩电原价是x元，根据售价与原价之差等于270，列方程得x (1＋40％)·80％－x＝270，解得x＝2 250．答：每台彩电原价是2 250元．例8某中学租用两辆汽车(设速度相同)同时送1名带队老师及7名九年级的学生到县城参加数学竞赛，每辆限坐4人(不包括司机)．其中一辆小汽车在距离考场 15千米的地方出现故障，此时离截止进考场的时间还有42分，这时唯一可利用的交通工具是另一辆小汽车，且这辆车的平均速度是60千米／时，人步行的速度是 5千米／时(上、下车时间忽略不计)．(1)若小汽车送4人到达考场，然后再回到出故障处接其他人，请你通过计算说明他们能否在截止进考场的时间前到达考场；(2)假如你是带队的老师，请你设计一种运送方案，使他们能在截止进考场的时间前到达考场，并通过计算说明方案的可行性．分析：本题是一道开放性的方案设计问题，解答时应注意分各种情况进行讨论．解：(1)1560×3=34(时)=45(分)．因为45＞42，所以不能在限定时间内到达考场．(2)方案：先将4人用车送到考场，另外4人同时步行前往考场，汽车到考场后返回到与另外4人的相遇处再载他们到考场．先将4人用车送到考场所需时间为1560＝14(时)＝15(分)．14时另外4人步行了1．25千米，此时他们与考场的距离为15－1．25＝13．75(千米)．设汽车返回t(时)后与步行的4人相遇，则有5t＋60t=13．75，解得t=2.75 13．汽车由相遇点再去考场所需时间也是2.7513小时．所以用这一方案送这8人到考场共需15＋2×2.7513× 60≈40．4(分)＜42(分)．所以这8个人能在截止进考场的时间前赶到．题型四图表类应用题例9 (1)七年级(1)班43人参加运土劳动，共有30根扁担，要安排多少人抬土，多少人挑土，可使扁担和人数相配不多不少?若设有x人挑土，填写下表：即可知两个等量关系：挑土人数＋抬土人数＝43人，挑土用扁担数＋抬土用扁担数＝30根．根据等量关系，列方程，解得x＝，因此挑土人数为，抬土人数为三、思想方法归纳方程体现了数学建模思想，主要培养同学们的运算能力、观察能力和灵活运用所学知识解决实际问题的能力，体会数学的价值．主要解题思想方法如下：转化思想本部分内容在转化思想上的主要体现是利用方程的概念求代数式的值、巧解方程等．四、课堂总结本节课你学到了什么？有什么收获和体会？还有什么困惑？五、随堂练习一、选择题1. 下列方程是一元一次方程的是( )A．2y＝1 B．3x＋2y＝0 C．x2－l＝0 D．x＝32. 方程247236x x---=-去分母，得( )A．2－2(2x－4)＝－( x－7) B．12－2(2 x－4)＝－x－7C．12－2(2 x－4)＝－( x－7) D．12－(2 x－4)＝－( x－7)3. 已知x＝－2是关于x的方程2 x＋m－4＝0的解，则m的值是( )A．8 B．－8 C．0 D．24. 如果7a－5与3－5a互为相反数，则a的值为( )A．0 B．1 C．－l D．25. 甲、乙两超市为了促销一定价相同的商品，甲超市连续两次降价10％，乙超市一次性降价20％，在( )超市购买这种商品合算．A．甲B．乙C同样 D．与商品价格有关二、填空题6. 关于x的方程x n＋2－n－3＝0是一元一次方程，则此方程的解是．7. 关于x的方程(k＋2) x－1＝0的解为x＝1，则k的值是．8. 三个连续偶数的和为60，那么其中最大的一个是 .9. 若9人14天完成了一项工作的35，而剩下的工作要在4天内完成，则需要增加的人数是．10. 足球比赛的得分规则为胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．一支青年足球队参加了14场比赛，其中负5场，共得19分，那么这支足球队胜了场．三、解答题11. 解方程：218239x xx--=+．12. 李老师这个月要参加3天培训，这3天恰好在日历的一竖排上且3个数字相连，并且这3个日子的数字之和是36，你知道李老师要在哪几天参加培训吗?。
一元一次方程小结与复习
一元一次方程小结与复习
1. 移项法：通过移动方程中的项来使方程简化。
首先，我们可以通
过将常数项移到等式的另一侧来消去b的影响，得到ax = -b。
然后，通
过除以系数a来解出x。
2. 合并同类项法：对于形如ax + b = cx + d的方程，我们可以通
过合并同类项来简化方程。
具体而言，我们可以将所有的x项放在一起，
并将所有的常数项放在另一起，得到ax - cx = d - b，进而通过化简来
解出x。
3. 交叉相乘法：对于形如ax + b = cx + d的方程，我们可以通过
交叉相乘的方法求解。
即，将方程左右两侧的项相乘，得到a(cx + d) = c(ax + b)，进而通过化简来解出x。
4.两边同除法：当方程中的系数不为零时，我们可以通过将方程左右
两侧同除以系数a来解出x。
在解决一元一次方程的过程中，我们需要注意以下问题：
1. 零的概念：当方程的系数为零时，解的个数或者形式会有所不同。
如果a等于零，那么方程变为bx = -c，这个方程只有一个解。
如果b等
于零，那么方程变为ax = -c，解的形式会有所不同。
2.无解与无数解：在一些情况下，一元一次方程可能没有解或者有无
数个解。
当方程左右两侧的项合并后，出现矛盾，即形成了一个恒等式，
那么方程就没有解。
当方程左右两侧的项合并后，结果为零，且方程没有
其他约束条件时，方程就有无数个解。
3.变量的含义：在解决实际问题时，方程中的变量通常代表一些实际量的值。
在求解方程时，我们需要根据实际问题将变量代入，进而得到解的含义。
《一元一次方程》导学案(1)
课题：3.1.1一元一次方程 编号：第26号主备人：黄松腾 复备人：谭克骄 审核人： 刘卫成 科研处审核：1.知道什么是方程,什么是一元一次方程,什么是方程的解.2.能用方程表示简单实际问题中的等量关系.3.知道用什么方法检验某个值是不是方程的解,能用估算的方法寻求方程的解,养成从猜想到验证的思维习惯.4.重点:一元一次方程及其解,列方程表示简单实际问题中的等量关系.【问题探究】阅读教材P 78~80,回答下列问题.探究一: 1.用算术法解决教材P 78的问题.2.在行程问题中,时间= ,设AB 两地相距x 千米,客车从A 地到B 地所用的时间用x 表示为 ,卡车从A 地到B 地的时间用x 表示为 .3.题中哪句话表示了两车行驶时间的关系?.4.根据这句话写出等量关系式.5.根据你写的等量关系式,列式为 60x ----70x -= . 【归纳】 的等式叫作方程.【预习自测】某数的3倍比它的一半大2,若设某数为y ,则列方程为 = 探究二:1.说说教材P 79“例1”中每个方程所依据的等量关系.2.“例1”中所列的方程,在未知数的个数、未知数的次数上有什么共同点?【归纳】只含有 个未知数,未知数的次数都是 ,这样的方程叫作一元一次方程.【讨论】列方程解决实际问题的步骤有哪些?小组讨论交流.梳理:什么叫解方程?什么是方程的解?求方程的 的过程叫作解方程;使方程左右两边 的未知数的值叫作方程的解.【讨论】如何检验一个数是否为方程的解?【预习自测】1.下列各式中是一元一次方程的是 ( )A.12x-1=-45y B.-5-3=-8 C.x+3 D. 43465x x +-=x+1 2.下面四个数,哪一个是方程3x-6=0的解( ) A.1 B.2 C.3 D.0互动探究1:下列说法中,正确的是( ) A .x=-3是方程x-3=0的解B .x=5是方程3x+15=0的解C .x=-2是方程-2x =0的解D .x=18是方程8x-1=0的解 互动探究2:在下列各式中,2x-1=0, 2x =-2,10x 2+7x+2,5+(-3)=2,x-5y=1,x 2+2x=1,方程数记为m ,一元一次方程数记为n ,则m-n= .互动探究3:一根铁丝用去45后还剩下3米,设未知数x ,列出的方程是x-45x=3,则x 是指 .互动探究4:根据题意,设未知数,列出方程(不求解):(1)手机厂家今年上半年销售手机16000部,比去年同期的销售量增加到2.5倍,则该厂家去年同期销售手机多少部?(2)小明和爸爸下棋,爸爸赢一盘记2分,小明赢一盘记4分,下了6盘后两人的积分相同,问小明与爸爸各赢了几盘棋?(注:6盘中没有出现和棋的情况)【方法归纳交流】第(1)题中的“增加到”和“增加”的意思一样吗?为什么?。
湘教版7年级数学上册第3章小结与复习导学案
第3章小结与复习导学案复习目标：1、能准确梳理本章的有关内容；2、会根据等式的性质解一元一次方程；3、能列一元一次方程解决简单的实际问题；复习重点：一元一次方程的概念、解法以及应用；复习难点：列方程解应用题。
预习导学：一、知识结构：二、知识点的归纳：1、①方程：含有的等式叫做方程；②方程的解：能使方程左右两边的值的的值叫做方程的解；③一元一次方程：只含有个未知数，并且未知数的次数是的方程叫做一元一次方程，其标准形式为。
2、等式的性质：①在等式的左右两边都加上（或减去）数（或式），所得结果仍是，用字母表示为；②在等式两边都乘以（或除以）数（或式）（除数或除式不能为0），所得结果仍是，用字母表示为。
3、解一元一次方程的一般步骤是：去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化1→检验4、列方程解应用题的一般步骤是：实际问题→分析→设未知数→找出等量关系→建立方程模型→解方程→检验解的合理性→答三、合作探究：1、解方程：①312+x-615-x=1②5.09.04.0+x=25-x+03.002.003.0x+③0.5(x+3)=0.8(1+2x)-0.5(x-3)④23[32(4x -1)-2]-x=22、若方程621x -+31+x =1-412+x 与方程x+36a x -=6a -3x 解相同，试求a 的值。
列方程解应用题：①某文艺团体为“希望工程”募捐组织了一场义演，共售出了1000张票，筹集了票款6920元，其中每张成人票8元，学生票5元，问共售出成人票和学生票各多少张？②一架飞机在两城市之间飞行，已知风速是24km/h,顺风飞行需2小时50分，逆风飞行需3小时，问两城市间的飞行距离是多少？③在三月份植树期间，某中学7年级计划栽种一批树苗，若每班栽21棵，则剩下8棵树苗；若每班栽22棵，则还欠12棵树苗。
试问7年级有多少个班，要栽多少棵树苗？④一个三位数，它的十位上的数字是百位上的数字的4倍少3，它的个位上的数字是百位上的数字的3倍大1，如果把十位上的数字与百位上的数字对换后得到一个新三位数，且比原三位数大270，试求原三位数。
§第6章 解一元一次方程 小结与复习(2)
§第6章小结与复习(2)科目：七年级数学备课人：王淑轶【教学目标】1.进一步能以一元一次方程为工具解决一些简单的实际问题。
2.能借助图表整体把握和分析题意，从多角度思考问题、寻找等量关系，恰当地转化和分析量与量之间的关系，提高学生运用方程解决实际问题的能力。
【教学重点】运用方程解决实际问题。
【教学难点】寻找等量关系，间接设元。
【教学过程】一、复习回顾列一元一次方程解应用题的一般步骤是什么？二、自主探究例1：从甲地到乙地公共汽车原需行驶7个小时，开通高速公路后，路程近了30千米，而车速平均每小时增加了30千米，只需4个小时即可到达。
求甲乙两地之间高速公路的路程。
思路分析：若设甲乙两地之间高速公路路程为x千米，则甲乙两地间原来公路长度为千米。
根据行驶时间“原需行驶7个小时”，可将原来行完全程的速度表示为千米∕小时；根据行驶时间“现在只需4个小时即可到达”，可将现在行完全程的速度表示为千米∕小时。
进而根据“车速平均每小时增加了30千米”，依据等量关系列方程为：。
解答该题：例2：为了准备小勇6年后上大学的学费5000元，他的父母现在准备参加教育储蓄。
现有两种储蓄方式可供选择：(1)直接存6年定期，年利率是2.88％，6年后取出；(2)先存3年定期的，3年后再将本利和自动转存3年定期，3年期的年利率是2.7％。
你认为哪种储蓄方式开始存入的本金比较少?分析：要解决“哪种储蓄方式开始存入的本金较少”，只要分别求出采用这两种储蓄方式刚开始存入时需存入多少元，进行比较即可确定。
假设开始存入x元。
如果按照第一种储蓄方式，那么列方程：x×(1+2.88％×6)＝5000解得 x≈4263(元)如果按照第二种蓄储方式：依据等量关系“第二个3午后本利和＝5000”，可以列方程x×(1+2.7％×3) ×(1+2.7％×3)＝5000解得 x≈4279(元)因为4263元＜4279元，因此选取第一种储蓄方式(即直接存6年定期)开始时存入的本金少。
《第三章一元一次方程》导学案
第三章 一元一次方程《3.1.1 一元一次方程》导学案NO ：34一、学习目标1. 初步学习如何寻找问题中的相等关系，列出方程，了解方程的概念； 2．在对实际问题情景的分析过程中感受方程模型的意义。
二、自主学习1、请同学们阅读P78 至P79，然后用算术方法解此问题，列算式为 ； 然后用设未知数列方程的数学思想来解决此问题，设A,B 两地的路程为x 千米，可列方程为： 像上面含有未知数的等式，叫 （读三遍）。
2、自学P79，根据下列问题，设未知数并列出方程．（1）用一根长20cm 的铁丝围成一个正方形，正方形的边长是多少？分析：设正方形的边长为x （cm ），那么周长为 （cm ），列方程： ． （2）某校女生占全体学生数的61℅，比男生多61个，这个学校有学生多少个？分析：设这个学校有学生x 个人，则女生数为 ，男生数为 ，列方程是 ； （3）一台计算机已使用1200小时，预计每月再使用123小时，经过多少月这台计算机的使用时间达到规定的检修时间2612小时？(自主分析并列出方程)像上面（1）、（2）、（3）所列的方程，只含有一个 数，并且未知数的次数都是 ，这样的方程叫做 元 次方程（读三遍）。
注意：“ 一元”是指一个未知数；“一次”是指未知数的指数是一次（理解）。
上面的分析过程归纳如下：（1）分析实际问题中的 关系，利用 关系列出方程（一元一次方程），是用数学解决实际问题的一种方法。
（2）列方程经历的几个步骤 A 、设 数；B 、找出题中的 关系； C 、列出含有未知数的等式——（ ）。
3、阅读P80，理解列方程是解决实际问题的一种重要方法，利用方程能够求出未知数。
当x =6时，4x 值是24。
这时，方程4x =24等号左右两边相等，所以x =6，叫做方程4x =24 的解；同样，当x=10时，2x+3=23,这时方程2x+3=23等号两边 相等，所以，x=10叫做方程2x+3=23的 ；像这样，解方程就是求出使方程中等号左右两边 的未知数的值，这个值就是方程的 （读三遍）。
一元一次方程复习教学设计
《3.5.2 一元一次方程小结（1）》教学设计在教学中，以学生独立思考解决问题为主，讨论交流、教师点拨为辅，培养学生教学资源的综合使用知识的水平，掌握有效的复习方法。
为了保证教学的有效推动，使用多媒体课件、导学案辅助教学。
通过提问完善知识结构图，并对相关要点知识实行强化。
活动四：变式训练，查补缺漏(22分钟)(一)查缺补漏，基础闯关(10分钟)1.下列各式中：①3x — 8,②x+1=0,③2x—1=3x,④x — 2y=0,⑤ X2 =0，⑥1=2x其中是一元一次方程的是( )A、①②B、②③C、⑤⑥D、③⑥2. x=8是下列哪些方程的解(只填序号).①x+8=0,②2x — 7=x+1,③ X2 -64=0,④2x-7=93.已知a=b,下列四个式子中，不准确的是()A.2a=2bB.-2a=-2bC.a+2=b-2D.a-2=b-24.解方程:⑴ 1-3x=2(x-2)x -3 -14x 12y-1 2y -3⑶—— ----- =25.下列四个方程中，一元一次方程是()；A. 12-7=5B.x+y=1C. x=0D. X2-1=06.下列方程中，以4为解的方程是()；A.2x+5=10B.-3x-8=4C. 2x-2=3x-6D.【教师活动】(1)通过讲练结合的办法，加深对知识和主要思想方法的理解使用与理解，利用针对性例题强化重要知识点或薄弱环节。
(2)通过过关练习，注重学生基础知识掌握情况，适时给以学法指导。
【学生活动】(1)一名学生回答教师所提的一元一次方程的相关问题，其他学生对回答的问题答案给予补充与评价。
(2)独立完成闯关练习，初步检查自己知识掌握情况。
(3)同桌互评练习。
(4)独立实行学习反思。
【媒体使用】(1)出示回顾知识所提的几个问题。
(2)出示过关练习。
【设计意图】(1)通过过关练习，加深对本章知识的理解，将知识由系统细化到具体，从而指导学生解决具体问题。
(2)以考代练，增强练习的有效性。
期末复习3--一元一次方程复习导学案
课题期末复习--一元一次方程复习一、【温故知新】知识要点：考点1．一元一次方程的有关概念（1）一元一次方程：⑴含___个未知数；⑵未知数指数为___；⑶________方程。
（2）一元一次方程的标准形式是：考点2．等式的基本性质（1）等式性质1：等式的两边都加上或减去或，所得的结果仍是等式.即：如果a=b，那么a±c=b ；（2）等式性质2：等式的两边都乘以或都除以，所得的结果仍是等式.即：如果a=b，那么ac=bc；或如果a=b，那么a bc c=（c≠）考点3．解一元一次方程的基本步骤：1.列一元一次方程解应用题的一般步骤：（1）审题；找等量关系：条件等量关系；固有等量关系（如s=vt等）;（3）设未知数；列方程；解方程；检验；答题。
2.应用题类型：⑴行程问题：s=vt；⑵工程问题：w=ft；⑶配套问题；⑷数字问题；⑸时钟问题：⑹盈亏问题：盈亏的百分比是以进价为标准的：利润=售价-进价=进价×利润率；利润率=利润÷进价×100﹪=（售价-进价）÷进价×100﹪⑺银行存款问题：利息=本金×利率×期数×（1-利息税率）；本息和=本金+利息。
⑻方案设计问题：一般先求出使两种方案结果相同时的情况结果，再进行讨论。
⑼球赛积分问题：利用积分原则建立方程。
二、【学习目标】1.一元一次方程的有关概念、一元一次方程的解法及其实际应用；（重点） 2．分析实际问题中的数量关系，找出解决问题的等量关系。
（难点） 三、【自主学习】1、下列式子：①4x －3, ②x-2y=1, ③0.5×4＝2, ④1/2x+1=0,⑤3/y －1=5y ，⑥x 2－3x=1中，方程有 ，一元一次方程有 . 2、若x= －2是方程mx －x = 4的解，则m= . 3、下列变形错误的是〔 〕A 、若x=y,则x －2a=y －2aB 、若x=y,则2x ＋b=2y ＋bC 、若m 2x=m 2y, 则x=yD 、若x=y ，则m 2x=m 2y4、若（n －2）x ︱3-n ︱＋2n=1是一元一次方程，则n= . 5、解方程：（1）)4(12)2(3+-=-x x （2）13232248x x +-=-四、【合作探究】探究1： 考查等式的基本性质例1. 下列运用等式的性质对等式进行的变形中，正确的是 （ ） A.若x y =，则33x y -=- B. 若x y =，则kx ky = C. 若x y =，则x y a a = D. 若x ym m=，则23x y = 探究2：考查一元一次方程的有关概念及解法例2.已知关于x 的方程021)1(||=+-k x k 是一元一次方程,则k 的值为（ ）A.1B.-1C.±1D. 0例 3.小明在做解方程作业时，不小心将方程中的一个常数污染了看不清楚，被污染的方程是-=-y y 21212?小明想了一想便翻看了书后的答案，此方程的解是35-=y .很快补好了这个常数，这个常数应是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 例4.解方程：（1） . （2）.探究3： 元一次方程的运用（方程思想）例5.若x ＝－3是方程ax －8＝20－a 的解，求关于y 的方程ay ＋3＝a －2y 的解.4 1.550.8 1.20.50.20.1x x x ----=175321416181=⎭⎬⎫⎩⎨⎧+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-x探究4： 考查列一元一次方程的解应用题例6.甲乙两件衣服的成本共500元，商店老板为获取利润，决定将家服装按50%的利润定价，乙服装按40%的利润定价，在实际销售时，应顾客要求，两件服装均按9折出售，这样商店共获利157元，求甲乙两件服装成本各是多少元？五、【课堂演练】落实掌握情况1. 如果234x kx -=+是关于x 的一元一次方程，那么k ；2.当x= 时，式子21-x 与32-x 互为相反数。
一元一次方程复习导学案(一)
一元一次方程小结与思考（1）知识要点：1、_______________________________________叫做一元一次方程。
2、等式性质1内容：___________________________________________等式性质2内容：___________________________________________3、⑴_____________________________叫做方程的解；⑵_____________________________叫做解方程；⑶解一元一次方程的基本步骤：___________；___________；___________；___________；____________自主学习：1、将下列各式中，是一元一次方程的序号填在横线上________________。
⑴2x 15+= ⑵2x 2x 30++= ⑶x x 480100-= ⑷2x 3y 0+= ⑸2103x+= 2、某钢厂11月份产量是4万吨，预计12月份的产量是4.84万吨，若设增长率为x ，可列方程_________________。
3、由等式2x ＋3＝4，得2x ＝1，根据是_________________；由等式－3x ＝6，得x ＝－2，根据是_________________。
4、方程2x ＝4的解是_________；方程x －5＝8的解是_________。
5、x ＝0是下列哪个方程的解（ ）A 、2x 32x 1+=+B 、23x 4x =C 、x 145x 2++=D 、1x 204+= 6、写出一个解为2的一元一次方程___________________。
例题选讲：例1、如果4a 32x 60-+=是一元一次方程，求a 及方程的解。
变式练习：|m|1(m 2)x 30--+=是一元一次方程，则m ＝________。
例2、已知x ＝2是方程5x ＋3m ＝2的解，求代数式3m ＋8的值。
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一元一次方程小结与复习教案
七年级数学备课组
一、内容概括
1．一元一次方程、一元一次方程的解
2．一元一次方程的解法（一般步骤、注意事项）
3．列一元一次方程解实际问题
知识网络
二、规律方法总结
1、方程思想：
（1）方程思想就是把未知数看成已知数，让代替未知数的字母和已知数一样参加运算。
（2）求未知数的值（例如在填空题和简单应用类题目中），一般都通过构建方程来求解。
2、数形结合思想：数形结合思想是指在研究问题的过程中，由数思形，由形思数，把数与形结合起来，分析问题的思想方法。
本章在列方程解应用题时常用画线段图和画框图的方法来分析问题。
3、列方程解应用题的一般步骤：
（1）审：弄清题意和数量关系，弄清已知量和未知量，找到一个包含题目全部数量关系的相
等关系。
（2）设：设未知数（可设直接和间接未知数）
（3）列：列方程（使用题中原始数据或已经计算出的数据）
（4）解：解方程
（5）验：检验是否原方程的解，检验是否符合题意；
（6）答：回答全面，注意单位。
说明：（1）书写出来的是：设、列、解、答
（2）“审”是关键，“验”是保证。
三、本章专题剖析
【例题解析】
例1下面是从小明同学作业本摘抄的内容，请你找出其中正确的是（ ）
解一元一次方程的一般步骤 去分母 一元一次方程 等式性质
实际问题 系数化为1
去括号 移项 合并同类项
（A ）方程
16
110312=+-+x x ，去分母，得2(2x ＋1)－(10x ＋1)＝1． （B ）方程8x －2x ＝－12，6x ＝－12＝x ＝－2．
（C ）方程2(x ＋3)－5(1－x)＝3(x －1)，去括号，得2x ＋3－5－5x ＝3x －3．
（D ）方程9x ＝－4，系数化为1，得9
4-=x ． 例2 解方程3
1652--=+-x x x ． 例3甲、乙两件服装的成本共500元，商店老板为获取利润，决定将甲服装按50%的利润定价，乙
服装按40%的利润定价．在实际出售时，应顾客要求，两件服装均按9折出售，这样商店共获利157元，求甲、乙两件服装的成本各是多少元？
例4李阿姨购买了25000元某公司1年期的债券，一年后扣除20%的利息税之后得到本息和为26000
元，这种债券的年利率是多少？
【基础练习】
一、填空题
1．方程x ＋3＝3x －1的解为______．
2．关于x 的方程ax －6＝2的解为x ＝ －2，则a ＝_____．
3．代数式2
1x +-的值等于3，则x ＝________． 4．写出以x ＝ 1为根的一元一次方程是 ．（写一个即可）
二、选择题
1．在下面方程中，变形正确的为（ ）
（1）由3x ＋6＝0变形，得x ＋2＝0 （2）由5－3x ＝ x ＋7变形，得－2x ＝2
（3）由27
3=x 变形，得3x ＝14 （4）由4x ＝－2变形，得x ＝－2 A ．（1）、（3） B ．（1）、（2）、（3） C ．（3）、（4） D ．（1）、（2）、（4） 2．若222+n y x 和12--n y x 是同类项，则n 的值为（ ）
A ．23
B ．6
C ．3
2 D ．2 3、某数x 的43%比它的一半还少7，则列出求x 的方程是（ ）
A ．7)21%(43=-x
B ．721%43=-x
C ．721%43=-x x
D ．x x %4372
1=- 4、一家商店将一种自行车按进价提高45%后标价，又以七折优惠卖出，结果每辆仍获利50元，这种自行车每辆的进价是多少元？若设这种自行车每辆的进价是x 元，那么所列方程为（ ）
A ．45%×(1＋80%)x －x ＝50
B ．80%×(1＋45%)x －x ＝50
C ．x －80%×(1＋45%)x ＝50
D ．80%×(1－45%)x －x ＝50
三、解方程
1、1023
=--n 2、7233+=+x x 3、17)5.0(4=++x x 4、3
2)32(36=+-x 5、)20(41)14(71+=+x x 6、)7(3
121)15(51--=+x x
四、只设未知数、列方程，不解答
1、一架飞机在两城之间飞行，顺风需要4小时，逆风需要4.5小时； 测得风速为45千米/时，求两城之间的距离.
2、某商店开张为吸引顾客，所有商品一律按八折优惠出售，已知某种旅游鞋每双进价为60元，
八折出售后，商家所获利润率为40%。
问这种鞋的标价是多少元？优惠价是多少？
3、某文艺团体组织了一场义演为“希望工程”募捐，共售出1000张门票，已知成人票每张8元，学生票每张5元，共得票款6950元，成人票和学生票各几张？
【本章几个主要的运用问题及其数量关系】
1、行程问题基本量及关系：路程=速度×时间 时间路程速度= 时间= 速度路程 典型问题
相遇问题中的相等关系：一个的行程+另一个的行程=两者之间的距离
追及问题中的相等关系：追及者的行程－被追者的行程=相距的路程
航程问题
顺速=V 静＋风（水）速 逆速=V 静－风（水）速
2、销售问题·基 本 量：
成本（进价）、售价（实售价）、
利润（亏损额）、利润率（亏损率）
基本关系：利润=售价－成本、亏损额=成本－售价、
利润=成本×利润率 亏损额=成本×亏损率 3、工程问题 基本量及关系: 工作总量=工作效率×工作时间
常见相等关系：（1）各阶段工作量之和=工作总量
（2）各参与者工作量之和=工作总量
4、其他类型：如图表信息题，配套问题，等积变化问题，球赛积分问题等等，结合实际具体
分析，或者画图分析。
总之，找相等关系是关键。
【补充题型】（教师讲解）
（一）编一道符合实际的应用题，使所列方程是
3(x+2)+3x=36
（二）钟表上的“追及”问题
在2时和3时的哪个时刻，钟表上的时针与分针 （1）重合 （2）成直角 （3）成平角 思路启迪：
1、时针与分针的速度可用（数字，格子，度数，）3钟方法表示，因此钟表上的“追及”问题
可用3种方法求解
工作时间工作总量工作效率=工作效率
工作总量工作时间=成本利润利润率=成本亏损额亏损率=
数字：（1）时针1小时走1个数字
（2）分针1小时走12个数字
格子：（1）时针1小时走5小格
(2)分针1小时走60小格
度数：（1）时针1小时走0
30
(2) 分针1小时走3600
2、画图找相等关系（注：画出初始位置和结束位置）
【重合】
相等关系：分针比时针多走（2个数字
或10 小格或60度）
解：设2时再过x小时时针与分针重合
方法一：列方程12x-x=2,解得
2
x=
11
方法二：列方程 60x-5x=10, 解得
2
x=
11
方法三：列方程 360x-30x=60, 解得
2
x=
11
（其余各题类似解答）。