求函数极限的方法和技巧

求函数极限的方法和技巧

1、运用极限的定义

2、利用极限的四则运算性质

若 A x f x x =→)(lim 0 B x g x x =→)(lim 0

(I)[]=±→)()(lim 0x g x f x x )(lim 0x f x x →±B A x g x x ±=→)(lim 0

(II)[]B A x g x f x g x f x x x x x x ⋅=⋅=⋅→→→)(lim )(lim )()(lim 0

00 (III)若 B ≠0 则： B

A x g x f x g x f x x x x x x ==→→→)(lim )(lim )()(lim 0

00 （IV ）cA x f c x f c x x x x =⋅=⋅→→)(lim )(lim 0

0 （c 为常数） 上述性质对于时也同样成立-∞→+∞→∞→x x x ,,

3、约去零因式（此法适用于型时0

,0x x →） 例: 求 解:原式=()

())12102(65)2062(103lim 2232232+++++--+---→x x x x x x x x x x x =)

65)(2()103)(2(lim 222+++--+-→x x x x x x x =)

65()103(lim 222++---→x x x x x =)3)(2()2)(5(lim 2+++--→x x x x x =2lim -→x 73

5-=+-x x 4、通分法（适用于∞-∞型）

12

1672016lim 23232+++----→x x x x x x x

例: 求 )2144(lim 22x

x x ---→

解: 原式=)

2()2()2(4lim 2x x x x -⋅++-→ =)2)(2()2(lim

2x x x x -+-→ =4121lim 2=+→x x

5、利用无穷小量性质法（特别是利用无穷小量与有界量之乘积仍为无穷小量的性质） 设函数f(x)、g(x) 满足：

（I ）0)(lim 0

=→x f x x (II) M x g ≤)( (M 为正整数)

则：0)()(lim 0

=→x f x g x x 例: 求 x

x x 1sin lim 0⋅→ 解: 由 0lim 0

=→x x 而 11sin ≤x 故 原式 =01sin lim 0=⋅→x

x x 6、利用无穷小量与无穷大量的关系。

（I ）若：∞=)(lim x f 则 0)

(1lim =x f (II) 若: 0)(lim =x f 且 f(x)≠0 则 ∞=)(1lim

x f 例: 求下列极限

① 51lim +∞→x x ②1

1lim 1-→x x

解: 由 ∞=+∞→)5(lim x x 故 051lim

=+∞→x x 由 0)1(lim 1

=-→x x 故 11lim 1-→x x =∞ 7、等价无穷小代换法 设'',,,ββαα 都是同一极限过程中的无穷小量，且有：

''~,~ββαα， ''

lim β

α 存在， 则 βαlim 也存在，且有βαlim = ''

lim β

α 例:求极限2

22

0sin cos 1lim x x x x -→ 解: ,~sin 22x x 2)(~cos 12

22

x x - ∴ 2220sin cos 1lim x x x x -→=212)(2

22

2=x x x 注： 在利用等价无穷小做代换时，一般只在以乘积形式出现时可以互换，若以和、差出现时，不要轻易代换，因为此时经过代换后，往往改变了它的无穷小量之比的“阶数”

8、利用两个重要的极限。

1sin lim )(0=→x x A x e x

B x x =+∞→)11(lim )( 但我们经常使用的是它们的变形：

))((,))(11lim()()0)((,1)()(sin lim

)()(''∞→=+→=x e x B x x x A x ϕϕϕϕϕϕ 例：求下列函数极限