云南省昆明第一中学2020-2021学年高二上学期期末考试数学
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A． B． C． D．
8．曲线 上的点到直线 的最短距离是（）
A． B． C． D．0
9．太极图被称为“中华第一图”．从孔庙大成殿粱柱，到楼观台、三茅宫标记物；从道袍、卦摊、中医、气功、武术到南韩国旗 ，太极图无不跃居其上．这种广为人知的太极图，其形状如阴阳两鱼互抱在一起，因而被称为“阴阳鱼太极图”．在如图所示的阴阳鱼图案中，阴影部分可表示为 ，设点 ，则 的取值范围是
参考答案
1．C
【详解】
特称命题的否定为全称命题，所以命题的否命题应该为 ，即本题的正确选项为C.
2．B
【分析】
利用复数除法运算化简，可得虚部．
【详解】
，
则复数 的虚部为 ，
故选：
【点睛】
本题考查复数代数形式的除法运算，属基础题．
3．A
【分析】
根据不等式的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
（1）求动点 的轨迹 的方程；
（2）设点 ， 是轨迹 上相异的两点.
（Ⅰ）过点 ， 分别作抛物线 的切线 ， ， 与 两条切线相交于点 ，证明： ；
（Ⅱ）若直线 与直线 的斜率之积为 ，证明： 为定值，并求出这个定值.
22．已知函数 ， ，其中 .
（1）试讨论函数 的单调性及最值；
（2）若函数 不存在零点，求实数 的取值范围.
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
4．若 ，4， 为等差数列的连续三项，则 （ ）
A．1023B．1024C．2047D．2048
5．如图，设 是途中边长分别为1和2的矩形区域， 是 内位于函数 图象下方的
阴影部分区域，则阴影部分 的面积为（）
A． B． C． D．
A． ， B． ， C． ， D． ，
10．函数 在定义域 内可导，若 ，且当 时， ，设 ， ， ，则（）
A． B． C． D．
11．已知圆F1：（x+2）2+y2＝36，定点F2（2，0），A是圆F1上的一动点，线段F2A的垂直平分线交半径F1A于P点，则P点的轨迹C的方程是（ ）
A． B．
C． D．
16．已知双曲线 的渐近线与圆 相交，则双曲线的离心率的取值范围是______.
三、解答题
17．已知 分别为 的内角 的对边，且 .
（1）求角 的大小；
（2）若 ，Leabharlann Baidu，求 的取值范围.
18．2021年央视大型文化节目《经典咏流传》的热播，在全民中掀起了诵读诗词的热潮.某大学社团调查了该校文学院300名学生每天诵读诗词的时间(所有学生诵读时间都在两小时内)，并按时间(单位：分钟)将学生分成六个组： ， ， ， ， ， ，经统计得到了如图所
示的频率分布直方图
(Ⅰ)求频率分布直方图中 的值，并估计该校文学院的学生每天诵读诗词的时间的平均数；
(Ⅱ)若两个同学诵读诗词的时间 满足 ，则这两个同学组成一个“Team”，已知从每天诵读时间小于20分钟和大于或等于80分钟的所有学生中用分层抽样的方法抽取了5人，现从这5人中随机选取2人，求选取的两人能组成一个“Team”的概率.
【详解】
因为 ，4， 为等差数列的连续三项，所以 ，
，故本题选C.
【点睛】
本题考查了等差中项、以及等比数列的前 和公式，考查了数学运算能力.
5．D
【解析】
试题分析：由题意，阴影部分 由两部分组成，因为函数 当 时， 所以阴影部分 的面积为 故选D．
考点：利用定积分在曲边形的面积．
6．D
【解析】
分析：计算 、 ，求出 的值，写出回归方程，利用回归方程计算x=25时 的值．
云南省昆明第一中学2020-2021学年高二上学期期末考试数学
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．设命题 ，则 为（）
A． B．
C． D．
2．已知复数 （ 虚数单位），则 的虚部为（）
A． B． C． D．
3．设x∈R，则“|x－2|<1”是“x2＋x－2>0”的( )
19．已知椭圆的两焦点为 ， ，离心率 .
（1）求此椭圆的标准方程；
（2）设直线 ，若 与此椭圆相交于 两点，且 等于椭圆的短轴长，求 的值.
20．如图，正三棱柱 的所有棱长都是2， 分别是 的中点.
（1）求证：平面 平面 ；
（2）求二面角 的余弦值.
21．在平面直角坐标系 内，动点 与两定点 ， 连线的斜率之积为 .
12．在三棱锥 中，平面 平面 ， 是边长为 的等边三角形， ，则该三棱锥外接球的表面积为（）
A． B． C． D．
二、填空题
13．已知两个单位向量 ，满足 ，则 与 的夹角为_______
14．若甲、乙、丙三人随机地站成一排，则甲、乙两人相邻而站的概率为_________．
15．若将函数 （其中 ）的图象上所有点的横坐标缩短为原来的 （纵坐标不变），再将所得图象向右平移 个单位可得到 的图象，则 ______.
【详解】
解：由“|x﹣2|＜1”得1＜x＜3，
由x2+x﹣2＞0得x＞1或x＜﹣2，
即“|x﹣2|＜1”是“x2+x﹣2＞0”的充分不必要条件，
故选A．
考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．
4．C
【解析】
【分析】
由 ，4， 为等差数列的连续三项，可以求出 的值，然后利用等比数列的前 和公式求出 的值.
详解：根据题意，计算 = =24， = =170， ；
∴ = ﹣ =170﹣5×24=50，
∴ =5x+50，
当x=25时，计算 =5×25+50=175，
据此估计其身高为175（厘米）．
故选D．
点睛：回归直线过样本点中心 是一条重要性质，利用线性回归方程可以估计总体，帮助我们分析两个变量的变化趋势.
6．为了研究某班学生的脚长 (单位:厘米)和身高 (单位:厘米)的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出 与 之间有线性相关关系，设其回归直线方程为 ．已知 , ， ，若该班某学生的脚长为25，据此估计其身高为（ ）
A．160B．165C．170D．175
7．如图，在圆心角为 ，半径为 的扇形中，在弦 上任取一点，则 的概率为（）
7．D
【分析】
由题意可知， 的概率为 ，由题意结合平面几何知识求得 ， ，则答案可求．
【详解】
如图，
，若 ，则 ，
为等腰三角形，即 ．
在 中，
，
．
由测度比为长度比可得 的概率为 ．
故选： ．
8．曲线 上的点到直线 的最短距离是（）
A． B． C． D．0
9．太极图被称为“中华第一图”．从孔庙大成殿粱柱，到楼观台、三茅宫标记物；从道袍、卦摊、中医、气功、武术到南韩国旗 ，太极图无不跃居其上．这种广为人知的太极图，其形状如阴阳两鱼互抱在一起，因而被称为“阴阳鱼太极图”．在如图所示的阴阳鱼图案中，阴影部分可表示为 ，设点 ，则 的取值范围是
参考答案
1．C
【详解】
特称命题的否定为全称命题，所以命题的否命题应该为 ，即本题的正确选项为C.
2．B
【分析】
利用复数除法运算化简，可得虚部．
【详解】
，
则复数 的虚部为 ，
故选：
【点睛】
本题考查复数代数形式的除法运算，属基础题．
3．A
【分析】
根据不等式的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
（1）求动点 的轨迹 的方程；
（2）设点 ， 是轨迹 上相异的两点.
（Ⅰ）过点 ， 分别作抛物线 的切线 ， ， 与 两条切线相交于点 ，证明： ；
（Ⅱ）若直线 与直线 的斜率之积为 ，证明： 为定值，并求出这个定值.
22．已知函数 ， ，其中 .
（1）试讨论函数 的单调性及最值；
（2）若函数 不存在零点，求实数 的取值范围.
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
4．若 ，4， 为等差数列的连续三项，则 （ ）
A．1023B．1024C．2047D．2048
5．如图，设 是途中边长分别为1和2的矩形区域， 是 内位于函数 图象下方的
阴影部分区域，则阴影部分 的面积为（）
A． B． C． D．
A． ， B． ， C． ， D． ，
10．函数 在定义域 内可导，若 ，且当 时， ，设 ， ， ，则（）
A． B． C． D．
11．已知圆F1：（x+2）2+y2＝36，定点F2（2，0），A是圆F1上的一动点，线段F2A的垂直平分线交半径F1A于P点，则P点的轨迹C的方程是（ ）
A． B．
C． D．
16．已知双曲线 的渐近线与圆 相交，则双曲线的离心率的取值范围是______.
三、解答题
17．已知 分别为 的内角 的对边，且 .
（1）求角 的大小；
（2）若 ，Leabharlann Baidu，求 的取值范围.
18．2021年央视大型文化节目《经典咏流传》的热播，在全民中掀起了诵读诗词的热潮.某大学社团调查了该校文学院300名学生每天诵读诗词的时间(所有学生诵读时间都在两小时内)，并按时间(单位：分钟)将学生分成六个组： ， ， ， ， ， ，经统计得到了如图所
示的频率分布直方图
(Ⅰ)求频率分布直方图中 的值，并估计该校文学院的学生每天诵读诗词的时间的平均数；
(Ⅱ)若两个同学诵读诗词的时间 满足 ，则这两个同学组成一个“Team”，已知从每天诵读时间小于20分钟和大于或等于80分钟的所有学生中用分层抽样的方法抽取了5人，现从这5人中随机选取2人，求选取的两人能组成一个“Team”的概率.
【详解】
因为 ，4， 为等差数列的连续三项，所以 ，
，故本题选C.
【点睛】
本题考查了等差中项、以及等比数列的前 和公式，考查了数学运算能力.
5．D
【解析】
试题分析：由题意，阴影部分 由两部分组成，因为函数 当 时， 所以阴影部分 的面积为 故选D．
考点：利用定积分在曲边形的面积．
6．D
【解析】
分析：计算 、 ，求出 的值，写出回归方程，利用回归方程计算x=25时 的值．
云南省昆明第一中学2020-2021学年高二上学期期末考试数学
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．设命题 ，则 为（）
A． B．
C． D．
2．已知复数 （ 虚数单位），则 的虚部为（）
A． B． C． D．
3．设x∈R，则“|x－2|<1”是“x2＋x－2>0”的( )
19．已知椭圆的两焦点为 ， ，离心率 .
（1）求此椭圆的标准方程；
（2）设直线 ，若 与此椭圆相交于 两点，且 等于椭圆的短轴长，求 的值.
20．如图，正三棱柱 的所有棱长都是2， 分别是 的中点.
（1）求证：平面 平面 ；
（2）求二面角 的余弦值.
21．在平面直角坐标系 内，动点 与两定点 ， 连线的斜率之积为 .
12．在三棱锥 中，平面 平面 ， 是边长为 的等边三角形， ，则该三棱锥外接球的表面积为（）
A． B． C． D．
二、填空题
13．已知两个单位向量 ，满足 ，则 与 的夹角为_______
14．若甲、乙、丙三人随机地站成一排，则甲、乙两人相邻而站的概率为_________．
15．若将函数 （其中 ）的图象上所有点的横坐标缩短为原来的 （纵坐标不变），再将所得图象向右平移 个单位可得到 的图象，则 ______.
【详解】
解：由“|x﹣2|＜1”得1＜x＜3，
由x2+x﹣2＞0得x＞1或x＜﹣2，
即“|x﹣2|＜1”是“x2+x﹣2＞0”的充分不必要条件，
故选A．
考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．
4．C
【解析】
【分析】
由 ，4， 为等差数列的连续三项，可以求出 的值，然后利用等比数列的前 和公式求出 的值.
详解：根据题意，计算 = =24， = =170， ；
∴ = ﹣ =170﹣5×24=50，
∴ =5x+50，
当x=25时，计算 =5×25+50=175，
据此估计其身高为175（厘米）．
故选D．
点睛：回归直线过样本点中心 是一条重要性质，利用线性回归方程可以估计总体，帮助我们分析两个变量的变化趋势.
6．为了研究某班学生的脚长 (单位:厘米)和身高 (单位:厘米)的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出 与 之间有线性相关关系，设其回归直线方程为 ．已知 , ， ，若该班某学生的脚长为25，据此估计其身高为（ ）
A．160B．165C．170D．175
7．如图，在圆心角为 ，半径为 的扇形中，在弦 上任取一点，则 的概率为（）
7．D
【分析】
由题意可知， 的概率为 ，由题意结合平面几何知识求得 ， ，则答案可求．
【详解】
如图，
，若 ，则 ，
为等腰三角形，即 ．
在 中，
，
．
由测度比为长度比可得 的概率为 ．
故选： ．