数学建模 期末论文详解

摘要 色盲是一种先天性色觉障碍疾病。根据三原色学说，可见光谱内任何颜色

都可由红、绿、蓝三色组成。如能辨认三原色都为正常人，三种原色均不能辨认都称为全色盲。色盲具有遗传性，由两种基因c 和s 的遗传规律决定（基因分优势基因和劣势基因两种，这里分别用c 和s 表示）。男性只有一个基因c 或s ；女性有两个基因cc,cs 或ss ，当某人具有基因c 或cc 时则呈色盲表征。

关键词 色盲 基因 遗传

问题分析 色盲基因遗传关系是：男孩等概率地继承母亲两个基因中的一个；

女孩继承父亲的那个基因，并等概率地继承母亲的一个基因。由此可以看出，当母亲是色盲时男孩一定是色盲，女孩却不一定。

下面我们以马氏链为工具研究非常极端的近亲结婚情况下的色盲遗传，即同一对父母的后代婚配，考察一系列后代的基因类型的演变情况。

建立模型

1、近亲随机婚配模型

这是指这样一种婚配方式，从同一对父母的大量后代中，随机地让一男一女进行婚配，产生后代，如此继续下去。父母基因组合共有6种类型，形成马氏链模型的6中状态，设

X

n

=1,2,3,4,5,6依次定义为c 和cc ， s 和ss ，c 和cs ， c 和

ss ， s 和cc ， s 和cs 。 转移概率P ij 可用P ij = P （一个后代的基因类型j| 母亲具有基因类型i ）计算。

构造马氏链模型的关键是写出转移概率P ij 。

显然

P

11=1,

P

1j

=0 (1≠j ),

P

22

=1,

P

j

2=0 (2≠j ), 因为父母全为优势基

因c(或劣势基因s)时，后代全是优势基因（或劣势基因），随机选取的男女婚配

当然也是。4

1

P 31=，因为男女双方基因类型分别为c 和cs 婚配后的后代中有c,

s, cc, cs 四种可能的基因类型，所以随机婚配为c 和cc （状态1）的概率是412121=•，同理有4

1

P P P 363533=== 。可算出1P 46=，因为男女双方基因类型分别为c 和ss 婚配后的后代中只有基因类型s 和cs （状态6），因此后代为s 和cs 基因类型的概率为1。可得知 0P P P P P 4544434241===== 。其他的P ij 可以类似地计算。

根据上面的表格，可以得到转移矩阵

=

P ⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝

⎛410

4

14

14100001001000004141041041000010000001 （1）

模型1数据分析 容易看出，状态1（c 和cc ）和状态2（s 和ss ）是吸收状态，这是一个吸收链。它表明不论最初婚配是哪种基因类型组合，经过若干代亲婚配生育，终将变为c （女的基因类型为cc ）或s(女的基因类型为ss)，即变成全是优势基因或全是劣势基因，而且一且如此，就永远保持下去。

为了计算从任一非吸收状态3, 4, 5, 6出发，平均经过多少代就会被吸收状态1或是吸收状态2吸收，我们首先将（1）式表示的转移矩阵P 化为转移矩阵的标准形式，得到

Q

=⎪⎪⎪⎪

⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛410

4

14

1000110004141041 ， R

=⎪⎪⎪⎪

⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛4100000041 (2) 根据 定理4，对于吸收链P 的标准形式，（I - Q ）可逆，M = ）（Q -I -1

记元素全为1的列向量)1,,1,1( =e T

，则 Me y =的第i 分量是从第i 个非吸收状态出发，被某个吸收状态吸收的平均转移次数。 按定理计算可得

==）（Q -I -1

M ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛383

13

23

4343531383831353434323138 （3）

)5,6,6,5(==Me y （4）

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎪⎪⎭

⎫

⎝

⎛==323

1313232313132MR F ( 5 )

M 的第1行至第4行依次代表非吸收状态c 和cs ，c 和ss ，s 和cc ，s 和cs ，根据定理4对于向量y 的各个分量的解释，从男女基因类型组合分别为c 和cs 婚配的状态出发，在近亲婚配生育的情况下平均经过5代就会被状态1（c 和cc ）或状态2（s 和ss ）吸收，即全变成优势基因或劣势基因。被吸收状态吸收的概

率为矩阵F 的第1行元素，即变成优势基因和劣势基因的概率分别为3

1

32和。同

理可得，从其他状态c 和ss ，s 和cc ，s 和cs 出发，同样可得到相应的结论。

2、近亲有条件婚配模型

这是指这样的一种婚配方式，在同一对父母的大量后代中，不是随机地让男女进行婚配，而是有一个条件，男女双方不能全是色盲患者，否则不能婚配。父母基因组合共有5种类型，形成马氏链模型的5中状态，设

X

n

=1,2,3,4,5依次

定义为c 和cc ， c 和cs ， c 和ss ， s 和cc ， s 和cs 。 转移概率P ij 可用P ij =

根据上表可知，01,P P 1j 11==)1(≠j ,因为父母全为优势基因（c 和cc ）时，后代

全是优势基因。4

1

21=

P ，因为婚配基因类型组合为c 和cs （状态2），后代有四种基因组合c 和cc ，c 和cs ，s 和cc ，s 和cs ，而c 和cc （状态1）占4

1

，同理

有4

1

252422===P P P ,而023=P .其他的P ij 可以类似地计算出来，最后得到转

移矩阵为

P

*= ⎪⎪⎪⎪

⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛210

4

14

10000101000041410414100001 （ 6 ）

模型2数据分析容易看出状态1（c 和cc ）是吸收状态，这是一个吸收链。它

表明不论最初婚配的是那种基因类型组合，经过若干代近亲婚配，终将变为c 或