09工程力学答案 第11章 压杆稳定讲课教案

09工程力学答案第11章压杆稳定11-1 两端为铰支座的细长压杆，如图所示，弹性模量E=200GPa，试计算其临界荷载。

（1）圆形截面，25,1d l==mm m；（2）矩形截面2400,1h b l===m m；（3）16号工字钢，2l=ml解：三根压杆均为两端铰支的细长压杆，故采用欧拉公式计算其临界力：（1）圆形截面，25,1d l==mm m：2292220.025200106437.81crEIPlπππ⨯⨯⨯⨯===N kN （2）矩形截面2400,1h b l===m m当压杆在不同平面约束相同即长度系数相同均为1μ=时，矩形截面总是绕垂直短边的轴先失稳20.040.02min(,)12y z yI I I I⨯===，故：2292220.040.02200101252.71crEIPlππ⨯⨯⨯⨯===N kN （3）16号工字钢，2l=m查表知：4493.1,1130y zI I==cm cm，当压杆在不同平面约束相同即长度系数相同均为1μ=时4min(,)93.1y z yI I I I===cm，故：2298222001093.110459.42crEIPlππ-⨯⨯⨯⨯===N kN 11-3 有一根30mm×50mm的矩形截面压杆，一端固定，另一端铰支，试问压杆多长时可以用欧拉公式计算临界荷载？已知材料的弹性模量E=200GPa，比例极限σP=200MPa。

解：（1）计算压杆能采用欧拉公式所对应的Pλ2299.35P PPEπσλλ=→===（2）矩形截面压杆总是绕垂直于短边的轴先失稳，当其柔度大于Pλ可采用欧拉公式计算临界力。

故0.780.83 1.2290.0399.35x P y zlll l i μλλ⋅===>>=→mm ， 即 1.229l >mm 为细长杆，可采用欧拉公式计算临界力。

11-6 某钢材的比例极限230P σ=MPa ，屈服极限274s σ=MPa ，弹性模量E=200GPa ，331 1.09cr σλ=-。

试求P s λλ和，并绘制临界应力总图（0150λ≤≤）。

解：（1）计算此钢材的判别柔度①将230P σ=MPa 代入欧拉公式22Eπσλ=可以计算此钢材细长压杆的判别柔度P λ：92.64P λ===②由经验公式331 1.09cr σλ=-知：此钢材的331, 1.09a b ==MPa MPa ，将274s σ=MPa 代入中柔度杆的公式可以此钢材中柔度杆的判别柔度s λ：33127452.291.09s s a b σλ--=== （2）绘制临界应力总图如图：σ(MPa)cr11-7 b=40mm,h=60mm 的矩形截面压杆如图所示，在在平面内，两端铰支，出平面内两端固定。

材料为Q 235钢，其弹性模量210E G =Pa ,比例极限σP =200MPa 。

试求（1）压杆的临界荷载P cr ，（2）若[]3st n =，压杆所承受的最大轴向压力为多大？（3）从稳定性考虑b/h 为何值时最佳？习题11-7图解：（1）计算柔度：①当压杆在在平面内xoy 内失稳，为z 中性轴。

1 2.4138.560.060xy xy zli μλ⋅⨯=== ②当压杆在出平面内xoz 内失稳，为y 中性轴。

0.5 2.4103.920.04xz xz yli μλ⋅⨯=== ③λ越大，压杆越容易失稳，故此压杆将在在平面内先失稳。

max(,)138.56xz xy λλλ==④计算压杆能采用欧拉公式所对应的P λ22101.8P P P E πσλλ=→===⑤101.8138.56P λ=<，故采用欧拉公式计算P cr222362(2101010)(0.0600.040)259.10138.56cr cr E P A Aπσλπ=⋅=⋅⨯⨯⨯=⨯⨯=N kN(2) 由压杆稳定条件求压杆所承受的最大轴向压力［P ］若[]3st n =，[][]259.1086.373cr cr w w w P P n n P P n =≥→≤==kNb（3）求稳定性最佳的b/h当压杆在不同方向的柔度相等时，才不会在某平面内先失稳。

故1 2.41 2.40.5 2.40.50.5 2.4xyxyzxzxzylhibh b hlbiμλμλ⋅⎧⨯==⎪⎪⨯⨯⎪→=→=⎨⋅⨯⎪==⎪⎪⎩补充1 图示边长为a的正方形铰接结构，各杆的E、I、A均相同，且为细长杆。

试求达到临界状态时相应的力P等于多少？若力改为相反方向，其值又应为多少？F BC F N N BCN CD解：（1）各杆的临界力222..222cr BDcrEI EIP Pa aππ===外（2）求各杆的轴力与P的关系。

由对称性可知，外围的四个杆轴力相同，NAB NBC NCD NDAF F F F===。

研究C、B结点，设各杆都是受拉的二力杆，则与结点相联系的杆施与背离结点指向杆内的拉力，C、B结点受力如图所示。

第一种情况：C:)02450x NCB NCBF P F cos F=→--=→=∑压杆B:()02450Y NBD NBC NBD NBCF F F cos F P=→--=→==∑拉杆第二种情况：)NCBF=拉杆()-NBD NBCF P==压杆22.22-==22NBD NBC cr BDEI EIF P P Pa aππ===↔补充2 图示矩形截面松木柱，其两端约束情况为：在纸平面内失稳时，可视为两端固定；在出平面内失稳时，可视为上端自由下端固定。

试求该木柱的临界力.解：（1）计算柔度：①当压杆在在平面内xoz内失稳，y为中性轴。

0.57101.040.120xzxzyliμλ⋅⨯===②当压杆在出平面内xoy内失稳，z为中性轴。

27242.490.200xyxyzliμλ⋅⨯===③λ越大，压杆越容易失稳，故此压杆将在在平面内先失稳。

max(.)242.49xz xyλλλ==（2）松木75242.49Pλ=<，故采用欧拉公式计算P cr222112(0.110)(0.1200.200)40.28242.49cr cr EP A Aπσλπ=⋅=⋅⨯⨯=⨯⨯=N kN补充3 图示压杆，材料为Q235钢，横截面有四种形式，其面积均为23102.3mm ⨯，试计算其临界力.解：（1）矩形：①计算柔度：23632 3.21010 3.2100.04b b --=⨯⨯=⨯→=0.530.53129.90.04xz xz ylb i μλ⋅⨯⨯==== 129.9>123=xz P λλ=矩形截面压杆属于细长压杆，采用欧拉公式计算其临界力 ②计算其临界力22113222103,210N 374.34kN 129.9cr E P A ππλ-⨯⨯=⋅=⨯⨯= （2）正方形截面：①计算柔度：23633.21010 3.2100.057a a --=⨯⨯=⨯→=0.530.5391.860.057xz xz ylb i μλ⋅⨯⨯==== 06091.86<123=xz P λλλ=<=正方形截面压杆属于中柔度杆，采用经验公式计算其临界力 ②采用直线经验公式计算其临界力63()(304 1.1291.86)10 3.210N 643.57kN cr cr P A a b A σλ-=⋅=-⋅=-⨯⨯⨯⨯=（3）圆形截面： ①计算柔度：23633.21010 3.2100.0644d d π--=⨯⨯=⨯→=0.530.5394.000.06444xz xz yld i μλ⋅⨯⨯==== 0=6094<123xz P λλλ<==圆形截面压杆属于中柔度杆，采用经验公式计算其临界力 ②采用直线经验公式计算其临界力63()(304 1.1294)10 3.210N 635.9kN cr cr P A a b A σλ-=⋅=-⋅=-⨯⨯⨯⨯=（3）圆环形截面： ①计算柔度：2222363(1)(10.7) 3.21010 3.2100.0894m 44D D D ππα---=-=⨯⨯=⨯→=0.530.5354.990.0894xz xz ylD i μλ⋅⨯⨯====054.99<60=xz λλ=圆环形截面压杆属于粗短杆，临界应力为屈服极限 ②计算其临界力()()6323510 3.210N 752kN cr cr s P A A σσ-=⋅=⋅=⨯⨯⨯=补充4 图示结构中，横梁AB 由14号工字钢制成，材料许用应力[]160MPa σ=，CD 杆为Q235轧制钢管，2636d D ==mm,mm 。

其弹性模量210E G =Pa 。

若[] 1.5st n =,试对结构进行强度与稳定校核。

F N 图（kN ）M 图（kN m ）+2412-解:（1）求反力：取ABC 杆为研究对象，受力如图所示。

()0sin 45122033.941kN ANDCNDC m FF =→-+⨯=→==∑F（2）内力分析：ABC 杆的AC 段发生拉弯组合变形，CB 段发生弯曲；CD 杆为轴向压缩杆件。

内力图如图所示。

（3）对压杆进行稳定性校核。

①求压杆的柔度 127.39liμλ===②求压杆临界力对于Q 235钢材料为100P λ=，127.39>100P λλ==，采用欧拉公式计算压杆临界应力2292221010Pa 127.72MPa 127.39cr E ππσλ⨯⨯===③校核压杆的稳定性 [][]666322127.7210127.7210 1.83 1.526/69.701033.9410/{0.036[1()]}436cr cr w w w w NDC n n n F A σσπσ⨯⨯=≥→===≥=⨯⨯⨯⨯- 故，压杆的稳定性足够。

（4）对梁ABC 进行强度计算梁的C 的左截面为拉弯组合变形的危险面，其上距中性轴最远的上边缘点位危险点。

查表可知14号工字钢的2321.516cm ,102cm z A W ==。

则梁的最大拉应力为：33max max4624101210Pa 11.154117.647MPa 128.8MPa 21.5161010210N z F M A W σ--⨯⨯=+=+=+=⨯⨯故，ABC梁的的强度足够。