09工程力学答案 第11章 压杆稳定讲课教案

09工程力学答案第11章压杆稳定

11-1 两端为铰支座的细长压杆，如图所示，弹性模量E=200GPa，试计算其临界荷载。（1）圆形截面，25,1

d l

==

mm m；（2）矩形截面2400,1

h b l

===

m m；（3）16号工字钢，2

l=m

l

解：三根压杆均为两端铰支的细长压杆，故采用欧拉公式计算其临界力：

（1）圆形截面，25,1

d l

==

mm m：

2

29

2

22

0.025

20010

6437.8

1

cr

EI

P

l

π

π

π

⨯

⨯⨯⨯

===

N kN （2）矩形截面2400,1

h b l

===

m m

当压杆在不同平面约束相同即长度系数相同均为1

μ=时，矩形截面总是绕垂直短边的轴先失稳

2

0.040.02

min(,)

12

y z y

I I I I

⨯

===，故：

2

29

2

22

0.040.02

20010

1252.7

1

cr

EI

P

l

π

π

⨯

⨯⨯⨯

===

N kN （3）16号工字钢，2

l=m

查表知：44

93.1,1130

y z

I I

==

cm cm，当压杆在不同平面约束相同即长度系数相同均为1

μ=时4

min(,)93.1

y z y

I I I I

===cm，故：

2298

22

2001093.110

459.4

2

cr

EI

P

l

ππ-

⨯⨯⨯⨯

===

N kN 11-3 有一根30mm×50mm的矩形截面压杆，一端固定，另一端铰支，试问压杆多长时可以用欧拉公式计算临界荷载？已知材料的弹性模量E=200GPa，比例极限σP=200MPa。

解：（1）计算压杆能采用欧拉公式所对应的

P

λ

2

2

99.35

P P

P

E

π

σλ

λ

=→===

（2）矩形截面压杆总是绕垂直于短边的轴先失稳，当其柔度大于

P

λ可采用欧拉公式计算临界力。故

0.780.83 1.2290.0399.35x P y z

l

l

l l i μλλ⋅=

=

=>>=→mm ， 即 1.229l >mm 为细长杆，可采用欧拉公式计算临界力。

11-6 某钢材的比例极限230P σ=MPa ，屈服极限274s σ=MPa ，弹性模量E=200GPa ，

331 1.09cr σλ=-。试求P s λλ和，并绘制临界应力总图（0150λ≤≤）。

解：（1）计算此钢材的判别柔度

①将230P σ=MPa 代入欧拉公式22E

πσλ

=可以计算此钢材细长压杆的判别柔度P λ：

92.64P λ===

②由经验公式331 1.09cr σλ=-知：此钢材的331, 1.09a b ==MPa MPa ，将274s σ=MPa 代入中柔度杆的公式可以此钢材中柔度杆的判别柔度s λ：

33127452.291.09

s s a b σλ--=

== （2）绘制临界应力总图如图：

σ

(MPa)

cr

11-7 b=40mm,h=60mm 的矩形截面压杆如图所示，在在平面内，两端铰支，出平面内两端固定。材料为Q 235钢，其弹性模量210E G =Pa ,比例极限σP =200MPa 。试求（1）压杆的临界荷载P cr ，（2）若[]3st n =，压杆所承受的最大轴向压力为多大？（3）从稳定性考虑b/h 为何值时最佳？

习题11-7图

解：（1）计算柔度：

①当压杆在在平面内xoy 内失稳，为z 中性轴。

1 2.4

138.560.060xy xy z

l

i μλ⋅⨯=

=

= ②当压杆在出平面内xoz 内失稳，为y 中性轴。

0.5 2.4

103.920.04xz xz y

l

i μλ⋅⨯=

=

= ③λ越大，压杆越容易失稳，故此压杆将在在平面内先失稳。

max(,)138.56xz xy λλλ==

④计算压杆能采用欧拉公式所对应的P λ

22101.8P P P E πσλλ=→===

⑤101.8138.56P λ=<，故采用欧拉公式计算P cr

222362

(2101010)

(0.0600.040)259.10138.56

cr cr E P A A

πσλ

π=⋅=⋅⨯⨯⨯=

⨯⨯=N kN

(2) 由压杆稳定条件求压杆所承受的最大轴向压力［P ］若[]3st n =，

[][]

259.1086.373cr cr w w w P P n n P P n =

≥→≤==kN

b