第四章 晶格振动
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固体物理学：第四章 晶格振动与晶体的热学性质1
第四章晶格振动4.1 晶格振动的经典理论4.2 晶格振动的量子化－声子4.3 固体热容的量子理论4.4 非简谐效应：晶体的热膨胀和热传导4.5晶格振动的实验研究原子或离子是不可能严格的固定在其平衡位置上的，而是在固体温度所控制的能量范围内在平衡位置附近做微振动。
只有深入地了解了晶格振动的规律，更多的晶体性质才能得到理解。
如：固体热容，热膨胀，热传导，融化，声的传播，电导率，压电现象，某些光学和介电性质，位移性相变，超导现象，晶体和辐射波的相互作用等等。
•19 世纪初人们就通过Dulong-Petit 定律：认识到：热容量是原子热运动在宏观上的最直接表现；1907年，Einstein 利用Plank量子假说解释了固体热容为什么会随温度降低而下降的现象；1912年玻恩(Born，1954年Nobel物理学奖获得者)和冯卡门（Von-Karman)发表了论晶体点阵振动的论文，首次使用了周期性边界条件；Debye热容理论1935年Blakman才重新利用Born和Von-Karman近似讨论晶格振动，发展成现在的晶格动力学理论；1954年黄昆和Born共同写作的《晶格动力学》一书已成为该领域公认的权威著作4.1 晶格振动的经典理论一. 一维单原子链的振动运动方程：考虑N个质量为m 的同种原子组成的一维单原子链的。
设平衡时相邻原子间距为a（即原胞大小），在t 时刻第n 个原子偏离其平衡位置的位移为µn设在平衡时，两原子的相互作用势为V(a)，产生相对位移（例如）后势能发生变化是V(a+δ) ，将它在平衡位置附近做泰勒展开：首项是常数，可取为能量零点，由于平衡时势能取极小值，第二项为零，简谐近似下，我们只取到第三项，即势能展开式中的二阶项（δ2项），而忽略三阶及三阶以上的项，显然，这只适用于微振动，即δ值很小的情况。
此时，恢复力：如只考虑最近邻原子间的相互作用，第n 个原子受到的力：于是第n个原子的运动方程可写为：一维原子链上的每个原子，忽略边界原子的区别，应有同样的方程，所以它是和原子数目相同的N个联立的线性齐次方程。
(完整版)第四章晶格振动
宏观性质的影响
➢研究的意义：利用晶格振动的理论解释晶
体的热学性质
➢研究的方法：
一维 格波 原子链 声子
三维 晶格
晶格振动与热 学性质之间的 关系
§1 一维原子链的振动
简谐近似：假设原子间的相互作用力仅存在于最近 邻原子之间，在简谐近似下，我们可以用 一个力 常数为k 的弹簧表示最紧邻原子间的相互作用。一 维情况下，原子的振动是纵向的。 一 独立简谐振动 二 简谐振动的耦合 （一）一维单原子链的振动 （二）一维双原子链的振动
—— 一维复式格子存在两种独立的格波
5 分析讨论
振动状态的传递
波矢q的取值
色散关系 两种格波的振幅 长波极限下的两种格波
1)振动状态的传递
Aei[t(2na)q] 2n
and
Be 2n1
i [t ( 2 n 1) aq ]
轻原子(质量为m)之间相互传递振动状态，相邻轻原 子之间的最小空间位相差为2qa。同样，相邻重原子 (质量为M)之间相互传递振动状态，其最小空间位相 差也是2qa。
5 讨论
un Aeiqnat
1） 格波与连续介质中弹性波的差别与联系
—— 格波和连续介质波具有完全类似的形式
—— 一个格波表示的是所有原子同时做频率为 的振动
➢ 差别：格波的空间坐标是离散的。
➢联系：在长波极限下，常用连续介质弹性波代替
较复杂的格波。（证明）
例1
证明在长波极限下，可用连续介质弹性波代 替较复杂的格波。
i[t (2n1)aq]
m2 A k(eiaq eiaq )B 2kA
M2B
k (eiaq
eiaq
)A
2kB
(2k m2 )A (2k cos aq)B 0
➢研究的意义：利用晶格振动的理论解释晶
体的热学性质
➢研究的方法：
一维 格波 原子链 声子
三维 晶格
晶格振动与热 学性质之间的 关系
§1 一维原子链的振动
简谐近似：假设原子间的相互作用力仅存在于最近 邻原子之间，在简谐近似下，我们可以用 一个力 常数为k 的弹簧表示最紧邻原子间的相互作用。一 维情况下，原子的振动是纵向的。 一 独立简谐振动 二 简谐振动的耦合 （一）一维单原子链的振动 （二）一维双原子链的振动
—— 一维复式格子存在两种独立的格波
5 分析讨论
振动状态的传递
波矢q的取值
色散关系 两种格波的振幅 长波极限下的两种格波
1)振动状态的传递
Aei[t(2na)q] 2n
and
Be 2n1
i [t ( 2 n 1) aq ]
轻原子(质量为m)之间相互传递振动状态，相邻轻原 子之间的最小空间位相差为2qa。同样，相邻重原子 (质量为M)之间相互传递振动状态，其最小空间位相 差也是2qa。
5 讨论
un Aeiqnat
1） 格波与连续介质中弹性波的差别与联系
—— 格波和连续介质波具有完全类似的形式
—— 一个格波表示的是所有原子同时做频率为 的振动
➢ 差别：格波的空间坐标是离散的。
➢联系：在长波极限下，常用连续介质弹性波代替
较复杂的格波。（证明）
例1
证明在长波极限下，可用连续介质弹性波代 替较复杂的格波。
i[t (2n1)aq]
m2 A k(eiaq eiaq )B 2kA
M2B
k (eiaq
eiaq
)A
2kB
(2k m2 )A (2k cos aq)B 0
晶格振动知识点总结
晶格振动知识点总结一、晶格振动的基本概念晶体是由离子、原子或分子按一定的周期性排列而成的，因此在晶体中存在着晶格振动。
晶格振动是晶体结构中原子或离子在平衡位置附近作微小振动的一种运动形式。
晶格振动可以分为纵波和横波，纵波是振动方向与传播方向相同的波，而横波是振动方向与传播方向垂直的波。
晶格振动的频率与波数有关，它的频率与相邻的格点的质量和弹性常数有关。
二、晶格振动的特性1. 波数和频率关系对于有限晶格系统，其振动频率与波数之间存在一定的关系。
波数是振幅不同节点之间的间距，而频率是振动的快慢。
在晶体中，振动频率与波数之间存在的关系叫做色散关系。
晶格振动的色散关系可以通过简正坐标的福利叶动力学理论来描述。
2. 声子声子是描述晶体中原子或分子的振动状态的一种粒子状态，它是晶格振动的量子，可以理解为晶格振动的激发态。
声子的能量和动量取决于晶体的结构和材料的属性。
声子的性质对于理解固体材料的热力学性质和电子输运等具有重要意义。
3. 热容晶体的热容是指在单位温度变化下单位质量的物质所吸收或释放的热量。
热容受到晶格振动的影响，由于晶格振动的激发使得晶体中的振动能量增加，从而导致热容的增加。
晶格振动的频率和振幅都会影响晶体的热容。
三、晶格振动的热力学性质1. 声子态密度声子态密度是描述声子激发的集中程度的参数，它是声子频率与波数的函数。
声子态密度与物质的热容、传热系数、热导率等热力学性质有密切关系。
2. 热导率热导率是描述物质传热能力的物理量，它受到晶格振动的影响。
晶体中的声子态密度和振动频率都会影响热导率，声子散射和声子声波会对热导率产生影响。
3. 热膨胀系数热膨胀系数描述了物质在温度变化下的线膨胀率。
晶格振动会对物质的热膨胀系数产生一定的影响，特别在低温下，晶格振动会对热膨胀系数的温度依赖性产生较大的影响。
四、晶体中的声子散射声子与声子之间的相互作用会导致声子的散射，导致声子输运的阻尼。
声子之间的散射包括晶格常数的不均匀性引起的声子散射、声子与晶格缺陷相互作用引起的声子散射以及声子与声子之间的散射等。
一维简单晶格振动
d xn m 2 xn 1 xn 1 2 xn dt
得
2
m Ae
2
i ( qna t )
(2 e
iqa
e
iqa
) Ae
i ( qna t )
2 (1 cos qa ) Aei ( qna t )
即
m 2 2 (1 cos qa )
1 d 2V 2 V (a ) 2 2 d 0
力与位移成线性关系
d 2V dV F 2 d d 0 为恢复力常数
只考虑最近邻原子相互作用，第n个原子所受合力为
( xn 1 xn ) ( xn 1 xn ) ( xn 1 xn 1 2 xn )
2 (1 cos qa) qa 2 si n (q) m m 2
一维单原子晶格振动的色散关系
格波
xn (t ) A e
相速度
i t
——原子在平衡位置附近的振动以前进波的形式在晶格中传播。
e
iqna
,
(q ) 2
波长
m
1/ 2
sin
qa 2
vp q
运动方程
d 2 xn m 2 ( xn 1 xn 1 2 xn ) dt
因为晶格周期性，它的解应满足Bloch定理
n 1, 2, , N
xn (t ) x0 (t )e iqna Ae it e iqna
q: 波矢 波 na: 第n个原子的坐标
将尝试解代入运动方程
基本图象
位移
R是原子的平衡位 置，具有周期性， 但在任一时刻有一 远远小于原子间距 的偏离平衡位置的 位移，<<R。 瞬时位置 r
固体物理总结晶格振动与晶体的热学性质完全版
固体物理总结晶格振动与晶体的热学性质完全版第四章总结第四章要求1、掌握⼀维单原⼦链振动的格波解及⾊散关系的求解过程以及格波解的物理意义；2、掌握⼀维双原⼦链振动的⾊散关系的求解过程，清楚声学波与光学波的定义以及它们的物理本质；3、了解三维晶格的振动；4、掌握离⼦晶体长光学波近似的宏观运动⽅程的建⽴过程及系数的确定，清楚LST关系及离⼦晶体的光学性质；5、了解局域振动的概念；6、掌握晶格热容的量⼦理论；熟悉晶格振动模式密度；7、掌握⾮谐效应的概念以及它在热膨胀和热传导中的作⽤。
⼀维晶格的振动和三维晶格的振动晶格振动的简谐近似和简正坐标状态及能量确定晶格振动谱的实验⽅法离⼦晶体的长波近似热容晶格振动的爱因斯坦模型热容量德拜模型晶格状态⽅程⾮简谐效应热膨胀1、⼀维单晶格的振动⼀维单原⼦链格波：晶格振动是晶体中诸原⼦（离⼦）集体地在作振动，由于晶体内原⼦间有相互作⽤，存在相互联系，各个原⼦的振动间都存在着固定的位相关系，从⽽形成各种模式的波，即各晶格原⼦在平衡位臵附近作振动时，将以前进波的形式在晶体中传播，这种波称为格波。
相邻原⼦之间的相互作⽤βδδ-≈-=d dv Fa d vd ???? ?=22δβ表明存在于相邻原⼦之间的弹性恢复⼒是正⽐于相对位移的第n 个原⼦的运动⽅程)2(11n n n n m µµµβµ-+=-+?)(naq t i nq Ae-=ωµ⾊散关系：把ω与q 之间的关系称为⾊散关系，也称为振动频谱或振动谱。
)21(sin 4]cos 1[222aq maq mββω=-=其中波数为λπ/2=q ，ω是圆频率，λ是波长有位相差。
相邻原⼦之间的位相差为aq 。
（2）q 的取值范围【－(π/a)""这个范围以外的值，不能提供其它不同的波。
q 的取值及范围常称为布⾥渊区。
前⾯所考虑的运动⽅程实际上只适⽤于⽆穷长的链，⽽两端原⼦的运动⽅程与中间的不同，因此有了玻恩-卡曼提出的环状链模型。
一维单原子的振动
晶格振动虽是一个十分复杂的多粒子问题，但在一定条 件下，依然可以在经典范畴求解，一维原子链的振动就是最 典型的例子，它的振动既简单可解，又能较全面地表现出晶 格振动的基本特点。
1. 一维单原子点阵的振动
(1)模型：一维无限长的单原子链，原子间距(晶格常量)为 a，原子质量为M。
第s-2个原子 第s-1个原子 第s个原子 第s+1个原子 第s+2个原子
= −ω 2 Ae −i(ωt − sak )
过
M xn = − M Aω e2 −i(ωt − sak )
程
{ } = C Ae −i ⎡⎣ωt −(s −1)ak ⎤⎦ + Ae −i ⎡⎣ωt −(s+1)ak ⎤⎦ − 2 Ae −i(wt − sak )
M ω 2 = C(2 − e−iaq − eiaq )
a
us-2
us-1
us
us+1
us+2
简谐近似 描述1: 力的角度
这一章我们要考虑原子在平衡位置附近的振动。 这种考虑是建立在简谐近似的基础之上的，所谓 简谐近似即认为振动是小振动，振幅很小，这种 振动的位移与力之间是满足线性关系的。
F=-cx
简谐近似 描述2：能量角度
从能量的角度来看，认为原子间有了相对位 移后，两原子间的相互作用势也有了变化将势能 展开成级数：
p
只考虑最近邻原子的作用，设其力常数为C，则
F = Mu = C（us+1 + us+1 − 2us）
给出试探解 us = Ae−（i ωt−ska）
原子都以同一频率ω，同一振幅A振动,相邻原子间的位相差
为k·a。晶格中各个原子间的振动相互间都存在着固定的位相关
第四章 晶格振动Ⅱ—热学性质
2 2 2 i hωi k BT i i i
k B T k BT 2 k BT ∂ε k BT cV = = kB = kB 2 2 ∂T V e hω i k B T − 1 hω 1 hω 2 i + i + L k BT 2 k B T
这种晶格振动的波长较长属于声频波的范围相当于弹性振动波并且还假设纵的和横的弹性波的波速相等都等于将式4423代入式4119和式4120分别得到41274128图411德拜模型位移时间由式3423和式4118可以得到4129考虑到声频波的波长远大于晶体的晶格常数就可以把晶体近似地看作连续介质所以声频支的振动也近似地看作是连续的具有从0到wmax由于晶格中对热容的主要贡献是弹性波的振动也就是波长较长的声频支在低温下的振动占主导地位
β=
dV VdT
§4.1.2 固体的热容理论
固态晶体的热容理论是依据固体中原子热振动的特 点，从理论上阐明热容的物理本质，并建立热容随 温度变化的定量关系。由于固体的内能一般包括晶 格振动能量和电子运动的能量，因此固体的热容主 要有两部分贡献：一是来源于晶格振动，称为晶格 热容；一是来源于电子运动，称为电子热容。在不 同温度下，晶格振动对热容的贡献和电子运动对热 容的贡献是不同的，当温度相当低时，电子热容对 固体热容的贡献才显得重要，一般情况下，电子热 容是很小的，因此，本节只讨论晶格振动对热容的 贡献。晶格热容理论的发展过程经历了经典的杜隆珀替（Dulong-Petit）定律和量子热容理论（包括爱 因斯坦（Einstein）热容理论和德拜（Debye）热容 理论）。
（4.1-12）
将式（4.1-12）对温度求微商就得到频率为ωi 的振子 对晶格热容的贡献为 hω ω k T e （4.1-13） ∂ε
k B T k BT 2 k BT ∂ε k BT cV = = kB = kB 2 2 ∂T V e hω i k B T − 1 hω 1 hω 2 i + i + L k BT 2 k B T
这种晶格振动的波长较长属于声频波的范围相当于弹性振动波并且还假设纵的和横的弹性波的波速相等都等于将式4423代入式4119和式4120分别得到41274128图411德拜模型位移时间由式3423和式4118可以得到4129考虑到声频波的波长远大于晶体的晶格常数就可以把晶体近似地看作连续介质所以声频支的振动也近似地看作是连续的具有从0到wmax由于晶格中对热容的主要贡献是弹性波的振动也就是波长较长的声频支在低温下的振动占主导地位
β=
dV VdT
§4.1.2 固体的热容理论
固态晶体的热容理论是依据固体中原子热振动的特 点，从理论上阐明热容的物理本质，并建立热容随 温度变化的定量关系。由于固体的内能一般包括晶 格振动能量和电子运动的能量，因此固体的热容主 要有两部分贡献：一是来源于晶格振动，称为晶格 热容；一是来源于电子运动，称为电子热容。在不 同温度下，晶格振动对热容的贡献和电子运动对热 容的贡献是不同的，当温度相当低时，电子热容对 固体热容的贡献才显得重要，一般情况下，电子热 容是很小的，因此，本节只讨论晶格振动对热容的 贡献。晶格热容理论的发展过程经历了经典的杜隆珀替（Dulong-Petit）定律和量子热容理论（包括爱 因斯坦（Einstein）热容理论和德拜（Debye）热容 理论）。
（4.1-12）
将式（4.1-12）对温度求微商就得到频率为ωi 的振子 对晶格热容的贡献为 hω ω k T e （4.1-13） ∂ε
晶格振动模式
2 (m M )
(q)
mM
2
m
2
q
M
2a
2a
0
2a
q
2a
称为一维复式晶格的 第一布里渊区
一维复式晶格的色散关系曲线
即一维复式晶格的倒格子原胞
如m<M，色散关系中存在频隙
周期性边界条件：一维双原子链由N个原胞组成，
每个原胞中含有两个不同的基，将若干个相同的
布拉菲晶格： xn Aei(qnat)
复式晶格：
x2n Aei(q2nat )
x Be 2n1
i[q(2n1)at ]
一组确定的q, 决定一种格波，或振动模式。
每一个简谐振动并不表示某一个原子的振动，而是
表示整个晶体所有原子都参与的频率 ，初相位
的振动，也称为一个振动模式。
有N个原子组成的晶体，一共有3N组特解，即有3N 种不同频率的间歇振动，也即有3N个振动模式。
晶体中原子的实际振动由运动方程的一般解表示
方程的一般解可表示为特解的线性叠加
3N
qk AklSin(lt l ) k 1,2,,3N l 1
模式，即代表一种格波。
例如：
q,
1 2
a
,
2
m
长波极限， ,q 0 整个晶格象刚体一样作整体运
动,因而恢复力为0,故 0 2a, q 邻近原子反向运动(位相相反)，所以恢
a 复力和频率取极大值
二、周期性边界条件
考虑有限长的一维原子链，由N个原子组成，另有 无穷多个相同的一维原子链与之联结而形成无限长 的一维原子链，各段相应原子运动情况相同。
第04章晶格振动
U(a)：平衡时两个原子
r 之间的相互作用势能
U(a ) ：有相对位移时
f
两个原子之间的相互作
r
用势能
R0
简谐近似
恢复力常数
微振动时，有：
U(x)
U a
U a
dU dx
a
1 2
d2 U d x2
a
2
简谐近似：势能展开式保留到二次项：
l l
s
u
s
恢复力常数
一个原胞中有3n个类似的方程,N个原胞共有3nN个
方程的解和一维原子链类似，可以写成:
u
l s
A e i(qRl t ) sa
三维晶格的振动
把试探解代入运动方程，得到以振幅Asa满足的3n个 线性齐次联立方程：
M
2 2
2M1M2
c os qa
12
M1 M2 M1M2
1
1
4M1M2 (M1 M2 )2
sin2
(
1 2
qa)
12
与单原子链的色散关系明显不同之处在于,双原
子链每个波矢q对应两个不同频率的格波：
声学波
2
三维晶格的振动
在3n支色散关系中，当q→0时（长波）： 有三支ω →0，且各原子的振幅趋于相 同，这三支为声学波。长声学波描述了 不同原胞之间的相对运动
其余3n－3支有有限的振动频率，为光 学波。长光学波描述n个格子之间的相 对振动。
r 之间的相互作用势能
U(a ) ：有相对位移时
f
两个原子之间的相互作
r
用势能
R0
简谐近似
恢复力常数
微振动时，有：
U(x)
U a
U a
dU dx
a
1 2
d2 U d x2
a
2
简谐近似：势能展开式保留到二次项：
l l
s
u
s
恢复力常数
一个原胞中有3n个类似的方程,N个原胞共有3nN个
方程的解和一维原子链类似，可以写成:
u
l s
A e i(qRl t ) sa
三维晶格的振动
把试探解代入运动方程，得到以振幅Asa满足的3n个 线性齐次联立方程：
M
2 2
2M1M2
c os qa
12
M1 M2 M1M2
1
1
4M1M2 (M1 M2 )2
sin2
(
1 2
qa)
12
与单原子链的色散关系明显不同之处在于,双原
子链每个波矢q对应两个不同频率的格波：
声学波
2
三维晶格的振动
在3n支色散关系中，当q→0时（长波）： 有三支ω →0，且各原子的振幅趋于相 同，这三支为声学波。长声学波描述了 不同原胞之间的相对运动
其余3n－3支有有限的振动频率，为光 学波。长光学波描述n个格子之间的相 对振动。
固体物理 第四章_ 晶格振动
爱因斯坦早年从事分子运动论和统计力学的科学背景： 19世纪初，化学家道尔顿提出了原子论。19世纪中后 叶，麦克斯韦提出了分子运动的速度分布律；玻耳兹 曼则提出了玻耳兹曼方程。 1905 年 5 月爱因斯坦发表了题为《热的分子运动论所 要求的静液体中悬浮粒子的运动》著名论文 描述了 要求的静液体中悬浮粒子的运动》著名论文。描述了 布朗粒子无规行走的规律。 1908年，法国科学家贝兰用显微镜对大量等径的布朗 运动粒子进行了实测，定出阿伏加德罗常数，给出原 子-分子存在的确实无疑的证据。 20世纪，研究重点即在于对微观世界的探索：原子， 原子核，基本粒子，并从微观的角度来研究固体物理 固体物理第四章 和分子物理。
Fn ( x n 1 x n ) ( xn 1 x n ) ( x n 1 x n 1 2 xn )
p 0
p 0
第n个原子的运动方程可写成： 个原子的运动方程可写成
m
2 dxn ( xn 1 x n 1 2 x n ) dt 2
E mc 2
固体物理第四章
4.将量子论引入了固体物理 长期以来，基于能量均分定理的经典理论解 释不了“固 体 的 比 热 在 低 温 下 显 著 下 降， 到 T 0 ，比热也趋于零”的现象。 1907 年，爱因斯坦发表题为《普朗克的辐射 年 爱因斯坦发表题为《普朗克的辐射 理论和比热理论》的论文，将量子理论应用 零于固体比热的问题上，取得比热数值随温 度下降而减少，并当 T 0 亦趋于的结果。
3
设平衡时，两原子间互作用势能为 U(a) ， 令 =xn+1-xn ，产生相对位移后，相互作 用能变为 U(a+) ，考虑小振动问题，用 泰勒级数展开得：
U (a ) U (a ) 1 d 2U dU ( 2 )a 2 2 dr dr a
Fn ( x n 1 x n ) ( xn 1 x n ) ( x n 1 x n 1 2 xn )
p 0
p 0
第n个原子的运动方程可写成： 个原子的运动方程可写成
m
2 dxn ( xn 1 x n 1 2 x n ) dt 2
E mc 2
固体物理第四章
4.将量子论引入了固体物理 长期以来，基于能量均分定理的经典理论解 释不了“固 体 的 比 热 在 低 温 下 显 著 下 降， 到 T 0 ，比热也趋于零”的现象。 1907 年，爱因斯坦发表题为《普朗克的辐射 年 爱因斯坦发表题为《普朗克的辐射 理论和比热理论》的论文，将量子理论应用 零于固体比热的问题上，取得比热数值随温 度下降而减少，并当 T 0 亦趋于的结果。
3
设平衡时，两原子间互作用势能为 U(a) ， 令 =xn+1-xn ，产生相对位移后，相互作 用能变为 U(a+) ，考虑小振动问题，用 泰勒级数展开得：
U (a ) U (a ) 1 d 2U dU ( 2 )a 2 2 dr dr a
孙会元固体物理基础第四章晶格振动和晶体的热性质4.2 长波近似
因此恢复力又可写为:
um1 um F c a/2
此外,因第m +1个原子的位移而引起的对第m 个原子产生的恢复力可写为:
F ( u u ) m 1 m
mM 对于一维复式格子,质量密度为： 1 a c 2 v a 弹 2 ( m M )
对于长光学波,用u+表示质量为M的正离子位 移,用u-表示质量为m的负离子位移. 由正、负离子的相对位移所引起的宏观电场 强度设为E.这时,作用在离子上的除了准弹性恢 复力之外,还有电场的作用. 但是,必须注意,作用在某一离子上的电场不能 包括该离子本身所产生的电场. 从宏观电场强度E中减去该离子本身所产生 的场强,称为有效场强,用E有效表示
N N W u W u V V
N * N E q u /1 u W / 把 E 有 效 V 3 V 0 0 3
N V
代入
u u q E 得：
* 有 效
N N N N * * W / W / qE u / 1 q V V V V 0 0 3 3 整理得： * 2 * ( ) /3 0V N q Nq W W E N V N 1 1 3 0V 3 V 0
一、长声学波 由前面一维双原子链的色散关系,声学波：
1 2 m M m M 2 1 4 2 2 () q 1 1 s i n a A q 2 m M m M ) 2 (
当波矢q
2 A qa (m M ) 2
* 有 效
其中b12 =b21, 这组方程是黄昆在1951年讨论 光学波的长波近似时引进的,通称为黄昆方程.
第4章 晶格振动
(
2π
a
− q)sa − ω
t
same as k= − q
= A exp[i(2π s − qsa − ω t)] = A exp[i(− qsa − ω t)]
λ=4a/3
λ=4a/7
λ=4a
λ1 = 4a,
λ2
=
4a 3
,
λ3 =
4a 5
,
λ4
=
4a 7
,
k1
=
2π 4a
=
π 2a
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
-1.5
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
k [(2π /a) m-1]
For a small k (ka<<1) Long wavelength limit
ω≈
4C M
ka 2
=
C M
a k =
Ca M/a
k=
Ca k
λ
= vk continuum elastic wave limit
ω2
=
2C M
(1− cos(ka)) =
2C M
2
sin
2
(
ka 2
)
ω=
4C M
sin
ka 2
Dispersion relation
When k =
4C
±
π
a
ω= M
: maximum
set the boundary of first BZ
ω [(4C/M)1/2 sec-1]
1.0
晶格振动
二. 晶体的热传导 三.热膨胀 热膨胀 导热系数 W ⋅ m−1K−1 线胀系数 10−6 K−1
NaCl (273K） 6.305
石墨 (273K) 160.0 Al （293K） 293
NaCl (293K)
石墨 (300K)
39.7 8.8
Al （293K） 23.8
第二节 一维晶格振动
一. 物理模型 1. 一维晶格 2. 一维无限长弹性振子链 最近邻作用 弹性作用 微振动
d x a= 2 dt 2 d un 第n个原子: an = 2 dt
原子振动运动学描述: 原子振动运动学描述
dx v= dt
2
xn = na
un
δ右
xn +un
d un an = 2 dt
2
δ左
三 .原子振动的动力学描述 原子振动的动力学描述 (1) 最近邻弹性作用
牛二律
F =−kx F = βδ
un−1 = Ae
i(ωt −kxn−1)
= Ae
iωt −k( n−1) a
un+1 = Ae
i(ωt−kxn+1)
= Ae
iωt−k( n+1) a
2 β un+1 −un ka β un = −4 sin 右 = − 2 − 边 un un m 2 m
二 .原子振动的运动学描述 原子振动的运动学描述 1. 类比谐振动 取坐标轴x 原点 原点) 取坐标轴 (原点 质点位置（位移） 质点位置（位移） 受力分析
F =−kx
2
d x m 2 + kx = 0 dt x( t ) = Acos(ωt +ϕ)
简谐振子模型
孙会元固体物理基础第四章晶格振动和晶体的热性质4.4 晶格比热
下面分别用经典理论和量子理论来解释晶体比热的规
律。
一、晶体比热的一般理论 晶体的定容比热定义为：
CV
T
V
是晶体的平均内能, 包括与热运动无关的基态能量、
晶格振动的平均能量(晶格热能)和电子热能三部分.
CV CVa CVe
晶格振动比热 晶体电子比热
通常情况下， CVe CVa 本节只讨论晶格振动比热. 根据经典统计理论的能量均分定理,每一个自由度的
e
kBT
s (q )
kBT
2 1
s
(q
)
kBT
2
将CV中的求和改成积分，认为频率在q空间为球面, 则：体积元dq对应的波矢数目为：
V
(2
)3
4
q2dq
V
2
2
q2dq
qy
所以有：
qx
s (q )
CV
kBV
2 2
3p s
FBZ
e
e
kBT
s (q ) kBT
考虑到：s (q) cs (q)q,
2
2
O
m
在很低温度下：CV
T
s
cs (q)q Vdq
e
cs (q)q kBT
1
8 3
A
π
o
2 M
πq
a
a
注意：这和第一章态密度的求法类似。且
我们考虑的是整个晶体V。积分范围限制在第
一布里渊区。
不过,按照前面的分析,在很低的温度下, s(q) kBT 部分对上面的积分贡献很小，因而，积分也可 看成是在整个q空间进行。
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2
—— 长光学波同种原子振动位相一致，相邻原子振动相反 —— 原胞质心保持不变的振动，原胞中原子之间相对运动
6 小结
一维双原子链的振动有以下主要特点
1) 相邻同类原子之间传递振动状态； 2) 波矢q取分离值，取值个数为原胞个数N； 3) 对应1个确定的波矢，有2支格波，共有2N支格波； 4) 格波布里渊区边界出现频隙； 5) 光学波与声学波，各有相应的频率范围，激发频 率不同，描述的原子振动状态不同。
声学波
min
0 0
max / 2a
min
2k / M
光学波
/ 2a 2 k / m
第五章 晶格振动
在上一章的讨论中把组成晶体的粒子看作是
处在平衡位置上的。但对于实际晶体却不确
切。实际晶体中的原子并不处于静止状态，
它们在平衡位置附近作微振动，而且由于晶
体内原子间存在着相互作用力，因此各个原
子的振动并不是孤立的，而是联系在一起的，
整个晶格可看作是一个互相耦合的振动系统，
这个系统的运动称为晶格振动。
色散关系：
k qa 2 sin m 2
q：波矢 k：表示弹性常数
q的可取值是分离的：
2 2 q l l Na L
l取任意整数
（二）一维双原子链的振动
引言 建立模型 建立运动方程 求解 讨论
1 引言
CsCl晶体
2 建立模型
两种原子m和M _( M > m)，系统有N个原胞 1 最近邻假设：只考虑最近邻异类原子之间的相互作用 力；
v
Y
v弹
2） 关于格波角频率
格波的角频率 ω 是波矢q的周
期函数：
2 q q a
格 波 的 角 频 率 ω 有 极 大
值： m 2 k / m ，而在连 续介质的平面波中，角频率 是没有上限的 —— 一维单原子晶格看作成低通滤波器
晶格振动不仅对晶体的比热、热膨胀和
热传导等热学性质有重要影响，而且和晶体
的电学性质、光学性质和介电性质等也有密
切关系。应用晶格振动理论可对物理性质作
比较统一的论述，为简单起见，我们先考虑
一维晶格的振动，然后再把所得得的的主要
结论加以推广，引出三维晶格振动的基本特
征。
本章要研究的内容：晶格振动及其对晶体
轻原子(质量为m)之间相互传递振动状态，相邻轻原
子之间的最小空间位相差为2qa。同样，相邻重原子
(质量为M)之间相互传递振动状态，其最小空间位相
差也是2qa。
2)q的取值
采用周期性边界条件
2n 2 N 2n ei 2 Nqa 1
q
波矢q的值
q 2a 2a
/
2 m 2k B ( ) 0 A 2k cos aq
—— 声学波
2 m 2k B ( ) 0 A 2k cos aq
—— 光学波
5) 长波极限下的两种格波
长声学波中相邻原子的振动
长声学波
2k ( a )q mM
q 0, 0
2 m 2k B ( ) A 2k cos aq B ( ) 1 A
Na
l
l为整数
—— 第一布里渊区 布里渊区大小
/a
第一布里渊区允许的q值的数目
a Na
N
—— 对应一个q有两支格波：一支声学波和一支光学波 —— 总的格波数目为2N ： 原子的数目: 2N
3) 色散关系的特点
周期性 频率间隙
( )min
q 2a ~ ( )max
当( )min ( )max
2 n q , n为整数 qmin L L
则：
上限，被限制在一定的区
间。
2 建立模型
1） 最近邻假设：只考虑最近邻原子之间的相互作 用力； 2） 简谐近似：相互作用力为简谐力 ； 3） 波恩－卡曼周期性边界条件：
波恩－卡曼周期性边界条件
3 建立运动方程
1 )对于第n个原子有： d 2 un m k un un 1 k un un 1 2 dt 2 )对于单原子链上的每一个原子，都遵从类似的方 程，共有N个类似方程，且相互耦合。
格波的角频率ω与波矢q只能
取间断数值。
例2
有一维单原子链，原子间距为a，分别画出下列波矢条 5 件下的原子瞬时位移图形。q1 ，q2 2a 2a 解： 2 1 4a
q1 2 4 2 a q2 5
波矢的取值
a
q
a
—— 只研究清楚第一布里渊区的晶格振动问题 —— 其它区域不能提供新的物理内容
2 简谐近似：相互作用力为简谐力 ；
3 波恩－卡曼周期性边界条件：
波恩－卡曼周期性边界条件
un uN n
u2 n u2 N 2 n u2 n 1 u2 N 2 n 1
3 建立运动方程
第2n+1个M原子的方程 M 2 n1 k (22 n1 2 n 2 2 n )
h / 2
显然，原子振动的能量是量子化的。n=0对应的能量 称为零点能量，相邻能级的能量差为 。
二 简谐振动的耦合
• 事实上，晶体中原子的振动并不是独立的，
而是相互关联的，这种关系称为耦合。
（一）一维单原子链的振动
（二）一维双原子链的振动
（一）一维单原子链的振动
引言 建立模型 建立运动方程 求解 讨论
3）极限波长下的原子振动
长波极限下
q0
相邻两个原子振动位相差
q(n 1)a qna qa 0
2 可认为是连续 介质 q
短波极限下
q a
2 2a q
小结
格波： n Aei qnat A cost qna u
具有平面波的形式，称为格波。
—— 一维复式晶格中存在两种独立的格波
(m M ) 4mM k {1 [1 sin 2 aq] } 2 mM (m M )
2 1 2
—— 声学波
(m M ) 4mM k {1 [1 sin 2 aq] } 2 mM (m M )
2 1 2
—— 光学波
第2n+1个M原子 M 2 n 1 k (22 n 1 2 n 2 2 n )
第2n个m原子
方程的解
m2 n k (22 n 2 n 1 2 n 1 )
2 n Aei[t (2 na ) q ]
格波
2 n 1 Bei[t (2 n 1) aq ] m 2 A k (eiaq e iaq ) B 2kA 2 iaq iaq M B k (e e ) A 2kB (2k m 2 ) A (2k cos aq) B 0
1 引言
三维问题的简化
体心 立方的铁
一维单原子链
一维单原子链振动的简介
在一维连续介质中传播的弹性波 一维单原子链中离散的原子 耦合振动形成的波
波矢q的可 2 v弹 取值是分离 v弹q 的 链长的有限性造成的波矢 v弹 Y q取值的分离性将保持， ω与 q的线性关系一般不 若弦或棒为有限长(L)，则形成 存在，且振动角频率ω有 驻波，L必为半波长的整数倍，
—— 不存在格波 —— 一维双原子晶格叫做带通滤波器
4) 两种格波的振幅
(m M ) 4mM k {1 [1 sin 2 aq] } mM (m M ) 2
2 1 2
(2k m 2 ) A (2k cos aq) B 0 (2k cos aq) A (2k M 2 ) B 0
解得
x A cost
E kx / 2
2
d x m 2 f kx dt
2
k /m
系统势能
对晶格振动，如温度不是很高，原子只在平衡位置附近
作微小位移，这时的晶格振动满足简谐条件，k等于f(r)r 曲线在r0处斜率的绝对值，m是原子质量。
2 一维简谐振动的量子力学处理
第2n个m原子的方程 m2 n k (22 n 2 n 1 2 n 1 )
方程解的形式
2 n Aei[t (2 na ) q ] and 2 n 1 Bei[t (2 n 1) aq ]
—— 两种原子振 动的振幅A和B一 般来说是不相等
4 求解
—— 与q之间存在着两种不同的色散关系 —— 一维复式格子存在两种独立的格波
5 分析讨论
振动状态的传递 波矢q的取值 色散关系 两种格波的振幅 长波极限下的两种格波
1)振动状态的传递
2 n Ae
i [t (2 na ) q ]
and 2 n 1 Be
i [t (2 n 1) aq ]
联系：在长波极限下，常用连续介质弹性波代替
较复杂的格波。（证明）
例1
证明在长波极限下，可用连续介质弹性波代 替较复杂的格波。
k k qa 2 sin a q vq q 0 m m 2
ka v ，而Y ka， m a m/a
•原子是一种量子，其运动规律受量子力学支配。
一维谐振子的主要结论（在第一章已经学习过） 由于简谐振子的势能为V kx 2 / 2 ，将这个关系代入 薛定谔方程，就可以确定简谐振子的波函数。可以证 明，量子化的简谐振子能量的可能值为：
n 0, 1, 2, 3,
1 E n =(n+ ) 2
iaq
2
iaq
—— 长光学波同种原子振动位相一致，相邻原子振动相反 —— 原胞质心保持不变的振动，原胞中原子之间相对运动
6 小结
一维双原子链的振动有以下主要特点
1) 相邻同类原子之间传递振动状态； 2) 波矢q取分离值，取值个数为原胞个数N； 3) 对应1个确定的波矢，有2支格波，共有2N支格波； 4) 格波布里渊区边界出现频隙； 5) 光学波与声学波，各有相应的频率范围，激发频 率不同，描述的原子振动状态不同。
声学波
min
0 0
max / 2a
min
2k / M
光学波
/ 2a 2 k / m
第五章 晶格振动
在上一章的讨论中把组成晶体的粒子看作是
处在平衡位置上的。但对于实际晶体却不确
切。实际晶体中的原子并不处于静止状态，
它们在平衡位置附近作微振动，而且由于晶
体内原子间存在着相互作用力，因此各个原
子的振动并不是孤立的，而是联系在一起的，
整个晶格可看作是一个互相耦合的振动系统，
这个系统的运动称为晶格振动。
色散关系：
k qa 2 sin m 2
q：波矢 k：表示弹性常数
q的可取值是分离的：
2 2 q l l Na L
l取任意整数
（二）一维双原子链的振动
引言 建立模型 建立运动方程 求解 讨论
1 引言
CsCl晶体
2 建立模型
两种原子m和M _( M > m)，系统有N个原胞 1 最近邻假设：只考虑最近邻异类原子之间的相互作用 力；
v
Y
v弹
2） 关于格波角频率
格波的角频率 ω 是波矢q的周
期函数：
2 q q a
格 波 的 角 频 率 ω 有 极 大
值： m 2 k / m ，而在连 续介质的平面波中，角频率 是没有上限的 —— 一维单原子晶格看作成低通滤波器
晶格振动不仅对晶体的比热、热膨胀和
热传导等热学性质有重要影响，而且和晶体
的电学性质、光学性质和介电性质等也有密
切关系。应用晶格振动理论可对物理性质作
比较统一的论述，为简单起见，我们先考虑
一维晶格的振动，然后再把所得得的的主要
结论加以推广，引出三维晶格振动的基本特
征。
本章要研究的内容：晶格振动及其对晶体
轻原子(质量为m)之间相互传递振动状态，相邻轻原
子之间的最小空间位相差为2qa。同样，相邻重原子
(质量为M)之间相互传递振动状态，其最小空间位相
差也是2qa。
2)q的取值
采用周期性边界条件
2n 2 N 2n ei 2 Nqa 1
q
波矢q的值
q 2a 2a
/
2 m 2k B ( ) 0 A 2k cos aq
—— 声学波
2 m 2k B ( ) 0 A 2k cos aq
—— 光学波
5) 长波极限下的两种格波
长声学波中相邻原子的振动
长声学波
2k ( a )q mM
q 0, 0
2 m 2k B ( ) A 2k cos aq B ( ) 1 A
Na
l
l为整数
—— 第一布里渊区 布里渊区大小
/a
第一布里渊区允许的q值的数目
a Na
N
—— 对应一个q有两支格波：一支声学波和一支光学波 —— 总的格波数目为2N ： 原子的数目: 2N
3) 色散关系的特点
周期性 频率间隙
( )min
q 2a ~ ( )max
当( )min ( )max
2 n q , n为整数 qmin L L
则：
上限，被限制在一定的区
间。
2 建立模型
1） 最近邻假设：只考虑最近邻原子之间的相互作 用力； 2） 简谐近似：相互作用力为简谐力 ； 3） 波恩－卡曼周期性边界条件：
波恩－卡曼周期性边界条件
3 建立运动方程
1 )对于第n个原子有： d 2 un m k un un 1 k un un 1 2 dt 2 )对于单原子链上的每一个原子，都遵从类似的方 程，共有N个类似方程，且相互耦合。
格波的角频率ω与波矢q只能
取间断数值。
例2
有一维单原子链，原子间距为a，分别画出下列波矢条 5 件下的原子瞬时位移图形。q1 ，q2 2a 2a 解： 2 1 4a
q1 2 4 2 a q2 5
波矢的取值
a
q
a
—— 只研究清楚第一布里渊区的晶格振动问题 —— 其它区域不能提供新的物理内容
2 简谐近似：相互作用力为简谐力 ；
3 波恩－卡曼周期性边界条件：
波恩－卡曼周期性边界条件
un uN n
u2 n u2 N 2 n u2 n 1 u2 N 2 n 1
3 建立运动方程
第2n+1个M原子的方程 M 2 n1 k (22 n1 2 n 2 2 n )
h / 2
显然，原子振动的能量是量子化的。n=0对应的能量 称为零点能量，相邻能级的能量差为 。
二 简谐振动的耦合
• 事实上，晶体中原子的振动并不是独立的，
而是相互关联的，这种关系称为耦合。
（一）一维单原子链的振动
（二）一维双原子链的振动
（一）一维单原子链的振动
引言 建立模型 建立运动方程 求解 讨论
3）极限波长下的原子振动
长波极限下
q0
相邻两个原子振动位相差
q(n 1)a qna qa 0
2 可认为是连续 介质 q
短波极限下
q a
2 2a q
小结
格波： n Aei qnat A cost qna u
具有平面波的形式，称为格波。
—— 一维复式晶格中存在两种独立的格波
(m M ) 4mM k {1 [1 sin 2 aq] } 2 mM (m M )
2 1 2
—— 声学波
(m M ) 4mM k {1 [1 sin 2 aq] } 2 mM (m M )
2 1 2
—— 光学波
第2n+1个M原子 M 2 n 1 k (22 n 1 2 n 2 2 n )
第2n个m原子
方程的解
m2 n k (22 n 2 n 1 2 n 1 )
2 n Aei[t (2 na ) q ]
格波
2 n 1 Bei[t (2 n 1) aq ] m 2 A k (eiaq e iaq ) B 2kA 2 iaq iaq M B k (e e ) A 2kB (2k m 2 ) A (2k cos aq) B 0
1 引言
三维问题的简化
体心 立方的铁
一维单原子链
一维单原子链振动的简介
在一维连续介质中传播的弹性波 一维单原子链中离散的原子 耦合振动形成的波
波矢q的可 2 v弹 取值是分离 v弹q 的 链长的有限性造成的波矢 v弹 Y q取值的分离性将保持， ω与 q的线性关系一般不 若弦或棒为有限长(L)，则形成 存在，且振动角频率ω有 驻波，L必为半波长的整数倍，
—— 不存在格波 —— 一维双原子晶格叫做带通滤波器
4) 两种格波的振幅
(m M ) 4mM k {1 [1 sin 2 aq] } mM (m M ) 2
2 1 2
(2k m 2 ) A (2k cos aq) B 0 (2k cos aq) A (2k M 2 ) B 0
解得
x A cost
E kx / 2
2
d x m 2 f kx dt
2
k /m
系统势能
对晶格振动，如温度不是很高，原子只在平衡位置附近
作微小位移，这时的晶格振动满足简谐条件，k等于f(r)r 曲线在r0处斜率的绝对值，m是原子质量。
2 一维简谐振动的量子力学处理
第2n个m原子的方程 m2 n k (22 n 2 n 1 2 n 1 )
方程解的形式
2 n Aei[t (2 na ) q ] and 2 n 1 Bei[t (2 n 1) aq ]
—— 两种原子振 动的振幅A和B一 般来说是不相等
4 求解
—— 与q之间存在着两种不同的色散关系 —— 一维复式格子存在两种独立的格波
5 分析讨论
振动状态的传递 波矢q的取值 色散关系 两种格波的振幅 长波极限下的两种格波
1)振动状态的传递
2 n Ae
i [t (2 na ) q ]
and 2 n 1 Be
i [t (2 n 1) aq ]
联系：在长波极限下，常用连续介质弹性波代替
较复杂的格波。（证明）
例1
证明在长波极限下，可用连续介质弹性波代 替较复杂的格波。
k k qa 2 sin a q vq q 0 m m 2
ka v ，而Y ka， m a m/a
•原子是一种量子，其运动规律受量子力学支配。
一维谐振子的主要结论（在第一章已经学习过） 由于简谐振子的势能为V kx 2 / 2 ，将这个关系代入 薛定谔方程，就可以确定简谐振子的波函数。可以证 明，量子化的简谐振子能量的可能值为：
n 0, 1, 2, 3,
1 E n =(n+ ) 2
iaq
2
iaq