福建省晋江首峰中学《常用逻辑用语》学案 新人教版选修11
高中数学第一章常用逻辑用语1.3简单的逻辑联结词课件新人教A版选修11[1]
![高中数学第一章常用逻辑用语1.3简单的逻辑联结词课件新人教A版选修11[1]](https://img.taocdn.com/s3/m/6e56e5f2bb68a98270fefaa6.png)
(2)是“ p”形式的命题.其中p:方程x2+x+3=0有实数根.
(3)是“p∨q”形式的命题.其中p:菱形是圆的内接四边形,q:菱形是圆的外
切四边形.
第十页，共22页。
题型一
题型二
题型三
题型四
反思 正确理解逻辑联结词“或”“且”“非”是解题的关键,有些命题
B.p∧q为假,p∨q为假, p为假
C.p∧q为假,p∨q为真, p为假
D.p∧q为真,p∨q为真, p为假
解析(jiě xī):p为真,q为假,故“p∧q”为假,“p∨q”为真,“ p”为假,选C.
答案:C
第七页，共22页。
1.理解逻辑联结(liánjié)词“或”的含义
剖析“或”是具有选择性的逻辑联结(liánjié)词,含有三层含义,即“p或q”
1
那么 4
1
,
4
< < 4;
1
如果 q 真,且 p 假,有 a<0 或 a≥4,且 a≤4 , 那么a<0.
1
因此实数 a 的取值范围为(-∞,0)∪ ,4 .
4
第十八页，共22页。
题型一
题型二
题型三
题型四
反思 解决此类问题的方法,一般是先假设p,q分别为真,化简其中的
参数取值范围(fànwéi),然后当它们为假时取其补集,最后确定参数的
取值范围(fànwéi).当p,q中参数的范围(fànwéi)不易求出时,也可以利
用 p与p, q与q不能同真同假的特点,先求 p, q中
参数的取值范围(fànwéi).
高中数学 1.3 简单的逻辑联结词课件 新人教A版选修11
迁移与应用 1.关于命题 p:A∩⌀ =⌀ ,命题 q:A∪⌀ =A,则下列说法正确 的是( ) A. ( ������ p) ∨q 为假 B. ( ������ p) ∧( ������ q) 为真 C. ( ������ p) ∨( ������ q) 为假 D. ( ������ p) ∧q 为真 答案:C 解析:由已知得 p 为真命题, q 为真命题, ∴ ������ p 为假命题, ������ q为 假命题, ∴ ( ������ p) ∨( ������ q) 为假命题, 故 C 正确.
判断含逻辑联结词的命题的真假的步骤: (1)确定命题的构成形式,是“p∧q”“p∨q”还是“������ p”形式; (2)判断其中简单命题 p,q 的真假; (3)根据真值表判断含逻辑联结词的命题的真假.
三、逻辑联结词“或”“且”“非”的综合应用
活动与探究 3 已知命题 p:方程 a2x2+ax-2=0 在[-1,1]上有解;命题 q:只有一 个实数 x 满足不等式 x2+2ax+2a≤0.若命题“p∨q”是假命题,求实数 a 的取值范围.
2.含有逻辑联结词的命题的真假判断(真值表)
p 真 真 假 假 q 真 假 真 假 ������ p 假 假 真 真 p∨q 真 真 真 假 p∧q 真 假 假 假
预习交流 2
已知 p:函数 y=cos x 是周期函数,q:y=cos x 是奇函数,则 p∧q 是 题,(������ p)∧q 是 命题,p∨q 是 命题,������ p是 命
3.若条件 p:x∈A∩B,则������ p 是( A.x∈A 且 x∉ B B.x∉ A 或 x∉ B C.x∉ A 且 x∉ B D.x∈A∪B 答案:B
)
高中数学 第一单元 常用逻辑用语章末复习课教学案 新人教B版选修11
第一单元常用逻辑用语学习目标 1.理解命题及四种命题的概念，掌握四种命题间的相互关系.2.理解充分、必要条件的概念，掌握充分、必要条件的判定方法.3.理解逻辑联结词的含义，会判断含有逻辑联结词的命题的真假.4.理解全称量词、存在量词的含义，会判断全称命题、存在性命题的真假，会求含有一个量词的命题的否定．知识点一全称命题与存在性命题1．全称命题与存在性命题真假的判断方法(1)判断全称命题为真命题，需严格的逻辑推理证明，判断全称命题为假命题，只需举出反例．(2)判断存在性命题为真命题，需要举出正例，而判断存在性命题为假命题时，要有严格的逻辑证明．2．含有一个量词的命题否定的关注点全称命题的否定是存在性命题，存在性命题的否定是全称命题．否定时既要改写量词，又要否定结论．知识点二简易逻辑联结词“且、或、非”命题的真假判断可以概括为口诀：“p与綈p”一真一假，“p∨q”一真即真，“p∧q”一假就假．知识点三充分条件、必要条件的判断方法1．直接利用定义判断：即若p⇒q成立，则p是q的充分条件，q是p的必要条件．(条件与结论是相对的)2．利用等价命题的关系判断：p⇒q的等价命题是綈q⇒綈p，即若綈q⇒綈p成立，则p是q的充分条件，q是p的必要条件．3．从集合的角度判断充分条件、必要条件和充要条件若A⊆B，则p是q的充分条件，若A B，则p是q的充分不必要条件若B⊆A，则p是q的必要条件，若B A，则p是q的必要不充分条件知识点四四种命题的关系原命题与逆否命题为等价命题，逆命题与否命题为等价命题．类型一命题的关系及真假的判断例1 将下列命题改写成“如果p，则q”的形式，并写出它的逆命题、否命题和逆否命题以及它们的真假．(1)垂直于同一平面的两条直线平行；(2)当mn<0时，方程mx2－x＋n＝0有实数根．反思与感悟(1)四种命题的改写步骤①确定原命题的条件和结论．②逆命题：把原命题的条件和结论交换．否命题：把原命题中条件和结论分别否定．逆否命题：把原命题中否定了的结论作条件、否定了的条件作结论．(2)命题真假的判断方法跟踪训练1 下列四个结论：①已知a，b，c∈R，命题“若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2≥3”的否命题是“若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2<3”；②命题“若x－sin x＝0，则x＝0”的逆命题为“若x≠0，则x－sin x≠0”；③命题p的否命题和命题p的逆命题同真同假；④若|C|>0，则C>0.其中正确结论的个数是( )A．1 B．2C．3 D．4类型二逻辑联结词与量词的综合应用例2 已知p：∃x∈R，mx2＋2≤0.q：∀x∈R，x2－2mx＋1＞0，若p∨q为假命题，则实数m 的取值范围是( )A．[1，＋∞) B．(－∞，－1]C．(－∞，－2] D．[－1,1]反思与感悟解决此类问题首先理解逻辑联结词的含义，掌握简单命题与含有逻辑联结词的命题的真假关系．其次要善于利用等价关系，如：p真与綈p假等价，p假与綈p真等价，将问题转化，从而谋得最佳解决途径．跟踪训练2 已知命题p：方程2x2＋ax－a2＝0在[－1,1]上有解；命题q：只有一个实数x0满足不等式x20＋2ax0＋2a≤0.若命题“p或q”是假命题，求a的取值范围．类型三充分条件与必要条件命题角度1 充分条件与必要条件的判断例3 (1)设x∈R，则“x2－3x>0”是“x>4”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件(2)已知a ，b 是实数，则“a >0且b >0”是“a ＋b >0且ab >0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件反思与感悟 条件的充要关系的常用判断方法 (1)定义法：直接判断若p 则q ，若q 则p 的真假．(2)等价法：利用A ⇒B 与綈B ⇒綈A ，B ⇒A 与綈A ⇒綈B ，A ⇔B 与綈B ⇔綈A 的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．(3)利用集合间的包含关系判断：若A ⊆B ，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A ＝B ，则A 是B 的充要条件．跟踪训练3 使a >b >0成立的一个充分不必要条件是( ) A ．a 2>b 2>0 B ．12log a >12log b >0C ．ln a >ln b >0D ．x a>x b且x >0.5命题角度2 充分条件与必要条件的应用例4 设命题p ：x 2－5x ＋6≤0；命题q ：(x －m )(x －m －2)≤0，若綈p 是綈q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．反思与感悟 利用条件的充要性求参数的范围(1)解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式求解．(2)注意利用转化的方法理解充分必要条件：若綈p 是綈q 的充分不必要(必要不充分、充要)条件，则p 是q 的必要不充分(充分不必要、充要)条件．跟踪训练4 已知p ：2x 2－9x ＋a <0，q ：2<x <3且綈q 是綈p 的必要条件，求实数a 的取值范围．1．已知命题p：∀x>0，总有(x＋1)e x>1，则綈p为( )A．∃x≤0，使得(x＋1)e x≤1B．∃x>0，使得(x＋1)e x≤1C．∀x>0，总有(x＋1)e x≤1D．∀x≤0，总有(x＋1)e x≤12．设x，y∈R，则“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥4”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．“若x，y全为零，则xy＝0”的否命题为______________．4．已知命题p：若x>y，则－x<－y；命题q：若x>y，则x2>y2.在命题①p∧q；②p∨q；③p∧(綈q)；④(綈p)∨q中，真命题是________．5．对任意x∈[－1,2]，x2－a≥0恒成立，则实数a的取值范围是________．1．否命题和命题的否定是两个不同的概念(1)否命题是将原命题的条件否定作为条件，将原命题的结论否定作为结论构造一个新的命题．(2)命题的否定只是否定命题的结论，常用于反证法．若命题为“如果p，则q”，则该命题的否命题是“如果綈p，则綈q”；命题的否定为“如果p，则綈q”．2．四种命题的三种关系，互否关系，互逆关系，互为逆否关系，只有互为逆否关系的命题是等价命题．3．判断p与q之间的关系时，要注意p与q之间关系的方向性，充分条件与必要条件方向正好相反，不要混淆．4．注意常见逻辑联结词的否定一些常见逻辑联结词的否定要记住，如：“都是”的否定“不都是”，“全是”的否定“不全是”，“至少有一个”的否定“一个也没有”，“至多有一个”的否定“至少有两个”．答案精析问题导学 知识点四如果p ，则q 如果q ，则p 如果綈p ，则綈q 如果綈q ，则綈p 题型探究例1 解 (1)将命题写成“如果p ，则q ”的形式为：如果两条直线垂直于同一个平面，则这两条直线平行．它的逆命题、否命题和逆否命题如下：逆命题：如果两条直线平行，则这两条直线垂直于同一个平面．(假) 否命题：如果两条直线不垂直于同一个平面，则这两条直线不平行．(假) 逆否命题：如果两条直线不平行，则这两条直线不垂直于同一个平面．(真)(2)将命题写成“如果p ，则q ”的形式为：如果mn <0，则方程mx 2－x ＋n ＝0有实数根． 它的逆命题、否命题和逆否命题如下：逆命题：如果方程mx 2－x ＋n ＝0有实数根，则mn <0.(假) 否命题：如果mn ≥0，则方程mx 2－x ＋n ＝0没有实数根．(假)逆否命题：如果方程mx 2－x ＋n ＝0没有实数根，则mn ≥0.(真) 跟踪训练1 B [正确的为①③.]例2 A [因为p ∨q 为假命题，所以p 和q 都是假命题． 由p ：∃x ∈R ，mx 2＋2≤0为假， 得∀x ∈R ，mx 2＋2＞0，所以m ≥0.① 由q ：∀x ∈R ，x 2－2mx ＋1＞0为假， 得∃x ∈R ，x 2－2mx ＋1≤0，所以Δ＝(－2m )2－4≥0⇒m 2≥1⇒m ≤－1或m ≥1.② 由①和②得m ≥1.]跟踪训练2 解 由2x 2＋ax －a 2＝0得(2x －a )(x ＋a )＝0， ∴x ＝a2或x ＝－a ，∴当命题p 为真命题时，⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 2≤1或|－a |≤1， ∴|a |≤2.又“只有一个实数x 0满足x 20＋2ax 0＋2a ≤0”，即函数y ＝x 2＋2ax ＋2a 与x 轴只有一个交点， ∴Δ＝4a 2－8a ＝0，∴a ＝0或a ＝2. ∴当命题q 为真命题时，a ＝0或a ＝2. ∴命题“p 或q ”为真命题时，|a |≤2. ∵命题“p 或q ”为假命题， ∴a >2或a <－2.即a 的取值范围为{a |a >2或a <－2}． 例3 (1)B (2)C解析 (1)∵x 2－3x >0⇒/ x >4，x >4⇒x 2－3x >0，故x 2－3x >0是x >4的必要不充分条件． (2)∵a >0且b >0⇔a ＋b >0且ab >0，∴a >0且b >0是a ＋b >0且ab >0的充要条件． 跟踪训练3 C例4 解 方法一 命题p ：x 2－5x ＋6≤0， 解得2≤x ≤3；命题q ：(x －m )(x －m －2)≤0， 解得m ≤x ≤m ＋2，∵綈p 是綈q 的必要不充分条件， ∴p 是q 的充分不必要条件．∴⎩⎪⎨⎪⎧m ≤2，m ＋2>3或⎩⎪⎨⎪⎧m <2，m ＋2≥3，解得1≤m ≤2.∴实数m 的取值范围是[1,2]． 方法二 命题p ：2≤x ≤3， 命题q ：m ≤x ≤m ＋2， 綈p ：x <2或x >3， 綈q ：x <m 或x >m ＋2，∵綈p 是綈q 的必要不充分条件， ∴{x |x <m 或x >m ＋x |x <2或x >3}，故⎩⎪⎨⎪⎧m ≤2，m ＋2≥3，解得1≤m ≤2.∴实数m 的取值范围是[1,2]．跟踪训练4 解 ∵綈q 是綈p 的必要条件，∴q 是p 的充分条件， 令f (x )＝2x 2－9x ＋a ，则⎩⎪⎨⎪⎧f ，f，解得a ≤9，∴实数a 的取值范围是(－∞，9]． 当堂训练1．B 2.A 3.若x ，y 不全为零，则xy ≠0 4.②③ 5.(－∞，0]。
最新-2021学年高中数学人教A版课件选修11 第一章常用逻辑用语 1.1.2、1.1.3 精品
2．四种命题的形式 原命题：若 p，则 q. 逆命题：若 q，则 p. 否命题：若¬p，则¬q. 逆否命题：若¬q，则¬p.
判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)有的命题没有逆命题．( ) (2)四种命题中，原命题是固定的．( ) (3)“对顶角相等”的否命题为“对顶角不相等”．( ) 【解析】 (1)只要原命题确定了，它的逆命题就确定了，故(1)错． (2)四种命题中原命题具有相对性，故(2)错． (3)“对顶角相等”的否命题为“若两个角不是对顶角，则这两个角不相 等”，故(3)错． 【答案】 (1)× (2)× (3)×
【导学号：26160005】
(3)当 x＝2 时，x2＋x－6＝0. 【精彩点拨】 根据四种命题的结构写出所求命题．
【自主解答】 (1)逆命题：如果直线垂直于平面，那么直线垂直于平面内 的两条相交直线；
否命题：如果直线不垂直于平面内的两条相交直线，那么直线不垂直于平 面；
逆否命题：如果直线不垂直于平面，那么直线不垂直于平面内的两条相交 直线．
阶
阶
段
段
一
三
1.1.2 四种命题
1.1.3 四种命题间的相互关系
学
业
阶
分
段
层
二
测
评
1．了解四种命题的概念，会写出某命题的逆命题、否命题和逆否命题．(重 点)
2．认识四种命题之间的关系以及真假性之间的关系．(难点) 3．利用命题真假的等价性解决简单问题．(难点、易错点)
[基础·初探]
教材整理 1 四种命题
[质疑·手记] 预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问 1： 解惑： 疑问 2： 解惑： 疑问 3： 解惑：
四种命题的概念
人教版高二数学选修11第一章《常用逻辑用语》教案2(有答案)
选修1-1 第一章《常用逻辑用语》§1.2.2 充要条件【知识要点】●p是q的充分条件同时p又是q的必要条件则称p是q的充要条件．●充要性的证明注意分清充分性及必要性进行证明．【例题精讲】【例1】设甲、乙、丙是三个命题，如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，那么( )A．丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件B．丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件C．丙是甲的充要条件D．丙不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件分析1：由丙乙甲且乙丙，即丙是甲的充分不必要条件．分析2：画图观察之．答：选A．点评：抽象命题之间的逻辑关系通常靠画图观察比较方便【例2】设有非空集合A、B、C，若“a∈A”的充要条件是“a∈B且a∈C”，则“a∈B”是“a∈A”的（）A．充分而不必要条件B．必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案：选B【例3】ax2＋2x＋1＝0至少有一个负实根的充要条件是（）A．0＜a≤1B．a＜1C．a≤1D．0＜a≤1 或a＜0【例4】设α，β是方程x2－ax＋b＝0的两个实根，试分析a＞2且b＞1是两根α，β均大于1的什么条件?【基础达标】1．不等式的解集为R的充要条件是（）A．B．C．D．2．p是q的充要条件的是（）A．p：3x＋2＞5，q：－2x－3＞－5B．p：a＞2，b＜2，q：a＞bC．p：四边形的两条对角线互相垂直平分，q：四边形是正方形D．p：a≠0，q：关于x的方程ax＝1有惟一解3．设A、B、C三个集合，为使A(B∪C)，条件A B是（）A．充分条件B．必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．x∈R，|x|(1＋x)是正数的充分必要条件是（）A．|x|＜1 B．x＜1C．x＜－1 D．x>－1且x≠05．三个实数a、b、c不全为零的充要条件是（）A．a、b、c都不是零B．a、b、c中至多有一个是零C．a、b、c中只有一个是零D．a、b、c中至少有一个不是零6．p：x－4＝0，q：，则p是q的．7．在平面直角坐标系中，点(x2＋5x，1－x2)在第一象限的充要条件是．1~5：BDADD6．充分不必要条件7．0<x<1【能力提高】8．求证：关于x的方程有一个根为1的充要条件是．9．已知，求证的充要条件是．10．集合，若“a=1”是“”的充分条件，求b的取值范围．§1.3.1 简单的逻辑联结词“或”、“且”、“非”【知识要点】●如果用p，q，r，s……表示命题，则复合命题的形式接触过的有以下三种：p或q 记作p∨q 当且仅当p、q同为假时为假p且q 记作p∧q 当且仅当p、q同为真时为真非p 记作⌝p 与p的真假性相反●常见词语的否定【例题精讲】【例1】命题“方程的解为”，使用逻辑联结词的情况是（）A．没有使用联结词B．使用了联结词“或”C．使用了联结词“非”D．使用了联结词“且”答案：B说明：常见的表示是用“或”还是“非”，要根据实际情况定，比如“x=1，y=2．则x+y=3成立”中的x=1，y=2所用的联结词为且．【例2】分别写出由下列各种命题构成的“p或q”“p且q”“非p”形式的复合命题：1．p：李明是高中一年级学生q：李明是共青团员2．p：q：是无理数【例3】命题“非空集合A∩B中的元素既是A中的元素也是B中元素”是形式；命题“非空集合A∪B中的元素是A的元素或是B的元素”是形式．分析：x∈A∩B则x∈A且x∈B，填p且q．x∈A∪B则x∈A或x∈B．填p或q．答：填p且q；p或q．【例4】命题①梯形不是平行四边形；②等腰三角形的底角相等；③有两个内角互补的四边形是梯形或圆内接四边形或是平行四边形；④60是5或2的公倍数，其中复合命题有（）A．①③④B．③④C．③D．①③分析：②是简单命题，其余的均为复合命题．选A．【例5】分别指出下列各命题的形式及构成它的简单命题，并指出复合命题的真假．(1)8或6是30的约数；(2)矩形的对角线垂直平分；(3)方程x2－2x＋3＝0没有实数根．分析：分清形式结构，判断简单命题真假，利用真值表再判断原复合命题真假．解：(1)p或q；p：8是30的约数(假)，q：6是30的约数(真)．“p或q”为真．(2)p且q；p：矩形的对角线互相垂直(假)，q：矩形的对角线互相平分(真)．“p且q”为假．(3)非p；p：x2－2x＋3＝0有实根(假)．非p为真．点评：将简易逻辑知识负载在其它知识之上．【基础达标】1．命题“方程x2－4＝0的解是x＝±2”中，使用的逻辑联结词的情况是（）A．没有使用联结词B．使用了逻辑联结词“或”C．使用了逻辑联结词“且”D．使用了逻辑联结词“非”2．以下判断正确的是（）A．若p是真命题，则“p且q”一定是真命题B．命题“p且q”是真命题，则命题p一定是真命题C．命题“p且q”是假命题时，则命题p一定是假命题D．命题p是假命题时，则命题“p且q”不一定是假命题3．如果命题“p或q”与命题“非p”都是真命题，那么（）A．命题p不一定是假命题B．命题q一定是真命题C．命题q不一定是真命题D．命题p与命题q的真值相同4．若p、q是两个简单命题，且“p或q”的否定是真命题，则必有（）A．p真q真B．p假q假C．p真q假D．p假q真5．如果命题“p或q”是真命题，那么（）A．命题p与命题q都是真命题B．命题p与命题q的真值是相同的，即同真同假C．命题p与命题q中只有一个是真命题D．命题p与命题q中至少有一个是真命题6．下列命题中：；（2）集合是的子集；（1）11（3）周长相等的两个三角形全等或面积相等的两个三角形全等．其中为真命题的序号依次为．7．有下列四个命题：（1）40能被3或5整除；（2）不存在实数x，使x2＋x＋1＜0；（3）对任意实数x，均有x＋1＞x；（4）方程x2－2x＋3＝0有两个不等的实根；其中假命题为_ ．(只填序号)1~5：BBBBD6．①②7．(4)【能力提高】8．分别指出下列各组命题构成的“p或q”、“p且q”、“非p”形式的复合命题的真假．（1）p：3是无理数，q：3是实数；（2）p：4＞6，q：4＋6≠10．解：(1)p或q：真；p且q：真；非p：假．(2)p或q：假；p且q：假；非p：真．9．已知命题p、q，写出“p或q”、“p且q”、“非p”并判断真假．（1）p：2是偶数，q：2是质数；（2）p：0的倒数还是0，q：0 的相反数还是0．(1)p或q：2是偶数或质数，真命题p且q：2是偶数且是质数，真命题非p：2不是偶数，假命题．(2)p或q：0的倒数还是0或0的相反数还是0，真命题．p且q：0的倒数还是0且0的相反数还是0，假命题．非p：0的倒数不是0，真命题．10．写出命题“5>2且4>6”的否定，并判断其真假，由此分别讨论“p或q”、“p且q”的否定形式．§1.4.1 全称量词与存在量词及其否定【知识要点】●短语“对所有的”“对任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，用“∀”表示．含有全称量词的命题叫全称命题．●短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，用“∃”表示．含有存在量词的命题叫特称命题．●【例题精讲】【例1】下列真命题的个数（）A．0 B．1 C．2 D．3答案：D【例2】下列命题中真命题的个数是（）(1)所有的素数是奇数；(2)∀x∈R，(x－1)2+1≥1；(3)有的无理数的平方是无理数A．0B．1C．2D．3答案：C【例3】下列特称命题中假命题的个数是（）(1)∃x∈R，使2x2+x+1=0；(2)存在两条相交直线垂直于同一个平面；(3)∃x∈R，x2≤0A．0B．1C．2D．3答案：C【例4】下列全称命题的否命题中，假命题的个数是（）(1)所有能被3整除的数能被6整除；(2)所有实数的绝对值是正数；(3)∀x∈Z，x2的个位数不是2A．0 B．1 C．2 D．3答案：B【例5】命题：∃x∈N，x3 ≤x2的否定是．命题：∀x∈R，x2－x+1> 0的否定是_．【例6】命题：“存在一个四边形，它的对角线互相垂直且平分”的否定是．答案：所有四边形的对角线互相垂直或平分．【例7】写出下列命题的否定．（1）所有自然数的平方是正数；（2）任何实数x都是5x－12=0的根；（3）对任意实数x，存在实数y，使x+y>0；（4）有些质数是奇数．解：（1）存在自然数的平方是负数或0；（2）存在实数x，它不是5x－12=0 的根；（3）存在实数x，同时存在实数y，使x+y≤0；（4）任何质数都不是奇数．点评：简单全称命题及特称命题的否定，对于条件的否定仅否定全称量词及存在量词．【基础达标】1．下列命题为真命题的是（）A．所有的质数都是奇数B．有些三角形不是锐角三角形C．实数的平方都是正数D．存在一个三角形，它的内角和小于180°2．下列命题中假命题的个数是（）（1）有的梯形是等腰梯形；（2）有的菱形是正方形；（3）每个正方形都是平行四边形；（4）每个矩形都是正方形．A．0 B．1C．3 D．43．命题“原函数与反函数的图象关于直线y=x对称”的否定是（）A．原函数与反函数的图象关于直线y=－x对称B．原函数不与反函数的图象关于直线y=x对称C．存在一个原函数与反函数的图象不关于直线y=x对称D．存在原函数与反函数的图象关于直线y=x对称4．命题“对任意的x∈R，x3－x2+1≤0”的否定是（）A．不存在x∈R，x3－x2+1≤0B．存在x∈R，x3－x2+1≤0C．存在x∈R，x3－x2+1>0D．对任意的x∈R，x3－x2+1>05．已知命题p：∀x∈R，sin x≤1，则（）A．⌝p：∃x∈R，sin x≥1B．⌝p：∀x∈R，sin x≥1C．⌝p：∃x∈R，sin x>1D．⌝p：∀x∈R，sin x>16．命题“”的否定为．7．命题“”的否定为．1～5：BBCCC【能力提高】8．用符号“∀”与“∃”表示下列含有量词的命题：（1）能被4整除的整数能被2整除；（2）任何大于2 的偶数可表示为两个素数之和；（3）有些数的平方小于0．9．判断以下命题的真假：(1)∀x∈R，－x2+x－1<0；①真；②真；③真；④假10．指出下列命题是特称命题还是全称命题，并写出其否命题，并判断否命题的真假．（1）直线与x轴都有交点；（2）正方形都是菱形；（3）梯形的对角线相等；（4）存在一个三角形，它的内角和大于180°（1）全称命题：否命题为有些直线与x轴没有交点真命题（2）全称命题：否命题为有些正方形不是菱形假命题（3）全称命题：否命题为有些梯形对角线不相等真命题（4）特称命题：否命题为所有三角形内角和小于或等于180度真命题《常用逻辑用语》全章复习掌握四种命题，充要条件逻辑联结词“且”“或”“非”，全称量词与存在量词及其否定．会判断充要条件，并能证明．【例题精讲】【例1】分别写出命题“若x2＋y2＝0，则x、y全为0”的逆命题、否命题和逆否命题．【例2】“若P＝{x|x|＜1}，则0∈P”的等价命题是．【例3】A．充分条件B．必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【基础达标】1．命题“若A∪B＝A，则A∩B=B”的否命题是（）A．若A∪B≠A，则A∩B≠BB．若A∩B＝B，则A∪B=AC．若A∩B≠A，则A∪B≠BD．若A∪B＝B，则A∩B＝A2．命题“若a＞b，则ac2＞bc2”(这里a、b、c都是实数)与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为（）A．4个B．3个C．2个D．0个3．下列说法：（1）四种命题中真命题的个数一定是偶数．（2）若一个命题的逆命题是真命题，则它的否命题一定是真命题．（3）逆命题与否命题之间是互为逆否的关系．（4）若一个命题的逆否命题是假命题，则它的逆命题与否命题都是假命题．其中正确的有（）个．A．1个B．2个C．3个D．4个4．x∈R，(1－x)(1＋x)是正数的充分必要条件是（）A．－1＜x＜1B．x＜1C．x＜－1D．x＜1 且x≠－15．下列说法正确的是（）A．x≥3是x＞5的充分而不必要条件B．x≠±1 是|x|≠1的充要条件C．若⌝p⇒⌝q，则p是q的充分条件D．一个四边形是矩形的充分条件是：它是平行四边形6．集合A＝{x|x＞1}，B＝{x|x＜2}；则“x∈A或x∈B”是“x∈A∩B”的条件．7．命题“非空集A∪B中的元素是A中的元素或B中的元素”是的形式．命题“CA中的元素是I中的元素但不是A中的元素”是的形式．I1．A2．C3．C4．D5．B6．必要非充分条件7．p或q；p且q【能力提高】8．写出“∃x∈R，使得”的否命题．9．写出“∀x> 0，x2+x+2≥0”的否命题．10．用反证法证明：钝角三角形最大边上的中线小于该边长的一半．。
高中数学 第一章 常用逻辑用语 1.1.2 量词教学案 新人教B版选修11
1.1.2 量词[学习目标] 1.通过生活和数学中的丰富实例，理解全称量词与存在量词的意义.2.能正确的对含有一个量词的命题进行否定.3.知道全称命题的否定是存在性命题，存在性命题的否定是全称命题．[知识链接]下列语句是命题吗？(1)与(3)，(2)与(4)之间有什么关系？(1)x>3；(2)2x＋1是整数；(3)对所有的x∈R，x>3；(4)至少有一个x∈Z，使2x＋1是整数．答：语句(1)、(2)含有变量x，由于不知道变量x代表什么数，无法判断它们的真假，因而不是命题．语句(3)在(1)的基础上，用短语“对所有的”对变量x进行限定；语句(4)在(2)的基础上，用短语“至少有一个”对变量x进行限定，从而使(3)(4)成为可以判断真假的语句，因此语句(3)、(4)是命题．[预习导引]1．全称量词和全称命题(1)全称量词：短语“所有”在陈述中表示事物的全体，逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示．(2)全称命题：含有全称量词的命题叫做全称命题．即是陈述某集合所有元素都具有某种性质的命题．其形式为“对M中的所有x，p(x)”的命题，用符号简记为∀x∈M，p(x)．2．存在量词和存在性命题(1)存在量词短语“有一个”或“有些”或“至少有一个”在陈述中表示所述事物的个体或部分，逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示．(2)存在性命题含有存在量词的命题，叫做存在性命题．即是陈述某集合M的有些元素x具有某种性质的命题，那么存在性命题就是形如“存在集合M中的元素x，q(x)”的命题，用符号简记为∃x∈M，q(x)．要点一全称量词与全称命题例1 试判断下列全称命题的真假：(1)∀x∈R，x2＋2>0；(2)∀x∈N，x4≥1；(3)对任意角α，都有sin2α＋cos2α＝1.解(1)由于∀x∈R，都有x2≥0，因而有x2＋2≥2>0，即x2＋2>0，所以命题“∀x∈R，x2＋2>0”是真命题．(2)由于0∈N，当x＝0时，x4≥1不成立，所以命题“∀x∈N，x4≥1”是假命题．(3)由于∀α∈R，sin2α＋cos2α＝1成立．所以命题“对任意角α，都有sin2α＋cos2α＝1”是真命题．规律方法判断全称命题为真时，要看命题是否对给定集合中的所有元素都成立．判断全称命题为假时，可以用反例进行否定．跟踪演练1 判断下列全称命题的真假：(1)所有的素数是奇数；(2)∀x∈R，x2＋1≥1；(3)对每一个无理数x，x2也是无理数．解(1)2是素数，但2不是奇数．所以，全称命题“所有的素数是奇数”是假命题．(2)∀x∈R，总有x2≥0，因而x2＋1≥1.所以，全称命题“∀x∈R，x2＋1≥1”是真命题．(3)2是无理数，但(2)2＝2是有理数．所以，全称命题“对每一个无理数x，x2也是无理数”是假命题．要点二存在量词与存在性命题例2 判断下列命题的真假：(1)∃x∈Z，x3<1；(2)存在一个四边形不是平行四边形；(3)有一个实数α，tan α无意义．(4)∃x ∈R ，cos x ＝π2. 解 (1)∵－1∈Z ，且(－1)3＝－1<1，∴“∃x ∈Z ，x 3<1”是真命题．(2)真命题，如梯形．(3)真命题，当α＝π2时，tan α无意义. (4)∵当x ∈R 时，cos x ∈[－1,1]，而π2>1， ∴不存在x ∈R ，使cos x ＝π2， ∴原命题是假命题．规律方法 存在性命题是含有存在量词的命题，判定一个存在性命题为真，只需在指定集合中找到一个元素满足命题结论即可．跟踪演练2 判断下列存在性命题的真假：(1)有一个实数x ，使x 2＋2x ＋3＝0；(2)存在两个相交平面垂直于同一条直线；(3)有些整数只有两个正因数．解 (1)由于∀x ∈R ，x 2＋2x ＋3＝(x ＋1)2＋2≥2，因此使x 2＋2x ＋3＝0的实数x 不存在．所以，存在性命题“有一个实数x ，使x 2＋2x ＋3＝0”是假命题．(2)由于垂直于同一条直线的两个平面是互相平行的，因此不存在两个相交的平面垂直于同一条直线．所以，存在性命题“存在两个相交平面垂直于同一条直线”是假命题．(3)由于存在整数3只有两个正因数1和3，所以存在性命题“有些整数只有两个正因数”是真命题．要点三 全称命题、存在性命题的应用例3 (1)对于任意实数x ，不等式sin x ＋cos x >m 恒成立．求实数m 的取值范围；(2)存在实数x ，不等式sin x ＋cos x >m 有解，求实数m 的取值范围．解 (1)令y ＝sin x ＋cos x ，x ∈R ，∵y ＝sin x ＋cos x ＝2sin(x ＋π4)≥－2， 又∵∀x ∈R ，sin x ＋cos x >m 恒成立，∴只要m <－2即可．∴所求m 的取值范围是(－∞，－2)．(2)令y ＝sin x ＋cos x ，x ∈R ，∵y ＝sin x ＋cos x ＝2sin(x ＋π4)∈[－2，2]． 又∵∃x ∈R ，sin x ＋cos x >m 有解，∴只要m <2即可，∴所求m 的取值范围是(－∞，2)．规律方法 有解和恒成立问题是存在性命题和全称命题的应用，注意二者的区别．跟踪演练3 (1)已知关于x 的不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2≤0的解集非空，求实数a 的取值范围；(2)若命题p ：1－sin2x ＝sin x －cos x 是真命题，求实数x 的取值范围．解 (1)关于x 的不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2≤0的解集非空，∴Δ＝(2a ＋1)2－4(a 2＋2)≥0，即4a －7≥0，解得a ≥74，∴实数a 的取值范围为[74，＋∞)． (2)由1－sin2x ＝sin x －cos x ， 得sin 2x ＋cos 2x －2sin x cos x ＝sin x －cos x ， ∴x －cos x 2＝sin x －cos x ，即|sin x －cos x |＝sin x －cos x ，∴sin x ≥cos x .结合三角函数图象，得2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4(k ∈Z )， 此即为所求x 的取值范围．即p ：∀x ∈[2k π＋π4，2k π＋5π4](k ∈Z )，有1－sin2x ＝sin x －cos x 是真命题．1．给出四个命题：①末位数是偶数的整数能被2整除；②有的菱形是正方形；③存在实数x ，x >0；④对于任意实数x,2x ＋1是奇数．下列说法正确的是( )A ．四个命题都是真命题B ．①②是全称命题C ．②③是存在性命题D ．四个命题中有两个假命题答案 C解析 ①④为全称命题；②③为存在性命题；①②③为真命题；④为假命题．2．下列命题中，不是全称命题的是( )A ．任何一个实数乘以0都等于0B ．自然数都是正整数C ．每一个向量都有大小D ．一定存在没有最大值的二次函数答案 D解析 D 选项是存在性命题．3．下列存在性命题是假命题的是( )A ．存在x ∈Q ，使2x －x 3＝0B ．存在x ∈R ，使x 2＋x ＋1＝0C ．有的素数是偶数D ．有的有理数没有倒数答案 B解析 对于任意的x ∈R ，x 2＋x ＋1＝(x ＋12)2＋34>0恒成立． 4．用量词符号“∀”“∃”表述下列命题：(1)凸n 边形的外角和等于2π.(2)有一个有理数x 满足x 2＝3.(3)对任意角α，都有sin 2α＋cos 2α＝1.解 (1)∀x ∈{x |x 是凸n 边形}，x 的外角和是2π.(2)∃x ∈Q ，x 2＝3.(3)∀α∈R ，sin 2α＋cos 2α＝1.1.判断命题是全称命题还是存在性命题，主要是根据命题涉及的意义去判断，命题中有的含有全称量词和存在量词，有的不含全称量词和存在量词，一定要抓实质，不能看表面．2．要确定一个全称命题是真命题，需保证该命题对所有的元素都成立；要确定一个全称命题是假命题，举出一个反例即可．3．要确定一个存在性命题是真命题，举出一个例子说明该命题成立即可；若经过逻辑推理得到命题对所有的元素都不成立，则该存在性命题是假命题．。
人教版高中数学《常用逻辑用语》优质教学设计
《常用逻辑用语》起始课一、教学设计1.教学内容解析本节课是《普通高中课程标准实验教科书选修1-1》（人教A 版）第一章《常用逻辑用语》的起始课.本章中，我们将学习命题及其关系、充分条件与必要条件、简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词等一些基础知识.通过学习和使用常用逻辑用语，掌握常用逻辑用语的用法，纠正出现的逻辑错误，体会运用常用逻辑用语表述数学内容的准确性、简洁性.本节课作为本章的起始课，从一开始就要激发学生的学习兴趣，围绕“为什么学”而展开，凸显了常用逻辑用语的重要性.一方面，常用逻辑用语被广泛用于日常生活，是语言表达的工具、信息交流的工具；另一方面，常用逻辑用语是数学语言的重要组成部分，是描述、判断、推理的工具，学习数学离不开常用逻辑用语.然后为具体内容的学习打好基础.根据以上分析，本节课的教学重点确定为教学重点：初步了解整章的内容，理解命题的概念，感受生活中的逻辑，激发学生学习兴趣.2.学生学情诊断学生在初中阶段已经接触过命题，但是不够系统和详细，要引导学生联系已学过的教学实例学习新内容，会将命题等价地写成“若p ，则q ”这个形式.根据以上分析，本节课的教学难点确定为教学难点：体会学习常用逻辑用语的方法.3.教学目标设置(1)通过实例的展示和分析，让学生了解逻辑的重要性和学习常用逻辑用语的必要性；在生活实例中体会逻辑思想；(2)理解命题的概念，能把一个命题改写成“若p ，则q ”的形式；(3)体验知识的形成及发展过程；(4)激发学生对数学的积极情感，发展思维的严密性，优化思维品质.4.教学策略分析运用生动新颖的“生活中的逻辑”的例子，激发学生学习常用逻辑用语的兴趣；运用“问题变式串”引导学生主动探索，并从中体会学习常用逻辑用语的方法；利用多媒体引导学生充分感知学习常用逻辑用语的重要性、必要性，展示学习常用逻辑用语的过程和方法.5.教学过程1.情景引入班长王哲通知几位班干部、尹格、刘晗、秋菊商量学校运动会的事物,请了四人，开会时来了尹格、刘晗、秋菊三人，易明没来. 王哲就嘀咕了一句说: “该来的没来！”. 尹格听了，转身就走了，王哲看尹格走了，又说: “不该走的又走了！”. 刘晗一听，起身走了，王哲急了，忙去拖他: “我说的不是你呀！”这句话说完, 秋菊也走了.老师引导学生分析，让学生体会到说话缺乏逻辑性会导致信息传递不准确.（设计意图：从实际生活出发，直观感知逻辑， 其中学生自编短剧能让学生产生学习→ → → → 情景引入 新知建构 历史回顾 合作探究 归纳小结 趣味逻辑→兴趣，积极参与发现与探索.更深层次的用意是让学生认识数学从生活中来及学习常用逻辑用语的必要性.）2.回顾历史由小组合作课前准备，小组展示自己搜集到的有关逻辑历史的资料。
人教版高中数学选修-第一章《常用逻辑用语》全部教学导案
人教版高中数学选修-第一章《常用逻辑用语》全部教案————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：高中数学（选修2－1）教案孔德友庐江县第三中学1.1命题及其关系第一课时1.1.1 命题一、教学目标：１、知识与技能：理解命题的概念和命题的构成，能判断给定陈述句是否为命题，能判断命题的真假；能把命题改写成“若p，则q”的形式；２、过程与方法：多让学生举命题的例子，培养他们的辨析能力；以及培养他们的分析问题和解决问题的能力；３、情感、态度与价值观：通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。
二、教学重点与难点：重点：命题的概念、命题的构成；难点：分清命题的条件、结论和判断命题的真假。
三、教学方法：探析归纳，讲练结合三、教学过程（一）、复习回顾：初中已学过命题的知识，请同学们回顾：什么叫做命题？（二）、探析新课1、思考、分析：下列语句的表述形式有什么特点？你能判断他们的真假吗？（1）若直线a∥b，则直线a与直线b没有公共点．（2）2+4=7．（3）垂直于同一条直线的两个平面平行．（４）若x2=1,则x=1．（５）两个全等三角形的面积相等．（６）３能被２整除．2、讨论、判断：学生通过讨论，总结：所有句子的表述都是陈述句的形式，每句话都判断什么事情。
其中（1）（3）（5）的判断为真，（2）（4）（6）的判断为假。
教师的引导分析：所谓判断，就是肯定一个事物是什么或不是什么，不能含混不清。
3、抽象、归纳：定义：一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．命题的定义的要点：能判断真假的陈述句．在数学课中，只研究数学命题，请学生举几个数学命题的例子．教师再与学生共同从命题的定义，判断学生所举例子是否是命题，从“判断”的角度来加深对命题这一概念的理解．4、练习、深化：判断下列语句是否为命题？（１）空集是任何集合的子集．（２）若整数a是素数，则是a奇数．（３）指数函数是增函数吗？（４）若平面上两条直线不相交，则这两条直线平行．（５）2)2(＝－２．（６）x＞１５．让学生思考、辨析、讨论解决，且通过练习，引导学生总结：判断一个语句是不是命题，关键看两点：第一是“陈述句”，第二是“可以判断真假”，这两个条件缺一不可．疑问句、祈使句、感叹句均不是命题．解略。
高中数学第一章常用逻辑用语1.3简单的逻辑联结词学案(含解析)新人教A版选修1-1(2021学年)
2017-2０18学年高中数学第一章常用逻辑用语1．3 简单的逻辑联结词学案(含解析)新人教Ａ版选修1－1编辑整理：尊敬的读者朋友们:这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的,发布之前我们对文中内容进行仔细校对,但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2017-2０18学年高中数学第一章常用逻辑用语 1.3 简单的逻辑联结词学案(含解析)新人教Ａ版选修1-１)的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉,前进的动力。
本文可编辑可修改,如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅,最后祝您生活愉快业绩进步，以下为2０17-2018学年高中数学第一章常用逻辑用语 1.３简单的逻辑联结词学案(含解析）新人教Ａ版选修１-１的全部内容。
1。
3 单的逻辑联结词逻辑联结词“且”“或”“非”［提出问题]如图所示，有三种电路图.问题1:甲图中，什么情况下灯亮？提示：开关ｐ闭合且q闭合．问题2:乙图中,什么情况下灯亮?提示：开关p闭合或q闭合.问题3：丙图中，什么情况下灯不亮？提示:开关ｐ不闭合时．[导入新知]符号含义读法p∧ｑ用联结词“且”把命题ｐ和命题ｑ联结起来的一个新命题p且qｐ∨ｑ用联结词“或”把命题p和命题q联结起来的一个新命题p或q綈p对一个命题p全盘否定的一个新命题非p或p的否定1.“且”含义的理解联结词“且”与日常用语中的“并且”“和”“同时"等词语等价，表示的是同时具有的意思.2.“或"含义的理解联结词“或"与日常用语中的“或者”“可能”等词语等价,它有三层含义，如“p或q”表示：要么是p不是q；要么是q不是p;要么是p且ｑ.3.“非"含义的理解联结词“非”与日常用语中的“不是”“否定”“全盘否定”“问题的反面”等词语等价。
含有逻辑联结词的命题的真假判断［提出问题]如“知识点一"中的图，若开关p，q的闭合与断开分别对应命题p、q的真与假，则灯亮与不亮分别对应着p∧q，p∨q，綈p的真与假.问题1：什么情况下,p∧q为真?提示：当p真,q真时.问题2：什么情况下，p∨ｑ为假?提示：当p假,q假时.问题3:什么情况下,綈ｐ为真?提示：当p假时．[导入新知]“p∧q＂“ｐ∨ｑ”“綈p”的真假判断pｑp∨ｑp∧ｑ綈ｐ真真真真假真假真假假假真真假真假假假假真[化解疑难]命题“p∧q”“p∨q"“綈p”真假的记忆(1）对于“p∧q",简称为“一假则假”，即p,ｑ中只要有一个为假，则“ｐ∧q”为假；(2）对于“ｐ∨q”，简称为“一真则真”,即ｐ，q中只要有一个为真,则“p∨q”为真．用逻辑联结词联结新命题［例1] 分别写出由下列命题构成的“ｐ∨q"“ｐ∧q”“綈p”形式的命题.(1）p:梯形有一组对边平行,q:梯形有一组对边相等;（2）p:－1是方程x２+4ｘ+3＝０的解，q:－3是方程x2＋4x＋３＝0的解.［解] （１)p∧ｑ：梯形有一组对边平行且有一组对边相等．p∨q：梯形有一组对边平行或有一组对边相等.綈p：梯形没有一组对边平行．(2)ｐ∧q:－1与-3是方程x２＋4ｘ+3＝0的解．p∨q:-1或－3是方程x2＋4x+３＝0的解.綈p:-1不是方程ｘ2+4ｘ＋３=0的解．[类题通法]用“或”“且”“非"联结两个简单命题时，要正确理解这三个联结词的意义,通常情况下,可以直接使用逻辑联结词联结，有时为了通顺也可以适当添加词语或省略联结词.如甲是运动员兼教练员，就省略了“且”．［活学活用]指出下列命题的构成形式及构成它们的简单命题：（１)方程2x2+1=０没有实数根；(2）12能被3或４整除．解:（1）是“綈p"形式,其中p:方程２x2＋1=0有实根.(2)是“p或q"形式,其中p：12能被3整除;q：12能被4整除。
学高中数学常用逻辑用语简单的逻辑联结词教学用书教案新人教A版选修
１．３简单的逻辑联结词学习目标核心素养１．了解逻辑联结词“且”“或”“非”的意义．（重点）２．能够判断命题“p∧q”“p∨q”“ p”的真假．（难点）３．会使用联结词“且”“或”“非”联结并改写成某些数学命题，会判断命题的真假．（易错点）１．通过对逻辑联结词“且”“或”“非”的意义的学习，培养学生的数学抽象素养．２．借助含逻辑联结词命题的真假判断及应用，提升学生的逻辑推理和数学运算素养．１．“且”（１）定义一般地，用联结词“且”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作p∧q．读作“p且q”．（２）真假判断当p，q都是真命题时，p∧q是真命题；当p，q两个命题中有一个命题是假命题时，p∧q是假命题．２．“或”（１）定义一般地，用联结词“或”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作p∨q．读作“p或q”．（２）真假判断当p，q两个命题有一个命题是真命题时，p∨q是真命题；当p，q两个命题都是假命题时，p∨q 是假命题．思考１：（１）p∨q是真命题，则p∧q是真命题吗？（２）若p∨q与p∧q一个是真命题，一个是假命题，那么谁是真命题？[提示] （１）不一定，p∨q是真命题，p与q可能一真一假，此时p∧q是假命题．（２）p∨q是真命题，p∧q是假命题．３．“非”（１）定义一般地，对一个命题p全盘否定，就得到一个新命题，记作p，读作“非p”或“p的否定”．（２）真假判断若p是真命题，则p必是假命题；若p是假命题，则p必是真命题．思考２：命题的否定与否命题的区别是什么？[提示] （１）命题的否定是直接对命题的结论进行否定，而否命题则是对原命题的条件和结论分别否定．（２）命题的否定（p）的真假与原命题（p）的真假总是相对的，即一真一假，而否命题的真假与原命题的真假无必然的联系．４．复合命题用逻辑联结词“且”“或”“非”把命题p和命题q联结起来的命题称为复合命题．复合命题的真假判断p q p∨q p∧q p真真真真假真假真假假假真真假真假假假假真１．“xy≠0”是指（）Ａ．x≠0且y≠0Ｂ．x≠0或y≠0Ｃ．x，y至少一个不为0 Ｄ．x，y不都是0A[xy≠0⇔x≠0且y≠0，故选Ａ．]２．已知p，q是两个命题，若“（p）∨q”是假命题，则（）Ａ．p，q都是假命题Ｂ．p，q都是真命题Ｃ．p是假命题，q是真命题Ｄ．p是真命题，q是假命题D[若（p）∨q为假命题，则p，q都是假命题，即p真q假，故选Ｄ．]３．下列命题中真命题的个数是（）１p∨q，这里p：π是无理数，q：π是实数；２p∧q，这里p：π是无理数，q：π是实数；３p∨q，这里p：２>３，q：8＋7≠１５；４p∧q，这里p：２>３，q：8＋7≠１５．Ａ．１Ｂ．２Ｃ．３Ｄ．４B[１２为真命题．]４．“５≥５”是________形式的新命题，它是________（“真”或“假”）命题．p∨q真[５≥５，即５＞５或５＝５．]含有逻辑联结词的命题结构（１）向量既有大小又有方向；（２）矩形有外接圆或有内切圆；（３）集合A（A∪B）；（４）正弦函数y＝sin x（x∈R）是奇函数并且是周期函数．[解] （１）是“p∧q”形式的命题．其中p：向量有大小，q：向量有方向．（２）是“p∨q”形式的命题．其中p：矩形有外接圆，q：矩形有内切圆．（３）是“p”形式的命题．其中p：A⊆（A∪B）．（４）是“p∧q”形式的命题．其中p：正弦函数y＝sin x（x∈R）是奇函数，q：正弦函数y＝sin x（x∈R）是周期函数．１．判断一个命题的结构，不能仅从字面上看它是否含有“且”“或”“非”等逻辑联结词，而应从命题的结构上看是否用逻辑联结词联结两个命题．２．用逻辑联结词“且”“或”联结两个命题时，关键是正确理解这些词语的意义及在日常生活中的同义词，选择合适的联结词，有时为了语法的要求及语句的通顺，也可进行适当的省略和变形．错误!１．分别写出由下列命题构成的“p∨q”“p∧q”“p”形式的命题．（１）p：梯形有一组对边平行，q：梯形有一组对边相等；（２）p：—１是方程x２＋４x＋３＝0的解，q：—３是方程x２＋４x＋３＝0的解．[解] （１）p∧q：梯形有一组对边平行且有一组对边相等．p∨q：梯形有一组对边平行或有一组对边相等．p：梯形没有一组对边平行．（２）p∧q：—１与—３是方程x２＋４x＋３＝0的解．p∨q：—１或—３是方程x２＋４x＋３＝0的解．p：—１不是方程x２＋４x＋３＝0的解．含逻辑联结词命题的真假判断１p∧q；２p∨q；３p∧（q）；４（p）∨（q）．则其中真命题的个数为（）Ａ．１Ｂ．２Ｃ．３Ｄ．４思路探究：错误!→错误!→错误!C[由于Δ＝（—２a）２—４×１×（—１）＝４a２＋４>0，所以方程x２—２ax—１＝0有两个实数根，所以命题p是真命题；当x<0时，f（x）＝x＋错误!<0，所以命题q为假命题，所以p∨q，p∧（q），（p）∨（q）是真命题，故选Ｃ．]含逻辑联结词命题真假的判断方法及步骤１我们可以用口诀记忆法来记忆：,“p∧q”全真才真，一假必假；“p∨q”全假才假，一真必真；“p”与p真假相对.２判断复合命题真假的步骤：１确定复合命题的构成形式是“p∧q”“p∨q”还是“p”；２判断其中的简单命题p，q的真假；３根据真值表判断复合命题的真假.错误!２．（１）已知命题p：若x>y，则—x<—y；命题q：若x>y，则x２>y２．在命题１p∧q；２p∨q；３p∧（q）；４（p）∨q中，真命题是（）Ａ．１３Ｂ．１４Ｃ．２３Ｄ．２４C[由不等式的性质可知，命题p为真命题，命题q为假命题，故１p∧q为假命题，２p∨q为真命题，３q为真命题，则p∧（q）为真命题，４p为假命题，则（p）∨q为假命题．]（２）分别指出由下列命题构成的“p∨q”“p∧q”“p”形式的命题的真假．１p：１∈{２,３}，q：２∈{２,３}；２p：２是奇数，q：２是合数；３p：４≥４，q：２３不是偶数；４p：不等式x２—３x—１0<0的解集是{x|—２<x<５}，q：不等式x２—３x—１0<0的解集是{x|x>５或x<—２}．[解] １∵p是假命题，q是真命题，∴p∨q是真命题，p∧q是假命题，p是真命题．２∵p是假命题，q是假命题，∴p∨q是假命题，p∧q是假命题，p是真命题．３∵p是真命题，q是真命题，∴p∨q是真命题，p∧q是真命题，p是假命题．４∵p是真命题，q是假命题，∴p∨q是真命题，p∧q是假命题，p是假命题．由复合命题的真假求参数的取值范围[１．设集合A是p为真命题时参数的取值范围，则p为假命题时，参数的取值范围是什么？[提示] p为假命题时，参数的取值范围是∁R A．２．设集合M、N分别是p，q分别为真命题时参数的取值范围，则p∨q与p∧q分别为真命题时，参数的取值范围分别是什么？[提示] 当p∨q为真命题时，参数的取值范围是A∪B．当p∧q为真命题时，参数的取值范围是A∩B．【例３】已知p：存在x∈R，mx２＋１≤0，q：任意x∈R，x２＋mx＋１>0，若p或q为假命题，则实数m的取值范围为（）Ａ．m≥２Ｂ．m≤—２Ｃ．m≤—２或m≥２Ｄ．—２≤m≤２思路探究：错误!―→错误!A[依题意知p，q均为假命题，当p是假命题时，mx２＋１>0恒成立，则有m≥0；当q是真命题时，则有Δ＝m２—４<0，—２<m<２．因此由p，q均为假命题得错误!即m≥２．]１．本例条件不变，若p且q为真，则实数m的取值范围为________．（—２,0）[依题意，当p是真命题时，有m<0；当q是真命题时，有—２<m<２，由错误!可得—２<m<0．]２．本例条件不变，若p且q为假，p或q为真，则实数m的取值范围为________．（—∞，—２]∪[0,２）[若p且q为假，p或q为真，则p，q一真一假．当p真q假时错误!∴m≤—２；当p假q真时错误!∴0≤m<２．∴m的取值范围是（—∞，—２]∪[0,２）．]根据命题的真假求参数范围的步骤１求出p、q均为真时参数的取值范围；２根据命题p∧q、p∨q的真假判断命题p、q的真假；３根据p，q的真假求出参数的取值范围.１．判断含逻辑联结词的命题的真假的步骤：（１）逐一判断命题p，q的真假．（２）根据“且”“或”的含义判断“p∧q”，“p∨q”的真假．p∧q为真⇔p和q同时为真，p∨q为真⇔p和q中至少一个为真．２．若命题p为真，则“p”为假；若p为假，则“p”为真，类比集合知识，“p”就相当于集合p在全集U中的补集∁U p．因此（p）∧p为假，（p）∨p为真．３．命题的否定只否定结论，否命题既否定结论又否定条件，要注意区别．１．若命题“p∧q”为假，且p为假，则（）Ａ．p∨q为假Ｂ．q假Ｃ．q真Ｄ．p假B[由p为假知，p为真，又p∧q为假，则q假，故选Ｂ．]１２>１或１>３；２方程x２—２x—４＝0的判别式大于或等于0；３２５是6或５的倍数；４集合A∩B是A的子集，且是A∪B的子集．其中真命题的个数为（）Ａ．１Ｂ．２Ｃ．３Ｄ．４D[对于１，是“或”命题，且２>１是真命题，故１是真命题．对于２，是“或”命题，且Δ＝（—２）２＋１6＝２0>0，故２是真命题．对于３，是“或”命题，且２５是５的倍数，故３是真命题．对于４，是“且”命题，且集合A∩B是A的子集，也是A∪B的子集．故４是真命题，故选Ｄ．]３．下列命题是“p∨q”形式的是（）Ａ．6≥6 Ｂ．３是奇数且３是质数Ｃ．错误!是无理数Ｄ．３是6和9的约数A[A中，6≥6⇔6>6或6＝6，所以A是“p∨q”形式的命题；B和D是“p∧q”形式的命题，C 不包含任何逻辑联结词，所以B，C，D不正确，A正确，故选Ａ．]４．已知命题p：函数f（x）＝（２a—１）x＋b在R上是减函数；命题q：函数g（x）＝x２＋ax 在[１,２]上是增函数，若p∧q为真，则实数a的取值范围是________．错误![p为真时，２a—１<0，即a<错误!，q为真时，—错误!≤１，即a≥—２，则p∧q为真时，p，q都真，所以—２≤a<错误!．]。
高中数学 第一章 常用逻辑用语 1.3 简单的逻辑联结词教案 新人教A版选修11
1.3 简单的逻辑联结词
教学过程①一般地，用联结词“或”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作p q
∨，读作“p或q”.
②规定：当p，q两个命题中有一个命题是真命题时，p q
∨是真命题；当p，q两个命题都是假命题时，p q
∨是假命题.
例如：“22
≤”、“27是7或9的倍数”等命题都是p q
∨的命题.
③例3：判断下列命题的真假：
（1）34
>或34
<；（2）方程2340
x x
--=的判别式大于或等于0；
（3）10或15是5的倍数；（4）集合A是A B
⋂的子集或是A B
⋃的子集；（5）周长相等的两个三角形全等或面积相等的两个三角形全等.
（学生自练→个别回答→教师点评）
3. 小结：“p q
∧”、“p q
∨”命题的概念及真假
三、巩固练习：
1. 练习：教材P20页练习第1、2题
2. 作业：教材P20页习题第1、2题.。
高中数学 第一章 常用逻辑用语 1.3 简单的逻辑联结词
p∧q：函数 y＝x2－2x＋2 没有零点且不等式 x2－2x ＋1＞0 恒成立，假命题．
綈 p：函数 y＝x2－2x＋2 有零点，假命题．
归纳升华
判断命题真假的三个步骤
(2)p∧q：函数 y＝|x|是奇函数且是分段函数； p∨q：函数 y＝|x|是奇函数或是分段函数； 綈 p：函数 y＝|x|不是奇函数．
归纳升华 用“或”“且”“非”联结两个简单命题时，要正确 理解这三个联结词的意义，通常情况下，可以直接使用逻 辑联结词联结，有时为了通顺也可以适当添加词语或省略 联结词．
(2)p：函数 y＝|x|是奇函数；q：函数 y＝|x|是分段函 数．
解：(1)p∧q：函数 y＝x2－x＋1 的图象与 x 轴没有交 点且不等式 x2－x＋1＜0 无解；
p∨q：函数 y＝x2－x＋1 的图象与 x 轴没有交点或不 等式 x2－x＋1＜0 无解；
綈 p：函数 y＝x2－x＋1 的图象与 x 轴有交点．
(4)若 p 是真命题，则綈 p 一定是假命题，则 p 和綈 p
不可能都是真命题，则正确． 答案：(1)√ (2)× (3)√ (4)√
2．设命题 p：函数 y＝sin 2x 的最小正周期为 π；命 题 q：函数 y＝cos x 的图象关于直线 x＝π2对称，则下列 判断正确的是( )
A．p 为真
2．“p 或 q”就是用联结词“或”把命题 p 和命题 q 联结起来，得到的新命题，记作 p∨q．
3．命题的否定：一般地，对一个命题 p 全盘否定， 就得到一个新命题，记作綈 p，读作“非 p”或“p 的否
定”．
4．含有逻辑联结词的命题的真假判断
p q p∨q p∧q 綈 p 真真 真 真 假 真假 真 假 假 假真 真 假 真 假假 假 假 真
高中数学 第一单元 常用逻辑用语疑难规律方法教学案 新人教B版选修11
第一单元常用逻辑用语1 解逻辑用语问题三绝招1．利用集合——理清关系充分(必要)条件是高中学段的一个重要概念，并且是理解上的一个难点．要解决这个难点，将抽象的概念用直观、形象的图形表示出来，看得见、想得通，才是最好的方法．本文使用集合模型对充要条件的外延与内涵作了直观形象的解释，实践证明效果较好．集合模型解释如下：①A是B的充分条件，即A⊆B.②A是B的必要条件，即B⊆A.③A是B的充要条件，即A＝B.④A是B的既不充分也不必要条件，即A∩B＝∅或A、B既有公共元素也有非公共元素．或例1 “x2－3x＋2≥0”是“x≥1”的________________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)解析设命题p：“x2－3x＋2≥0”，q：“x≥1”对应的集合分别为A、B，则A＝{x|x≤1或x≥2}，B＝{x|x≥1}，显然“A B，B A”，因此“x2－3x＋2≥0”是“x≥1”的既不充分也不必要条件．答案既不充分也不必要2．抓住量词——对症下药全称命题与存在性命题是两类特殊的命题，这两类命题的否定又是这部分内容中的重要概念，解决有关此类命题的题目时一定要抓住决定命题性质的量词，理解其相应的含义，从而对症下药．例2 (1)已知命题p ：“任意x ∈[1,2]，x 2－a ≥0”，与命题q ：“存在x ∈R ，x 2＋2ax ＋2＋a ＝0”都是真命题，则实数a 的取值范围为______________．(2)已知命题p ：“存在x ∈[1,2]，x 2－a ≥0”与命题q ：“存在x ∈R ，x 2＋2ax ＋2＋a ＝0”都是真命题，则实数a 的取值范围为____________． 解析 (1)将命题p 转化为“当x ∈[1,2]时， (x 2－a )min ≥0”，即1－a ≥0，即a ≤1.命题q ：即方程有解，Δ＝(2a )2－4×(2＋a )≥0， 解得a ≤－1或a ≥2.综上所述，a ≤－1. (2)命题p 转化为当x ∈[1,2]时，(x 2－a )max ≥0， 即4－a ≥0，即a ≤4.命题q 同(1)． 综上所述，a ≤－1或2≤a ≤4.答案 (1)(－∞，－1] (2)(－∞，－1]∪[2,4]点评 认真比较两题就会发现，两题形似而神异，所谓失之毫厘，谬之千里，需要我们抓住这类问题的本质——量词，有的放矢． 3．等价转化——提高速度在四种命题的关系、充要条件、简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词中，时时刻刻渗透着等价转化思想，例如互为逆否命题的两个命题(原命题与逆否命题或逆命题与否命题)一定同真或同假，它们就是等价的；但原命题与逆命题不等价，即原命题为真，其逆命题不一定为真．例3 设p ：⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋4y －12>0，2x －y －8≤0，x －2y ＋6≥0，q ：x 2＋y 2≤r 2 (r >0)，若q 是綈p 的充分不必要条件，求r 的取值范围．分析 “q 是綈p 的充分不必要条件”等价于“p 是綈q 的充分不必要条件”．设p 、q 对应的集合分别为A 、B ，则可由A ⊆∁R B 出发解题．解 设p 、q 对应的集合分别为A 、B ，将本题背景放到直角坐标系中，则点集A 表示平面区域，点集∁R B 表示到原点距离大于r 的点的集合，即圆x 2＋y 2＝r 2外的点的集合． ∵A ⊆∁R B 表示区域A 内的点到原点的最近距离大于r ， ∴直线3x ＋4y －12＝0上的点到原点的最近距离大于等于r ， ∵原点O 到直线3x ＋4y －12＝0的距离d ＝|－12|32＋42＝125，∴r 的取值范围为0<r ≤125. 点评 若直接解的话，q 是綈p 的充分不必要条件即为x 2＋y 2≤r 2(r >0)在p ：⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋4y －12>0，2x －y －8≤0，x －2y ＋6≥0所对应的区域的外部，也是可以解决的．但以上解法将“q 是綈p 的充分不必要条件”等价转化为“p 是綈q 的充分不必要条件”，更好地体现了相应的数学思想方法．2 判断条件四策略1．应用定义如果p ⇒q ，那么称p 是q 的充分条件，同时称q 是p 的必要条件．判断的关键是分清条件与结论．例1 设集合M ＝{x |x >2}，P ＝{x |x <3}，那么“x ∈M 或x ∈P ”是“x ∈P ∩M ”的____________条件．解析 条件p ：x ∈M 或x ∈P ；结论q ：x ∈P ∩M .若x ∈M ，则x 不一定属于P ，即x 不一定属于P ∩M ，所以pD /⇒q ； 若x ∈P ∩M ，则x ∈M 且x ∈P ，所以q ⇒p .综上知，“x ∈M 或x ∈P ”是“x ∈P ∩M ”的必要不充分条件． 答案 必要不充分 2．利用传递性充分、必要条件在推导的过程当中具有传递性，即若p ⇒q ，q ⇒r ，则p ⇒r .例2 如果A 是B 的必要不充分条件，B 是C 的充要条件，D 是C 的充分不必要条件，那么A 是D 的____________条件．解析 依题意，有A ⇐B ⇔C ⇐D 且AD ⇒/B ⇔CD ⇒/D ，由命题的传递性可知D ⇒A ，但AD ⇒/D .于是A 是D 的必要不充分条件． 答案 必要不充分 3．利用集合运用集合思想来判断充分条件和必要条件是一种行之有效的方法．若p 以非空集合A 的形式出现，q 以非空集合B 的形式出现，则①若A ⊆B ，则p 是q 的充分条件；②若B ⊆A ，则p 是q 的必要条件；③若A B ，则p 是q 的充分不必要条件；④若B A ，则p 是q 的必要不充分条件；⑤若A ＝B ，则p 是q 的充要条件．例3 已知p ：x 2－8x －20≤0，q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0(m >0)，若p 是q 的充分不必要条件，则m 的取值范围是________．解析 设p 、q 分别对应集合P 、Q ，则P ＝{x |－2≤x ≤10}，Q ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }，由题意知，p ⇒q ，但qD ⇒/p .故P Q ，所以⎩⎪⎨⎪⎧1－m <－2，1＋m ≥10，m >0或⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≤－2，1＋m >10，m >0，解得m ≥9.即m 的取值范围是[9，＋∞)． 答案 [9，＋∞) 4．等价转化由于互为逆否命题的两个命题同真同假，所以当由p 推q 较困难时，可利用等价转化，先判断由非q 推非p ，从而得到p ⇒q .例4 已知p ：x ＋y ≠2，q ：x ，y 不都是1，则p 是q 的____________条件． 解析 因为p ：x ＋y ≠2，q ：x ≠1或y ≠1， 所以綈p ：x ＋y ＝2，綈q ：x ＝1且y ＝1. 因为綈pD ⇒/綈q ，但綈q ⇒綈p ， 所以綈q 是綈p 的充分不必要条件， 即p 是q 的充分不必要条件． 答案 充分不必要3 走出逻辑用语中的误区误区1 所有不等式、集合运算式都不是命题例1 判断下列语句是不是命题，若是命题，判断其真假． (1)x ＋2>0； (2)x 2＋2>0； (3)A ∩B ＝A ∪B ； (4)A ⊆A ∪B .错解 (1)、(2)、(3)、(4)都不是命题．剖析 (1)中含有未知数x ，且x 不定，所以x ＋2的值也不定，故无法判断x ＋2>0是否成立，不能判断其真假，故(1)不是命题；(2)x 虽为未知数，但x 2≥0，所以x 2＋2≥2，故可判断x 2＋2>0成立，故(2)为真命题． (3)若A ＝B ，则A ∩B ＝A ∪B ＝A ＝B ； 若A B ，则A ∩B ＝A A ∪B ＝B .由于A ，B 的关系未知，所以不能判断其真假，故(3)不是命题．(4)A为A∪B的子集，故A⊆A∪B成立，故(4)为真命题．正解(2)、(4)是命题，且都为真命题．误区2 原命题为真，其否命题必为假例2 判断下列命题的否命题的真假：(1)若a＝0，则ab＝0；(2)若a2>b2，则a>b.错解(1)因为原命题为真命题，故其否命题是假命题；(2)因为原命题为假命题，故其否命题为真命题．剖析否命题的真假与原命题的真假没有关系，否命题的真假不能根据原命题的真假来判断，应先写出命题的否命题，再判断．正解(1)否命题：若a≠0，则ab≠0，是假命题；(2)否命题：若a2≤b2，则a≤b，是假命题．误区3 搞不清谁是谁的条件例3 使不等式x－3>0成立的一个充分不必要条件是( )A．x>3 B．x>4C．x>2 D．x∈{1,2,3}错解由不等式x－3>0成立，得x>3，显然x>3⇒x>2，又x>2D⇒/x>3，因此选C.剖析若p的一个充分不必要条件是q，则q⇒p，pD⇒/q.本题要求使不等式x－3>0成立的一个充分不必要条件，又x>4⇒x－3>0，而x－3>0D⇒/x>4，所以使不等式x－3>0成立的一个充分不必要条件为x>4.正解 B误区4 考虑问题不周例4 如果a，b，c∈R，那么“b2>4ac”是“方程ax2＋bx＋c＝0有两个不等实根”的( ) A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件错解判别式Δ＝b2－4ac>0，即方程ax2＋bx＋c＝0有两个不等实根；若方程ax2＋bx＋c ＝0有两个不等实根，则判别式Δ＝b2－4ac>0，即b2>4ac.综上可知“b2>4ac”是“方程ax2＋bx＋c＝0有两个不等实根”的充要条件，故选C.剖析判别式Δ＝b2－4ac只适用于一元二次方程的实数根存在情况的判断．对于方程ax2＋bx＋c＝0，当a＝0时，原方程为一次方程bx＋c＝0(b≠0)，一次方程不存在判别式，所以当b2>4ac时不能推出方程ax2＋bx＋c＝0有两个不等实根；若方程ax2＋bx＋c＝0有两个不等实根，则它的判别式Δ＝b2－4ac>0，即b2>4ac.由上可知，“b2>4ac”是“方程ax2＋bx＋c＝0有两个不等实根”的必要不充分条件．正解 B误区5 用“且”“或”联结命题时只联结条件或结论例5 (1)已知p：方程(x－11)(x－2)＝0的根是x＝11；q：方程(x－11)(x－2)＝0的根是x ＝2，试写出“p∨q”；(2)p：四条边相等的四边形是正方形；q：四个角相等的四边形是正方形，试写出“p∧q”．错解(1)p∨q：方程(x－11)(x－2)＝0的根是x＝11或x＝2.(2)p∧q：四条边相等且四个角相等的四边形是正方形．剖析(1)(2)两题中p，q都是假命题，所以“p∨q”，“p∧q”也都应是假命题．而上述解答中写出的两命题却都是真命题．错误原因：(1)只联结了两个命题的结论；(2)只联结了两个命题的条件．正解(1)p∨q：方程(x－11)(x－2)＝0的根是x＝11或方程(x－11)(x－2)＝0的根是x＝2.(2)p∧q：四条边相等的四边形是正方形且四个角相等的四边形是正方形．误区6 不能正确否定结论例6 p：方程x2－5x＋6＝0有两个相等的实数根，试写出“綈p”．错解綈p：方程x2－5x＋6＝0有两个不相等的实数根．剖析命题p的结论：“有两个相等的实数根”，所以“綈p”应否定“有”，而不能否定“相等”．正解綈p：方程x2－5x＋6＝0没有两个相等的实数根．误区7 对含有一个量词的命题否定不完全例7 已知命题p：存在一个实数x0，使得x20－x0－2<0，写出綈p.错解一綈p：存在一个实数x0，使得x20－x0－2≥0.错解二綈p：对任意的实数x，都有x2－x－2<0.剖析该命题是存在性命题，其否定是全称命题，但错解一中得到的綈p仍是存在性命题，显然只对结论进行了否定，而没有对存在量词进行否定；错解二中只对存在量词进行了否定，而没有对结论进行否定．正解綈p：对任意的实数x，都有x2－x－2≥0.误区8 忽略了隐含的量词例8 写出下列命题的否定：(1)不相交的两条直线是平行直线；(2)奇函数的图象关于y轴对称．错解(1)不相交的两条直线不是平行直线；(2)奇函数的图象不关于y 轴对称．剖析 以上错误解答在于没有看出这两个命题都是全称命题．对于一些量词不明显或不含有量词，但其实质只是在文字叙述上省略了某些量词的命题，要特别引起注意． 正解 (1)存在不相交的两条直线不是平行直线； (2)存在一个奇函数的图象不关于y 轴对称.4 解“逻辑”问题需强化的三意识1．转化意识由于互为逆否的两个命题同真假，因此，当原命题的真假不易判断或证明原命题较困难时，可以转化为逆否命题的真假来判断或证明． 例1 证明：若a 2－b 2＋2a －4b －3≠0，则a －b ≠1.分析 本题直接证明原命题是真命题，显然不太容易，可考虑转化为证明它的逆否命题是真命题．证明 命题“若a 2－b 2＋2a －4b －3≠0，则a －b ≠1”的逆否命题是“若a －b ＝1，则a 2－b2＋2a －4b －3＝0”．由a －b ＝1得a 2－b 2＋2a －4b －3＝(a ＋b )(a －b )＋2(a －b )－2b －3＝a －b －1＝0.∵原命题的逆否命题是真命题，∴原命题也是真命题．故若a 2－b 2＋2a －4b －3≠0，则a －b ≠1.例2 已知p ：x 2－8x －20>0，q ：x 2－2x ＋1－a 2>0，若p 是q 的充分不必要条件，求正实数a 的取值范围．分析 将充分、必要条件转化为集合之间的关系，进而转化为集合运算问题． 解 解不等式x 2－8x －20>0， 得p ：A ＝{x |x >10或x <－2}； 解不等式x 2－2x ＋1－a 2>0，得q ：B ＝{x |x >1＋a 或x <1－a ，a >0}． 依题意p ⇒q ，但qD ⇒/p ，说明A B .于是有⎩⎪⎨⎪⎧a >01＋a ≤101－a >－2或⎩⎪⎨⎪⎧a >01＋a <101－a ≥－2，解得0<a ≤3.所以正实数a 的取值范围是(0,3]． 2．简化意识判断命题真假的关键：一是识别命题的构成形式；二是分别将各命题简化，对等价的简化命题进行判断．例3 已知命题p：函数y＝log0.5(x2＋2x＋a)的值域为R，命题q：函数y＝－(5－2a)x是R 上的减函数．若p或q为真命题，p且q为假命题，则实数a的取值范围是______________．分析先将命题p，q等价转化，再根据题意构建关于a的关系式，从而得到a的取值范围．解析函数y＝log0.5(x2＋2x＋a)的值域为R，即y＝x2＋2x＋a的值域是(0，＋∞)，即在方程x2＋2x＋a＝0中，Δ＝4－4a≥0⇔a≤1，即p真⇔a≤1；函数y＝－(5－2a)x是减函数⇔5－2a>1⇔a<2，即q真⇔a<2.由p或q为真命题，p且q为假命题，知命题p，q中必有一真一假．若p真q假，则无解；若p假q真，则1<a<2.故满足题意的实数a的取值范围是(1,2)．答案(1,2)点评若命题“p或q”“p且q”中含有参数，求解时，可以先等价转化命题p，q，直至求出这两个命题为真时参数的取值范围，再依据“p或q”“p且q”的真假情况确定参数的取值范围．3．反例意识在“逻辑”中，经常要对一个命题的真假(尤其是假)作出判断，若直接从正面判断一个命题是假命题不易进行，这时可以通过举出恰当的反例来说明，这是一个简单有效的办法．例4 设A，B为两个集合，则下列四个命题中真命题的序号是________．①A⊈B⇔对任意x∈A，都有x∉B；②A⊈B⇔A∩B＝∅；③A⊈B⇔B⊈A；④A⊈B⇔存在x∈A，使得x∉B.分析画出表示A B的Venn图进行判断．解析画出Venn图，如图1所示，则A B⇔存在x∈A，使得x∈B，故①②是假命题，④是真命题．A B⇒B A不成立的反例如图2所示．同理可得B A⇒A B不成立．故③是假命题．综上知，真命题的序号是④.答案④。
高中数学 第一章 常用逻辑用语章末高效整合课件 新人教A版选修11
• 特别提醒：充要条件的证明既要证明充分性，也要证明必要 性，二者缺一不可．
下列各题中，p 是 q 的什么条件？ (1)在△ABC 中，p：∠A≠30°，q：sin A≠12； (2)p：x＋y≠－2，q：x，y 不都是－1.
• 这是高考考查的重点，对全称命题和特称命题的考查主要以 考查它们的否定为主，多以客观题为主，全称命题的否定是 特称命题，特称命题的否定是全称命题．
• 特别提醒：对含有一个量词的命题进行否定时，既要改变量 词，也要否定结论．
•
已知命题p：∃x∈R，不等式x2＋2ax＋4≤0是假命题，
命题q：函数f(x)＝－(7－3a)x是减函数，若p∧q为假，p∨q
解析： 由题知：x0＝－2ba为函数 f(x)图象的对称轴方程， 所以 f(x0)为函数的最小值，即对所有的实数 x，都有 f(x)≥f(x0)， 因此对任意 x∈R，f(x)≤f(x0)是错误的，故选 C.
答案： C
• 4．给出命题：“已知a，b，c，d是实数，若a≠b且 c≠d，则a ＋c≠b＋d.”对原命题、逆命题、否命题、逆否命题而言， 其中的真命题有( )
• (1)“π是无理数”，及其逆命题；
• (2)“若一个整数的末位是0，则它可以被5整除”及其逆命题 和否命题；
• (3)“若实数a，b不都为0，则a2＋b2≠0”；
• (4)命题“任意x∈(0，＋∞)，有x<4且x2＋5x－24＝0”的否 定．
• [思维点击] 借助原命题与其逆否命题真假性相同这一结论 可以帮助判断有些难以判断的原命题的真假．同样，借助 “否命题与逆命题”的真假性相同只需判断其中一个较易确 定真假的命题，则可得到另一个命题的真假．要注意区别命 题的否定与否命题这两个不同的概念．
高中数学 第一章 常用逻辑用语学案 新人教B版选修11
第一章常用逻辑用语知识建构综合应用专题一 逻辑联结词(且、或、非)应用 命题p ：2∈{2,3,4}；q ：{矩形}∩{菱形}＝{正方形}．写出命题“p ∨q ”，“p ∧q ”，“ p ”，并判断其真假．提示：根据“且”、“或”、“非”命题的定义写出命题；先判断每个命题的真假，然后利用真值表判断由“且”、“或”、“非”联结成的新命题的真假．专题二 充分、必要条件的判定及其应用判断一个命题是另一个命题的什么条件一般用定义法，即分别看“p ⇒q ”与“q ⇒p ”是否成立，在判断时，常从集合的角度理解，小范围可以推出大范围，大范围不能推出小范围．应用1 指出下列各组命题中，p 是q 的什么条件？(1)p ：a ＋b ＝2，q ：直线x ＋y ＝0与圆(x －a )2＋(y －b )2＝2相切；(2)设l ，m 均为直线，α为平面，其中l 不在α内，m ⊆α，p ：l ∥α，q ：l ∥m . 提示：(1)先明确直线与圆相切的几何条件，圆心到直线的距离d ＝半径r ⇔直线与圆相切；然后利用充分、必要条件的定义判定；(2)利用直线与平面平行的判定定理及充分、必要条件的定义进行判定．应用2已知命题p ：⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－x －13≤2，q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0(m ＞0)，且p 是q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．提示：化简命题p ，q 中x 的取值范围；实行等价转化：p 是q 的必要不充分条件⇔p 是q 的充分不必要条件，然后列出关于m 的不等式组求解．专题三 四种命题及其关系1．原命题与其逆否命题等价，原命题的逆命题与原命题的否命题等价，即互为逆否的两个命题等价(同真或同假)．2．互逆或互否的两个命题不等价．应用 命题：已知a ，b 为实数，若x 2＋ax ＋b ≤0有非空解集，则a 2－4b ≥0，写出该命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断这些命题的真假．提示：先根据定义写出原命题的逆命题、否命题、逆否命题，再利用一元二次不等式的解集与判别式之间的关系判断真假．真题放送1(2011·福建高考，文3)若a ∈R ，则“a ＝1”是“|a |＝1”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件2(2011·四川高考，文5)“x ＝3”是“x 2＝9”的( )A ．充分而不必要的条件B ．必要而不充分的条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要的条件3(2011·浙江高考，文6)若a ，b 为实数，则“0＜ab ＜1”是“b ＜1a ”的( ) A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4(2011·山东高考，文5)已知a ，b ，c ∈R ，命题“若a ＋b ＋c ＝3，则a 2＋b 2＋c 2≥3”的否命题是( )A ．若a ＋b ＋c ≠3，则a 2＋b 2＋c 2＜3B ．若a ＋b ＋c ＝3，则a 2＋b 2＋c 2＜3C ．若a ＋b ＋c ≠3，则a 2＋b 2＋c 2≥3D ．若a 2＋b 2＋c 2≥3，则a ＋b ＋c ＝3答案：综合应用专题一应用：解：p ∨q ：2∈{2,3,4}∨{矩形}∩{菱形}＝{正方形}；p ∧q ：2∈{2,3,4}∧{矩形}∩{菱形}＝{正方形}；p ：2∉{2,3,4}，由已知得命题p ，q 都是真命题，故p ∨q ，p ∧q 都是真命题，p 是假命题． 专题二应用1：解：(1)若a ＋b ＝2，圆心(a ，b )到直线x ＋y ＝0的距离d ＝|a ＋b |2＝2＝r ，∴直线与圆相切；反之，若直线与圆相切，则|a ＋b |＝2，∴a ＋b ＝2或a ＋b ＝－2，故p 是q 的充分不必要条件．(2)∵l ∥αl ∥m ，但l ∥m ⇒l ∥α，∴p 是q 的必要不充分条件．应用2：解：命题p 真时，由⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－x －13≤2得－2≤x ≤10， 命题q 真时，由x 2－2x ＋1－m 2≤0(m ＞0)得1－m ≤x ≤1＋m (m ＞0)，因为p 是q 的必要不充分条件，所以p 是q 的充分不必要条件，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 1－m ≤－2，1＋m ≥10，两等号不能同时成立，解得m ≥9，所以m 的取值范围为[9，＋∞)．专题三应用：解：逆命题：已知a ，b 为实数，若a 2－4b ≥0，则x 2＋ax ＋b ≤0有非空解集．否命题：已知a ，b 为实数，若x 2＋ax ＋b ≤0的解集为空集，则a 2－4b ＜0.逆否命题：已知a ，b 为实数，若a 2－4b ＜0，则x 2＋ax ＋b ≤0的解集为空集．原命题、逆命题、否命题、逆否命题均为真命题．真题放送1．A 由|a |＝1，得a ＝±1，∴|a |＝1a ＝1，而a ＝1⇒|a |＝1，即a ＝1是|a |＝1的充分不必要条件．2．A 由x ＝3，则有x 2＝9；但反之由x 2＝9，可知x ＝±3，故反之不成立，综上可知答案为A.3．D ∵0＜ab ＜1，∴ab 同号．当a ，b 同正时，由0＜ab ＜1易得b ＜1a ； 当a ，b 同负时，由0＜ab ＜1易得b ＞1a .因此0＜ab ＜1D ⇒/b ＜1a ；反过来，由b ＜1a 得，b －1a＜0， 即ab －1a ＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，ab <1或⎩⎪⎨⎪⎧ a <0，ab >1.因此b ＜1a 0＜ab ＜1.综上知，“0＜ab ＜1”是“b ＜1a”的既不充分也不必要条件． 4．A 根据一个命题的否命题的构成，即将条件和结论均否定，因此所求命题的否命题是“若a ＋b ＋c ≠3，则a 2＋b 2＋c 2＜3”．。
最新人教B版选修11高中数学第一章《常用逻辑用语》章末复习课件ppt.ppt
语言形式等价转化为另一种数学语言形式，从而使复杂问题
简单化、具体化.
研一研·题型解法、解题更高效
跟踪训练 2 已知 p：1－x－3 1≤2，q：x2－2x＋1－m2≤0 (m>0)，且綈 p 是綈 q 的必要而不充分条件，求实数 m 的
取值范围.
解 方法一 由 q：x2－2x＋1－m2≤0，
题 q：关于 x 的函数 y＝2x2＋ax＋4 在[3，＋∞)上是增函
数.若“p 或 q”是真命题，“p 且 q”是假命题，求实数 a
本
讲 的取值范围.
栏 目
解 p 真：Δ＝a2－4×4≥0，∴a≤－4 或 a≥4.
开 关
q 真：－a4≤3，∴a≥－12.
由“p 或 q”是真命题，“p 且 q”是假命题得：p、q 两命题
本 讲 栏 目 开 关
画一画·知识网络、结构更完善
本 讲 栏 目 开 关
研一研·题型解法、解题更高效
题型一 等价转化思想
问题 当一个命题的真假不易判断或证明较困难时，怎么
本 讲
办？并说明理由.
栏 目
答案 可以转化为它的逆否命题来判断或证明.互为逆否的
开 两个命题同真假.
关
研一研·题型解法、解题更高效
讲 解 (1)该命题的逆否命题：“若一个四边形是等腰梯形，则
栏
目 它的对角线相等”，它为真命题，故原命题为真.
开
关 (2)该命题的逆否命题：“若 x∈A 或 x∈B，则 x∈A∩B”，
它为假命题，故原命题为假.
(3)该命题的逆否命题：“若|x|＝|y|，则 x＝y 且 x＝－y”，
它为假命题，故原命题为假.
目 开
∴p：P＝{x|－2≤x≤10}.
福建省晋江首峰中学选修1-1《常用逻辑用语》学案
一、知识点回顾1、命题： 叫做命题， 叫做真命题， 叫做假命题。
2、四种命题：（1）原命题：若p ，则q 。
逆命题： 。
逆命题： 。
逆否命题： 。
（2）原命题为真，则 命题为真；逆命题为真，则 命题为真。
3、充分条件与必要条件 （1）若p q ⇒，则命题p 为命题q 的 条件；（2）若p q ⇐，则命题p 为命题q 的 条件；（3）若p q ⇔，则命题p 为命题q 的 条件。
4、简单的逻辑联结词：且（）、或（）、非（）（1）若p q ∧为真，则 ；若p q ∧为假，则 。
（2）若p q ∨为真，则 ；若p q ∨为假，则 。
5、全称量词与特称量词：（1）全称量词与全称命题： 叫做全称量词，记作 ， 叫做全称命题。
（2）特称量词与存在命题： 叫做特称量词，记作 ， 叫做存在命题。
（3）含有一个量词的命题的否定：（1）全称命题的否定是 。
步骤如下：（1） ；（2） 。
（2）存在命题的否定是 。
步骤如下：（1） ；（2） 。
二、测试题1、写出下列命题的“若p ，则q”形式，并写出它的逆命题、否命题与逆否命题，并判断它们的真假。
(1)全等三角形的对应边相等； (2)四条边相等的四边形是正方形。
2、命题“a b ，都是偶数，则a b +是偶数”的逆否命题是 。
3、命题“,11a b a b >->-若则”的否命题是A 、,11a b a b >-≤-若则B 、,11a b a b >-<-若则C 、,11a b a b ≤-≤-若则D 、,11a b a b <-<-若则4、“若x 2＝y 2，则x ＝－y”的逆命题是___命题，否命题是___命题。
( “真”或“假”)5、下列说法正确的是A 、一个命题的逆命题为真，则它的否命题为假B 、一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题为真C 、一个命题的逆否命题为真，则它的否命题为真D 、一个命题的否命题为真，则它的逆命题为真6、一个命题与他们的逆命题、否命题、逆否命题这4个命题中A 、真命题与假命题的个数相同B 、真命题的个数一定是奇数C 、真命题的个数可能是奇数，也可能是偶数D 、真命题的个数一定是偶数7、已知命题:33p …；:34q >，则下列选项中正确的是A 、p 或q 为真，p 且q 为真，非p 为假；B 、p 或q 为真，p 且q 为假，非p 为真；C 、p 或q 为假，p 且q 为假，非p 为假；D 、p 或q 为真，p 且q 为假，非p 为假8、如果命题“p 或q ”与命题“非p ”都是真命题，那么q 为 命题。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
一、知识点回顾
1、命题： 叫做命题， 叫做真命题，
叫做假命题。
2、四种命题：
（1）原命题：若p ，则q 。
逆命题： 。
逆命题： 。
逆否命题： 。
（2）原命题为真，则 命题为真；逆命题为真，则 命题为真。
3、充分条件与必要条件
（1）若p q ⇒，则命题p 为命题q 的 条件；
（2）若p q ⇐，则命题p 为命题q 的 条件；
（3）若p q ⇔，则命题p 为命题q 的 条件。
4∧∨⌝p q p q ∧ p q ∨ p
⌝
真 真 真 假
假 真
假 假
（1）若p q ∧为真，则 ；
若p q ∧为假，则 。
（2）若p q ∨为真，则 ；
原命题若p 则q 否
命题若┐p 则┐q 逆命题若q 则p
逆否
命题若┐q 则┐p
互为逆
否
互逆否
互为逆否
互互逆否互
若p q ∨为假，则 。
5、全称量词与特称量词：
（1）全称量词与全称命题：
叫做全称量词，记作 ， 叫做全称命题。
（2）特称量词与存在命题：
叫做特称量词，记作 ， 叫做存在命题。
（3）含有一个量词的命题的否定：
（1）全称命题的否定是 。
步骤如下：（1） ；
（2） 。
（2）存在命题的否定是 。
步骤如下：（1） ；
（2） 。
二、测试题
1、写出下列命题的“若p ，则q”形式，并写出它的逆命题、否命题与逆否命题，并判断它们的真假。
(1)全等三角形的对应边相等； (2)四条边相等的四边形是正方形。
2、命题“a b ，都是偶数，则a b +是偶数”的逆否命题是 。
3、命题“,11a b a b >->-若则”的否命题是
A 、,11a b a b >-≤-若则
B 、,11a b a b >-<-若则
C 、,11a b a b ≤-≤-若则
D 、,11a b a b <-<-若则
4、“若x2＝y2，则x ＝－y”的逆命题是___命题，否命题是___命题。
( “真”或“假”)
5、下列说法正确的是
A 、一个命题的逆命题为真，则它的否命题为假
B 、一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题为真
C 、一个命题的逆否命题为真，则它的否命题为真
D 、一个命题的否命题为真，则它的逆命题为真
6、一个命题与他们的逆命题、否命题、逆否命题这4个命题中
A 、真命题与假命题的个数相同
B 、真命题的个数一定是奇数
C 、真命题的个数可能是奇数，也可能是偶数
D 、真命题的个数一定是偶数
7、已知命题:33p ；:34q ，则下列选项中正确的是
A 、p 或q 为真，p 且q 为真，非p 为假；
B 、p 或q 为真，p 且q 为假，非p 为真；
C 、p 或q 为假，p 且q 为假，非p 为假；
D 、p 或q 为真，p 且q 为假，非p 为假
8、如果命题“p 或q ”与命题“非p ”都是真命题，那么q 为 命题。
9、设原命题“若p 则q ”真而逆命题假，则p 是q 的
Ａ、充分不必要条件 Ｂ、必要不充分条件
Ｃ、充要条件 Ｄ、既不充分又不必要条件
10、“a ≠1或b ≠2”是“a ＋b ≠3”的
A 、充分不必要条件
B 、必要不充分条件
C 、充要条件
D 、既不充分也不必要
11、若A ⌝是B 的充分不必要条件，则A 是B ⌝的
Ａ、充分不必要条件 Ｂ、必要不充分条件
Ｃ、充要条件 Ｄ．既不充分也不必要条件
12、设甲是乙的充分不必要条件，乙是丙的充要条件，丁是丙的必要非充分条件，则甲是丁的（ ）
A 、充分不必要条件
B 、必要不充分条件
C 、充要条件
D 、既不充分也不必要
13、如果A 是B 的必要不充分条件，B 是C 的充分必要条件，D 是C 的充分不必要条件，那么A 是D 的（ ）
Ａ、必要不充分条件
Ｂ、充分不必要条件 Ｃ、充要条件 Ｄ、既不充分也不必要条件
14、已知a ∈R ，则“22a a >”是“2a >”的（ ）.
A 、充分不必要条件
B 、必要不充分条件
C 、充要条件
D 、既不充分也不必要条件
15、“5>x ”的一个必要不充分条件是（ ）
A 、6>x
B 、3>x
C 、6<x
D 、10>x
16、设x ∈R ，则2x >的一个必要不充分条件是（ ）
Ａ、1x > Ｂ、1x < Ｃ、3x > Ｄ、3x <
17、命题p q ∧是真命题是命题p q ∨是真命题的 条件。
18、命题:p x ∃∈R ，2250x x ++<是 （填“全称命题”或“特称命题”），它是
命题（填“真”或“假”），它的否定命题:p ⌝ ，它是 命题。
（填“真”或“假”）。
19、写出下列命题的否定，并判断其真假：
（1）任何实数x 都是方程5x-12＝0的根。
（2）2,10x R x x ∃∈++≤使得。
20、命题“0x R ∃∈，3210x x -+>”的否定是
A 、x R ∀∈，3210x x -+≤
B 、0x R ∃∈，3210x x -+<
C 、0x R ∃∈，3210x x -+≤
D 、不存在x R ∈，3210
x x -+> 21、命题“,12x R x x ∃∈≤-≥或”的否定是 。