计算机图形学-第三章-变换及裁剪
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第三章 变换与裁剪
内容
二维变换 三维变换 裁剪
内容
二维变换
齐次坐标表示 基本变换 其它变换
三维变换 裁剪
二维变换
通过二维变换和裁剪，将定义在二维世界 坐标系中的物体变换到以像素为单位的屏 幕坐标系中，实现二维物体的光栅显示
矢量图形、卡通动画
二维图形中常见的变换
齐次坐标表示： 基本变换：平移、旋转、放缩 其它变换：剪切、对称、复合
齐次坐标
所谓齐次坐标表示法就是由n+1维向量表示一个
n 维 向 量 。 如 n 维 向 量 (P1,P2, … ,Pn) 表 示 为
（hP1,hP2, hPn,h），其中h称为哑坐标。
齐次坐标
1、h可以取不同的值，所以同一点的齐次坐标
不是唯一的。如普通坐标系下的点（2,3）变换 为齐次坐标可以是(1,1.5,0.5)(4,6,2)(6,9,3) 等等。
y
0
1
0
y
1 0 0 1 1
关于坐标原点的对称变换
x 1 0 0 x
y
0
1
0
y
1 0 0 1 1
关于X轴的对称变换
x 1 0 0 x
y
0
1
0
y
1 0 0 1 1
关于Y轴的对称变换
对称变换
Y (x,y) O
y=x X
(y,x)
x 0 1 0 x
Y (x',y')
(x,y)
O
X
x' 1 y'0
0 1
xyttxy
采用齐次坐标: (x, y) (x, y, 1)
x 1 0 tx x
y
0
1
t
y
y
1 0 0 1 1
二维旋转
将点P(x,y)绕坐标原点按逆时针旋转角
Y
x cos sin 0x
(x',y')
y
sin
例:对一线段先放大2倍(即Sx=Sy=2)，再平移Tx=10,Ty=0。
y (x,y)
y (x´,y´)
y
(x´´,y´´)
x
x
Tx
x
解:设点(x,y)为线段上的任意一点,点(x´,y´)为点(x,y)放大后 的坐标,点(x´´,y´´)为点(x´,y´)平移后的坐标,则: [x´ y´ 1]= [x y 1]S2(2,2) [x´´ y´´ 1]= [x´ y´ 1]T2(10,0) [x´´ y´´ 1]= [x´ y´ 1]T2(10,0)=[x y 1]S2(2,2)T2(10,0)
令：M=S2(2,2)T2(10,0) ，则M即为组合变换
例3：旋转变换
例：对参考点F(xf,yf)做旋转变换。
解：1、把旋转中 心F(xf,yf)平移至坐 标原点，即坐标系 平 移 （ -xf,-yf ） ， 则
2、进行旋转变换
1 0 0
x1 y1 1 x y1 0 1 0x y1 Txf, yf
x 1 tg 0 x
y
0
1Байду номын сангаас
0
y
1 0 0 1 1
X
(1) 变换过程中, y坐标保持不变,而x坐标值发生线性变化;
(2) 平行于X轴的线段变换后仍平行于X轴，平行于Y轴的线段变换
后错切成与Y轴成固定角的直线
对称变换
Y
(-x,y) O
(-x,-y)
(x,y) X
(x,-y)
x 1 0 0 x
y
1
0
0
y
1 0 0 1 1
关于直线y=x的对称变换
Y (x,y)
O (-y,-x)
X y=-x
x 0 1 0 x
y
1
0
0
y
1 0 0 1 1
关于直线y=-x的对称变换
复合二维变换
平移、旋转和放缩矩阵通常记为T、R和S 二维变换具有结合性：(AB)C=A(BC) 二维变换不具有交换性
经第二次平移变换后的坐标为P*(x* y* 1)
1 0 0
P*x* y* 1x' y' 1 0 1 0
Tx2 Ty2 1
1 0 0 1 0 0
x y 1 0 1 0 0 1 0 x y 1Tt1Tt2
Tx1 Ty1 1Tx2 Ty2 1
∴变换矩阵为Tt=Tt1•Tt2
例2：多种复合组合
cos
0 y
1 0
0 11
(x,y) X
二维放缩
对于进行放缩的变换公式
Y
(x,y) (x',y')
O
X
x sx 0 0 x
y
0
sy
0
y
1 0 0 1 1
其中sx和sy分别为x和y分量的放缩比例
剪切变换(Shear)
沿X-轴方向的剪切变换
Y (x,y)
(x',y')
2、普通坐标与齐次坐标的关系为“一对多”由
普通坐标h→齐次坐标,由齐次坐标÷h→普通
坐标
齐次坐标与普通坐标之间是一一对应关系
x=X/ y=Y/
3、当h=1时产生的齐次坐标称为“规格化坐 标”，因为前n个坐标就是普通坐标系下的n维
坐标。
齐次坐标
(x,y)点对应的齐次坐标为 (xh,yh,h)
xhh,x yhh,h y0
3. 齐次坐标变换矩阵形式把直线变换成直线段，平面变 换成平面，多边形变换成多边形，多面体变换成多面 体。(图形拓扑关系保持不变）
4. 变换具有统一表示形式的优点 便于变换合成,便于硬件实现
齐次坐标表示点的优势
防止浮点数溢出 矩阵变换的统一表示
二维平移
二维点P(x,y)移动(tx,ty)后，得到点P'(x', y')
刚体 变换
仿射 变换
例1：复合平移
求点P(x,y)经第一次平移变换（Tx1,Ty1），第二次平 移变换（Tx2,Ty2）后的坐标P*（x*, y*）
解：设点P(x,y,1)经第一次平移变换后的坐标为P(x
y 1)，则
1 0 0
P'x' y' 1x y 10 1 0x y 1Tt1
Tx1 Ty1 1
(x,y)点对应的齐次坐标为三维空间的一条 直线
xh yh
hx hy
z h h
齐次坐标的作用
1. 将各种变换用阶数统一的矩阵来表示。提供了用矩阵 运算把二维、三维甚至高维空间上的一个点从一个坐 标系变换到另一坐标系的有效方法。
2. 便于表示无穷远点。
例如：（x h, y h, h)，令h等于0
先旋转，再(非等比例)放缩
先(非等比例)放缩，再旋转
复合二维变换
二维变换不具有交换性
先平移，再旋转
先旋转，再平移
复合二维变换
上述变换的组合可以得到特殊的二维变换
刚体变换
可以分解为：平移和旋转的组合 物体的形状没有变化，位置和方位有变化
仿射变换
可以分解为：平移、旋转和放缩的组合 保持点的共线性、长度的比例＝>平行线
内容
二维变换 三维变换 裁剪
内容
二维变换
齐次坐标表示 基本变换 其它变换
三维变换 裁剪
二维变换
通过二维变换和裁剪，将定义在二维世界 坐标系中的物体变换到以像素为单位的屏 幕坐标系中，实现二维物体的光栅显示
矢量图形、卡通动画
二维图形中常见的变换
齐次坐标表示： 基本变换：平移、旋转、放缩 其它变换：剪切、对称、复合
齐次坐标
所谓齐次坐标表示法就是由n+1维向量表示一个
n 维 向 量 。 如 n 维 向 量 (P1,P2, … ,Pn) 表 示 为
（hP1,hP2, hPn,h），其中h称为哑坐标。
齐次坐标
1、h可以取不同的值，所以同一点的齐次坐标
不是唯一的。如普通坐标系下的点（2,3）变换 为齐次坐标可以是(1,1.5,0.5)(4,6,2)(6,9,3) 等等。
y
0
1
0
y
1 0 0 1 1
关于坐标原点的对称变换
x 1 0 0 x
y
0
1
0
y
1 0 0 1 1
关于X轴的对称变换
x 1 0 0 x
y
0
1
0
y
1 0 0 1 1
关于Y轴的对称变换
对称变换
Y (x,y) O
y=x X
(y,x)
x 0 1 0 x
Y (x',y')
(x,y)
O
X
x' 1 y'0
0 1
xyttxy
采用齐次坐标: (x, y) (x, y, 1)
x 1 0 tx x
y
0
1
t
y
y
1 0 0 1 1
二维旋转
将点P(x,y)绕坐标原点按逆时针旋转角
Y
x cos sin 0x
(x',y')
y
sin
例:对一线段先放大2倍(即Sx=Sy=2)，再平移Tx=10,Ty=0。
y (x,y)
y (x´,y´)
y
(x´´,y´´)
x
x
Tx
x
解:设点(x,y)为线段上的任意一点,点(x´,y´)为点(x,y)放大后 的坐标,点(x´´,y´´)为点(x´,y´)平移后的坐标,则: [x´ y´ 1]= [x y 1]S2(2,2) [x´´ y´´ 1]= [x´ y´ 1]T2(10,0) [x´´ y´´ 1]= [x´ y´ 1]T2(10,0)=[x y 1]S2(2,2)T2(10,0)
令：M=S2(2,2)T2(10,0) ，则M即为组合变换
例3：旋转变换
例：对参考点F(xf,yf)做旋转变换。
解：1、把旋转中 心F(xf,yf)平移至坐 标原点，即坐标系 平 移 （ -xf,-yf ） ， 则
2、进行旋转变换
1 0 0
x1 y1 1 x y1 0 1 0x y1 Txf, yf
x 1 tg 0 x
y
0
1Байду номын сангаас
0
y
1 0 0 1 1
X
(1) 变换过程中, y坐标保持不变,而x坐标值发生线性变化;
(2) 平行于X轴的线段变换后仍平行于X轴，平行于Y轴的线段变换
后错切成与Y轴成固定角的直线
对称变换
Y
(-x,y) O
(-x,-y)
(x,y) X
(x,-y)
x 1 0 0 x
y
1
0
0
y
1 0 0 1 1
关于直线y=x的对称变换
Y (x,y)
O (-y,-x)
X y=-x
x 0 1 0 x
y
1
0
0
y
1 0 0 1 1
关于直线y=-x的对称变换
复合二维变换
平移、旋转和放缩矩阵通常记为T、R和S 二维变换具有结合性：(AB)C=A(BC) 二维变换不具有交换性
经第二次平移变换后的坐标为P*(x* y* 1)
1 0 0
P*x* y* 1x' y' 1 0 1 0
Tx2 Ty2 1
1 0 0 1 0 0
x y 1 0 1 0 0 1 0 x y 1Tt1Tt2
Tx1 Ty1 1Tx2 Ty2 1
∴变换矩阵为Tt=Tt1•Tt2
例2：多种复合组合
cos
0 y
1 0
0 11
(x,y) X
二维放缩
对于进行放缩的变换公式
Y
(x,y) (x',y')
O
X
x sx 0 0 x
y
0
sy
0
y
1 0 0 1 1
其中sx和sy分别为x和y分量的放缩比例
剪切变换(Shear)
沿X-轴方向的剪切变换
Y (x,y)
(x',y')
2、普通坐标与齐次坐标的关系为“一对多”由
普通坐标h→齐次坐标,由齐次坐标÷h→普通
坐标
齐次坐标与普通坐标之间是一一对应关系
x=X/ y=Y/
3、当h=1时产生的齐次坐标称为“规格化坐 标”，因为前n个坐标就是普通坐标系下的n维
坐标。
齐次坐标
(x,y)点对应的齐次坐标为 (xh,yh,h)
xhh,x yhh,h y0
3. 齐次坐标变换矩阵形式把直线变换成直线段，平面变 换成平面，多边形变换成多边形，多面体变换成多面 体。(图形拓扑关系保持不变）
4. 变换具有统一表示形式的优点 便于变换合成,便于硬件实现
齐次坐标表示点的优势
防止浮点数溢出 矩阵变换的统一表示
二维平移
二维点P(x,y)移动(tx,ty)后，得到点P'(x', y')
刚体 变换
仿射 变换
例1：复合平移
求点P(x,y)经第一次平移变换（Tx1,Ty1），第二次平 移变换（Tx2,Ty2）后的坐标P*（x*, y*）
解：设点P(x,y,1)经第一次平移变换后的坐标为P(x
y 1)，则
1 0 0
P'x' y' 1x y 10 1 0x y 1Tt1
Tx1 Ty1 1
(x,y)点对应的齐次坐标为三维空间的一条 直线
xh yh
hx hy
z h h
齐次坐标的作用
1. 将各种变换用阶数统一的矩阵来表示。提供了用矩阵 运算把二维、三维甚至高维空间上的一个点从一个坐 标系变换到另一坐标系的有效方法。
2. 便于表示无穷远点。
例如：（x h, y h, h)，令h等于0
先旋转，再(非等比例)放缩
先(非等比例)放缩，再旋转
复合二维变换
二维变换不具有交换性
先平移，再旋转
先旋转，再平移
复合二维变换
上述变换的组合可以得到特殊的二维变换
刚体变换
可以分解为：平移和旋转的组合 物体的形状没有变化，位置和方位有变化
仿射变换
可以分解为：平移、旋转和放缩的组合 保持点的共线性、长度的比例＝>平行线