梁的强度与刚度

第八章梁的强度与刚度
第二十四讲梁的正应力截面的二次矩
第二十五讲弯曲正应力强度计算（一）
第二十六讲弯曲正应力强度计算（二）
第二十七讲弯曲切应力简介
第二十八讲梁的变形概述提高梁的强度和刚度
第二十四讲纯弯曲时梁的正应力常用截面的二次矩
目的要求：掌握弯曲梁正应力的计算和正应力分布规律。

教学重点：弯曲梁正应力的计算和正应力分布规律。

教学难点：平行移轴定理及其应用。

教学内容：
第八章平面弯曲梁的强度与刚度计算
§8-1 纯弯曲时梁的正应力
一、纯弯曲概念：
１、纯弯曲：平面弯曲中如果某梁段剪力为零，该梁段称为纯弯曲梁段。

２、剪切弯曲：平面弯曲中如果某梁段剪力不为零（存在剪力），该梁段称为剪切弯曲梁段。

二、纯弯曲时梁的正应力：
１、中性层和中性轴的概念：
中性层：纯弯曲时梁的纤维层有的变长，有的变短。

其中有一层既不伸长也不缩短，这一层称为中性层。

中性轴：中性层与横截面的交线称为中性轴。

２、纯弯曲时梁的正应力的分布规律：
以中性轴为分界线分为拉区和压区，正弯矩上压下拉，负弯矩下压上拉，正应力成线性规律分布，最大的正应力发生在上下边沿点。

３、纯弯曲时梁的正应力的计算公式：
（１）、任一点正应力的计算公式：
（２）、最大正应力的计算公式：
其中：M---截面上的弯矩；I Z---截面对中性轴(z轴)的惯性矩； y---所求应力的点到中性轴的距离。

说明：以上纯弯曲时梁的正应力的计算公式均适用于剪切弯曲。

§8-2 常用截面的二次矩平行移轴定理
一、常用截面的二次矩和弯曲截面系数：
１、矩形截面：
２、圆形截面和圆环形截面：
圆形截面
圆环形截面
其中：
３、型钢：
型钢的二次矩和弯曲截面系数可以查表。

二、组合截面的二次矩平行移轴定理
１、平行移轴定理：
截面对任一轴的二次矩等于它对平行于该轴的形心轴的二次矩，加上截面面积与两轴之间的距离平方的乘积。

I Z1=I Z+a2A
２、例题：
例1：试求图示T形截面对其形心轴的惯性矩。

解：1、求T形截面的形心座标yc
2、求截面对形心轴z轴的惯性矩
第二十五讲弯曲正应力强度计算（一）
目的要求：掌握塑性材料弯曲正应力强度计算。

教学重点：弯曲正应力强度条件的应用。

教学难点：弯曲正应力强度条件的理解。

教学内容：
§8-3 弯曲正应力强度计算
一、弯曲正应力强度条件：
１、对于塑性材料，一般截面对中性轴上下对称，最大拉、压应力相等，而塑性材料的抗拉、压强度又相等。

所以塑性材料的弯曲正应力强度条件为：
（1）、强度校核
（2）、截面设计
（3）、确定许可荷载
２、弯曲正应力强度计算的步为：
(１)、画梁的弯矩图，找出最大弯矩（危险截面）。

(２)、利用弯曲正应力强度条件求解。

二、例题：
例1：简支矩形截面木梁如图所示，L=5m,承受均布载荷q=3.6kN/m，木材顺纹许用应力［σ］＝10MPa，梁截面的高宽比h/b=2，试选择梁的截面尺寸。

解：画出梁的弯矩图如图，最大弯矩在梁中点。

由
得
矩形截面弯曲截面系数：
h=2b=0.238m
最后取h=240mm,b=120mm
例2：悬臂梁AB如图，型号为No.18号式字钢。

已知［σ］＝170MPa，L=1.2m 不计梁的自重，试求自由端集中力F的最大许可值［F］。

解：画出梁的恋矩图如图。

由M图知：M max=FL=1.2F
查No.18号工字钢型钢表得
Wz=185cm3
由
得
M max≤W z[σ]
1.2F≤185×10-6×170×106
[F]=26.2×103N=26.2kN
第二十六讲弯曲正应力强度计算（二）
目的要求：掌握脆性材料的弯曲正应力强度计算。

教学重点：脆性材料的弯曲正应力强度计算。

教学难点：脆性材料的正应力分布规律及弯曲正应力强度条件的建立。

教学内容：
一、脆性材料梁的弯曲正应力分析
1、脆性材料的弯曲梁其截面一般上下不对称，例如T字形截面梁（图）。

2、脆性材料的弯曲正应力强度计算中，脆性材料的抗拉强度和抗压强度不等，抗拉能力远小于抗压能力，弯曲正应力强度计算要分别早找出最大拉应力和最大压应力。

３、由于脆性材料的弯曲梁其截面一般上下不对称，上下边沿点到中性轴的距离不等，因此最大拉、压应力不一定发生在弯矩绝对值最大处，要全面竟进行分析。

三、例题：
例1：如图所示的矩形截面外伸梁，b=100mm，h=200mm，P1=10kN，P2=20kN，[σ]=10MPa，试校核此梁的强度。

解：1、作梁的弯矩图如图
（b）
由梁的弯矩图可得：
2、强度校核
σmax>[σ]
即：此梁的强度不够。

例2：T型截面铸铁梁如图，Iz=136×104mm4,y1=30mm,y2=50mm,铁铸的抗拉许用应力[σt]＝30MPa，抗压许用应力[σc]＝160MPa，F=2.5kN,q=2kN/m，试校核梁的强度。

解：（1）求出梁的支座反力为
F A=0.75kN,F B=3.75kN
（2）作梁的弯矩图如图（b）
（3）分别校核B、C截面
B截面
可见最大拉应力发生在C截的
下边缘。

以上校核知：梁的正
应力强度满足。

C截面
可见最大拉应力发生在C截的下边缘。

以上校核知：梁的正应力强度满足。

第二十七讲弯曲切应力简介
目的要求：掌握弯曲切应力的强度计算。

教学重点：最大弯曲切应力的计算。

教学难点：弯曲切应力公式的理解。

教学内容：
§8-4 弯曲切应力简介
一、弯曲切应力：
１、梁横截面上的剪力由
弯曲切应力组成。

２、梁横截面上的弯曲切
应力成二次抛物线规律分布，中
性
轴处最大，上下边沿点为零。

（如图）
三、最大弯曲切应力的计算：
１、矩形截面梁：最大弯曲切应力是平均应力的1、5倍
２、圆形截面梁：最大弯曲切应力是平均应力的三分之四
３、工字钢：最大弯曲切应力有两种算法
（１）、公式：
（２）、认为最大弯曲切应力近似等于腹板的平均切应力。

四、弯曲切应力的强度计算：
１、强度条件：
τmax≤[τ]
[τ]---梁所用材料的许用切应力
２、例题：
例１：如图所示简支梁，许用正应力[σ]=140MPa，许用切应力[τ]=80MPa，试选择工字钢型号。

解：
（１）由平衡方程求出支座反力
F A=6kN,F B=54kN
（２）画出剪力图弯矩图
（３）由正应力强度条件选择型号
查型钢表：选用No.12.6号工字钢。

W z=77.529cm3,h=126mm，δ=8.4mm, b=5mm
（４）切应力校核
故需重选。

重选No.14号工字钢，h=140mm,δ=9.1mm,b=5.5mm。

虽然大于许用应力，但不超过５％，设计规范允许。

故可选用No.14工字钢。

第二十八讲梁的变形概述提高梁的强度和刚
度的措施
目的要求：掌握叠加法计算梁的变形。

教学重点：叠加法计算梁的变形。

教学难点：提高梁的强度和刚度的措施的理解。

教学内容：
§8-5 梁的变形概述
概念：
１、挠度和转角：梁变形后杆件的轴线由直线变为一条曲线。

梁横截面的形心在铅垂方向的位移称为挠度。

挠度向上为正，向下为负。

梁横截面转动的角度称为转角，转角逆时针转动为正，顺时针转动为负。

２、挠曲线方程：梁各点的挠度若能表达成坐标的函数，其函数表达式称为挠曲线方程。

挠曲线方程ｗ＝ｆ(ｘ)
挠曲线方程对坐标的一阶导数等于转角方程。

§8-6 用叠加法计算梁的变形
一、叠加原理：在弹性范围内，多个载荷引起的某量值（例如挠度），等于每单个载荷引起的某量值（挠度）的叠加。

二、用叠加法计算梁的变形：
１、步骤：将梁分为各个简单载荷作用下的几个梁，简单载荷作用下梁的变形（挠度和转角）可查表得到。

然后再叠加。

２、例题：
例1：用叠加法求(a)图所示梁的最大挠度yc和最大转角θc。

解：图(a)可分解为(b)、（c）两种情况的叠加，分别查表得
三、梁的刚度条件：梁的刚度计算以挠度为主
梁的刚度条件：
ωmax≤[ω]
θmax≤[θ]
1、刚度校核
2、截面设计
3、确定许可荷载
在设计梁时，一般是先按强度条件选择截面或许可荷载，再用刚度条件校核，若不满足，再按刚度条件设计。

§8-7 提高梁的强度和刚度的措施
一、合理安排梁的支承：
例如剪支梁受均布载荷，若将两端的支座均向内移动0.2L，则最大弯矩只有原来最大弯矩的五分之一。

（图）
二、合理布置载荷：
将集中力变为分布力将减小最大弯矩的值。

（图）
三、选择合理的截面：
１、截面的布置应该尽可能远离中性轴。

工字形、槽形和箱形截面都是很好的选择。

２、脆性材料的抗拉能力和抗压能力不等，应选择上下不对称的截面，例如T字形截面。