(完整版)通信网性能分析基础参考答案

第二章习题答案
2-2 验证M/M/1的状态变化为一个生灭过程。

解：M/M/1排队系统在有顾客到达时，在时间内从状态k 转移到k+1（k>=0）的概
(),t t t +∆率为，为状态的出生率；
()t o t λ∆+∆λk 当有顾客服务完毕离去时，在时间内从状态k 转移到k-1（k>=1）的概率为
(),t t t +∆，为状态的死亡率；
()t o t μ∆+∆μk 在时间内系统发生跳转的概率为；
(),t t t +∆()o t ∆在时间内系统停留在状态的概率为；
(),t t t +∆k ()()1t o t λμ-+∆+∆故M/M/1排队系统的状态变化为生灭过程。

2-3 对于一个概率分布，令 称为分布
{}k p ()∑∞
==+++=0
2
210...k k k x p x p x p p X g 的母函数。

利用母函数求M/M/1队长的均值和方差。

{}k p 解：对于M/M/1
)1(ρρ-=k k p 0
≥k ()
'12
2''212
1
1
1()(1)(1) (1)
1[]()/1[][]()/[]([])1z k k z k k g z z z
E k g z Var k k p kp g z E k E k ρρρρρρ
ρ
ρ
ρ=∞
∞
===∴=-+-+=--∴==
-=-=+-=
-∑∑2-4 两个随机变量X,Y 取非负整数值，并且相互独立，令Z=X+Y ，证明：Z 的
母函数为X,Y 母函数之积。

根据这个性质重新证明性质2-1。

证：设Z(!!!此处应为 X ???)的分布为：，Y 的分布为：...,,210p p p ...,,210q q q 由于
{}{}{}{}{}∑∑∑=-===-===-====+==k
r r
k r k
r k r q p r k Y p r X p r k Y r X p k Y X p k Z p 0
,
()()()
()...
(01100110022102210)
0++++++++=++++++-k k k k x q p q p q p x q p q p q p x q x q q x p x p p
所以 g(Z)=g(X)g(Y)
对于两个独立的Poisson 流，取任意一个固定的间隔T ，根据Poisson 过程性质，到达k 个
呼叫的概率分别为：
i=1,2 这两个分布独立
T
k i k i e k T T p λλ-=!
)()(分布列的母函数分别为：
)1(0
0!)()(--∞
=-∞
====∑∑x T T Tx k T
k k i k
k k i i i i e e e e x k T x T p λλλλλ他们母函数之积为合并流分布列的母函数，而母函数之积)
1()()
1()1(2121-+--==x T x T x T e e
e
λλλλ所以 合并流为参数的 Poisson 过程。

21λλ+2-7 求k+1阶爱尔兰（Erlang ）分布的概率密度。

1+k E 可以根据归纳法验证，的概率密度为 x>=0
1+k E x k e k x μμμ-!
)(证明：
利用两个随机变量的和的概率密度表达式：求的分布，当X 和Y 相互独立时，
Z X Y =+且边缘密度函数分别为和，则。

()X f x ()Y f y ()()()Z X Y f z f x f z x dx ∞
-∞
=
-⎰
阶Erlang 分布是指个彼此独立的参数为的负指数分布的和。

1k +1k +μ用归纳法。

当时，需证2阶Erlang 分布的概率密度为1k =2x
x e
μμ-()()
221t
t
t x x
t t
f t e
e
dx e dx t e μμμμμμμμ------∞
-∞
===⎰⎰令时成立，即n k =()()!
k t
k t f t e
k μμμ-=则当时，
1n k =+
()()()()
()121()!
()!1!
k t
t
t x x k k k k t t k t x f t f x f t x dx e e dx
k t e x dx e
k k μμμμμμμμμμ---+-∞-∞++---∞=-===+⎰⎰⎰
第三章习题答案
3-1 证明：)
,1(),1(),(a s aB s a s aB a s B -+-=
证：11
0111000
!(1,)(1)!(1)!
!(,)(1,)!!!(1)!(1)!s s s k s k s s s s s k k k k k k a a a a a k aB s a s s s B s a a a s aB s a a a a s a s k k k s s --=---===---====+-++--∑∑∑∑3-2 证明：（1）a
s a s B a s a s sB a s C >--=
,
)]
,(1[)
,(),( （2）a
s a B a s aB a s a s C >=--+=
-，且1),0()],1()[(11
),(1
（1）证：
),(/11!!)/1(!!
!!!!!!!
)],(1[),(01
1
00100
a s C s
a p s a k a
s a s a s a k a s a k a s a k a k a a s k a s a s a s B a s a s sB s s k k s
s
s k k s
k k s
s k k s k k s
k k s
=-=-+=
-=-=--∑∑∑∑∑∑
-=-===-==（2）证：
),(/11!!
)/1(!
!
)!
1(!
)
(11
)]
,1()[(11
01
1
1
01
a s C s
a p s a k a
s a s a s a s a a
k a a s a s aB a s s s k k
s
s
s s k k =-=-+=--+=--+∑∑-=--=-3-3 在例3.3中，如果呼叫量分别增加10％，15％，20％，请计算呼损增加的
幅度。

话务量a=21.924.0925.18526.28s=300.020
0.0410.0540.069增加的幅度
103%
170%
245%
话务量a=5.08 5.588 5.842 6.096s=100.020
0.0310.0380.046增加的幅度
55%
90%
130%
3-4 有大小a ＝10erl 的呼叫量，如果中继线按照顺序使用，请计算前5条中继
线每条通过的呼叫量。

解：
第一条线通过的呼叫量：a 1=a [1-B (1,a )]=10×[1-0.9090]=0.910erl
第二条线通过的呼叫量：a 2=a [B (1,a )-B (2,a )]=10×[0.9090-0.8197]=0.893erl 第三条线通过的呼叫量：a 3=a [B (2,a )-B(3,a )]=10×[0.8197-0.7321]=0.876erl
第四条线通过的呼叫量：a 4=a [B(3,a )-B(4,a )]=10×[0.7321-0.6467]=0.854erl
第五条线通过的呼叫量：a 5=a [B (4,a )-B(5,a )]=10×[0.6467-0.5640]=0.827erl
3-6 对M /M /s 等待制系统，如果s >a ，等待时间为w ，对任意t >0。

请证明：。

t
s e a s C t w P )(),(}{λμ--=>证：s >a
∑∑∞
=∞
=>=>=>s
k k
k k k k p t w P p t w P t w P }{}{}{0
， ∑-=-=>s
k r t s r k e r t s t w P 0
!)(}{μμs
k p s a s a p s
k s k ≥=-0
)(!])(!)([!]
!)([!(!.!)(}{00
00
000∑∑∑∑∑∑∞==-∞=--=-∞=--=-==-==>l l l
r r t s s s k s k s
k r r t
s s s k s k s s
k r t s r s a r t s e p s a l
s k s a r t s e p s a p s a s a e r t s t w P μμμμμμ令交换次序，得：
0000()()0()1(){}[([(!!!1/!1(,)!1/s r s r s t l s t
r r l r r s s t s t
a a s t a a s t P w t p e p e s s r s s
a s r a p e C s a e s a s
μμμλμλμμ∞∞∞
--===---->=-==-∑∑∑＝3-12 考虑Erlang 拒绝系统，或M /M /s （s ）系统，a ＝λ/μ。

一个观察者随机观察系统并且等待到下一个呼叫到来。

请证明：到来的呼叫被拒绝的概率为：。

),(a s B s
a a
p ⋅+=证：
随机观察系统，下一个到来的呼叫被拒绝的必要条件为系统在随机观察时处于状态s ，其概率为B (s ,a )。

其次，下一个到来的呼叫被拒绝必须在到达间隔T 内，正在服务得s 个呼叫没有离去，这个事件的概率为P 。

T 服从参数为λ的负指数分布，在T 内没有呼叫离去的概率为：，
T s e μ-则：a
s a s dT e e P T T s +=
+=
=
⎰
∞
--μ
λλ
λλμ0
最后，到来的呼叫被拒绝的概率为：
),(a s B a
s a
+
第四章习题答案
4.1 解：),(R R R a s B a a a ρ+=现 10,10,
5.0===s a ρ令
)
,10(5.010)(),()(R R R R R R a B a a F a s B a a a F +=∴+=ρ迭代起点
67
.11287.0*65.11*5.010)65.11(65.11285.0*61.11*5.010)61.11(61.11281.0*51.11*5.010)51.11(51.11270.0*25.11*5.010)25.11(25.112373.0*5.10*5.010)5.10(5
.10=+≈=+≈=+≈=+≈=+≈=F F F F F a R 总呼叫量 erl
a R 65.11≈总呼损 287.0)65.11,10(),(≈=B a s B R 4.4 解：
617
.220.1120.0*10)10,12(*10872.195.0132.0*2.7)2.7,9(*2.7========AC AC AB AB B B γαγα在AD 上，溢出呼叫流的特征
489
.415.2=+==+=AC AB AC AB γγγααα利用Rapp 方法：088.2==
α
γ
z []811
.10)1)(1]([,1164.1111
)(304
.11)1(3=+++++===---++==-+=z
z s a s z z a s z z a ααααααγ则
向下取整故等效系统为：a ＝10.811erl,而s ＝11
查表得，在AD 中继线为8时，B （11+8，10.811）< 0.014.5解：a ＝10，s ＝14(1)
通过呼叫量
erl B a a 44.9)056.01(*10))10,14(1(*'=-=-=根据例4.3
方查[]{}{}80
.6)056.0084.0(101*44.9),(),1(1''=--=---=a s B a s B a a v 峰值因子72
.0''
==a
v z （2）根据Wilkinson 定理到达得呼叫量erl
56.0056.0*10==α237.2254
.1)11(===-+++
-=α
αααv
z a s a
v 峰值因子4.7解：首先，在直达路由时
B （2，1）＝0.2 B(2,2)=0.4 B(2,3)=0.53
所以，在 a ＝1，2，3erl 时，网络平均呼损分别为0.2，0.4，0.53在由迂回路由时，由于对称关系，假定边阻塞率为b ，边上到达的呼叫量为A ，则A=a+2b(1-b).a
考虑方程：b=B(s,A)=B(2.A)在a=1时，迭代求解为b=0.28
网络平均呼损13
.0])1(1[2≈--=b b 56
.064.0341.053.02≈≈=≈≈=网络平均呼损时在网络平均呼损时在b a b a
第五章习题答案
5.2.
证性质5.1(2)：对于有向图，每条边有两个端，它们和边的关系不同。

是按端来
()v V
d
v +
∈∑计数，恰好将每条边计数一次。

类似。

所以有。

()v V d
v -
∈∑()()v V v V
d v d v m +-∈∈==∑∑证性质5.6：首先
，所以。

()2v V
d v m n δ∈=≥∑A 2m
n
δ≤
一定存在某个端，它的度为，则与该端关联的边构成一个大小为的割边集，所以
δδ。

βδ≤考虑一个大小为的割边集，将每条边换成它的邻端，这是一个大小最多为的割端集，
ββ所以。

αβ≤综上，。

2m n
αβδ≤≤≤
5.4.
证明：考虑树。

(,),||,||1T V E V n E n ===-某个端不妨设为，。

考虑其余个端，如果悬挂点最多n v ()()n d v T =∆1n -121,,,n v v v - 只有个，则：
()1T ∆-1
()()(()1)12[(1)(()1)]
()()122()21
n
i
i d v T T n T T T n T n =≥∆+∆-⨯+⨯--∆-=∆+∆-+-∆=-∑但等式左边，矛盾。

22n =-所以中至少有个悬挂点。

T ()T ∆5.6.
2(1)(1)(1)(1)
11110011
110()det det 1
1110n n n n n n n n n t K n n n --⨯--⨯----⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥---⎢
⎥⎢⎥===⎢⎥
⎢⎥⎢
⎥⎢⎥
---⎣⎦⎣⎦ 3
()(2)n n t K e n n --=-
5.7 (),(1)(1)(1)(1)
010()det 010n n n m m m n m n m m m t K n n ⨯-⨯-+-⨯+-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥
=⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥-⎢⎥
⎢⎥⎣⎦ 将第列加到第1列，再将第1列加回，得：
1,2,,1n n n m +++- (),(1)(1)(1)(1)(1)
()1(1)(1)(1)(1)(1)
10
11
()det 0100
1010
01det 0100
10n n n m m n
m m n m n m n n m n m n
m m n m n m m t K n n m n m n n ⨯-⨯-⨯-+-⨯+-⨯--⨯-⨯-+-⨯+-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=⎢
⎥
-⎢⎥
⎢⎥⎢⎥
-⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥
==⎢
⎥
-⎢⎥
⎢⎥⎢⎥
-⎢⎥⎣⎦
A
1-5.8.
用Kruskal 算法：
依次选的边为：(3,6)，(1,3)，(6,7)，(1,2)，(5,6)，(1,4)
用破圈法：
依次去掉的边为：(2,7)，(4,5)，(2,3)5.10.（1）
用D 算法：v1v2v3v4
v5v6
置定端距离
路由
1019.2 1.1 3.53 1.119.2 3.5 2.95 2.939.2 3.58
4 3.519.28
6859.2
2
9.2
1
（2）
用F 算法：
，(0)
0.09.2 1.1 3.51001001.30.0 4.71007.21002.51000.0100 1.8100100100 5.30.0 2.47.5100 6.4 2.28.90.0 5.17.7
100 2.7100 2.1
0.0W ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎣⎦(0)
111111222222333333444444555555666666R ⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎣⎦，(6)
0.09.2 1.1 3.5 2.981.30.0 2.4 4.8 4.29.32.58.20.0 6.0 1.8 6.97.18.8 4.60.0 2.4
7.54.7 6.4 2.28.20.0 5.15.2
8.5 2.78.7 2.1
0.0W ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎣⎦(6)
111135221135353135355444355155356166R ⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎣⎦
v2到v4：v2到v1到v4，距离为4.8v1到v5：v1到v3到v5，距离为2.9
（3）
，图的中心为v3/v5
9.2,9.3,8.2,8.8,8.2,8.7i t =，图的中点为v2
24.7,22,25.4,30.4,26.6,27.2i s =（4）
若端有权，则将端的权值除以2加到其各边的权上，再用F 算法。