数学：1.2.2复合函数的求导法则教案
学案12：1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则
1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则课标要求1．能利用导数的四则运算法则求解导函数．2．能运用复合函数的求导法则进行复合函数的求导．核心扫描1．对导数四则运算法则的考查．(重点)2．复合函数的考查常在解答题中出现．(重点)课前探究学习自学导引1．导数运算法则的定义域、值域满足什么关系？提示在复合函数中，内层函数u＝g(x)的值域必须是外层函数y＝f(u)的定义域的子集．名师点睛1．运用导数运算法则的注意事项(1)对于教材中给出的导数的运算法则，不要求根据导数定义进行推导，只要能熟练运用运算法则求简单函数的导数即可．(2)①对于和差的导数运算法则，可推广到任意有限可导函数的和或差， 即[f 1(x )±f 2(x )±…±f n (x )]′＝f 1′(x )±f 2′(x )±…±f ′n (x )．②[ af (x )±bg (x )]′＝af ′(x )±bg ′(x )； ③当f (x )＝1时，有⎣⎡⎦⎤1g (x )′＝－g ′(x )g 2(x ).(3)对于积与商的导数运算法则，首先要注意在两个函数积与商的导数运算中，不能出现[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )·g ′(x )以及⎣⎡⎦⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g ′(x )这样想当然的错误；其次还要特别注意两个函数积与商的求导公式中符号的异同，积的导数法则中是“＋”，商的导数法则中分子上是“－”． 2．复合函数求导对于复合函数的求导法则，需注意以下几点：(1)分清复合函数的复合关系是由哪些基本函数复合而成，适当选定中间变量． (2)分步计算中的每一步都要明确是对哪个变量求导，而其中要特别注意的是中间变量的系数．如(sin 2x )′＝2cos 2x ，而(sin 2x )′≠cos 2x .(3)根据基本初等函数的求导公式及导数的运算法则，求出各函数的导数，并把中间变量换成自变量的函数．如求y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的导数，设y ＝sin u ，u ＝2x ＋π3，则y x ′＝y u ′·u x ′＝cos u ·2＝2cos u ＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. (4)复合函数的求导运用熟练后，中间步骤可省略不写. 课堂讲练互动题型一 利用导数的运算法则求函数的导数例1：求下列函数的导数：(1)y ＝x ·tan x ； (2)y ＝(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)； (3)y ＝x ＋3x 2＋3；(4)y ＝x sin x －2cos x； (5)y ＝x 5＋x 7＋x 9x ；(6)y ＝x －sin x 2cos x2.规律方法：解决函数的求导问题，应先分析所给函数的结构特点，选择正确的公式和法则，对较为复杂的求导运算，一般综合了和、差、积、商几种运算，在求导之前一般应先将函数化简，然后求导，以减少运算量． 变式1：求下列函数的导数：(1)y ＝5－4x 3； (2)y ＝3x 2＋x cos x ； (3)y ＝e x ·ln x ； (4)y ＝lg x －1x2.题型二 求复合函数的导数例2：求下列函数的导数：(1)y ＝11－2x 2； (2)y ＝e 2x ＋1； (3)y ＝(x －2)2； (4)y ＝5log 2(2x ＋1)．规律方法：应用复合函数的求导法则求导，应注意以下几个方面： (1)中间变量的选取应是基本函数结构．(2)正确分析函数的复合层次，并要弄清每一步是哪个变量对哪个变量的求导． (3)一般是从最外层开始，由外及里，一层层地求导． (4)善于把一部分表达式作为一个整体．(5)最后要把中间变量换成自变量的函数．熟练后，就不必再写中间步骤． 变式2：求下列函数的导数：(1)y ＝ln(x ＋2)； (2)y ＝sin 4x 4＋cos 4x4；(3)y ＝1＋x 1－x ＋1－x1＋x.题型三 求导法则的应用例3：求过点(1，－1)与曲线f (x )＝x 3－2x 相切的直线方程．题后反思：点(1，－1)虽然在曲线上，但是经过该点的切线不一定只有一条，即该点有可能是切点，也可能是切线与曲线的交点，解题时注意不要失解．变式3：若将本例改为求曲线y ＝x 3－2x 在点A (1，－1)处的切线方程，结果会怎样？方法技巧 数形结合思想在导数中的应用数形结合的原则：(1)等价性原则：在数形结合时，代数性质和几何性质的转换必须是等价的，否则解题将会出现漏洞．有时，由于图形的局限性，不能完整的表现数的一般性，这时图形的性质只能是一种直观而浅显的说明．(2)双向性原则：在数形结合时，既要进行几何直观的分析，又要进行代数抽象的探索，两方面相辅相成，仅对代数问题进行几何分析或仅对几何问题进行代数分析，在许多时候是很难完成的．(3)简单性原则：找到解题思路之后，至于用几何方法还是采用代数方法，则取决于哪种方法更为简单有效，“数”与“形”的结合往往能起到事半功倍的效果．示例：讨论关于x 的方程ln x ＝kx 解的个数．方法点评：函数y ＝f (x )在点x 0处的导数的几何意义 ，就是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率．导数的这一几何意义为导数与解析几何的沟通搭建了一个平台．因此从某 种意义上说，导数也就是数形结合的桥梁.参考答案题型一 利用导数的运算法则求函数的导数例1：解：(1)y ′＝(x ·tan x )′＝⎝⎛⎭⎫x sin x cos x ′(1)y ′＝(x ·tan x )′＝⎝⎛⎭⎫x sin x cos x ′＝(x sin x )′cos x －x sin x (cos x )′cos 2x＝(sin x ＋x cos x )cos x ＋x sin 2x cos 2x＝sin x cos x ＋x cos 2x.(2)法一 ∵(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)＝(x 2＋3x ＋2)(x ＋3)＝x 3＋6x 2＋11x ＋6， ∴y ′＝[(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)]′＝(x 3＋6x 2＋11x ＋6)′＝3x 2＋12x ＋11. 法二 y ′＝[(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)]′＝[(x ＋1)(x ＋2)]′(x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)′ ＝[(x ＋1)′(x ＋2)＋(x ＋1)(x ＋2)′](x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2) ＝(x ＋2＋x ＋1)(x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2) ＝(2x ＋3)(x ＋3)＋x 2＋3x ＋2 ＝3x 2＋12x ＋11.(3)y ′＝(x ＋3)′(x 2＋3)－(x ＋3)(x 2＋3)′(x 2＋3)2＝－x 2－6x ＋3(x 2＋3)2.(4)y ′＝(x sin x )′－⎝⎛⎭⎫2cos x ′＝sin x ＋x cos x －2sin xcos 2x . (5)∵y ＝x 5＋x 7＋x 9x ＝x 2＋x 3＋x 4，∴y ′＝(x 2＋x 3＋x 4)′＝2x ＋3x 2＋4x 3. (6)先使用三角公式进行化简，得 y ＝x －sin x 2cos x 2＝x －12sin x ，∴y ′＝⎝⎛⎭⎫x －12sin x ′＝x ′－12(sin x )′＝1－12cos x . 变式1：解：(1)y ′＝－12x 2；(2)y ′＝(3x 2＋x cos x )′＝6x ＋cos x －x sin x ； (3)y ′＝e x x ＋e x·ln x ；(4)y ′＝1x ln 10＋2x3. 题型二 求复合函数的导数例2：解：(1)设y ＝u －12，u ＝1－2x 2，则y ′＝⎝⎛⎭⎫u －12′(1－2x 2)′＝⎝⎛⎭⎫－12u －32·(－4x ) ＝－12(1－2x 2)－32(－4x )＝2x (1－2x 2)－32.(2)y ＝e u ，u ＝2x ＋1，∴y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝(e u )′·(2x ＋1)′＝2e u ＝2e 2x ＋1. (3)法一 ∵y ＝(x －2)2＝x －4x ＋4， ∴y ′＝x ′－(4x )′＋4′ ＝1－4×12x －12＝1－2x.法二 令u ＝x －2，则y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝2(x －2)·(x －2)′ ＝2(x －2)⎝⎛⎭⎫12·1x －0＝1－2x . (4)设y ＝5log 2u ，u ＝2x ＋1， 则y ′＝5(log 2u )′(2x ＋1)′＝10u ln 2＝10(2x ＋1)ln 2. 变式2：解：(1)y ＝ln u ，u ＝x ＋2∴y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝(ln u )′·(x ＋2)′＝1u ·1＝1x ＋2.(2)∵y ＝sin 4x 4＋cos 4x4＝⎝⎛⎭⎫sin 2x 4＋cos 2x 42－2sin 2x 4cos 2x 4＝1－12sin 2x 2＝1－12·1－cos x 2＝34＋14cos x ，∴y ′＝－14sin x .(3)∵y ＝1＋x 1－x ＋1－x 1＋x ＝(1＋x )21－x ＋(1－x )21－x＝2＋2x 1－x ＝41－x－2，∴y ′＝⎝⎛⎭⎫41－x －2′＝－4(1－x )′(1－x )2＝4(1－x )2.题型三 求导法则的应用例3：解：设P (x 0，y 0)为切点，则切线斜率为k ＝0x x y ='＝3x 20－2，故切线方程为y －y 0＝(3x 20－2)(x －x 0) ① ∵(x 0，y 0)在曲线上，∴y 0＝x 30－2x 0 ② 又∵(1，－1)在切线上，∴将②式和(1，－1)代入①式得－1－(x 30－2x 0)＝(3x 20－2)(1－x 0)． 解得x 0＝1或x 0＝－12.故所求的切线方程为y ＋1＝x －1或y ＋1＝－54(x －1)．即x －y －2＝0或5x ＋4y －1＝0.变式3：解：∵点A (1，－1)在曲线上，点A 是切点，∴在A 处的切线方程为x －y －2＝0.方法技巧 数形结合思想在导数中的应用示例：解：如图，方程ln x ＝kx 的解的个数就是直线y ＝kx 与曲线y ＝ln x 交点的个数． 设直线y ＝kx 与y ＝ln x 切于P (x 0，ln x 0) ，则kx 0＝ln x 0. ∵(ln x )′＝1x，∴k ＝1x 0，kx 0＝1＝ln x 0.∴x 0＝e ，k ＝1e.结合图象知：当k ≤0或k ＝1e 时，方程ln x ＝kx 有一解．当0<k <1e 时，方程ln x ＝kx 有两解．当k >1e 时，方程ln x ＝kx 无解．。
数学：1..2..2复合函数的求导法则教案
§1.2.2复合函数的求导法则教学目标理解并掌握复合函数的求导法则．教学重点复合函数的求导方法：复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数之积．LxIm36V6lJ教学难点正确分解复合函数的复合过程，做到不漏，不重，熟练，正确．一．创设情景<一）基导数本初等函数的导数公式表<二）导数的运算法则．．．<2）推论：<常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数）二．新课讲授复合函数的概念一般地，对于两个函数和，如果通过变量，可以表示成的函数，那么称这个函数为函数和的复合函数，记作。
LxIm36V6lJ复合函数的导数复合函数的导数和函数和的导数间的关系为，即对的导数等于对的导数与对的导数的乘积．若，则三．典例分析例1求y ＝sin<tan x2）的导数．【点评】求复合函数的导数，关键在于搞清楚复合函数的结构，明确复合次数，由外层向内层逐层求导，直到关于自变量求导，同时应注意不能遗漏求导环节并及时化简计算结果．LxIm36V6lJ例2求y ＝的导数．【点评】本题练习商的导数和复合函数的导数．求导数后要予以化简整理．例3求y ＝sin4x ＋cos 4x的导数．【解法一】y ＝sin 4x ＋cos 4x＝(sin2x ＋cos2x>2－2sin2cos2x ＝1－sin22 xLxIm36V6lJ＝1－<1－cos 4 x）＝＋cos 4 x．y′＝－sin 4 x．【解法二】y′＝(sin 4 x>′＋(cos 4 x>′＝4 sin 3 x(sin x>′＋4 cos 3x (cos x>′＝4 sin 3 x cos x ＋4 cos 3 x (－sin x>＝4 sin x cos x (sin 2 x －cos 2 x>＝－2 sin 2 x cos 2 x＝－sin 4 xLxIm36V6lJ【点评】解法一是先化简变形，简化求导数运算，要注意变形准确．解法二是利用复合函数求导数，应注意不漏步．例4曲线y ＝x<x ＋1）<2－x）有两条平行于直线y ＝x的切线，求此二切线之间的距离．【解】y ＝－x 3 ＋x 2 ＋2 x y′＝－3 x 2＋2 x ＋2 令y′＝1即3 x2－2 x －1＝0，解得 x ＝－或x ＝1．于是切点为P<1，2），Q<－，－），过点P的切线方程为，y －2＝x －1即 x －y ＋1＝0．显然两切线间的距离等于点Q 到此切线的距离，故所求距离为＝．四．课堂练习1．求下列函数的导数(1> y =sinx3+sin33x；<2）;(3>2.求的导数五．回顾总结六．布置作业申明：所有资料为本人收集整理，仅限个人学习使用，勿做商业用途。
高中数学复合函数求导教案
高中数学复合函数求导教案一、复合函数的定义1. 复合函数是指一个函数由两个或两个以上的函数组合而成的函数。
2. 复合函数的表示：如果函数 f 和函数 g 都是数学上的函数，则复合函数 f(g(x)) 表示先对x 进行函数 g 的运算，然后再对结果进行函数 f 的运算。
这里 g(x) 是函数 g 的输出，f(g(x)) 是复合函数的输出。
二、复合函数的求导法则1. 复合函数的导数公式：设函数 y = f(u)，u = g(x) 为复合函数，则 y 的导数为：dy/dx = dy/du * du/dx2. 具体步骤：a. 先对内函数 u 进行求导，求得 dy/dub. 再对外函数 y 进行求导，求得 du/dxc. 最后将两者相乘即可得到最终导数 dy/dx三、实例演练例题：已知函数 y = (2x + 1)^2，求 dy/dx1. 设 u = 2x + 1，则 y = u^22. 求内函数 u 的导数：du/dx = 23. 求外函数 y 的导数：dy/du = 2u4. 根据公式，dy/dx = dy/du * du/dx = 2u * 2 = 4u5. 将 u = 2x + 1 代入，得到 dy/dx = 4(2x + 1)四、练习题1. 已知函数 y = sin(x^2)，求 dy/dx2. 已知函数 y = ln(3x + 2)，求 dy/dx3. 已知函数 y = e^(2x - 1)，求 dy/dx五、作业1. 完成练习题中的题目，写出解题思路和计算过程2. 自行设计一个复合函数，并求其导数3. 查阅相关资料，了解复合函数的应用领域及意义六、总结1. 复合函数求导是高中数学中的重要内容，掌握其求导法则可以帮助我们解决更复杂的问题。
2. 通过练习和实践，加深对复合函数求导的理解和掌握，提高数学解题能力。
1.2.2(2)复合函数的求导法则教学设计
情境一：复习 ：1.基本初等函数有哪些？2.求下列函数的导数：（1）()324y x x =-（2）sin x y x=（3）3cos 4sin y x x =- （4）()223y x =+（5）()ln 2y x =+ 问题1：函数（4）利用基本初等函数求导公式如何求导?问题2：函数(5)能用学过的公式求导吗?问题3：函数()ln 2y x =+有什么结构特点？情境二：分清以上函数的结构特点之后，你能尝试给出复合函数的概念吗？复合函数的概念：一般地，对于两个函数()y f u =和()u g x =，如果通过变量u ，y 可以表示成x 的函数，那么称这个函数为函数()y f u =和()u g x =的复合函数，记作()()y f g x =。
情境三：复合函数的求导法则是什么？一般分几个步骤进行？求复合函数的导数需要注意哪些方面？复合函数的导数：复合函数()()y f g x =的导数和函数()y f u =和()u g x =的导数间的关系为x u x y y u '''=⋅，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．即：若()()y f g x =，则()()()()()y f g x f g x g x ''''==⋅⎡⎤⎣⎦注意：①中间变量的选择应是基本初等函数结构 ②关键是正确分清函数的复合层次③一般是从最外层开始，由外及里，一层一层地求导 ④要善于把一部分表达式作为一个整体 ⑤最后要把中间变量换成自变量的函数（即代回）【典例分析】例1（课本例4）求下列函数的导数：（1）2(23)y x =+；（2）0.051x y e -+=；（3）sin()y x πϕ=+（其中,πϕ均为常数）．例2求2sin(tan )y x =的导数．【点评】求复合函数的导数，关键在于分析清楚函数的复合关系，选好中间变量。
变式训练：求下列函数的导数（1）cos 3x y = （2）y 3）x x y 44cos sin += 解（3）时注意方法的灵活性，多样性。
复合函数求导教案大学生
教学对象：大学生教学目标：1. 理解复合函数的概念，掌握复合函数求导的基本方法。
2. 能够运用链式法则和乘积法则求复合函数的导数。
3. 通过实例分析，提高学生运用复合函数求导解决实际问题的能力。
教学重点：1. 复合函数的定义和链式法则。
2. 乘积法则在复合函数求导中的应用。
教学难点：1. 复合函数求导过程中，正确运用链式法则和乘积法则。
2. 复合函数求导的复杂情况分析。
教学准备：1. 教师准备PPT，包括复合函数定义、链式法则、乘积法则等知识点。
2. 学生提前预习教材，了解复合函数的基本概念。
教学过程：一、导入1. 回顾导数的定义和基本求导法则。
2. 提出问题：如何求复合函数的导数？二、新课讲解1. 复合函数的定义：函数y=f(u)，其中u=g(x)称为复合函数。
2. 链式法则：设y=f(u)，u=g(x)，则y对x的导数为y' = f'(u) g'(x)。
3. 乘积法则：设y=f(x) g(x)，则y对x的导数为y' = f'(x) g(x) + f(x) g'(x)。
4. 复合函数求导实例分析：- 例1：求y=cos(2x)的导数。
- 例2：求y=sin(x^2)的导数。
- 例3：求y=e^sinx的导数。
三、课堂练习1. 学生独立完成以下练习题：- 求y=ln(3x)的导数。
- 求y=tan(x^2)的导数。
- 求y=e^(1/x)的导数。
2. 教师巡视指导，解答学生疑问。
四、课堂小结1. 回顾复合函数求导的基本方法：链式法则和乘积法则。
2. 强调复合函数求导的关键在于正确运用法则。
五、作业布置1. 完成教材课后习题，巩固所学知识。
2. 分析以下问题，并尝试用所学方法求解：- 求y=cos(2sinx)的导数。
- 求y=e^(x^2)的导数。
教学反思：本节课通过讲解复合函数求导的基本方法，使学生掌握了链式法则和乘积法则在复合函数求导中的应用。
数学：1.2.2复合函数的求导法则教案
§1.2.2复合函数的求导法则教学目标 理解并掌握复合函数的求导法则．教学重点 复合函数的求导方法：复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数之积．教学难点 正确分解复合函数的复合过程，做到不漏，不重，熟练，正确．一．创设情景（一）基本初等函数的导数公式表（2）推论：[]''()()cf x cf x = （常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数）二．新课讲授 复合函数的概念 一般地，对于两个函数()y f u =和()u g x =，如果通过变量u ，y 可以表示成x 的函数，那么称这个函数为函数()y f u =和()u g x =的复合函数，记作()()y f g x =。
复合函数的导数 复合函数()()y f g x =的导数和函数()y f u =和()u g x =的导数间的关系为x u x y y u '''=⋅，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．若()()y f g x =，则()()()()()y f g x f g x g x ''''==⋅⎡⎤⎣⎦三．典例分析例1求y ＝sin （tan x 2）的导数．【点评】求复合函数的导数，关键在于搞清楚复合函数的结构，明确复合次数，由外层向内层逐层求导，直到关于自变量求导，同时应注意不能遗漏求导环节并及时化简计算结果． 例2求y ＝ax x ax 22--的导数． 【点评】本题练习商的导数和复合函数的导数．求导数后要予以化简整理．例3求y ＝sin 4x ＋cos 4x 的导数．【解法一】y ＝sin 4x ＋cos 4x ＝(sin 2x ＋cos 2x )2－2sin 2cos 2x ＝1－21sin 22 x ＝1－41（1－cos 4 x ）＝43＋41cos 4 x ．y ′＝－sin 4 x ． 【解法二】y ′＝(sin 4 x )′＋(cos 4 x )′＝4 sin 3 x (sin x )′＋4 cos 3x (cos x )′＝4 sin3 x cos x ＋4 cos 3 x (－sin x )＝4 sin x cos x (sin 2 x －cos 2x )＝－2 sin 2 x cos 2 x ＝－sin 4 x【点评】 解法一是先化简变形，简化求导数运算，要注意变形准确．解法二是利用复合函数求导数，应注意不漏步．例4曲线y ＝x （x ＋1）（2－x ）有两条平行于直线y ＝x 的切线，求此二切线之间的距离．【解】y ＝－x 3 ＋x 2 ＋2 x y ′＝－3 x 2＋2 x ＋2令y ′＝1即3 x 2－2 x －1＝0，解得 x ＝－31或x ＝1． 于是切点为P （1，2），Q （－31，－2714）， 过点P 的切线方程为，y －2＝x －1即 x －y ＋1＝0．显然两切线间的距离等于点Q 到此切线的距离，故所求距离为2|1271431|++-＝22716．四．课堂练习1．求下列函数的导数 (1) y =sin x 3+sin 33x ；（2）122sin -=x x y ;(3))2(log 2-x a2.求)132ln(2++x x 的导数五．回顾总结六．布置作业。
人教版数学高二第一章 1.2第2课时复合函数求导及应用
第2课时 复合函数求导及应用[核心必知]1．预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P 16“思考”～P 17的内容，回答下列问题． 函数y ＝l n (x ＋2)与函数y ＝l n u 和u ＝x ＋2之间有什么关系？ 提示：y ＝l n (x ＋2)是由函数y ＝l n u 和u ＝x ＋2复合而成的复合函数． 2．归纳总结，核心必记 (1)复合函数的概念一般地，对于两个函数y ＝f (u )和u ＝g (x )，如果通过变量u ，y 可以表示成 x 的函数，那么称这个函数为y ＝f (u )和u ＝g (x )的复合函数，记作y ＝f (g (x ))．(2)复合函数的求导法则复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝y u ′·u x ′，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．[问题思考](1)函数y ＝log 2(x 2－3x ＋5)是由哪些函数复合而成的？提示：y ＝log 2(x 2－3x ＋5)是由y ＝log 2u ，u ＝x 2－3x ＋5复合而成． (2)函数y ＝l n (2x ＋1)的导函数是什么？提示：y ＝l n (2x ＋1)是由函数y ＝l n u 和u ＝2x ＋1复合而成的，∴y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝1u ·(2x＋1)′＝2u ＝22x ＋1.[课前反思](1)复合函数的概念是什么？ (2)复合函数的求导公式是什么？知识点1简单复合函数求导问题讲一讲1．(链接教材P 17－例4)求下列函数的导数． (1)y ＝1－2x 2；(2)y ＝e S i n x ；(3)y ＝S i n ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3；(4)y ＝5log 2(2x ＋1)． [尝试解答] (1)设y ＝u 12，u ＝1－2x 2，则y ′＝⎝⎛⎭⎫u 12′(1－2x 2)′＝⎝⎛⎭⎫12u －12·(－4x ) ＝12(1－2x 2)－12(－4x )＝－2x 1－2x 2 . (2)设y ＝e u ，u ＝S i n x ，则y x ′＝y u ′·u x ′＝e u ·co S x ＝e S i n x co S x . (3)设y ＝S i n u ，u ＝2x ＋π3，则y x ′＝y u ′·u x ′＝co S u ·2＝2co S ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. (4)设y ＝5log 2u ，u ＝2x ＋1，则y ′＝5(log 2u )′(2x ＋1)′＝10u ln 2＝10(2x ＋1)ln 2.错误!复合函数求导的步骤练一练1．求下列函数的导数．(1)f (x )＝(－2x ＋1)2；(2)f (x )＝l n (4x －1)； (3)f (x )＝23x ＋2；(4)f (x )＝5x ＋4； (5)f (x )＝S i n ⎝⎛⎭⎫3x ＋π6；(6)f (x )＝co S 2x . 解：(1)设y ＝u 2，u ＝－2x ＋1，则y ′＝y u ′·u x ′＝2u ·(－2)＝－4(－2x ＋1)＝8x －4. (2)设y ＝l n u ，u ＝4x －1， 则y ′＝y u ′·u x ′＝1u ·4＝44x －1.(3)设y ＝2u ，u ＝3x ＋2，则y ′＝y u ′·u x ′＝2u l n 2·3＝3l n 2·23x ＋2. (4)设y ＝u ，u ＝5x ＋4， 则y ′＝y u ′·u x ′＝12u ·5＝525x ＋4 . (5)设y ＝S i n u ，u ＝3x ＋π6，则y ′＝y u ′·u x ′＝co S u ·3＝3co S ⎝⎛⎭⎫3x ＋π6. (6)法一：设y ＝u 2，u ＝co S x ， 则y ′＝y u ′·u x ′＝2u ·(－S i n x ) ＝－2co S x ·S i n x ＝－S i n 2x ；法二：∵f (x )＝co S 2x ＝1＋cos 2x 2＝12＋12co S 2x ，所以f ′(x )＝⎝⎛⎭⎫12＋12cos 2x ′ ＝0＋12·(－S i n 2x )·2＝－S i n 2x .知识点2复合函数与导数运算法则的综合应用讲一讲2．求下列函数的导数．(1)y ＝x 1＋x 2；(2)y ＝x co S ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2S i n ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2. [尝试解答] (1)y ′＝(x 1＋x 2)′＝x ′1＋x 2＋x (1＋x 2)′＝1＋x 2＋x 21＋x2＝(1＋2x 2)1＋x 21＋x 2. (2)∵y ＝x co S ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2S i n ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2 ＝x (－S i n 2x )co S 2x ＝－12xS i n 4x ，∴y ′＝⎝⎛⎭⎫－12x sin 4x ′ ＝－12S i n 4x －x2co S 4x ·4＝－12S i n 4x －2x co S 4x .类题·通法复合函数求导应注意的问题(1)在对函数求导时，应仔细观察及分析函数的结构特征，紧扣求导法则，联系学过的求导公式，对不易用求导法则求导的函数[如讲2(2)]，可适当地进行等价变形，以达到化异求同、化繁为简的目的．(2)复合函数的求导熟练后，中间步骤可以省略，即不必再写出函数的复合过程，直接运用公式，从外层开始由外及内逐层求导．练一练2．求下列函数的导数．(1)y ＝S i n 2x3；(2)y ＝S i n 3x ＋S i n x 3；(3)y ＝11－x 2；(4)y ＝x l n (1＋x )． 解：(1)y ′＝⎝⎛⎭⎫sin 2x 3′＝2S i n x 3·⎝⎛⎭⎫sin x 3′ ＝2S i n x 3·co S x 3·⎝⎛⎭⎫x 3′＝13S i n 2x3.(2)y ′＝(S i n 3x ＋S i n x 3)′＝(S i n 3x )′＋(S i n x 3)′ ＝3S i n 2x co Sx ＋co S x 3·3x 2＝3S i n 2x co S x ＋3x 2co S x 3. (3)y ′＝0－(1－x 2)′1－x 2＝－12(1－x 2)－12(1－x 2)′1－x 2＝x (1－x 2)－121－x 2＝x(1－x 2) 1－x 2 .(4)y ′＝x ′l n (1＋x )＋x []ln (1＋x )′ ＝l n (1＋x )＋x1＋x .知识点3复合函数导数的综合问题讲一讲3. 设f (x )＝l n (x ＋1)＋x ＋1＋a x ＋b (a ，b ∈R ，a ，b 为常数)，曲线y ＝f (x )与直线y ＝32x在(0,0)点相切．求a ，b 的值．[思路点拨] 当直线与曲线相切时，切点为直线与曲线的公共点．[尝试解答] 由曲线y ＝f (x )过(0,0)点，可得l n 1＋1＋b ＝0，故b ＝－1.由f (x )＝l n (x ＋1)＋x ＋1＋a x ＋b ，得f ′(x )＝1x ＋1＋12x ＋1＋a ，则f ′(0)＝1＋12＋a ＝32＋a ，此即为曲线y＝f (x )在点(0,0)处的切线的斜率．由题意，得32＋a ＝32，故a ＝0.类题·通法本题正确求出复合函数的导数是前提，审题时注意所给点是否是切点，挖掘题目隐含条件，求出参数，解决已知经过一点的切线问题，寻求切点是解决问题的关键．练一练 3．曲线y ＝e－2x＋1在点(0,2)处的切线与直线y ＝0和y ＝x 围成的三角形的面积为( )A.13B.12C.23 D ．1 解析：选A 依题意得y ′＝e －2x ·(－2)＝－2e －2x ，y ′|x ＝0＝－2e －2×0＝－2.曲线y ＝e－2x＋1在点(0,2)处的切线方程是y －2＝－2x ，即y ＝－2x ＋2.在坐标系中作出直线y ＝－2x ＋2、y ＝0与y ＝x 的图象，因为直线y ＝－2x ＋2与y ＝x 的交点坐标是⎝⎛⎭⎫23，23，直线y ＝－2x ＋2与x 轴的交点坐标是(1,0)，结合图象可得，这三条直线所围成的三角形的面积等于12×1×23＝13.[课堂归纳·感悟提升]1．本节课的重点是复合函数求导公式及其应用，这也是本节课的难点．2．本节课要重点掌握的规律方法是复合函数的导数的求法，见讲1和讲2.3．求复合函数的导数的注意点(1)内、外层函数通常为基本初等函数．(2)求每层函数的导数时注意分清是对哪个变量求导，这是求复合函数导数时的易错点．(3)逐层求导结束后对结果进行化简整理，使导数式尽量简洁．课下能力提升(四)[学业水平达标练]题组1简单复合函数求导问题1．函数y＝co S(－x)的导数是()A．co S x B．－co S xC．－S i n x D．S i n x解析：选C y′＝－S i n (－x)(－x)′＝－S i n x.2．y＝co S3x的导数是()A．y′＝－3co S2xS i n xB．y′＝－3co S2xC．y′＝－3S i n2xD．y′＝－3co S xS i n2x解析：选A令t＝co S x，则y＝t3，y′＝y t′·t x′＝3t2·(－S i n x)＝－3co S2xS i n x. 3．设曲线y＝a x－l n(x＋1)在点(0,0)处的切线方程为y＝2x，则a＝()A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选D 令y ＝a x －l n (x ＋1)，则f ′(x )＝a －1x ＋1.所以f (0)＝0，且f ′(0)＝2.联立解得a ＝3.4．求下列函数的导数． (1)y ＝l n (e x ＋x 2)； (2)y ＝102x ＋3； (3)y ＝S i n 4x ＋co S 4x .解：(1)令u ＝e x ＋x 2，则y ＝l n u .∴y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝1u ·(e x ＋x 2)′＝1e x ＋x 2·(e x ＋2x )＝e x ＋2x e x ＋x2.(2)令u ＝2x ＋3，则y ＝10u ，∴y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝10u ·l n 10·(2x ＋3)′＝2×102x ＋3l n 10. (3)y ＝S i n 4x ＋co S 4x ＝(S i n 2x ＋co S 2x )2－2S i n 2x ·co S 2x ＝1－12S i n 22x ＝1－14(1－co S 4x )＝34＋14co S 4x . 所以y ′＝⎝⎛⎭⎫34＋14cos 4x ′＝－S i n 4x . 题组2 复合函数与导数运算法则的综合应用 5．函数y ＝x 2co S 2x 的导数为( ) A ．y ′＝2x co S 2x －x 2S i n 2x B ．y ′＝2x co S 2x －2x 2S i n 2x C ．y ′＝x 2co S 2x －2xS i n 2x D ．y ′＝2x co S 2x ＋2x 2S i n 2x解析：选B y ′＝(x 2)′co S 2x ＋x 2(co S 2x )′＝2x co S 2x ＋x 2(－S i n 2x )·(2x )′＝2x co S 2x －2x 2S i n 2x .6．函数y ＝x l n (2x ＋5)的导数为( ) A ．l n (2x ＋5)－x 2x ＋5 B ．l n (2x ＋5)＋2x2x ＋5C ．2x l n (2x ＋5) D.x2x ＋5解析：选B y ′＝[x l n (2x ＋5)]′＝x ′l n (2x ＋5)＋x [l n (2x ＋5)]′＝l n (2x ＋5)＋x ·12x ＋5·(2x ＋5)′＝l n (2x ＋5)＋2x 2x ＋5. 7．函数y ＝S i n 2x co S 3x 的导数是________． 解析：∵y ＝S i n 2x co S 3x ，∴y ′＝(S i n 2x )′co S 3x ＋S i n 2x (co S 3x )′ ＝2co S 2x co S 3x －3S i n 2xS i n 3x . 答案：2co S 2x co S 3x －3S i n 2xS i n 3x 8．已知f (x )＝e πx S i n πx ，求f ′(x )及f ′⎝⎛⎭⎫12. 解：∵f (x )＝e πx S i n πx ， ∴f ′(x )＝πe πx S i n πx ＋πe πx co S πx ＝πe πx (S i n πx ＋co S πx )． f ′⎝⎛⎭⎫12＝πe π2⎝⎛⎭⎫sin π2＋cos π2＝πe π2. 题组3 复合函数导数的综合问题9．曲线y ＝l n (2x －1)上的点到直线2x －y ＋3＝0的最短距离是( ) A. 5 B ．2 5 C ．3 5 D ．0解析：选A 设曲线y ＝l n (2x －1)在点(x 0，y 0)处的切线与直线2x －y ＋3＝0平行． ∵y ′＝22x －1，∴y ′|x ＝x 0＝22x 0－1＝2，解得x 0＝1，∴y 0＝l n (2－1)＝0，即切点坐标为(1,0)．∴切点(1,0)到直线2x －y ＋3＝0的距离为d ＝|2－0＋3|4＋1＝5，即曲线y ＝l n (2x －1)上的点到直线2x －y ＋3＝0的最短距离是 5.10．放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象称为衰变．假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量M (单位：太贝克)与时间t (单位：年)满足函数关系：M (t )＝M 02－t30，其中M 0为t ＝0时铯137的含量．已知t ＝30时，铯137含量的变化率是－10l n 2(太贝克/年)，则M (60)＝( )A ．5太贝克B ．75l n 2太贝克C ．150l n 2 太贝克D ．150太贝克解析：选D M ′(t )＝－130l n 2×M 02－t30，由M ′(30)＝－130l n 2×M 02－3030＝－10 l n 2，解得M 0＝600，所以M (t )＝600×2－t30，所以t ＝60时，铯137的含量为M (60)＝600×2－6030＝600×14＝150(太贝克)．[能力提升综合练]1．函数y ＝(2 018－8x )3的导数y ′＝( ) A ．3(2 018－8x )2 B ．－24x C ．－24(2 018－8x )2 D ．24(2 018－8x 2)解析：选C y ′＝3(2 018－8x )2×(2 018－8x )′＝3(2 018－8x )2×(－8)＝－24(2 018－8x )2.2．函数y ＝12(e x ＋e －x )的导数是( )A.12(e x －e －x )B.12(e x ＋e －x ) C ．e x －e －x D ．e x ＋e －x解析：选A y ′＝12(e x ＋e －x )′＝12(e x －e －x )．3．已知直线y ＝x ＋1与曲线y ＝l n (x ＋a )相切，则a 的值为( ) A ．1 B ．2 C ．－1 D ．－2解析：选B设切点坐标是(x 0，x 0＋1)，依题意有⎩⎨⎧1x 0＋a ＝1，x 0＋1＝ln (x 0＋a )，由此得x 0＋1＝0，x 0＝－1，a ＝2.4．函数y ＝l n e x1＋e x 在x ＝0处的导数为________．解析：y ＝l n e x1＋e x＝l n e x －l n (1＋e x )＝x －l n (1＋e x )， 则y ′＝1－e x 1＋e x .当x ＝0时，y ′＝1－11＋1＝12.答案：125．设曲线y ＝e a x 在点(0,1)处的切线与直线x ＋2y ＋1＝0垂直，则a ＝________. 解析：令y ＝f (x )，则曲线y ＝e a x 在点(0,1)处的切线的斜率为f ′(0)，又切线与直线x ＋2y ＋1＝0垂直，所以f ′(0)＝2.因为f (x )＝e a x ，所以f ′(x )＝(e a x )′＝e a x ·(a x )′＝a e a x ，所以f ′(0)＝a e 0＝a ，故a ＝2.答案：26．f (x )＝ax 2－1且f ′(1)＝2，则a 的值为________．解析：∵f (x )＝(a x 2－1)12，∴f ′(x )＝12(a x 2－1)－12·(a x 2－1)′＝ax ax 2－1 .又f ′(1)＝2，∴aa －1＝2，∴a ＝2. 答案：27．求函数y ＝a S i n x 3＋b co S 22x (a ，b 是实常数)的导数． 解：∵⎝⎛⎭⎫a sin x 3′＝a co S x 3·⎝⎛⎭⎫x 3′＝a 3co S x 3， 又(co S 22x )′＝⎝⎛⎭⎫12＋12cos 4x ′＝12(－S i n 4x )×4＝－2S i n 4x ， ∴y ＝a S i n x 3＋b co S 22x 的导数为 y ′＝⎝⎛⎭⎫a sin x 3′＋b (co S 22x )′＝a 3co S x 3－2b S i n 4x . 8．曲线y ＝e 2x co S 3x 在(0,1)处的切线与l 的距离为5，求l 的方程．解：由题意知y ′＝(e 2x )′co S 3x ＋e 2x (co S 3x )′＝2e 2x co S 3x ＋3(－S i n 3x )·e 2x＝2e 2x co S 3x －3e 2x S i n 3x ，所以曲线在(0,1)处的切线的斜率为k ＝y ′|x ＝0＝2.所以该切线方程为y －1＝2x ，即y ＝2x ＋1.设l 的方程为y ＝2x ＋m ，则d ＝|m －1|5＝ 5. 解得m ＝－4或m ＝6.当m ＝－4时，l 的方程为y ＝2x －4; 当m ＝6时，l 的方程为y ＝2x ＋6.综上，可知l 的方程为y ＝2x －4或y ＝2x ＋6.。
简单复合函数的导数(教学设计)
§一、内容和内容解析内容：简单复合函数的导数.内容解析：要正确地对复合函数求导，首先要分析清楚复合函数的结构，教学中应将重点放在引导学生理解简单复合函数地复合过程中，即因变量通过中间变量表示为自变量的函数的过程，并明确复合过程中的自变量、因变量以及中间变量分别是什么.二、目标和目标解析目标：掌握复合函数求导法则，会用复合函数求导法则求简单复合函数的导数. 目标解析：通过观察、比较、分析、归纳等数学活动，能正确分解简单的复合函数，具备求出简单的形如复合函数的导数的能力.学生在独立思考的基础上，主动参与到数学活动的过程中,感受数学思考过程的条理性和数学结论的确定性,增强学好数学的信心.三、教学问题诊断分析教学问题：学生已经掌握了函数的求导以及一些基本初等函数的求导公式对于复合函数的导数,学生的认知困难主要在两个方面:（1）什么是复合函数？学生对新概念的理解和接受是比较困难的；（2）如何对复合函数进行求导？要求学生掌握方法并运用.因此,应该重视培养学生独立思考和计算的能力，重视学生参与知识的发现过程、重视课堂问题的设计,引导学生解决问题.基于以上分析，本节课的教学重点定为：运用复合函数求导法则求简单复合函数的导数的过程；教学难点定为：记忆复合函数求导法则的公式结构.四、教学策略分析教材主要研究形如()()y f g x =()ln 21y x =-，这样学生更容易理解复合函数是怎样“复合”的，同时也说明了该函数不是由基本初等函数通过加减乘除运算得到的，教材中通过细致研究sin 2y x =的导数，进而“抽象”地给出了复合函数的求导法则.对于复合函数的导数，教师在教学时要注意引导学生分析复合函数结构，找出中间变量，从而根据复合函数的求导法则进行求导；也可以再给几个复合函数的例子帮助学生掌握简单复合函数的求导，限于()f ax b +的形式即可.。
复合函数求导法则的教学设计
复合函数求导法则的教学设计
一、教学背景
1.1 教材依据：本次教学是基于中学数学课本的“复合函数求导法则”章节。
1.2 教学目的与要求：通过本次教学，使学生掌握复合函数求导法则，
达到理解复合函数求导法则的意义及熟练掌握对应的技能，可以更深
入地了解复合函数，以及更多地探索其他更复杂的复合函数求导问题。
二、教学内容
2.1 学习目标：
①了解复合函数求导法则中各个概念的定义和含义；
②熟练掌握各类复合函数求导法则；
③熟练运用复合函数求导法则解决具体问题。
2.2 教学重点：
1.掌握以下知识点：
①复合函数的概念；
②链式法则的定义、意义及其特点；
③背景知识：一阶和高阶导数的概念；
④运用复合函数求导法则解决具体问题。
2.教学步骤：
（1）让学生围绕复合函数在理论上进行讨论，学会建立函数和复合函
数之间的逻辑关系，从而让学生对复合函数有一个深入的了解和理解。
（2）让学生在重点知识点上举一反三，运用复合函数求导法则，学会联系复合函数的概念，积极发展活跃的思维，不断提高函数概念的把握水平，以及熟练掌握对应的技能。
（3）提供一些复杂的复合函数求导问题，让学生应用复合函数求导法则来解决，可以从多个角度进行不同的尝试，解决问题的过程将巩固学习知识并锻炼学生的技能。
三、教学方法
本次教学采用归纳法、演示法、解释法及讨论法，在每一重点知识点前用归纳法让学生对相关概念有一个大体的认识，在每一重点知识点中利用演示法让学生理解规律，在每一重点知识点的讲解过程中利用解释法，帮助学生进一步理解知识，同时使用讨论法让学生在团体中交换想法，达到彼此学习的目的。
《1.2.3简单复合函数的求导》教学设计
《1.2.3简单复合函数的求导》教学设计（共1课时，第1课时）【课程标准要求】利用导数的概念能求简单的复合函数的导数。
【教学目标】1.理解掌握复合函数的求导法则。
2.能够结合已学过的法则、公式，进行一些复合函数的求导。
3.培养学生善于观察事物，善于发现规律，认识规律，掌握规律，利用规律。
【学情与内容分析】本节在教材中起到了“承上启下”的作用，是前几节内容知识的延续，也是后面研究导数在函数中应用等函数综合问题的基础。
前几节学习了导数基本概念、基本初等函数的导数公式以及导数的四则运算法则。
教材以“你会求sin(21)y x =+的导数吗？”这个问题引入， 这个函数是不能通过基本初等函数的四则运算得到的，旧知识是不能求导的，那么我们有必要去研究这类函数的求导方法，激发学生对新知的求知欲。
在求导之前要弄清楚函数的结构，首先是引导学生分析sin(21)y x =+这个特殊复合函数的结构，让学生感受函数的复合过程，初步感知“复合函数”的概念，然后给出了复合函数的一般概念，体会数学抽象的过程。
在理解复合函数“复合”的过程中，重点引导学生理解因变量是如何通过中间变量表示为自变量的函数过程，自变量、中间变量、因变量是什么。
然后引导学生利用导数的定义来推导复合函数的求导公式，即((()))(())g ()f g x f g x x '''=，最后举例应用。
本节主要采用了“从特殊到一般”、“从具体到抽象”的数学思想方法，体现数学学科核心素养。
【教学准备】多媒体课件，挂图，实物，模型，仪器。
【难重点】重点：复合函数的结构分析、复合函数的求导法则推导及应用。
难点：复合函数的结构分析、求导法则的推导。
【教学过程】,),0h dx ，(),()(f u x g x '→'→记作)【板书设计】【评价设计】【作业设计】1、完成导学案内容；2、教材P26 1题、P27 8题【教学反思】。
高中数学：1.2《简单复合函数的导数》教案(苏教版选修2-2)
课 题：§简单复合函数的导数教学目的：知识与技能：理解掌握复合函数的求导法则.过程与方法：能够结合已学过的法则、公式，进行一些复合函数的求导情感、态度与价值观：培养学生善于观察事物，善于发现规律，认识规律，掌握规律，利用规律．教学重点：复合函数的求导法则的概念与应用 教学难点：复合函数的求导法则的导入与理解 教具准备：与教材内容相关的资料。
教学设想：提供一个舞台, 让学生展示自己的才华，这将极大地调动学生的积极性，增强学生的荣誉感，培养学生独立分析问题和解决问题的能力，体现了“自主探究”，同时，也锻炼了学生敢想、敢说、敢做的能力。
教学过程：学生探究过程： 一、复习引入：1.常见函数的导数公式：0'=C ；1)'(-=n n nx x ；x x cos )'(sin =；x x sin )'(cos -=2.法则1 )()()]()(['''x v x u x v x u ±=±．法则2 [()()]'()()()'()u x v x u x v x u x v x '=+, [()]'()Cu x Cu x '=法则3 '2''(0)u u v uv v v v -⎛⎫=≠ ⎪⎝⎭二、讲解新课：: 由几个函数复合而成的函数，叫复合函数．由函数)(u f y =与)(x u ϕ=复合而成的函数一般形式是)]([x f y ϕ=，其中u 称为中间变量．2(32)y x =-的导数的两种方法与思路：方法一：22[(32)](9124)1812x y x x x x '''=-=-+=-；方法二：将函数2(32)y x =-看作是函数2y u =和函数32u x =-复合函数，并分别求对应变量的导数如下：2()2u y u u ''==，(32)3x u x ''=-=两个导数相乘，得232(32)31812u x y u u x x ''==-=-，从而有 x u x u y y '''⋅=对于一般的复合函数，结论也成立，以后我们求y ′x 时，就可以转化为求y u ′和u ′x的乘积，关键是找中间变量，随着中间变量的不同，难易程度不同.3.复合函数的导数：设函数u =ϕ(x )在点x 处有导数u ′x =ϕ′(x )，函数y =f (u )在点x 的对应点u 处有导数y ′u =f ′(u )，则复合函数y =f (ϕ (x ))在点x 处也有导数，且x u x u y y '''⋅=或f ′x (ϕ (x ))=f ′(u )ϕ′(x ).证明：（教师参考不需要给学生讲）设x 有增量Δx ，则对应的u ，y 分别有增量Δu ，Δy ，因为u =φ(x )在点x 可导，所以u =ϕ (x )在点x Δx →0时，Δu →0.当Δu ≠0时，由xu u y x y ∆∆⋅∆∆=∆∆. 且x y u y u x ∆∆=∆∆→∆→∆00lim lim .∴xuu y x u u y x u u y x y x u x x x x ∆∆⋅∆∆=∆∆⋅∆∆=∆∆⋅∆∆=∆∆→∆→∆→∆→∆→∆→∆000000lim lim lim lim lim lim即x u x u y y '''⋅= (当Δu ＝0时，也成立)复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数5.复合函数求导的基本步骤是：分解——求导——相乘——回代． 三、讲解X 例：例1试说明下列函数是怎样复合而成的？⑴32)2(x y -=； ⑵2sin x y =； ⑶)4cos(x y -=π； ⑷)13sin(ln -=x y ．解：⑴函数32)2(x y -=由函数3u y =和22x u -=复合而成； ⑵函数2sin x y =由函数u y sin =和2x u =复合而成；⑶函数)4cos(x y -=π由函数u y cos =和x u -=4π复合而成；⑷函数)13sin(ln -=x y 由函数u y ln =、v u sin =和13-=x v 复合而成． 说明：讨论复合函数的构成时，“内层”、“外层”函数一般应是基本初等函数，如一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数等．例2写出由下列函数复合而成的函数：⑴u y cos =，21x u +=； ⑵u y ln =，x u ln =． 解：⑴)1cos(2x y +=； ⑵)ln(ln x y =． 例3求5)12(+=x y 的导数． 解：设5u y =，12+=x u ，则x u x u y y '''⋅=)'12()'(5+⋅=x u x2)12(52534⋅+=⋅=x u 4)12(10+=x ．注意：在利用复合函数的求导法则求导数后，要把中间变量换成自变量的函数.有时复合函数可以由几个基本初等函数组成，所以在求复合函数的导数时，先要弄清复合函数是由哪些基本初等函数复合而成的，特别要注意将哪一部分看作一个整体，然后按照复合次序从外向内逐层求导.例4求f (x )=sin x 2的导数. 解：令y =f (x )=sin u ; u =x 2∴x u x u y y '''⋅==(sin u )′u ·(x 2)x ′=cos u ·2x =cos x 2·2x =2x cos x 2 ∴f ′(x )=2x cos x 2 例5求y =sin 2(2x +3π)的导数.分析: 设u =sin(2x +3π)时，求u ′x ，但此时u 仍是复合函数，所以可再设v =2x +3π.解：令y =u 2，u =sin(2x +3π)，再令u =sin v ，v =2x +3π∴x u x u y y '''⋅==y ′u (u ′v ·v ′x )∴y ′x =y ′u ·u ′v ·v ′x =(u 2)′u ·(sin v )′v ·(2x +3π)′x=2u ·cos v ·2=2sin(2x +3π)cos(2x +3π)·2=4sin(2x +3π)cos(2x +3π)=2sin(4x +32π) 即y ′x =2sin(4x +32π) 例6求32c bx ax y ++=的导数.解：令y =3u ，u =ax 2+bx +c∴x u x u y y '''⋅==(3u )′u ·(ax 2+bx +c )′x =3231-u ·(2ax +b )=31(ax 2+bx +c )32-(2ax +b )=322)(32c bx ax bax +++即y ′x =322)(32c bx ax b ax +++例7求y =51xx-的导数. 解：令xxu u y -==1,5 ∴x u x u y y '''⋅==(5u )′u ·(xx-1)′x 4455221(1)(1)11(1)()55x x x x x x x u x x x--''-------=⋅=⋅21x -=== 即y ′x =－542)(51x x x -例8 求y =sin 2x 1的导数.解：令y =u 2，u =sinx 1，再令u =sin v ，v =x 1∴x u x u y y '''⋅=·v ′x =(u 2)′u ·(sin v )′v ·(x 1)′x=2u ·cos v ·210x -=2sin x 1·cos x 1·21x -=－21x ·sin x 2∴y ′x =－21x sin x2例9 求函数y =(2x 2－3)21x +的导数.分析: y 可看成两个函数的乘积，2x 2－3可求导，21x +是复合函数，可以先算出21x +对x 的导数.解：令y =uv ，u =2x 2－3，v =21x +, 令v =ω，ω=1+x 2x x v v ωω'''=⋅=ω' (1+x 2)′x=22211122)2(21xxx x x +=+=-ω ∴y ′x =(uv )′x =u ′x v +uv ′x =(2x 2－3)′x ·21x ++(2x 2－3)·21xx +=4x23232161321xx x xx x x ++=+-++即y ′x =2316xx x ++四、巩固练习：1．求下列函数的导数(先设中间变量，再求导).(1)y =(5x －3)4(2)y =(2+3x )5 (3)y =(2－x 2)3(4)y =(2x 3+x )2 解：(1)令y =u 4，u =5x －3∴x u x u y y '''⋅==(u 4)′u ·(5x －3)′x =4u 3·5=4(5x －3)3·5=20(5x －3)3 (2)令y =u 5，u =2+3x∴x u x u y y '''⋅==(u 5)′u ·(2+3x )′x =5u 4·3=5(2+3x )4·3=15(2+3x )4 (3)令y =u 3，u =2－x 2∴x u x u y y '''⋅==(u 3)′u ·(2－x 2)′x =3u 2·(－2x )=3(2－x 2)2(－2x )=－6x (2－x 2)2 (4)令y =u 2，u =2x 3+x∴x u x u y y '''⋅==(u 2)′u ·(2x 3+x )′x=2u ·(2·3x 2+1)=2(2x 3+x )(6x 2+1)=24x 5+16x 3+2x2.求下列函数的导数(先设中间变量，再求导)(n ∈N *) (1)y =sin nx (2)y =cos nx (3)y =tan nx (4)y =cot nx 解：(1)令y =sin u ，u =nxx u x u y y '''⋅==(sin u )′u ·(nx )′x =cos u ·n =n cos nx(2)令y =cos u ，u =nxx u x u y y '''⋅==(cos u )′u ·(nx )′x =－sin u ·n =－n sin nx(3)令y =tan u ，u =nxx u x u y y '''⋅==(tan u )′u ·(nx )′x =(uucos sin )′u ·n=2)(cos )sin (sin cos cos u u u u u --⋅·n =nxnn u 22cos cos 1==n ·sec 2nx (4)令y =cot u ，u =nxx u x u y y '''⋅==(cot u )′u ·(nx )′x =(uusin cos )′u ·n =2)(sin cos cos sin sin u u u u u ⋅-⋅-·n =－u 2sin 1·n =－nxn2sin =－n csc 2nx 五、教学反思 ：⑴复合函数的求导，要注意分析复合函数的结构，引入中间变量，将复合函数分解成为较简单的函数，然后再用复合函数的求导法则求导；⑵复合函数求导的基本步骤是：分解——求导——相乘——回代六、课后作业：。
1.2.2复合函数的求导法则(第二课时)
1 8. (ln x ) . x
'
2. 导数的运算法则:
1. f x g x ' f ' x g ' x ; 2. f x g x ' f ' x g x f x g ' x ;
y y u (e u )' 0.05 x 1 ' 0.05 x 1 u ( 0.05) 0.05e . e
' x ' u ' x
例2 求下列函数的导数
1 y 2 x 3 ; 2 y e 0.05 x 1 ; 3 y sin x 其中 , 均为常数 .
U∈D
2.复合函数的导数: 复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u),u=g(x) f x[ ( x)] f (u) ( x). 的导数间关系为 yx y u ux ; 或 注:1)y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数 的乘积. 如:求函数y=(3x-2)2的导数, 令y=u2,u=3x-2, 2u , ux 3, 从而 yx y 则 yu u ux 18 x 12 2)法则可以推广到两个以上的中间变量.
推论: [c f ( x )]' c f ' x
f ' x g x f x g ' x f ( x) g x 0 . 3. [ ]' 2 g( x ) g x
复合函数的求导法则
二、新课——复合函数的导数：
复习回顾
1. 基本初等函数的导数公式:
1. c ' 0
人教版高中数学第一章1.2第3课时复合函数的求导问题
32
x＋1
(2)对，y′＝e2x·(2x)′＝2e2x. (3)错，由 y＝(2x－1)2＝4x2－4x＋1，得 y′＝8x－4. 答案：(1)× (2)√ (3)×
2．函数 y＝sin 2x 的导数为( ) A．y′＝cos 2x B．y′＝2xsin 2x C．y′＝2cos 2x D．y′＝2sin 2x 解析：y′＝(sin 2x)′＝cos 2x·(2x)′＝2cos2x.
二、听思路。
思路就是我们思考问题的步骤。例如老师在讲解一道数学题时，首先思考应该从什么地方下手，然后在思考用什么方法，通过什么样的过程来进行
解答。听课时关键应该弄清楚老师讲解问题的思路。
三、听问题。
对于自己预习中不懂的内容，上课时要重点把握。在听讲中要特别注意老师和课本中是怎么解释的。如果老师在讲课中一带而过，并没有详细解答， 大家要及时地把它们记下来，下课再向老师请教。
四、听方法。
在课堂上不仅要听老师讲课的结论而且要认真关注老师分析、解决问题的方法。比如上语文课学习汉字，一般都是遵循着“形”、“音”、“义”
的研究方向；分析小说，一般都是从人物、环境、情节三个要素入手；写记叙文，则要从时间、地点、人物和事情发生的起因、经过、结果六个方面进
行叙述。这些都是语文学习中的一些具体方法。其他的科目也有适用的学习方法，如解数学题时，会用到反正法；换元法；待定系数法；配方法；消元
类型 3 导数运算法则的综合应用(误区警示) [典例 3] 求下列函数的导数： (1)y＝(ax＋b)n； (2)y＝a3x·cos (2x＋1)． 易错提示：对于复杂的复合函数的求导，往往由于弄
不清复合关系和不会选择恰当的导数公式而致误．
防范措施：对于较为复杂的复合函数的求导，首先要 弄清楚是由几个简单的基本初等函数符合而成的．第(2) 小题中的函数是由两个复合函数的乘积构成的函数，求 导时，既要考虑复合关系又要考虑求导法则的使用，稍 不仔细就会出错．
第一章-§1.2-§1.2.2复合函数求导
· 素
两个函数的积的导数 [f(x)·g(x)]′＝_f_′(_x_)_g_(_x_)＋__f_(_x_)_g_′(_x)
短 板 补
救 案 · 素
养
养
养 成
gf（（xx））′＝
培 优
两个函数的商的导数 f′（x）g（x）－f（x）g′（x）
课 堂
___________[_g_（__x_）__]_2_________
课 后
探 究
(g(x)≠0)
提 升
案
案
·
·
素
素
养
养
提
达
升
成
菜单
数学(A)·选修2-2
第一章 导数及其应用
课 前
(1)和(差)导数公式的拓展
短 板
预 习
①可以推广到有限个函数的和(或差)的情形：
补 救
案 · 素
若y＝f1(x)±f2(x)±…±fn(x)，
案 · 素
养 养
则y′＝f′1(x)±f′2(x)±…±f′n(x)．
养 培
成
优
（1）y=sin x; (2) y 4x 2x 1;
课
课
堂 探
(3) y cos2 (3x 6);
后 提
究
升
案
案
·
·
素
素
养
养
提
达
升
成
菜单
数学(A)·选修2-2
第一章 导数及其应用
课
短
前 预
知识点二 复合函数的 求导法则
板 补
习
救
案 ·
【问题2】
计算函数y＝cos(3x－1)的导数，试述复
复合函数求导法则的教学设计
复合函数求导法则的教学设计摘要：本文主要介绍了《复合函数求导法则》这节课的一种创新性讲法，利用这种新的教学设计方法，不仅便于理解、容易掌握，更加强了学员分析、解决问题的能力。
关键词：复合函数复合分解求导法则复合函数求导法则是《高等数学》课程中的一个重要内容，是在学习了导数的概念，函数求导法则的基础上，对函数求导方法的进一步研究，并为后面学习导数的应用打下了坚实的基础。
通过对本节课的学习，不仅增强了学员对函数性质的理解，同时也加强了学员对现实生活中客观现象的认知能力。
下面我根据自己的实际教学效果，介绍本节课的教学设计如下：一、教学目的（一）教学目标1.认知上：了解复合函数求导法则，通过对法则的学习，能够熟练求出复合函数的导数。
2.能力上：通过对复合函数求导法则的学习，培养学员分析归纳、抽象概括的能力以及联系与转化的思维方法。
3.情感上：通过对本节课的学习，激发学员学习数学的兴趣，并养成严谨的学习态度。
（二）教学重点和难点本节课的教学重点是复合函数求导法则和计算，教学难点是三层复合函数求导的计算。
（三）教学方法主要运用讲授法，并结合启发式教学法，引导学员从数学本身和军事现象入手，探讨复合函数求导数的方法。
充分贯彻“以学为主”，发挥学员的积极性。
二、教学创新通过深入挖掘教材，我突破了传统的教学模式，并没有直接给出复合函数求导法则，而是通过对“为什么学？学什么？有什么用？”这三个问题进行回答，来展开教学。
（一）为什么学？本节课，我首先从数学问题和军事问题入手，突出学习复合函数求导法则的必要性和迫切性，从而引出问题。
这么做的目的不仅考虑了数学的连贯性，并且在发挥素质教育功能的基础上，贯彻职业技术士官教改中的“为专业服务，注重应用和实践”的思想，同时回答了我们本节课“为什么要学习这个课题”。
这么设计即复合学员基础较差的实际特点，又符合学员从感性到理性，从具体到抽象的认知规律。
（二）学什么？如何计算？对于课题，我重点从法则和计算这两个方面来进行研究。
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§1.2.2复合函数的求导法则
教学目标 理解并掌握复合函数的求导法则．
教学重点 复合函数的求导方法：复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数之积．
教学难点 正确分解复合函数的复合过程，做到不漏，不重，熟练，正确．一．创设情景
（一）基本初等函数的导数公式表
（二）导数的运算法则
（2）推论：[]'
'
()()
cf x cf x = （常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数）
二．新课讲授
复合函数的概念 一般地，对于两个函数()y f u =和()u g x =，如果通过变量u ，y 可以表示成x 的函数，那么称这个函数为函数()y f u =和()u g x =的复合函数，记作
()()y f g x =。
复合函数的导数 复合函数()()y f g x =的导数和函数()y f u =和()u g x =的导数间的关系为x u x y y u '''=⋅，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．
若()()y f g x =，则()()()()()
y f g x f g x g x ''''==⋅⎡⎤⎣⎦三．典例分析
例1求y ＝sin （tan x 2）的导数．【点评】
求复合函数的导数，关键在于搞清楚复合函数的结构，明确复合次数，由外层向内层逐层求导，直到关于自变量求导，同时应注意不能遗漏求导环节并及时化简计算结果．例2求y ＝
ax
x a x 22
--的导数．
【点评】本题练习商的导数和复合函数的导数．求导数后要予以化简整理．例3求y ＝sin 4x ＋cos 4x 的导数．
【解法一】y ＝sin 4x ＋cos 4x ＝(sin 2x ＋cos 2x )2－2sin 2cos 2x ＝1－2
1
sin 22 x ＝1－
41（1－cos 4 x ）＝43＋4
1
cos 4 x ．y ′＝－sin 4 x ．【解法二】y ′＝(sin 4 x )′＋(cos 4 x )′＝4 sin 3 x (sin x )′＋4 cos 3x (cos x )′＝4 sin 3 x cos x ＋4 cos 3 x (－sin x )＝4 sin x cos x (sin 2 x －cos 2 x )＝－2 sin 2 x cos 2 x ＝－sin 4 x 【点评】
解法一是先化简变形，简化求导数运算，要注意变形准确．解法二是利用复合函数求导数，应注意不漏步．
例4曲线y ＝x （x ＋1）（2－x ）有两条平行于直线y ＝x 的切线，求此二切线之间的距离．
【解】y ＝－x 3 ＋x 2 ＋2 x y ′＝－3 x 2＋2 x ＋2 令y ′＝1即3 x 2－2 x －1＝0，解得 x ＝－3
1
或x ＝1．于是切点为P （1，2），Q （－
31，－27
14），过点P 的切线方程为，y －2＝x －1即 x －y ＋1＝0．
显然两切线间的距离等于点Q 到此切线的距离，故所求距离为2
|
12714
31|++-＝22716
．
四．课堂练习
1．求下列函数的导数 (1) y =sin x 3+sin 33x ；（2）1
22sin -=x x y ;(3))2(log 2
-x a 2.求)132ln(2
++x x 的导数
五．回顾总结
六．布置作业。