特征值与特征向量6.ppt

(2)求齐次线性方程组 (I A)X 0
的一个基础解系 1 ,2 ,,t t n R(I A)
(3) A的 对 应 特 征 值的 全 部 特 征 向 量: k11 k22 ktt (k1 , k2 ,, kt不全为0) V L(1 ,2 ,,t ) dim V t n R(I A)
1 , 1 ,
1
1
1 . 0
A
2 2
2
,
A
4 4
4 ,
A 3 k .
1
2,4是A的特征值, , 分别是A对应于特征值
2，4的特征向量, 不是A的特征向量.
4
定义 设A是n阶方阵，
若数 和n维非零列向量 ，使得 A 成立，
则称 是方阵A的一个特征值，
是方阵A的对应于特征值 的一个特征向量.
§5. 1 基本概念与计算 §5. 2 矩阵的相似对角化 §5. 3 n维向量空间的正交化 §5. 4 实对称矩阵的相似对角化
1
§ 5.1 基本概念与计算
一、特征值与特征向量的定义 二、特征值与特征向量的性质 三、特征值与特征向量的计算
2
一、特征值与特征向量的定义
例 矩阵
A 3 1 , 1 , 1 , 1 .
说明 1. 特征向量 0,
特 征 值 问 题 是 对 方 阵 而言 的. 特征值与特征向量是成对出现的
5
二、 性质
1. 设 A 0, 则 A k kA k k .
k是A对 应 于 特 征 值的 特 征 向 量
2. 设A1 1 , A2 2 则
A1 2 A1 A2 1 2 (1 2 )
a21
a22
a1n
a2n
an1 an2 ann
是关于 的一个多项式，称为矩阵A的特征多项式,
f A( ) I A 0 称为矩阵A的特征方程,
特征方程 的根就是特征值,也称为特征根.
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求特征值、特征向量的步骤：
A
(1)解 特 征 方 程I A 0 即可求出特征值 ;
1 2是A对应于特征值的特征向量
推广 设Ai i i 1,2,, s, 则
k11 k22 kss是A对 应 于 特 征 值的 特 征 向 量
6
特征子空间 设 V | A , Rn 0
则由特征值与特征向量的性质可知：
, V , V V , k R, k V . 故 V 是 n 维向量空间Rn 的子空间 . V 称为矩阵 A 的特征子空间.
22 7 0
(3次多项式)
特征值为：1 2 2, 3 7
(2称为二重根) (7称为单根)
15
特征值为：1 2 2, 3 7 1 2 2
2 2 4
当1 2 2时, 解方程(2I A)X 0 2 4 2
1 2I A 2
2 4
2 4
1 0
I
A
1
3
1
3
1 1
0 0 x1 x2 ,
基础解系 1 11
对应特征值1 2的全部特征向量k11 (k1 0)
当2 4时, 解方程(4I A)X 0.由
4I
A
4
1
3
4
1
3
1 1
11
1 0
10
12
1 0
1 0
x1 x2 ,
1
基础解系 2 1
对应特征值2 4的全部特征向量
19
1 1 1 1
1 1 1 1
1 ( 1)
11
1
1
0
( 1)
1
2
2
1
0 2 1 2
1 1 1
0 0 0 1
1 2 ( 1) 2 1
2 2
( 1)2 1 2 2 1
0
0 1 (4次多项式)
10
例
求A
3 1
31的特征值和特征向量.
解 A的特征多项式为
(2次多项式)
3
I A 1
1
3
(
3)2
1
2
6
8
( 4)( 2) 0
所以A的特征值为 1 2, 2 4.
当1 2时, 解方程(2I A)X 0.由
2I
A
2
1
3
2
1
3
1 1
11
1 0
01
11
特征值为 1 2, 2 4.
1
基础解系 3 2
2
对应特征值 7的全部特征向量
k33 (k3不为0)
18
0 1 1 1
设
A
1 1
0 1 1 0
1 1
,
1 1 1 0
求A的特征值与特征向量．
解 1 1 1
1 1 1 1
1 I A
1
1
1
( 1)
1 1
1 1 1
1 1 1
1 1 1
1 1 1
7I
A
8 2
2 5
2 4
2 4
5 1
4 1
2
4
5
2 4 5
2 5 4 2 0 9 9 0
5 1
4 1
2 0
0 1
1
1
1 0
0 1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ1 2 1
0 9 9 0 0
0 0 0 0
0
0
0
17
1 0 1
2
0 1 1
x1
1 2
x3
0
0
0
x2 x3
k22 (k2 0)
13
例
设
A
1 2
2 2
2
4 求A的特征值与特征向量．
2 4 2
解 A的特征多项式
1 2 2
I A 2 2 4
2 4 2
1
2 0
2
2 2
2 1
4 2
2 0
4
6
0
2 4
2
14
1 4 2
I A 2 6 4
0 0 2
2 2 5 6 8
1 3
1
1 0
A 2 21 2 , A 4 4 1 4 ,
2 1
4 1
A 3 k .
1
y A
x
0
A
A
3
定义 设A是n阶方阵，
若数 和n维非零列向量 ，使得 A 成立，
则称 是方阵A的一个特征值，
是方阵A的对应于特征值 的一个特征向量.
例
A
3 1
31 ,
2 0
2 0
2 4 4 0 0 0
2
2
x1 2x2 2x3 基础解系
1 1 , 2 0.
对应特征值2的全部特征向量
0
1
k11 k22 (k1, k2不全为0)
16
1 2 2 2 2 4
当3 7时, 解 方程(7I A)X 0 2 4 2
7
三、特征值与特征向量的计算
A (数和n维非零列向量 )
( A I ) 0或(I A) 0
齐次线性方程(I A)X 0有非零解 ,
特征值满足：I A 0，
对应特征值的特征向量
即是方程I AX 0的非0解
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定义
Ann
aij
, 数
nn
a11 a12
fA() I A