2019高考数学(理)计算题解答题100题精练精解

2019高考数学（理）计算题解答题100题

精练精解

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 1.

（本小题满分10分）【选修4—5 不等式选讲】

已知关于x 的不等式m x x ≤++-31的解集不是空集，记m 的最小值为t ． （1）求t 的值；

（2）若不等式31++-x x ＞a x -的解集包含[－1,0] ，求实数a 的取值范围．

2.

（本小题满分10分）【选修4—4 坐标系统与参数方程】

以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点M 的直角坐标

为(1,0)，若直线l cos()104π

θ+-=，曲线C 的参数方程是2

44x t y t

⎧=⎨

=⎩（t 为参数）．

（1）求直线l 和曲线C 的普通方程； （2）设直线l 和曲线C 交于A ，B 两点，求11

MA MB

+

． 3.

（本小题满分12分）

设函数()()2ln 11f x x ax x =-+++，()()21x g x x e ax =-+，a R ∈． （1）若函数()g x 有两个零点，试求a 的取值范围； （2）证明()()f x g x ≤． 4.

（本小题满分12分）

已知动圆M 过定点()2,0E ，且在y 轴上截得的弦PQ 的长为4．

(1)求动圆圆心M 的轨迹C 的方程；

(2)设A ，B 是轨迹C 上的两点，且4OA OB ⋅=-uu r uu u r

，()1,0F ，记OFA OAB S S S ∆∆=+，求S 的最小值．

5.

(本小题满分12分)

某厂有4台大型机器，在一个月中，一台机器至多出现1次故障，且每台机器是否出现故障是相互独立的，出现故障时需1名工人进行维修．每台机器出现故障需要维修的概率为

1

3

．

（1）问该厂至少有多少名工人才能保证每台机器在任何时刻同时出现故障时能及时进行维修的概率不少于90%？

（2）已知一名工人每月只有维修1台机器的能力，每月需支付给每位工人1万元的工资．每台机器不出现故障或出现故障能及时维修，就使该厂产生5万元的利润，否则将不产生利润．若该厂现有2名工人．求该厂每月获利的均值．

6.

（本小题满分12分）

如图，在四棱锥P - ABCD中，P A⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD＝DC＝AP＝2，AB＝1，点E为棱PC的中点．

（1）证明：BE⊥DC；

（2）若F为棱PC上一点，满足BF⊥AC，求二面角F－AB－P的余弦值．

7.

(本小题满分12分)

如图，在锐角三角形ABC中，D为边AC的中点，且BC==O为△ABC外

接圆的圆心，且

3 cos

4

AOC

∠=-．

(1)求△ABC的余弦值；

(2)求△ABC 的面积． 8.

设函数12)(-++=x x x f .

（Ⅰ）求)(x f 的最小值及取得最小值时x 的取值范围； （Ⅱ）若集合{},01)(|R ax x f x =>-+求实数a 的取值范围。

9.

在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 的参数方程为cos ,

sin x t y αα

=⎧⎨

=⎩（0t >，α为参数）.

以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，直线l 的

sin()34

π

θ+

=.

（Ⅰ）当1t =时，求曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值； （Ⅱ）若曲线C 上的所有点都在直线l 的下方，求实数t 的取值范围. 10.

已知a >0，函数2(),()ln f x ax x g x x =-=. (1)若1

2

a =

，求函数()2()y f x g x =-的极值， (2)是否存在实数a ，使得()()f x g ax ≥成立？若存在，求出实数a 的取值集合；若不存在，请说明理由． 11.

已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b

+=>>，圆Q ：()(22

2=2x y -+的圆心Q 在椭圆C

上，点P （0C （I ）求椭圆C 的方程；

（II ）过点P 作互相垂直的两条直线l 1，l 2，且l 1交椭圆C 于A ，B 两点，直线l 2交圆Q 于C ，D 两点，且M 为CD 的中点，求△MAB 的面积的取值范围．

12.

如今我们的互联网生活日益丰富，除了可以很方便地网购，网上叫外卖也开始成为不少人日常生活中不可或缺的一部分.为了解网络外卖在A市的普及情况，A市某调查机构借助网络进行了关于网络外卖的问卷调查，并从参与调查的网民中抽取了200人进行抽样分析，得到下表：（单位：人）

情况与性别有关？

（Ⅱ）①现从所抽取的女网民中利用分层抽样的方法再抽取5人，再从这5人中随机选出3人赠送外卖优惠卷，求选出的3人中至少有2人经常使用网络外卖的概率.

②将频率视为概率，从A市所有参与调查的网民中随机抽取10人赠送礼品，记其中经常使用网络外卖的人数为X，求X的数学期望和方差.

参考公式：

2

2

()

()()()()

n ad bc

K

a b c d a c b d

-

=

++++

，其中n a b c d

=+++.

参考数据：

13.

如图，在四棱锥 P﹣ABCD 中，PC⊥底面 ABCD，ABCD 是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，AB=2AD=2CD=2．E是PB的中点．

（Ⅰ）求证：平面 EAC⊥平面 PBC；

（Ⅱ）若二面角P﹣AC﹣E PA与平面EAC 所

成角的正弦值．