用逆矩阵解矩阵方程(课堂PPT)

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（另法）
（1）由 A X A 2 X 得
A ( X I ) 2 X 2 ( X I ) 2 I
整理后可得
(A2I)[1(XI)]I 2
于是 A2I可逆。
（2）由上式得
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XI2(A2I)1
1 0 0 1 4 3 0 1 02 1 5 3
0 0 1 1 6 4
3 8 6
2 9 6
第7讲用逆矩阵解矩阵 方程
主讲教师：张丽清
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知识结构
矩阵方程
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复习
行变换
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主要内容
矩阵方程是什么？ 怎么解矩阵方程？
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实例1 矩阵用来表示 线性方程组
下表给出了这三种食物提供的营养以及大学生的正常所需营养（它们的质 量以适当的单位计量）。
根据这个问题建立一个线性方程组，并通过求解方程组来确定每天需要摄入 的上述三种食物的量。
A 1 1 0
1
2
3
(1) 证明：A2I可逆；(2) 求X。
解 （1）
2 2 3
1 1 0
∵ A2I1 1 0 行 0 1 1
1 2 1
0 0 1
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∴ A2I满秩 由此得 A2I可逆。
（2）由 A X A 2 X 可得 (A2I)X ，A 故
X(A2I)1A
3 2
8 6
9 6
2 12 9
[B T(IA 1 B )T] 1 {[I (A 1 B )B ]T} 1
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[B ( A)T]1
1 0 0 0
1
0 0
0 2 0
0 0 3
01
0
0 0
0
1 2 0
0
1 3
0
0
0 0 0 4 0 0 0 1 ▌
4
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例 设矩阵X 满足 A X A 2 X ， 其中
4 2 3
2 12 9
▌
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矩阵方程：
AX = C， XB = D， AXB = F
其中A、B、C、D、F均为已知矩阵，而X为未知矩阵。
当系数矩阵A、B都是可逆矩阵时，
AX = C XA1C
XB = D XC B 1 AXB = F XA 1F1 B
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5ห้องสมุดไป่ตู้
则线性方程组的矩阵形式为
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矩阵方程
形如AX = C
XB = D
AXB = F
其中A、B、C、D、F均为已知矩阵，而X为未知矩阵。
则这三者都是矩阵方程
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逆矩阵解法
特殊的矩阵
矩阵可逆
唯一解
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例 解矩阵方程
2 1
53X12
6 1
例 解矩阵方程
1 1 1
X0 1
1 0
2
2
12
1 1
0 3
10
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例 已知矩阵A、B、X满足下述关系
其中
(IA 1 B )T X (B T ) 1
1 1 0 0
A0 0
1 0
1 1
01,
0 0 0 1
求X。
2 1 0 0
B0 0
3 0
1 0 4 1
0 0 0 5
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解 由 (IA 1 B )TX (B T ) 可1得 X [I( A 1 ) B T ] 1 (B T ) 1