数学分析7.3上极限和下极限

第七章 实数的完备性 3 上极限和下极限
定义1：若在数a 的任一邻域内含有数列{x n }的无限多个项，则称a 为{x n }的一个聚点.
注：点列（或数列）的聚点邻域中可以包含无限个相同的项；而点集（或数集）的聚点邻域中只能包含无限个不同的项。

定理7.4：有界点列(数列){x n }至少有一个聚点，且存在最大聚点与最小聚点.
证：∵{x n }为有界数列，∴存在M>0，使得|x n |≤M ，记[a 1,b 1]=[-M,M]. 将[a 1,b 1]等分成两个子区间，若右边的子区间含有{x n }中无穷多个项，则取右边的区间，否则取左边的区间为[a 2,b 2]，则
[a 1,b 1]⊃[a 2,b 2],且b 2-a 2=2
1(b 1-a 1)=M. [a 2,b 2]含有{x n }中无穷多个项； 将[a 2,b 2]等分成两个子区间，若右边的子区间含有{x n }中无穷多个项，则取右边的区间，否则取左边的区间为[a 3,b 3]，则 ∴[a 2,b 2]⊃[a 3,b 3],且b 3-a 3=2
1(b 2-a 2)=
2
M
. [a 3,b 3]含有{x n }中无穷多个项； 依此规律，将等分区间无限进行下去，可得区间列{[a n ,b n ]}满足 [a n ,b n ]⊃[a n+1,b n+1],且b n -a n =
2
-n 2
M
→0 (n →∞)，即{[a n ,b n ]}是区间套，且 每一个闭区间都含有{x n }中无穷多个项，而 其右边至多只有{x n }中有限多个项.
由区间套定理，存在唯一的一点ξ，使得ξ∈[a n ,b n ], n=1,2,….
又对任给的ε>0，存在N>0，使得当n>N 时有[a n ,b n ]⊂U(ξ; ε)， ∴U(ξ; ε)内含有{x n }中无穷多个项，∴ξ为{x n }的一个聚点. 若ξ为{x n }的唯一的聚点，则ξ同时为{x n }的最大聚点和最小聚点. 若{x n }有聚点ζ>ξ，则令δ=3
1(ζ-ξ)>0，在U(ζ,δ)内含有{x n }中无穷多个项， 且当n 充分大时，U(ζ,δ)将落在[a n ,b n ]的右边，矛盾。

∴ξ为{x n }的最大聚点.
同理，在取区间列{[a n ,b n ]}时，优先挑选左边的子区间，则 最后得到的聚点为{x n }的最小聚点.
定义2：有界数列(点列){x n }的最大聚点A 与最小聚点A 分别称为{x n }
的上极限与下极限，记作：A =∞
→n
lim x n ，A =∞
→n lim x n .
例1：∞
→n lim (-1)n 1n n +=1，∞→n lim (-1)n 1n n +=-1；∞→n lim sin 4n π=1，∞→n lim sin 4
n π
=-1；∞
→n lim
n 1=∞→n lim n
1
=0.
定理7.5：对任何有界数列{x n }有. ∞
→n lim x n ≤∞
→n lim x n .
定理7.6：∞
→n lim x n =A 的充要条件是：∞
→n lim x n =∞
→n lim x n =A.
定理7.7：设{x n }为有界数列，则
1、A 为{x n }上极限的充要条件是：任给ε>0， (1)存在N>0，使得当n>N 时，有x n <A +ε；
(2)存在子列{x
n}, x k n>A-ε，k=1,2,….
k
2、A为{x n}下极限的充要条件是：任给ε>0，
(1)存在N>0，使得当n>N时，有x n>A-ε；
(2)存在子列{x
n}, x k n<A+ε，k=1,2,….
k
证：1、[必要性]∵A是{x n}的聚点，∵对任给的ε>0，
在U(A,ε)内含有{x n}中无穷多项，设为{x
n}，则有x k n>A-ε，k=1,2,….
k
又A是{x n}的最大聚点，∴在A+ε的右边至多只有{x n}的有限个项，设此有限项的最大下标为N，则当n>N时，有x n<A+ε.
[充分性]任给的ε>0，由条件(1)和(2)可知，
在U(A,ε)内含有{x n}中无穷多项，∴A是{x n}的一个聚点.
1(a-A)，则由条件(1)可知，
又设a>A. 记ε=
2
在U(a,ε)内至多只有{x n}的有限个项，∴a不是{x n}的聚点，即
A是{x n}的最大聚点.
2、同理可证。

定理7.7’：设{x n}为有界数列，则
1、A为{x n}上极限的充要条件是：对任何a>A，{x n}中大于a的项至多有限个；对任何b<A，{x n}中大于b的项有无限多个.
2、A为{x n}下极限的充要条件是：对任何b<A，{x n}中小于b的项至多有限个；对任何a>A，{x n}中小于a的项有无限多个.
定理7.8：(上、下极限的保不等式性)设有界数列{a n},{b n}满足：
存在N 0>0，当n>N 0时有a n ≤b n ，则∞→n lim a n ≤∞
→n lim b n ，∞
→n lim a n ≤∞
→n lim b n . 特别地，若m,M 为常数，又存在N 0>0，当n>N 0时有m ≤a n ≤M ，则
m ≤∞
→n lim a n ≤∞
→n
lim a n ≤M. 证：设∞→n lim a n =a, ∞
→n lim b n =b ，若a>b ，取ε=2
b
-a >0，则 {a n }中大于a-ε=a-
2b -a =b+2
b
-a =b+ε的项有无限多个. ∵b n ≥a n ，∴{b n }中大于b+ε的项有无限多个，与∞→n
lim b n =b 矛盾， ∴a ≤b ，即∞→n lim a n ≤∞
→n lim b n . 同理可证∞
→n lim a n ≤∞
→n lim b n . 又m=∞
→n lim m ≤∞
→n lim a n ≤∞→n
lim a n ≤∞→n lim M=M ，即m ≤∞
→n lim a n ≤∞
→n lim a n ≤M.
例2：设{a n },{b n }为有界数列. 证明：∞→n
lim (a n + b n )≤∞→n lim a n +∞
→n lim b n . 证：设∞→n lim a n =A ，∞
→n lim b n =B ，则对任给的ε>0，存在N>0，使当n>N 时， 有a n <A+2ε
，b n <B+2
ε；∴a n +b n <A+B+ε. 由上极限的保不等式性得
∞
→n lim (a n + b n )<A+B+ε. 由ε的任意性得∞
→n lim (a n + b n )≤A+B=∞
→n lim a n +∞
→n lim b n .
定理7.9：设{x n }为有界数列，则
1、A 为{x n }上极限的充要条件是：A =n
k n sup lim ≥∞
→{x k }. 2、A 为{x n }下极限的充要条件是：A =n
k n inf lim ≥∞→{x k }.
证：1、[必要性] 设∞
→n lim x n =A (A 为有限值). 则对任给的ε>0， {x n }中大于A +2
ε的项至多有限个. 设这有限个项中下标最大者为N ， 则当n ≥N+1时，x n ≤A +2ε，∴1
N k sup +≥{x k }≤A +2
ε<A +ε.
又{x n }中大于A -ε的项有无限多个，∴对一切n ，有n
k sup ≥{x k }>A -ε.
∴当n>N 时，有A -ε<n
k sup ≥{x k }<A +ε. ∴n
k n sup lim ≥∞
→{x k }=A .
[充分性]设n
k n sup lim ≥∞→{x k }=A (A 为有限值).
设A n =n
k sup ≥{x k }，则{A n }递减，∴A =inf{A n }，即
对任给的ε>0，存在N ，使A N <A +ε，∴当n ≥N 时，x n <A +ε， 即{x n }中大于A +ε的项至多有限个；又对一切n ，有A n ≥A >A -ε，
∴{x n }中大于A -ε的项有无限个，∴∞
→n lim x n =A . 2、∵∞→n lim (-x n )=n
k n sup lim ≥∞
→{-x n }=-n
k n inf lim ≥∞→{x n }，又∞→n lim (-x n )=-∞
→n lim x n ， ∴∞
→n lim x n =n
k n inf lim ≥∞→{x k }.
注：对非正常点±∞，以上定理皆成立.
习题
1、求以下数列的上、下极限： (1){1+(-1)n }；(2){(-1)n
1
2n n
+}；(3){2n+1}； (4){1n 2n +sin 4n π}；(5){n 1n 2+sin n
π
}；(6){n |3n πcos |}.
解：记原数列为{x n } . 一般地，若P 为自然数，且
∞
→k lim x kp =A 0, ∞
→k lim x kp-1=A 1, …, ∞
→k lim x kp-p+1=A p-1存在，则
对∀ε>0，存在自然数N ，使得当k>N 时，A j -ε<x kp-j <A j +ε(j=0,1,…p-1). 设min{A 0, A 1, …, A p-1}=A ，则小于A+ε的x n 有无限项.
若对某个正数ε，数列{x n }中小于A-ε的x n 有无限项，设它们是 x 1
n ,x 2
n ,…,x j
n ,…，(n 1<n 2<…<n j <…). ∵自然数集N 可分为有限个子集：
{kp|k ∈N},{kp-1|k ∈N},…{kp-k+1|k ∈N}，且n j 有无限个，
∴以上p 个子集中，必有一个(设为第j 个)含有无限个n j ，即有 n i
j =k i p+j(i=1,2,…). ∴∞
→i lim x i
j n =∞
→i lim x i
k
p+j =A j . ∴A j ≤A-ε<A 与A 最小矛盾.
∴∞
→n lim x n =min{A 0, A 1, …, A p-1}. 同理可得∞
→n lim x n =max{A 0, A 1, …, A p-1}. (1)∵∞
→k lim x 2k-1=0，∞
→k lim x 2k =2，∴∞
→n lim x n =0，∞
→n lim x n =2. (2)∵∞
→k lim x 2k-1=-21，∞
→k lim x 2k =21，∴∞
→n lim x n =-21，∞
→n lim x n =2
1. (3)∵∞
→n lim x n =+∞，∴∞
→n lim x n =∞
→n lim x n =+∞. (4)∵∞
→k lim x 8k-7=∞
→k lim x 8k-5=2，∞
→k lim x 8k-6=2，∞
→k lim x 8k-4=∞
→k lim x 8k =0，
∞
→k lim x 8k-3=∞
→k lim x 8k-1=-2，∞
→k lim x 8k-2=-2，∴∞
→n lim x n =-2，∞
→n lim x n =2.
(5)∵∞→n lim n 1n 2
+sin n π=∞→n lim n
πn πsin
·
n )1π(n 2
2
+=π，∴∞→n lim x n =∞→n lim x n =π. (6)∵∞
→k lim x 3k-1=∞
→k lim x 3k-2=∞
→k lim x 3k =1，∴∞
→n lim x n =∞
→n lim x n =1.
2、{a n },{b n }为有界数列. 证明：
(1)∞
→n lim a n =-∞
→n lim (- a n )；(2)∞
→n lim a n +∞
→n lim b n ≤∞
→n lim (a n +b n )； (3)若a n >0,b n >0，则∞
→n lim a n ∞
→n lim b n ≤∞
→n lim a n b n ；∞→n lim a n ∞→n lim b n ≥∞
→n lim a n b n ； (4)若a n >0,∞
→n lim a n >0，则n n
a 1lim ∞
→=n
n a lim 1∞
→. 证：(1)设∞
→n lim a n =a ，则对任给的ε>0，小于a-ε的a n 至多有限项，
小于a+ε的a n 有无限项，即{-a n }中大于-a+ε的至多有限项，
大于-a-ε的有无限项，∴∞→n lim (- a n )=-a, 即∞
→n lim a n =-∞
→n lim (- a n ). (2)设∞
→n lim a n =a ，∞
→n lim b n =b ，∞
→n lim (a n +b n )=c ，若a+b>c ，则对任给的ε>0，
有无限个n ，使得a n +b n <c+ε，取ε0=2
1
(a+b-c)>0，则有无限个n ，使
a n +
b n <c+21(a+b-c)=21(a+b+c)=a+b-2
1(a+b-c)=a+b-ε0.
又∞
→n lim a n =a ，∞
→n lim b n =b ，∴至多有有限个n 和有限个m ，使得
a n <a-
2ε0, b m <b-2
ε
0. 设分别有p 个a n 项，和q 个b m 项满足以上条件. 则满足a n +b n <a+b-ε0的n 至多有pq 个，矛盾. ∴a+b ≤c ，即
∞
→n lim a n +∞
→n lim b n ≤∞
→n lim (a n +b n )；
(3)设∞
→n lim a n =a ，∞
→n lim b n =b ，∞
→n lim a n b n =c ，若ab=0，∵a n b n >0，∴c ≥0.
即0=ab=∞
→n lim a n ∞
→n lim b n ≤c=∞
→n lim a n b n ，成立.
若a>0,b>0，设ab>c ，任取ε>0，使ab-c>ε>0，则有无限多项满足
a n
b n <c+2ε<c+21(ab-c)=21(ab+c)=ab-21(ab-c)<ab-2ε< ab-2ε+16ab
ε2.
又至多有有限项(设为p 项)满足a n <a-4b
ε
, 且有限项(设为q 项)满足b m <b-
4a
ε
, 从而至多有pq 项满足 a n b n <(a-4b ε)(b-4a ε)=ab-2ε
+16ab
ε2，矛盾. ∴∞→n lim a n ∞→n lim b n ≤∞→n lim a n b n .
同理可证：∞→n
lim a n ∞→n lim b n ≥∞
→n lim a n b n ； (4)设∞
→n lim a n =a>0，则对任给的ε>0，取ε充分小，使ε<a ，且a ε<1，
令ε1=a ε-1εa 2>0，ε2=a ε1εa 2+>0，则{a n }中小于a+ε1=a ε
-1a
的项有无限多个，
小于a-ε2=a ε
1a
+的项至多有限个，则{n a 1}中
大于
a a ε-1=a 1
-ε的项有无限多个，大于a a ε1+=a 1+ε的项至多有限个， ∴n
n a 1lim ∞→=a 1=n n a lim 1∞
→.
3、证明：若{a n }为递增数列，则∞
→n lim a n =∞
→n lim a n . 证：若{a n }有界，则由单调有界定理知，∞
→n lim a n 存在，且∞
→n lim a n =∞
→n lim a n . 若{a n }无界，则∞
→n lim a n =+∞，从而对任意正数M ， {a n }中大于M 的项有无限多个，设a N >M ，由{a n }的增性，当n>N 时，
a n >a N >M ，∵∞
→n lim a n =+∞=∞
→n
lim a n ，得证.
4、证明：若a n >0(n=1,2,…)且∞
→n
lim a n ·n
n a 1
lim ∞→=1，则数列{a n }收敛. 证：∵a n >0，∵∞
→n lim a n ≥0，若∞
→n lim a n =0，则对任给的正数M ，
{a n }中小于
M
1
的项有无限多个，即{n a 1}中大于M 的项有无限多个，
∴n n a 1lim ∞→=+∞，与∞→n lim a n ·n
n a 1
lim ∞→=1矛盾，∴∞→n lim a n >0. 又n n a 1lim ∞
→=n n a lim 1∞
→，∴∞→n lim a n ·n
n a lim 1
∞
→=1， 即∞→n lim a n =∞→n lim a n ，∴{a n }收敛.。