第十章 静电场中的导体和电介质习题解讲解

第十章静电场中的导体和电介质

10–1 如图10-1所示，有两块平行无限大导体平板，两板间距远小于平板的线度，设板面积为S，两板分别带正电Qa和Qb，每板表面电荷面密度

σ1σ2，σ3= σ4

解：建立如图10-2所示坐标系，设两导体平板上的面电荷密度分别为σ1，σ2，σ3，σ4。由电荷守恒定律得

σ1

Qa Qb

σ2 σ3 σ4

σ1S+σ2S=Qa （1）σ3S+σ4S=Qb （2）

设P，Q是分别位于二导体板内的两点，如图10-2所示，由于P，Q位于导板内，由静电平衡条件知，其场强为零，即

图10-1

Q

Q

σσσσ

EP=---=0 （3）

2ε02ε02ε02ε0

EQ=

σ1σ2σ3σ4

++-=0 （4）2ε02ε02ε02ε0

σ

2 σ

4

Q

由方程（1）~（4）式得

Q+Qb

（5）σ1=σ4=a

2S

Q-Q （6）σ2=-σ3=2S

1，4），带等量同号电荷。

图10-2

由此可见，金属平板在相向的两面上（面2，3），带等量异号电荷，背向的两面上（面10–2 如图10-3所示，在半径为R的金属球外距球心为a的D处放置点电荷+Q，球内一点P到球心的距离为r，OP与OD夹角为θ，感应电荷在P点产生的场强大小为，方向；P点的电势为。

图10-3

图10–

4

解：（1）由于点电荷+Q的存在，在金属球外表面将感应出等量的正负电荷，距+Q的近

端金属球外表面带负电，远端带正电，如图10-4所示。P点的场强是点电荷+Q 在P点产生的场强E1，与感应电荷在P点产生的场强E2的叠加，即

EP=E1+E2，当静电平衡时，EP=E1+E2=0，由此可得

E2=-E1=-

Q

4πε0(a+r-2arcosθ)

2

2

er

其中er是由D指向P点。

因此，感应电荷在P点产生的场强E2的大小为

101

E2=Q

4πε0(a+r-2arcosθ)22

方向是从P点指向D点。

（2）静电平衡时，导体是等势体。P点的电势VP等于球心O点的电势VO。而由电势叠加原理，球心O点的电势VO是由点电荷+Q在该点的电势V1和感应电荷在该点的电势V2的叠加，即

VP=VO=V1+V2

其中，点电荷+Q在O点的电势V1为

V1=Q 4πε0a

由于感应电荷是非均匀地分布在导体球外表面，设球面上面积元dS处的面电荷密度为σ，则它在球心的电势为

O点产生的电势为σdS，考虑球的半径是一常量，故整个球面上的感应电荷在球心4πε0R

V2= ⎰⎰σdS1=S4πε0R4πε0R ⎰⎰SσdS

由电荷守恒可知，感应电荷的代数和

V2= ⎰⎰SσdS=0。因此⎰⎰SσdS=0

QQ+0= 4πε0a4πε0a14πε0R所以，P点电势为 VP=VO=V1+V2=

10–3 如图10-5所示，三个无限长、半径分别为R1，R2，R3的同轴导体圆柱面。A和C接地，B带电量为Q，则B的内表面的电荷Q1和外表面的电荷Q2之比为。

解：三个导体圆柱面构成两个圆柱形电容器，电容分别为

QRCBA==2πε0Lln VB-VAR1CBC=RQ=2πε0Lln VB-VCR2

由于A和C接地，则VB-VA=VB-VC，因此

Rln2

Q1R1= R3Q2lnR2图10–5

10–4 一平行板电容器，充电后断开电源，然后使两极板间充满相对介电常数为εr 的各向同性均匀电介质，此时电场能量是原来的倍。如果在充入电介质时，电容器一直与电源相连，能量是原来的倍。

q2

解：一平行板电容器，充电后断开电源，其电荷量不变，根据电容器能量公式We=，2C可得电容器充入电介质后的能量W´与充入电介质前的能量W之比为

102

We'CC1=== WeC'εrCεr

1若电容器一直与电源相连，电容器电压不变，根据公式W=CV2，可得 2

We'C'εC===εr WeCC

10–5 一平行板电容器两极板间电压为V，其间充满厚度为d，相对介电常数为εr 的各向同性均匀电介质，则电介质中的电场能量密度we 。解：电介质内场强为E=V。故电介质中的电场能量密度为 d

2ε0εrV2121⎛V⎫ we=εE=ε0εr ⎪=222d⎝⎭2d

10–6 如图10-6所示，真空中有一点电荷q，旁边有一半径为R的球形带电导体，q距球心为d（d>R），球体旁附近有一点P，P在q与球心的连线上，静电平衡时，P点附近导体的面电荷密度为σ 。以下关于P点电场强度大小的答案中，正确的是[ ]。

A．σq+ 2ε04πε0(d-R)2

σq-B．2ε04πε0(d-R)σq+ ε04πε0(d-R)2

σq-D．ε04πε0(d-R)2C．

E．图10–6

σ ε0

F．以上答案全不对

解：导体处于静电平衡时，邻近导体表面P处的电场强度大小为σ /ε0，正确答案选（E）。 10–7 如图10-7所示，一半径为R的金属球接地，在与球心相距d=2R 处有一点电荷+q，则金属球上的感应电荷q´为[ ]。

A．+qq B．0 C．- D．由于感应电荷分布非均匀，因此无法求出 22

q 解：金属球面上感应电荷q´分布非均匀，设感应电荷的面电荷密度为σ，在导体球面面积元dS处的感应电荷为σdS，则它在球心的电势为σdS，故整个球面上4πε0R

q' 4πε0R感应电荷在球心O处产生的电势为 V1= ⎰⎰σdS1=S4πε0R4πε0R

⎰⎰SσdS=图10–7 电荷+Q在球心O处产生的电势为

103

V2=q 4πε0(2R)

由电势叠加原理，球心O处的电势由点电荷+q和导体表面的感应电荷q´在该处产生的电势的叠加，又由于金属球接地，于是

VO=V1+V2=q'q+=0 4πε0R4πε0(2R)

由此可求得导体表面上存在感应电荷为

qq'=- 2

故应选（C）。

10–8 下列说法正确的是[ ]。

A．高斯面上各点的D为零，则面内必不存在自由电荷

B．高斯面上各点的E为零，则面内自由电荷的代数和为零，极化电荷的代数和也为零

C．高斯面内不包围自由电荷，则面上各点D必为零

D．高斯面上各点的D仅与自由电荷有关

解：高斯面上各点的D为零，表明曲面内自由电荷的代数和一定为零；所以（A）说法错误。

由电介质的高斯定理⎰⎰SD⋅dS=∑Qi和D=εE，可知高斯面上各点的E为零，则曲面内自由电荷的代数和一定为零。又由⎰⎰SE⋅dS=ε0∑1qin=Qi+q'，可知极化电荷∑ε01

的代数和也为零，所以（B）说法正确。