数学竞赛专题讲座---复数

复 数

专题一 复数与数列

复数数列的题目主要体现对复数运算的规律性的把握．

例1 设数列 ,,,,21n z z z 是首项为48，公比为)26(4

1

i +的等比复数列． （1）求4z ．

（2）将这个数列中的实数项，不改变原来的次序，从首项开始，排成 ,,,,21n a a a ，试求3a ． （3）求无穷级数 ++++n a a a 21的和． 解：（1）)6sin 6(cos 2

1)26(41ππi i r +=+=

．i r z 2124834==． （2）使r 为实数的最小自然数是6，数列 ,,,,21n a a a 是首项为48，公比为6

r 的等比数列．所以

4

3

3=

a ． （3）这个级数是公比8

1

6

-

==r 的无穷等比级数，从而和3

128

)

8

1(148=

--=． 例2 今定义复数列 ,,,,21n a a a 如下，n n ka a a i a i a +=+=+=+1121,31,1（)2≥n ，k 为正的常数．问复数n a 的辐角的正切与哪一个值最接近？（当∞→n 时）

分析：寻求n a 的一般式，再注意取极限的方法以及相关讨论．

解：1+n a 的辐角记作θ，212111)1(a k k k a ka a a n n n n --+++++=+= ． （1）当1=k 时，i n n a a n a n )31()1(211+-+=+-=+，所以)(13

1tan ∞→→+-=n n

n θ． （2）当1≠k 时，21111

1)1(a k k k a a n n n --++--=k

k k k k n n n ---++

--=-13)13(1111 ∴)()10(1)1(1

3313)13(1tan 1∞→⎪⎩

⎪

⎨⎧<<>+-→---+=-n k k k k k k k n

n n θ． 例3 （1）设在复数列 ,,,,10n z z z 之间有如下关系：),3,2,1)((11 =-=--+n z z z z n n n n α，其中)1(≠αα是常复数．当1,010==z z 时，试将n z 的值用α表示．

（2）若（1）中的i 31+=α，求在圆10||=z （z 是复数）的内部总共含有n z 的个数． 解：（1）αα=-=-)(0112z z z z ,2

1223)(αα=-=-z z z z (1)

211)(----=-=-n n n n n z z z z α

α

于是，从1≠α得，α

α--=11n

n z ．

（2）)3

sin

3

(cos

231π

π

αi i +=+=，所以)3

sin 3(cos

2ππαn i n n n +=,要使n z 在圆10||=z 的内部，它的充分必要条件是10,z <，∴100||2

c o s 21(3

1

21n n n n n z z +-=⋅+π

， ∴100)23cos

2

1(3

121

<+-+n n n π．又n n n 2123

cos 21+-+π221)21(221n n n -=+->+， 能适合300)21(2<-n 的n 只是4,3,2,1,0．在逐个验证这五个点确信都在圆10||=z 的内部，故符合条件的点共有5个．

例4 设平面上有点 ,,10P P ，如图所示，其中，线段 ,,,21100P P P P OP ，的长成首项为1，公比为

r 的等比数列．

（1）若10<

（2）将（1）中的极限点用Q 表示．若固定2

1

=r 而θ变动时，点Q 所

描述的是怎样的曲线？

解：（1）)sin (cos θθωi r +=，此时，若将表示点n P 的复数记作n z ，则有n n n z z ω=--1，其中1

-z 就是原点O ．于是)1(11112

≠--=++++=+ωωωωωωn n

n z ．|

1||1||||11|1

1ωωωω-=-=--++n n n r z , 因此，若10<

-11所表示的点最靠近． （2）ω-=

11z ，则有z z 1-=ω，2

1

=r 固定，θ做变动，点ω总在以原点为圆心的圆周上．但因21||=

ω，故有2|1||

|=-z z ．于是当点ω在以原点为中心，21为半径的圆上，点ω-11相应的在以点34为

圆心，

3

2

为半径的圆上． 例5 设在复平面上:

（1）原点为O ，表示复数Z 的点为A ，点B 由||||k =，, 的交角为θ所确定。试求 表示点B 的复数。这里k 是实数。

（2）点列 ,,,,,210n A A A A 由下述方式确定：0A 取)0,0(，1A 取

)0,1(，),3,2,1(1 =+n A n 由||2||11n n n n A A A A -+=，以及n n n n A A A A 11,-+的夹角θ所定义。试求被表示为n A 复数n z 。 （3）若（2）中，2

π

θ=，且记12311-+++=n z z z S ，n z z z S 2422+++= ，将212iS S +化

简。