武汉理工大学工程力学B8-9章及复习概论

10.3104 (cm4 )
Iz Iz1 Iz2 (7.2 10.3)104 17.5104 (cm4 )
单位：cm
[例] 计算图示图形对其形心轴z轴的惯性矩。
12 y
解：
Iz
12163
12
10123 12
86
C
z
86
2
2.656103(cm4)
单位：cm
[例] 计算图示图形对其形心轴z轴的惯性矩。
A
IP (z2 y2)dA
A
IP z2dA y2dA
y
A
A
IP Iy Iz
dA
d
θy z
Cz
Iz Iy IP 2Iz
[例] 计算空心圆对于其对称轴（形心轴）的惯性矩。
y Dd
C
解：
D
2
2
I z 3d (sin )2d
d
0
2
z
D
2
d
3d
2
0
1
cos2
2
d
2
Iz
D4
64
d 4
求： I z
I zc y c 2 d A I z y 2 dA
zC I z y c a 2 d A
I z yc 2 2 ayc a 2 dA
z
I z I zc 2 a yc dA a 2 dA
I z I zc a 2 A
注意: C点必须为形心
40 10
[例] 计算图示图形对其形心轴z轴的惯性矩。
工程力学
轴向拉压杆 轴
内力
轴力
扭矩
梁
弯矩、剪力
应力
正应力 切应力 正应力、切应力
变形 伸缩量 扭角 挠度、转角
回顾与比较
内力
应力
FN
A
F
M
FAx
FAy
FS
?
?
回顾与比较
M
M
FAy
FS
FS
FB
FS 剪力 —— 平行于横截面的内力的合力。 τ
M 弯矩 —— 垂直于横截面的内力系的合力偶矩。 σ
（平面弯曲，自然满足）
由（3）式
Mz A(dA) y AEy2dA
E
A
y
2
dA
EI
z
M
I z y2dA
A
E
y
1 Mz
EI z
EIz 梁的抗弯刚度。
My
Iz
z x
dA
y dA
y
My
Iz
xM
z x
y
梁弯曲正应力公式
变形几何关系 y
物理关系
E
E y
静力学关系 1 M
EIz
My
Iz
1
为曲率半径 为梁弯曲变形后的曲率
My
Iz
max
Mymax Iz
Wz——梁截面的弯曲截面系数。
Wz
Iz ymax
max
M max Wz
max
M Wz
例题8-1
计算矩形截面的惯性矩Iz。
解：
dA b dy
z
Iz
y2dA
A
h 2 y2bdy
h 2
h
y dy
h
y3b 2 3 h
假设：纵向纤维无挤压。
当 P时， E
P
E y
式中：E和ρ为常数，所以横截面
上正应力与 y 成正比。
x
--曲线
z x
y
5 静力关系：
横截面上的正应力组成一个 空间平行力系，可以简化后 得到三个内力分量：
Fx 0
Fy 0 Fz 0 Mx 0
My 0
Mz M
（1）
（2） （3）
z Fx
I z iz2 A
I y iy2 A
iz和iy分别称为图形对于z轴和y轴的惯性半径。
iz
Iz A
,
iy
Iy A
圆截面：
iz
d 4
Iz A
64
d 2
d 4
4
组合图形的惯性矩：
y 1
2 C
3
Iz y2dA
A
y2dA
z
Ai
Izi
y 1
Cz
平行移轴公式
y
yC
b zC dA yC
C
a
已知： Izc , a, b
64
Iz
D 4
64
(1 4 )
( d )
D
同理：
z
z
y
y
I z I z外 I z空
常见截面的 Iz 和 Wz
Iz y2dA
A
Wz
IZ y max
空心矩形截面
圆截面
Iz
d4
64
Wz
d3
32
空心圆截面
Iz
D4
64
(1 4 )
Wz
D3 32
(1
4)
矩形截面
bh3 Iz 12
FS x
M x
1、实验现象
ac
2、假定和推断
bd
M
a
c
b
d
⑴ 平截面假定
中性层：中间一层纤 M 维长度不变。
中性轴：中性层与横 截面的交线。
⑵ 单一应力假定
纵向对称面
z
横截面上只有正
应力，无切应力。
中性层 中性轴 x⑶ 推断
横截面上同一层高
y
度处变形相同。
3、几何关系
变形前 变形后
变化量
4 物理关系：
bh2 Wz 6
Iz
b0 h0 3 12
bh3 12
Wz
( b0h03 12
bh3 12
)
/(
h0
/ 2)
梁弯曲正应力公式
变形几何关系 y
物理关系
E
E y
静力学关系 1 M
EIz
My
Iz
1
为曲率半径 为梁弯曲变形后的曲率
作业
• 4.3 • 4.8 • 5.8
惯性半径：
A1
y 1
A2
y 2
A1 A2
a
10
20 10
45 20
4015 20 4015
z
26.25(cm)
y
z1
Iz Iz i Iz1 Iz2
I z1
20103 12
2010(4526.25) 2
7.2104(cm4)
40 10
20 y
1
C2
az
y
z1
15
Iz2
15 403 12
1540(26.2520) 2
限制：平面弯曲、服从胡克定律
•具有纵向对称面 •外力都作用在此面内 •弯曲变形后轴线变成对称面内的平面曲线
第八章 梁弯曲的工程理论(Ⅰ):应力分析和强度设计
§8-1 对称截面梁纯弯曲时的正应力
• 梁——主要承受弯曲变形的杆件。 • 纯弯曲
– 内力只有弯矩。
• 横力弯曲
– 内力既有弯矩又有剪力。
180 10
C
z1
解：yc
2
bh3 12
y
b
Iy
hb3 12
[例8.2]计算圆形对于其对称轴（形心轴）的惯性矩。
解： dA dd
y sin
y
dA
d
d
θ
z
C
Iz y2dA
A
Iz A( sin )2 dd
d
2
3d
2
(sin
)2d
0
0
d
2
0
3d
2
0
1
cos2
2
d
d 4
Iz 64
Iz Iy
极惯性矩： I P 2dA
20 y
1
C2
15
解：
y Ai yi A
A1
y 1
A2
y 2
A1 A2
10
20 10
45 20
4015 20 4015
z
26.25(cm)
y
z1
Iz Iz i Iz1 Iz2
单位：cm
[例] 计算图示图形对其形心轴x轴和y轴的惯性矩。
40 10
20 y
1
C2
15 单位：cm
解：
y Ai yi A
My x
Mz y
xM
Fx AdA 0
（1）
M y A(dA)z 0 M z A(dA) y M
（2） （3）
由（1）式
Fx
dA
A
A E
y
dA
E
A ydA
E
SZ
0
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
E
y
由于 E
0， 所以必须
Sz
0
所以，z (中性)轴必须通过形心
z Fx
My x
Mz y
z
x
dA
y dA
zy
由（2）式
M y A(dA)z 0