函数导数中恒成立问题解题技巧

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解答恒成立问题的常规思路

知识导航恒成立问题在近几年的高考数学试题中占据了一席之地，是同学们需要重视并学习的重点内容.恒成立问题是一类综合性较强的问题，常与不等式、函数、导数、数列等知识相结合，重点考查了同学们分析、解决问题的能力.本文重点介绍三种常见的求解思路.一、分离参数分离参数法是解答含参恒成立问题的基本方法，主要通过变形把不等式中的参数和变量分离，然后运用导数法、函数的单调性等求得不含参数式子的最值，进而构造出满足不等式恒成立的条件，使问题获解.例1.已知函数f()x=ln x-a x，若f()x<x2在()1,+∞上恒成立，求a的取值范围.解：∵ln x-a x<x2，x>0，∴a>x ln x-x3，令g()x=x ln x-x3，则g'()x=1+ln x-3x2，令h()x=g'()x=1+ln x-3x2，∴h'()x=1x-6x=1-6x2x，∵h()x在[)1,+∞单调递减，h()x<h()1=-2，即g'()x<0，∴g()x在[)1,+∞单调递减，g()x<g()1=-1，∴a≥g()1=-1，f()x<x2在()1,+∞上恒成立时，a≥-1.解答本题的基本思路是，首先将不等式变形，使参数分离，然后对不含有参数的式子进行求导，通过分析其导函数的正负来讨论函数的单调性，进而求得不含有参数式子的最值，得到a的取值范围.二、数形结合数形结合法是解答恒成立问题的重要方法.在解题时，需首先将不等式变形，构造出一个或者两个简单的基本函数，然后绘制出函数的图象，通过分析函数的图象找出临界的位置关系，从而建立使不等式恒成立的关系式，使问题得解.在解答恒成立问题时灵活运用数形结合法，能快速找到解题的思路，显著提升解题的效率.例2.若存在正数x使2x(x-a)<1成立，则a的取值范围是.解：不等式2x(x-a)<1可变形为x-a<(12)x.在同一平面直角坐标系内作出直线y=x-a与y=(12)x的图象.由题意可得，在(0，+∞)上，直线有一部分在曲线的下方．由图象可知-a<1，所以a>-1.运用数形结合法能使解题过程变得更加直观、简洁，是求解恒成立问题经常采取的方法之一.在运用数形结合法解题时还应注意正确绘制函数的图象.三、利用函数的单调性虽然恒成立问题较为复杂，但我们可以结合不等式的结构特点构造合适的函数，将问题转化为函数问题，再讨论函数的单调性，建立使不等式恒成立的关系式，从而解题.我们可以利用函数单调性的定义，也可以利用导数来讨论函数的单调性.例3.已知函数f(x)=1-22x+1为奇函数.若对任意的t∈R，不等式f[t2-(m-2)t]+f(t2-m+1)>0恒成立，求实数m的取值范围．解：设任意x1，x2∈R，且x1<x2，∴f(x1)-f(x2)=1-22x1+1-1+22x2+1=2(2x1-2x2)(2x1+1)(2x2+1).∵x1<x2，∴2x1-2x2<0，(2x1+1)(2x2+1)>0，∴f(x1)<f(x2)，∴f(x)为R上的单调递增函数．∵f(x)=1-22x+1为奇函数，且在R上为增函数，由f[t2-(m-2)t]+f(t2-m+1)>0恒成立可得f[t2-(m-2)t]>-f(t2-m+1)=f(m-t2-1)，化简得2t2-(m-2)t-m+1>0，∴Δ=(m-2)2+8(m-1)<0，解得-2-22<m<-2+22，∴m的取值范围为(-2-22，-2+22)．本题主要是利用函数单调性的定义来确定函数的单调性，然后利用函数的单调性建立关于t的不等式，再利用方程的判别式建立关于m的不等式，求得m的取值范围.解答恒成立问题的方法还有很多，如函数最值法、判别式法、导数法等，而以上三种方法是解答恒成立问题的常用方法.无论运用上述哪种方法解题，同学们都要注意首先将不等式合理进行变形，构造适当的函数模型，灵活运用导数、不等式、函数等知识，以及转化思想、数形结合思想解题.（作者单位:江苏省江阴市第一中学）37。

高考数学导数恒成立问题的解法及例题

高考数学导数恒成立问题的解法
对于恒成立问题，一般采取的方法有两种：一是利用函数的单调性，二是利用函数的最值。

1. 利用函数的单调性
如果函数f(x)在区间D上单调，可以根据函数的单调性来解决问题。

例如，不等式f(x) > 0在区间D上恒成立，那么只需要找到满足f(x)min > 0的x值即可。

2. 利用函数的最值
如果函数f(x)在区间D上不是单调的，那么可以转化为求函数的最值问题。

例如，不等式f(x) > 0在区间D上恒成立，可以转化为求f(x)的最小值，只要最小值大于0，那么不等式就恒成立。

例题：已知函数f(x) = x2 + ax + 4在区间[-1,2]上都不小于2，求a的取值范围。

解法：首先根据题意得到函数f(x) = x2 + ax + 4在区间[-1,2]上的最小值为2，然后根据二次函数的性质得到对称轴为x=-b/2a=-a/2。

我们需要分三种情况讨论：
1. 当-a/2≤-1时，即a≥2时，函数在[-1,2]上是增函数，只需要满足f(-1)=1-a+4≥2即可，解得a≤3，所以2≤a≤3；
2. 当-a/2≥2时，即a≤-4时，函数在[-1,2]上是减函数，只需要满足
f(2)=4+2a+4≥2即可，解得a≥-4，但是此时a没有合适的取值，故舍去；
3. 当-1<-a/2<2时，即-4<a<2时，函数在对称轴左侧是减函数，右侧是增函数，只需要满足f(-a/2)=(-a/2)2-a2/4+4≥2即可，解得-4<a≤-2。

综上可得a的取值范围为：[-4,-2]∪[2,3]。

函数导数中地恒成立问题解题技巧

临沂市高三二轮会材料函数导数中的恒成立问题解题技巧函数导数中的恒成立问题解题技巧新课标下的高考越来越重视考查知识的综合应用，恒成立问题涉及方程、不等式、函数性质与图象及它们之间的综合应用，同时渗透换元、转化与化归、数形结合、函数与方程等思想方法，考查综合解题能力，尤其是在函数、导数中体现的更为明显，也是历年高考的热点问题,根据本人的体会，恒成立问题主要有以下几种.一、利用函数的性质解决恒成立问题例1 已知函数32=+--++(,)()(1)(2)f x x a x a a x ba b∈R．(1)若函数()f x 的图象过原点，且在原点处的切线斜率是3-，求,a b 的值；(2)若函数()f x 在区间(1,1)-上不单调．．．，求a 的取值范围．解：(1)由题意得)2()1(23)(2+--+='a a x a x x f又⎩⎨⎧-=+-='==3)2()0(0)0(a a f b f ，解得0=b ，3-=a 或1=a (2)函数)(x f 在区间)1,1(-不单调，等价于导函数)(x f '在)1,1(-既能取到大于0的实数，又能取到小于0的实数即函数)(x f '在)1,1(-上存在零点，根据零点存在定理，有0)1()1(<'-'f f ，即：0)]2()1(23)][2()1(23[<+---+--+a a a a a a 整理得：0)1)(1)(5(2<-++a a a ，解得15-<<-a所以a 的取值范围是{}15-<<-a a .【方法点评】利用函数的性质解决恒成立问题，主要是函数单调性的应用，函数在给定的区间上不单调意味着导函数在给定的区间上有零点，利用函数零点的存在性定理即可解决问题.二、利用数形结合思想解决恒成立问题例2 已知3x =是函数()()2ln 110f x a x x x =++-的一个极值点．（1）求a ；（2）求函数()f x 的单调区间；（3）若直线y b =与函数()y f x =的图象有3个交点，求b 的取值范围．【方法指导】（1）在极值点处导数为零，可以求a 的值；（2）求函数的单调区间借助()0f x '>可以求出单调递增区间，()0f x '<可以求出单调递减区间；（3）根据函数()f x 的单调性可以求出其极大值和极小值，画出图象，数形结合可以求出b 的取值范围.解：（1）因为()'2101a f x x x =+-+，所以()'361004a f =+-=，因此16a =．（2）由（1）知，()()()216ln 110,1,f x x x x x =++-∈-+∞，()()2'2431x x f x x -+=+ 当()()1,13,x ∈-+∞时，()'0f x >；当()1,3x ∈时，()'0f x <．所以()f x 的单调增区间是()()1,1,3,-+∞，()f x 的单调减区间是()1,3．（3）由（2）知，()f x 在()1,1-内单调增加，在()1,3内单调减少，在()3,+∞上单调增加，且当1x =或3x =时，()'0f x =所以()f x 的极大值为()116ln 29=-f ，极小值为()332ln 221f =-因此()()21616101616ln291f f =-⨯>-=()()213211213f e f --<-+=-<所以在()f x 的三个单调区间()()()1,1,1,3,3,-+∞直线y b =有()y f x =的图象各有一个交点，当且仅当()()31f b f <<因此，b 的取值范围为()32ln221,16ln29--．【方法点评】数形结合是高中数学中常考的思想方法之一，在有关取值范围问题、单调性问题、最值问题中体现较明显，同时方程的根及函数零点也可转化为交点问题解决.三、分离参数解决恒成立问题例3 已知函数()ln a f x x x=-， (1)当0a >时，判断()f x 在定义域上的单调性；(2)若2()f x x <在(1,)+∞上恒成立，求a 的取值范围．【方法指导】（1）通过判断导数的符号解决；（2）由于参数a 是“孤立”的，可以分离参数后转化为一个函数的单调性或最值等解决．解：(1)由题意：()f x 的定义域为(0,)+∞，且221()a x a f x x x x+'=+=． 0,()0a f x '>∴>，故()f x 在(0,)+∞上是单调递增函数． (2)322ln ,0.ln ,)(x x x a x x x a x x x f ->∴><-∴<又令232116()ln ,()()1ln 3,()6x g x x x x h x g x x x h x x x x-''=-==+-=-=， ()h x 在[1,)+∞上是减函数，()(1)2h x h ∴<=-，即()0g x '<，()g x ∴在[1,)+∞上也是减函数，()(1)1g x g ∴<=-．令1a ≥-得()a g x >，∴当2()f x x <在(1,)+∞恒成立时，a 的取值范围是{}1-≥a a ．【方法点评】分离参数是恒成立问题中的一种重要解题方法，分离参数后，构造新函数，求新函数的最值即可解决恒成立问题中的参数取值范围.四、利用两个函数的最值解决恒成立问题例4 [2014·新课标全国卷Ⅰ] 设函数f (x )＝a e x ln x ＋b e x －1x ，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y ＝e(x －1)＋2.(1)求a ，b ；(2)证明：f (x )>1.解：(1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝a e x ln x ＋a x e x －b x 2e x －1＋b x e x －1.由题意可得f (1)＝2，f ′(1)＝e ，故a ＝1，b ＝2.(2)证明：由(1)知，f (x )＝e x ln x ＋2x e x －1，从而f (x )>1等价于x ln x >x e －x －2e .设函数g (x )＝x ln x ，则g ′(x )＝1＋ln x ，所以当x ∈)1,0(e 时，g ′(x )<0；当x ∈),1(+∞e时，g ′(x )>0. 故g (x )在)1,0(e 上单调递减，在),1(+∞e上单调递增，从而g (x )在(0，＋∞)上的最小值为)1(eg ＝－1e . 设函数h (x )＝x e －x －2e，则h ′(x )＝e －x (1－x )．所以当x ∈(0，1)时，h ′(x )>0；当x ∈(1，＋∞)时，h ′(x )<0.故h (x )在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，从而h (x )在(0，＋∞)上的最大值为h (1)＝－1e .因为g min (x )＝)1(eg ＝h (1)＝h max (x )，所以当x >0时，g (x )>h (x )，即f (x )>1.五、不等式中的恒成立问题例5 (2016•山东)已知221()(ln ),x f x a x x a R x-=-+∈. (1)讨论()f x 的单调性；(2)当1a =时，证明3()()2f x f x '>+对于任意的[1,2]x ∈恒成立．解：(1)()f x 的定义域为(0,)+∞，223322(2)(1)()a ax x f x a x x x x --'=--+= 当0a ≤时，若(0,1)x ∈，则()0,()f x f x '>单调递增，若(1,)x ∈+∞，则()0,()f x f x '<单调递减．当0a >时，3(1)()(a x f x x x x -'=-+.(i)当02a <<1>.当(0,1)x ∈或)x ∈+∞时，()0,()f x f x '>单调递增．当x ∈时，()0,()f x f x '<单调递减．(ii)当2a =1=，在区间(0,)+∞内，()0,()f x f x '≥单调递增．(iii)当2a >时，01<<.当x ∈或(1,)x ∈+∞时，()0,()f x f x '>单调递增，当x ∈时，()0,()f x f x '<单调递减．综上所述，当0a ≤时，()f x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减；当02a <<时，()f x 在(0,1)上单调递增，在上单调递减，在)+∞上单调递增；当2a =时，()f x 在(0,)+∞上单调递增；当2a >时，()f x 在（0，2a ）上单调递增，在（2a，1）上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．(2)证明：由(1)知，当1a =时，22321122()()ln (1)x f x f x x x x x x x -'-=-+---+23312ln 1x x x x x=-++--，[1,2]x ∈ 设()ln ,()g x x x h x =-=233121,[1,2]x x x x=+--∈，则()()()()f x f x g x h x '-=+．由1()0x g x x-'=≥，可得()(1)1g x g ≥=，当且仅当1x =时取得等号．又24326()x x h x x--+'=.设2()326x x x ϕ=--+，则()x ϕ在[1,2]上单调递减．因为(1)1,(2)10ϕϕ==-，所以0(1,2)x ∃∈，使得当0(1,)x x ∈时，()0x ϕ>，0(,2)x x ∈时，()0x ϕ<.所以()h x h (x )在0(1,)x 上单调递增，在0(,2)x 上单调递减．由1(1)1,(2)2h h ==，可得1()(2)2h x h ≥=，当且仅当2x =时取得等号．所以3()()(1)(2)2f x f xgh '-=+=，即3()()2f x f x '>+对于任意的[1,2]x ∈成立．六、利用恒成立问题求参数的取值范围例6 (2015·北京)已知函数。

导数恒成立解答题的几种处理方法

等号两边无法求导的导数恒成立求参数范围几种处理方法常见导数恒成立求参数范围问题有以下常见处理方法： 1、求导之后，将参数分离出来，构造新函数，计算例：已知函数1ln ()xf x x+=．（Ⅰ）若函数在区间1(,)2a a +（其中0a >）上存在极值，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）如果当1x ≥时，不等式()1kf x x ≥+恒成立，求实数k 的取值范围；解：（Ⅰ）因为1ln ()x f x x +=，0x > ，则ln ()xf x x'=-， … 1分当01x <<时，()0f x '>；当1x >时，()0f x '<．所以()f x 在（0，1）上单调递增；在(1,)+∞上单调递减，所以函数()f x 在1x =处取得极大值．… 2分因为函数()f x 在区间1(,)2a a +（其中0a >）上存在极值，所以1,112a a <⎧⎪⎨+>⎪⎩ 解得1 1.2a << … 4分（Ⅱ）不等式()1k f x x ≥+，即为(1)(1ln ),x x k x ++≥ 记(1)(1ln )(),x x g x x++= 所以22[(1)(1ln )](1)(1ln )ln (),x x x x x x xg x x x '++-++-'==… 6分令()ln ,h x x x =-则1()1h x x'=-，1,()0.x h x '≥∴≥()h x ∴在[1,)+∞上单调递增，min [()](1)10h x h ∴==>，从而()0g x '>故()g x 在[1,)+∞上也单调递增，min [()](1)2g x g ∴==，所以2k ≤ …8分2、直接求导后对参数展开讨论，然后求出含参最值，从而确定参数范围例题：设，其中．（1）若有极值，求的取值范围；（2）若当，恒成立，求的取值范围．解：（1）由题意可知：，且有极值，则有两个不同的实数根，故，解得：，即（4分）（2）由于，恒成立，则，即（6分）由于，则① 当时，在处取得极大值、在处取得极小值，则当时，，解得：；（8分）② 当时，，即在上单调递增，且，则恒成立；（10分）③ 当时，在处取得极大值、在处取得极小值，则当时，，解得：综上所述，的取值范围是：但是对于导数部分的难题，上述方法不能用时，我们得另辟蹊径：一、分开求左右最值：1、已知函数x x x f ln )(=。

导数中恒成立问题的几种解法

ｊ一
： —— 一
分开，化为求ｇ（转）＝二＿在区间＿＝
由厂（）＜，０得＜＜ ’．．．
为（，２．１）
３
）的递减区问
［一】的值可一上最即．，
解法二：数形结合
・．
解法．问题：已知函数
． ‘ ．
．．．
．２ ’ 一ａ≥ ．．
．
（），一 ≤ ０
）＝。＋ａ＋＋１ａ∈Ｒ，ｘ，
・．
‘
若数（在间一，了内减数求口函，）区【了一］是函，２１
的取值范围．解法一：分离参变量
画厂（的草图（右）如图）由数形结合得：，
・
【了一］成，的僦匦（转７页一，３立】２都求汉下第４）
７・２
《数学之友》
２１００年第８期
分析：本题只有注意到已知条件与根的判别式
２２利用判别式，断三角形的形状．判
应用
２３利用判别式，明几何不等式．证
例８如图，Ｔ切ｏ０于Ｐ
，
直线Ｐ Ⅳ交ｏＤ于点， Ⅳ，
Ｐ
２１结合三角形三边关系，明一元二次方程根的．证
情况
求证：＋Ｐ肼 Ⅳ＞Ｐ．２Ｔ
证明：由切割线定理得Ｐ・Ｎ＝Ｐ，是ＰＰ是方程一（Ｍ＋ＭＰ于， Ⅳ ＰＰ）Ｐ＝ Ⅳ ＋０的两实根，为删 ≠Ｐ即方程有因Ｎ，

解决导数中恒成立问题的三大“法宝”——例谈2013年高考数学中导数恒成立问题

一一
若当 ≥２时，式①恒成立，则）的图像恒在Ｇ（）图
像的下方．
ｘ＋２又Ｆ，（）： — ：０得：
一ｌ，。：
（ｉｉ）若ｋ＝ｅ：，贝０（）＝２ｅ（＋２）（ｅｘ－ｅ），从而当＞一２时，Ｆ（）＞０，￣ＯＦ（ｘ）在（一２，＋ ∞）上单调递增．而Ｆ（一２）＝０，
解析：（１）易得ａ＝４，ｂ＝２，ｃ＝２，ｄ＝２（解答略）．（２）易看出是导数中的一类常规题型：恒成立问题．并且解决方案就是用到了我们平时解决恒成立问题常用
的三种方法．
当 ∈（一１，０）时，Ｆ（）＞０，Ｆ（ｘ）单调递增，当 ∈
由题设可得Ｆ（０）＞０Ｉ，即 ≥１，令Ｆ（）＝０得ｌ＝一ｌｎｋ，
ｘ２＝－２．
荔 ≥一２时，，（） ≤ ｇ（），即
－
≤２（＋１）． ①
ｘ＋２￣Ｆ／（）： — ｘ２＋４
解法１：先构造函数，再分类讨论．
由（１）可￣４１ｆ（ｘ）＝ｘ２＋４ｘ＋２，ｇ（）＝２Ｃ（ｘ＋１），
所以ｒ（ｘ）的最小值为一２）＝ｅ，所以 ≤ｅ２
综上所述：１ ≤ ｅ２．
Ｘ２＋４Ｘ＋２２ｘ＋４ｌｉａｒ — — ＝ｌｌｍ — — ＝：” ｈｍ — —＝Ｕ＝０．

导数的应用二——恒成立问题的解题策略

导数的应用--恒成立问题的解题策略例1．若不等式()x a x -≥+312，对任意的0>x 恒成立，求实数a 的取值范围。

变式训练1．若不等式013222≥-+-a ax x 对任意的]1,1[-∈x 恒成立，求实数a 的取值范围。

2．若不等式223221c c x x x <+--对任意的]2,1[-∈x 恒成立，求实数c 的取值范围。

3．若不等式322231x b ax x ≥+≥+对任意的),0[+∞∈x 恒成立，求实数b 的取值范围以及a 与b 满足的关系式。

二．考题训练形成能力1．设函数.0ln 22>+-=a ax x x a x f ，）（ (I)求)(x f 的单凋区间：(Ⅱ)求所有实数a ，使e ，2)(1e x f ≤≤对[]e x ,1∈恒成立。

注；e 为自然对数的底数。

2．设函数()()()1ln 1++=x x x f ，若对所有的0.≥x 都有()ax x f ≥成立，求实数a 的取值范围.3．设函数1)(2-=x x f 对任意),23[+∞∈x ，)(4)1()(4)(2m f x f x f m mx f +-≤-恒成立，则实数m 的取值范围是___________4.已知函数0,11)1(1)(≥+-++=x xx ax n x f 其中0>a (I)若()x f 在1=x 处取得极值，求a 的值.（Ⅱ）求()x f 的单凋区间.（Ⅲ）若()x f 的最小值为1.求a 的取值范围.三．反馈练习总结提升1.设())1(2++=x ax e x f x ,且曲线)(x f y =在1=x 处的切线与x 轴平行． (I)求a 的值，并讨论)(x f 的单调性：(II)证明：对]2,0[πθ∈∀,不等式2|)(sin )(cos |<-θθf f 恒成立。

2．设函数1)1(233)(23+++-=x a x x a x f ,其中a 为实数． (I)已知函数)(x f ,在1=x 处取得极值，求a 的值：(Ⅱ)已知不等式1)(2+-->'a x x x f 对任意),0(+∞∈a 都成立，求实数x 的取值范围．3．已知函数)(11ln )(R a x a ax x x f ∈--+-= (I)当21≤a 时，讨论)(x f 的单调性 (II)设42)(2+-=bx x x g ．当41=a 时，若对任意)2,0(1∈x ,存在]2,1[2∈x ,使)()(21x g x f ≥,求实数b 取值范围．4．已知函数.1ln )1()(2+++=ax x a x f(I)讨论函数)(.x f 的单调性：(II)设2-≤a ,证明：对任意()+∞∈,0,21x x ,||4|)()(|2121x x x f x f -≥-5.设函数)10(ln 1)(=/>=x x xx x f 且 (I)求函数)(x f 的单调区间；(II)已知a x x >12,对任意)1,0(∈x 成立，求实数a 的取值范围。

函数的恒成立问题

函数的恒成立问题函数的恒成立问题是一个重要的数学概念，它涉及到函数的性质和不等式的解法。

这类问题在数学高考和数学竞赛中经常出现，是考察学生数学思维和解题能力的重要题型。

函数的恒成立问题是指对于某个区间内的所有x值，函数f(x)都满足某个条件或不等式，即f(x)恒成立。

解决这类问题通常需要运用函数的性质、导数、参数分离等多种方法。

具体来说，解决函数的恒成立问题可以通过以下几种方法：1. 函数性质法：利用函数的性质，如单调性、奇偶性、周期性等，来证明函数恒成立。

2. 导数法：通过求函数的导数，研究函数的单调性和最值，进而证明函数恒成立。

3. 参数分离法：将参数与变量分离，转化为求函数的最值问题，再证明该最值满足条件。

4. 数形结合法：将函数与图形结合，通过观察图形的性质来证明函数恒成立。

举个例子，假设我们要求证函数f(x) = x^2 - 2x在区间[0,3]上恒成立。

我们可以采用以下步骤：1. 首先求出函数f(x)的导数f'(x)，得到f'(x) = 2x - 2。

2. 然后通过分析f'(x)的符号，确定函数的单调性。

当f'(x) > 0时，f(x)单调递增；当f'(x) < 0时，f(x)单调递减。

由此可知，f(x)在区间[0,1]上单调递减，在区间[1,3]上单调递增。

3. 接下来求出函数在区间端点的值，即f(0)、f(1)、f(3)。

计算得到f(0) = 0，f(1) = -1，f(3) = 3。

4. 最后比较这些值，发现f(0)、f(1)、f(3)都满足条件，因此可以证明函数f(x)在区间[0,3]上恒成立。

以上是解决函数恒成立问题的一种基本思路和方法，当然具体的解题过程可能因题目的不同而有所差异。

在解决这类问题时，需要灵活运用数学知识，注重思维方法的训练和解题技巧的提升。

导数中含参数问题与恒成立问题的解题技巧

函数、导数中含参数问题与恒成立问题的解题技巧与方法含参数问题及恒成立问题方法小结：1、分类讨论思想2、判别法3、别离参数法4、构造新函数法一、别离讨论思想：例题1：讨论以下函数单调性：1、()x f =();1,0,≠>-a a a a x2、()x f =)0,11(12≠<<--b x x bx二、判别法例2：不等式04)2(2)2(2<--+-x a x a 对于x ∈Ｒ恒成立，求参数a 的取值范围．解：要使04)2(2)2(2<--+-x a x a 对于x ∈Ｒ恒成立，那么只须满足：〔1〕⎩⎨⎧<-+-<-0)2(16)2(4022a a a 或〔2〕⎪⎩⎪⎨⎧<-=-=-040)2(202a a 解〔1〕得⎩⎨⎧<<-<222a a ，解〔2〕a ＝２ ∴参数a 的取值范围是－２＜a ≤２．练习1. 函数])1(lg[22a x a x y +-+=的定义域为R ，求实数a 的取值范围。

三、别离法参数：别离参数法是求参数的取值范围的一种常用方法，通过别离参数，用函数观点讨论主变量的变化情况，由此我们可以确定参数的变化范围.这种方法可以防止分类讨论的麻烦，从而使问题得以顺利解决.别离参数法在解决有关不等式恒成立、不等式有解、函数有零点、函数单调性中参数的取值范围问题时经常用到. 解题的关键是别离出参数之后将原问题转化为求函数的最值或值域问题.即：〔1〕对任意x 都成立()min x f m ≤ 〔2〕对任意x 都成立。

例3．函数]4,0(,4)(2∈--=x x x ax x f 时0)(<x f 恒成立，求实数a 的取值范围。

解：将问题转化为xx x a 24-<对]4,0(∈x 恒成立，令x x x x g 24)(-=，那么min )(x g a <由144)(2-=-=xx x x x g 可知)(x g 在]4,0(上为减函数，故0)4()(min ==g x g ∴0<a 即a 的取值范围为)0,(-∞。

导数中恒成立问题(最值问题)

导数中恒成立问题(最值问题)导数中恒成立问题（最值问题）恒成立问题是高考函数题中的重点问题，也是高中数学非常重要的一个模块，不管是小题，还是大题，常常以压轴题的形式出现。

知识储备（我个人喜欢将参数放左边，函数放右边）先来简单的（也是最本质的）如分离变量后，()a f x ≥恒成立，则有max ()a f x ≥ ()a f x ≤恒成立，则有min ()a f x ≤ （若是存在性问题，那么最大变最小，最小变最大） 1.对于单变量的恒成立问题如：化简后我们分析得到，对[],x a b ∀∈，()0f x ≥恒成立，那么只需min ()0f x ≥ [],x a b ∃∈，使得()0f x ≥，那么只需max ()0f x ≥ 2.对于双变量的恒成立问题如：化简后我们分析得到，对[]12,,x x a b ∀∈，12()()f x g x ≥，那么只需min max ()()f x g x ≥ 如：化简后我们分析得到，对[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈使12()()f x g x ≥，那么只需min min ()()f x g x ≥如：化简后我们分析得到，[]1,x a b ∃∈，[]2,x c d ∈使12()()f x g x ≥，那么只需max min ()()f x g x ≥ 还有一些情况了，这里不一一列举，总之一句话（双变量的存在性与恒成立问题，都是先处理一个变量，再处理另一个变量）3.对于带绝对值的恒成立问题，我们往往先根据函数的单调性，去掉绝对值，再转变成恒成立问题（2014.03苏锡常镇一模那题特别典型）今天呢，我会花很多时间来讲解一道二次函数，因为二次函数是最本质的，（甚至我提出这样一个观点，所有导数的题目95%归根结底就是带参数二次函数在已知定义域上根的讨论，3%是ax b +与3ax b +这种形式根的讨论，2%是观察法得到零点，零点通常是11,,e e之类），所以如果我们真正弄清楚了二次函数，那么对于千变万化的导数题，我们还会畏惧吗。

导数压轴题中恒成立问题方法总结

导数压轴题中恒成立问题方法总结恒成立问题作为高中数学学习中不可缺少一部分，掌握高中数学恒成立问题的解题方法和思路不仅是高中阶段的重要任务，也是为日后学习数学奠定扎实基础的关键。

现主要从掌握高中数学恒成立问题的解题方法与思路的意义出发，对恒成立问题的类型和求解方法作一小结，如“一次型”函数恒成立问题，利用函数单调性；“二次型”函数恒成立问题，数形结合理解；可以分离参数的，转化为函数最值求解；确定主元，利用函数单调性求解；数形结合，直观求解，以对高中数学恒成立问题常见的解题方法和思路进行分析。

一、单变量恒成立问题1.分离参数：利用分离参数法来确定不等式f（x，a）≥0（x∈D，a为参数）恒成立时，参数a的取值范围的一般思路：将题目中的参数与变量分离，化为g （a）≤f（x）（或g（a）≥f（x））恒成立的形式。

接下来求解出函数f（x）的最小（或最大）值，最后解不等式g（a）≤f（x）min（或g（a）≥f（x）max），进而求得a的取值范围，该思路一般适用于参数与变量易分离且最值易求得的题型。

高考引例1（2007年山东文）当x∈（1，2）时，x2+mx+4＜0恒成立，则m 的取值范围是。

本引例中，注意到x的取值范围，可以采用分离参数的方法.解：由x∈（1，2），x2+mx+4＜0恒成立，对不等式分离参数，得。

令，，易知f（x）在（1，2）上是减函数，所以x∈（1，2）时，4＜f（x）＜5，则，所以m≤－5。

又如高考引例2，也可以采用分离参数的方法，只不过要分段讨论，最终结果取“交集”。

解：∀x∈［－3，+∞），f（x）≤恒成立⇒∀x∈［－3，0］，x2+2x+α－2≤－x且∀x∈（0，+∞），－x2+2x－2α≤x⇒α≤（－x2－3x+2）=2且α≥min max=⇒α∈［，2］。

1.函数思想一般思路：首先分清楚题目中的变量与参数。

一般来说，题目给出取值范围的元为变量，最终求解范围的元为参数，通过构造变量的函数，借助所构造的函数的取值特征进行求解。

高考复习-利用导数研究函数的存在与恒成立问题

利用导数研究函数的存在与恒成立问题知识集结知识元利用导数研究函数的恒成立与存在问题知识讲解“恒成立”问题与“存在性”问题是高中数学中的常见问题，它不仅考查了函数、不等式等传统知识和方法，而且导数的加入更是极大的丰富了该类问题的表现形式，充分体现了能力立意的原则，越来越受到命题者的青睐，成为高中数学的一个热点问题。

本文仅从以下九方面总结一下有关这类问题的不同的表现形式及解决方法，希望能对大家高考复习起到一定的帮助作用。

一、若对，恒成立，则只需即可；若对，恒成立，则只需即可；二、若，满足不等式，则只需即可；若，满足不等式，则只需即可；三、若对，使得不等式（为常数）恒成立，则只需即可四、若，满足方程，则只需两函数值域交集不空即可.五、若对总使得成立，则只需值域值域即可六、若对，使得不等式恒成立，则只需即可七、若对，满足不等式，则只需即可八、若对，总，使得成立，则只需即可九、若对，总，使得成立，则只需即可例题精讲利用导数研究函数的恒成立与存在问题例1.已知不等式e x-1≥kx+lnx，对于任意的x∈（0，+∞）恒成立，则k的最大值_____例2.设函数y=f（x）图象上在不同两点A（x1，y1），B（x2，y2）处的切线斜率分别是k A，k B，规定φ（A，B）=（|AB|为A与B之间的距离）叫作曲线y=f（x）在点A与点B之间的“弯曲度”．若函数y=x2图象上两点A与B的横坐标分别为0，1，则φ（A，B）=___；设A（x1，y1），B（x2，y2）为曲线y=e x上两点，且x1-x2=1，若m∙φ（A，B）<1恒成立，则实数m的取值范围是________．例3.已知函数f（x）=ax+lnx，若f（x）≤1在区间（0，+∞）内恒成立，实数a的取值范围为_________．当堂练习单选题练习1.”a>b”是”log7a>log7b”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件练习2.已知命题p：x>m，q：2+x-x2<0，如果命题p是命题q的充分不必要条件，则实数m的取值范围是（）A．（-∞，-1]B．（2，+∞）C．[1，+∞）D．[2，+∞）练习3.a<0，b<0的一个必要条件是（）A．a-b<0B．a+b<0C．>1D．<1练习4.直线x+y+a=0与圆x2+y2-2x+4y+3=0有两个不同交点的一个必耍不充分条件是（）A．-2<a<3B．-1<a<3C．-2<a<0D．0<a<3练习5.“”是“（1+tanα）（1+tanβ）=2”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既不充分亦不必要条件填空题练习1.已知函数．若存在x∈[1，2]，使得，则实数b 的取值范围是________．练习2.已知函数．若存在x∈[1，2]，使得f（x）+xf'（x）>0，则实数b 的取值范围是________．练习3.若函数f（x）=x2+1与g（x）=2alnx+1的图象存在公共切线，则实数a的最大值为___练习4.设函数f（x）=e x（2x-1）-2ax+2a，其中a<1，若存在唯一的整数x0，使得f（x0）<0，则a的取值范围是_______．练习5.设函数f（x）在R上存在导数f'（x），∀x∈R，有f（-x）+f（x）=x2，在（0，+∞）上，f'（x）<x，若f（6-m）-f（m）-18+6m≥0，则实数m的取值范围是________．解答题练习1.'设函数f（x）=xlnx-ae x，其中a∈R，e是自然对数的底数．（1）若f（x）在（0，+∞）上存在两个极值点，求a的取值范围；（2）若，证明：f（x）<0．'练习2.'已知函数，e为自然对数的底数．（1）求函数f（x）的定义域和单调区间；（2）试比较e2x-1与（2x-1）e的大小，其中；（3）设函数，0<a<e，求证：函数g（x）存在唯一的极值点t，且．（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）'练习3.'已知函数f（x）=ax-lnx-a，a∈R．（1）若a=1，求方程f（x）=0的根；（2）已知函数g（x）=-x∙f（x）+ax2-2ax+a在区间（1，+∞）上存在唯一的零点，求实数a的取值范围；（3）当a=0时，是否存在实数m，使不等式在（1，+∞）上恒成立？若存在，求出m的最小值；若不存在，说明理由．'练习4.'已知函数f（x）=x-，g（x）=2ln（x+1）．（1）求最大正整数n，使得对任意n+1个实数x i（i=1，2，…，n+1），当x i∈[e-1，2]时，都有恒成立；（2）设H（x）=xf（x）+g（x），在H（x）的图象上是否存在不同的两点A（x1，y1），B（x2，y2）（x1>x2>-1），使得成立．'练习5.'已知函数．（1）当a≥2时，求函数f（x）的单调区间；（2）设g（x）=e x+mx2-3，当a=e2+1时，对任意x1∈[1，+∞），存在x2∈[1，+∞），使，证明：m≤e2-e．'。

专题导数恒成立问题中的端点效应法-学生版

导数恒成立问题中的端点效应法恒成立问题中，我们常常能见到类似的命题：“对于任意的],[b a x ∈，都有0)(≥x f 恒成立”（)(x f 中包含参数），这里的端点b a ,往往是使结论成立的临界条件，这种观察区间端点值来解决问题的方法，我们称之为端点效应.1.适用类型①不便于参变分离；②参变分离后的函数形式比较复杂.2.解题步骤①移项，将所有变量移到一边，使不等式右侧为0；②计算端点处的函数值，验证端点处函数值是否为0，若为0，则可继续处理，否则此题不适合端点分析法.注：区间端点处的函数值恰好是不等式恒成立时的临界值是这类问题的显著特征！题型一指数型端点效应例1.1设函数2()(1)x f x x e ax =--．若当0x ≥时()0f x ≥，求实数a 的取值范围．练1.11已知函数)1(ln )(--=x m x x f ，当),1[+∞∈x 时，e x ef e x≥+)(，求实数m 的取值范围.*练1.12已知R ∈λ，函数)1ln ()(+---=x x x ex e x f xλ，若1≥x 时，0)(≥x f 恒成立，求λ的最大值．题型二对数型端点效应例2.1已知关于x 的不等式xx a 11ln ->对任意),1(+∞∈x 恒成立，求实数a 的取值范围.练2.11已知函数()(1)ln (1)f x x x a x =+--，若当()1,x ∈+∞时，0)(>x f ，求a 的取值范围.练2.12已知函数()()1ln --=x a x x f ，若当1≥x 时，不等式()1ln +≤x x x f 恒成立，求实数a 的取值范围；题型三三角型端点效应例3.1已知函数x x x f sin )(+=，设1)()(-'=x f x g ，若21)(ax x g +≥在),0[+∞上恒成立，求实数a 的取值范围.练3.11已知函数)(cos sin )(R a x x a xe x f x ∈-=，若对任意的]2,0[π∈x ，0)(≥x f 恒成立，求实数a 的取值范围.练3.12已知函数x x x x x f --=cos sin 2)(，)(x f '为)(x f 的导数．（1）证明：)(x f '在区间),0(π存在唯一零点；（2）若],0[π∈x 时，ax x f ≥)(，求实数a 的取值范围.。

【一题一课难点突破】导数中的恒成立问题

1 1 2当a 0时，f x 在 0, 上递增, 在 , 上递减, f x max a a 1 1 f ln 0, 即恒成立。 a a
转化手段
单变量恒成立问题方法3：参变量半分离法解恒成立问题
例题： f (x)=lnx+ax+1,若f (x)<0恒成立，求a的取值范围? 可以半分离：lnx<-ax-1,构造f (x)=lnx与g(x)=-ax-1 由图像得：a<-1
转化手段
单变量恒成立问题方法4：端点值代入法解恒成立问题
例题：设函数f (x)=（x+1)ln(x+1),若对于所有的x≥0，都有f (x)≥ax,求a的问题方法4：端点值代入法解恒成立问题
例题：设函数f (x)=（x+1)ln(x+1),若对于所有的x≥0，都有f (x)≥ax,求a的取值范围？
f x f a 1若x a且f x f a , f x 在x a处可导，则f a xlim 0 a xa f x f a 2若x a且f x f a , f x 在x a处可导，则f a xlim 0 a xa
例题： f (x)=lnx+ax+1,若f (x)<0恒成立，求a的取值范围? 可以直接讨论：
求导：f x
这与f x 0恒成立矛盾。
1 a, x 1当a 0时，f x 0, f x 在0，讨论：恒增，找到f 1 a 1 0
转化手段
单变量恒成立问题方法1：参变量分离法解恒成立问题
例题： f (x)=lnx+ax+1,若f (x)<0恒成立，求a的取值范围? 可以转化为：

利用函数的导数求解“恒成立”问题的参数范围

利用函数的导数求解“恒成立”求参数范围问题（1）恒成立问题求参数范围：min )()(x f a x f a <⇔< max )()(x f a x f a >⇔> 例1已知函数()(1)ln 1f x x x x =+-+。

（Ⅰ)若2'()1xf x x ax ≤++，求a 的取值范围；练习1.设函数c bx ax x x f 8332)(23+++=在1=x 及2=x 时取得极值(1）求a ，b 的值, （2)若对于任意的∈x ［0，3]都有2)(c x f <成立,求c 的取值范围答案：1. 解: (1）a=-3,b=4 (2）9+8c<c 2，解得c 〈-1或c>9 （2）恒成立问题求参数范围：分离参数法.例2。

已知函数x a x x f ln )(2+= （1)e a 2-=时,求函数)(x f 的单调区间和极值,(2)若函数xx f x g 2)()(+=在［1,4］是减函数，求实数a 的取值范围解得:(1)函数)(x f 的单调递减区间是),0(e ，单调递增区间是（,e )∞+，极小值是0)(=e f (2）由x x a x x g 2ln )(2++=得222)(x x a x x g -+='依题意0)(≤'x g 所以0222≤-+x x a x 即222x xa -≤又222)(x x x -=ϕ在［1，4］上是减函数，故ϕ(4）min =263-所以263-≤a 练习 1.已知)10(cos )(<<-+=-x x x ae x f x （1）若对任意的0)(),1,0(<∈x f x 恒成立,求实数a 的取值范围。

（2)求证：)10(21sin 2<<+<+-x x x ex解：（1）1-≤a (2）构造函数)10(21sin )(2<<--+=-x x x ex h x且0)0(=h 则x x e x h x -+-='-cos )(由(1）知当a=—1时,)10(0cos )(<<<-+-=-x x x e x f x 故h(x)在（0，1)上单调递减，h(x ）<h （0）=0即)10(21sin 2<<+<+-x x x ex（3）恒成立问题求参数范围—构造新函数法的单调性或利用原函数的单调性例3。

导数恒成立问题3种基本方法

导数恒成立问题3种基本方法
这种方法是根据导数定义和基本求导公式来求导数的，需要掌握一些基本公式，如：
1.导数的定义：f'(x) = lim(h→0) [f(x+h) - f(x)]/h
2.常数的导数：(c)' = 0
3.幂函数的导数：(x^n)' = nx^(n-1)
4.指数函数的导数：(a^x)' = a^xlna
5.对数函数的导数：(loga x)' = 1/(xlna)
6.三角函数的导数：(sinx)' = cosx，(cosx)' = -sinx，(tanx)' = sec^2x
二、运算法则法
这种方法是根据导数的运算法则来求导数的，需要掌握一些基本运算法则，如：
1.加减法则：(f+g)' = f' + g'
2.乘法法则：(fg)' = f'g + fg'
3.除法法则：(f/g)' = [f'g - fg']/g^2
4.复合函数法则：(f(g(x)))' = f'(g(x))g'(x)
三、对数微分法
这种方法是使用对数微分法来求导数的，需要掌握以下公式：
1.对数微分法：y = f(x)，y' = [ln(y)]'
2.求导公式：[ln(f(x))]′ = f′(x)/f(x)
3.应用：可以将y = f(x)转化为lny = lnf(x)，再求导。

以上就是求导的三种基本方法，掌握它们可以更好地理解导数的概念和作用。

函数导数中的恒成立问题解题技巧

函数导数中的恒成立问题解题技巧函数导数中的恒成立问题解题技巧随着新课标下的高考越来越重视考查知识的综合应用，恒成立问题成为了考试中的热点问题。

这种问题涉及方程、不等式、函数性质与图象及它们之间的综合应用，同时渗透换元、转化与化归、数形结合、函数与方程等思想方法，考查综合解题能力。

在函数、导数中，这种问题更为明显。

本文将介绍两种解题技巧。

一、利用函数的性质解决XXX成立问题利用函数的性质解决恒成立问题，主要是函数单调性的应用。

例如，对于已知函数$f(x)=x^3+(1-a)x^2-a(a+2)x+b(a,b\in R)$，若函数$f(x)$的图象过原点，且在原点处的切线斜率是$-3$，求$a,b$的值。

我们可以先求出$f'(x)$，然后令$f(0)=b=0$，$f'(-1)$和$f'(1)$的乘积小于$0$，解出$a=-3$或$a=1$。

再比如，若函数$f(x)$在区间$(-1,1)$上不单调，求$a$的取值范围。

我们可以利用导函数$f'(x)$在给定的区间上有零点这一性质，根据函数零点的存在性定理解出$a$的取值范围。

二、利用数形结合思想解决恒成立问题利用数形结合思想解决恒成立问题，可以通过画图来求出函数的单调区间、极值点等信息，再结合数学方法解决问题。

例如，对于已知$x=3$是函数$f(x)=a\ln(1+x)+x^2-10x$的一个极值点，求$a$。

我们可以求出$f'(x)$，然后令$f'(3)=0$，解出$a=16$。

再比如，若直线$y=b$与函数$y=f(x)$的图象有$3$个交点，求$b$的取值范围。

我们可以根据函数$f(x)$的单调性来求出其极大值和极小值，画出图象，数形结合可以求出$b$的取值范围。

这些技巧可以帮助我们更好地解决函数导数中的恒成立问题，提高我们的解题能力。

方法点评：分离参数是解决恒成立问题的一种重要方法，通过构造新函数并求其最值，可以得到参数取值范围。