平面向量与解三角形测试题

“平面向量与解三角形”测试题

(120分钟150分)

第Ⅰ卷

一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1.若向量u=(3,-6),v=(4,2),w=(-12,-6),则下列结论中错误的是

A.u⊥v

B.v∥w

C.w=u-3v

D.在同一平面内,对任一向量,存在实数a,b,使=au+bv

解析:因为u·v=0,所以u⊥v,显然w∥v,因为u与v不共线,所以对任意向量,存在实数a,b,使=au+bv.

答案:C

2.在△ABC中,B=,三边长a,b,c成等差数列,且ac=6,则b的值是

A.B.C.D.

解析:因为2b=a+c,由余弦定理得b2=a2+c2-2ac cos B=(a+c)2-3ac,化简得b=.

答案:D

3.在△ABC中,AB=4,∠ABC=30°,D是边BC上的一点,且·=·,则·等于

A.—4

B.0

C.4

D.8

解析:由·=·,得·(-)=·=0,即⊥,所以||=2,∠

BAD=60°,所以·=4×2×=4.

答案:C

4.在△ABC中,角A,B,C所对边的长分别为a,b,c,若a2+b2=2c2,则cos C的最小值为

A.B.C. D.-

解析:cos C==≥=,当且仅当a=b时等号成立.

答案:C

5.设A(a,1),B(2,b),C(4,3)为坐标平面上三点,O为坐标原点,若与在方向上的投影相同,则a与b满足的关系式为

A.5a-4b=3

B.4a-3b=5

C.4a+5b=14

D.5a+4b=14

解析:由与在方向上的投影相同,可得·=·⇒(a,1)·(4,3)=(2,b)·(4,3), 即4a+3=8+3b,4a-3b=5.

答案:B

6.在△ABC内,角A,B,C的对边分别是a,b,c,若b sin B+a sin A=c sin C,c2+b2-a2=bc,则B等于

A.B.C.D.

解析:因为c2+b2-a2=bc,所以cos A==,所以cos A=,A=,

因为b sin B+a sin A=c sin C,所以b2+a2=c2,所以C=,B=.

答案:A

7.在四边形ABCD中,==(2,2),+=,则四边形ABCD的面积是

A.2

B.2

C.4

D.

解析:由题知ABCD是菱形,边长为2,且BD等于边长的倍,所以cos∠BAD==-,故sin∠BAD=,S ABCD=(2)2·=4.

答案:C

8.在△ABC中,若(a+b+c)(a+b-c)=3ab且sin C=2sin A cos B,则△ABC是

A.等腰三角形

B.等边三角形

C.等腰直角三角形

D.直角三角形

解析:因为(a+b+c)(a+b-c)=3ab,所以a2+b2-c2=ab,cos C==,所以

C=,因为sin C=2sin A cos B,所以c=2a·,得a=b,所以△ABC是等边三角形.

答案:B

9.如图,在矩形ABCD中,AB=,BC=2,点E为BC的中点,点F在边CD上,若·

=,则·的值是

A.B.

C.D.

解析:如图所示建立直角坐标系,因为AB=,BC=2,点E为BC的中点,所以

B(,0),D(0,2),C(,2),E(,1),设F(x,2),则=(x,2),=(,0),所以·=x=,所以

=,=(,1),=(-,2),所以·=(-)+2=.

答案:D

10.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若△ABC的面积为S,且2S=(a+b)2-c2,则tan C等于

A.B. C.-D.-

解析:因为2S=(a+b)2-c2,所以ab sin C=a2+b2-c2+2ab=2ab cos C+2ab,所以sin

C=2cos C+2,又因为sin2C+cos2C=1,所以sin C=,cos C=-,tan C=-.

答案:C

11.在平面直角坐标系中,O为坐标原点,设向量=a,=b,其中a=(3,1),b=(1,3),若=λa+μb,且0≤λ≤μ≤1,C点所有可能的位置区域用阴影表示正确的是

解析:设点C的坐标为(x,y),由题意知x=3λ+μ,y=λ+3μ,解得λ=,μ=,代入0≤λ≤μ≤1,解得y≤3x,y≥x,3y-x≤8.

答案:A

12.在△ABC中,若(+)·=||2,则的值为

A.2

B.2

C.

D.4

解析:设△ABC中,a,b,c分别是∠A,∠B,∠C所对的边,由=-,(+)·=||2得||2-||2=||2.即a2-b2=c2,=·=·

==4.

答案:D

第Ⅱ卷

二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上.

13.已知向量|a|=1,|b|=2,a⊥(a-b), 则向量a与b的夹角的大小是.

解析:因为a⊥(a-b),所以a·a-a·b=0,cos=,=.

答案:

14.在△ABC中,已知内角A,B,C依次成等差数列,AB=8,BC=5,则△ABC外接圆的

面积为.

解析:记△ABC的外接圆半径为R,依题意得2B=A+C,因此有B=,

所以AC==7,又2R==,即R=,

故△ABC的外接圆的面积是πR2=.

答案:

15.如图所示圆O的半径为2,A、B是圆上两点且∠AOB=π,MN是一条直径,点C在圆内且满足=λ+(1-λ)(0<λ<1),则·的最小值为.

解析:因为=λ+(1-λ)(0<λ<1),所以C在线段AB上,

因为·=(-)·(-)=-(+)·+·=-4,

所以当OC⊥AB时取得最小值,(·)min=1-4=-3.

答案:-3

16.在△ABC中,A=60°,BC=,D是AB边上的一点,CD=,△BCD的面积为1,则AC的长为.

=1,可得×CD×BC×sin∠DCB=1,即sin∠DCB=,所以cos 解析:因为S

△BCD

∠DCB=.在△BCD中,由余弦定理cos∠DCB==,解得BD=2,所以cos∠DBC==,又在△BCD中,∠DBC对应的边长最短,所以∠DBC为锐角,所以sin∠DBC=,在△ABC中,由正弦定理可知=,可得AC==.

答案:

三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.

17.(本小题满分10分)

已知向量a=(1,2),b=(-2,1),k,t为正实数,x=a+(t2+1)b,y=-a+b.

(1)若x⊥y,求k的最大值;

(2)是否存在k,t,使x∥y?若存在,求出k的取值范围;若不存在,请说明理由.

解析:x=(1,2)+(t2+1)(-2,1)=(-2t2-1,t2+3),y=(--,-+).