正弦定理和余弦定理典型例题

《正弦定理和余弦定理》典型例题透析

类型一：正弦定理的应用：

例1．已知在ABC ∆中，10c =，45A =，30C =，解三角形.

思路点拨:先将已知条件表示在示意图形上（如图），可以确定先用正弦定理求出边a ，然后用三角形内角和求出角B ，最后用正弦定理求出边b . 解析：sin sin a c A C =， ∴sin 10sin 45102sin sin 30c A a C ⨯=

== ∴ 180()105B A C =-+=，

又sin sin b c B C =， ∴sin 10sin1056220sin 75205652sin sin 304c B b C ⨯=

===⨯= 总结升华：

1. 正弦定理可以用于解决已知两角和一边求另两边和一角的问题；

2. 数形结合将已知条件表示在示意图形上，可以清楚地看出已知与求之间的关系，从而恰当地选择解答方式.

举一反三：

【变式1】在∆ABC 中，已知032.0=A ，081.8=B ，42.9a cm =，解三角形。 【答案】根据三角形内角和定理，0180()=-+C A B 000180(32.081.8)=-+066.2=；

根据正弦定理，0

sin 42.9sin81.880.1()sin sin32.0==≈a B b cm A ； 根据正弦定理，0

sin 42.9sin66.274.1().sin sin32.0==≈a C c cm A 【变式2】在∆ABC 中，已知075B =，0

60C =，5c =，求a 、A .

【答案】00000180()180(7560)45A B C =-+=-+=， 根据正弦定理5sin 45sin 60

o o a =，∴56a =【变式3】在∆ABC 中，已知sin :sin :sin 1:2:3A B C =，求::a b c

【答案】根据正弦定理sin sin sin a b c A B C

==，得::sin :sin :sin 1:2:3a b c A B C ==. 例2．在3,60,1ABC b B c ∆=

==中，，求：a 和A ，C ． 思路点拨: 先将已知条件表示在示意图形上（如图），可以确定先用正弦定理求出角C ，然后用三角形内角和求出角A ，最后用正弦定理求出边a .

解析：由正弦定理得：sin sin b c B C

=， ∴sin 1sin 23

c B C b ===， （方法一）∵0180C <<， ∴30C =或150C =，

当150C =时，210180B C +=>，（舍去）；

当30C =时，90A =，∴222a b c =+=．

（方法二）∵b c >，60B =， ∴C B <，

∴60C <即C 为锐角， ∴30C =，90A = ∴222a b c =+=．

总结升华：

1. 正弦定理也可用于解决已知两边及一边的对角，求其他边和角的问题。

2. 在利用正弦定理求角C 时，因为0sin sin(180)C C =-，所以要依据题意准确确定角C 的范围，再求出角C .

3.一般依据大边对大角或三角形内角和进行角的取舍.

举一反三：

【变式1】在ABC ∆中，6c =2a =，45A =，求b 和,B C ． 【答案】∵sin sin a c A C

=， ∴sin 6sin 453sin 22c A C a ===， ∵0180C <<， ∴60C =或120C =

∴当60C =时，75B =，sin 67531sin sin 60

c B b C ===； ∴当120C =时，15B =，sin 6sin1531sin 60c B b C =

==； 所以，31,75,60b B C ===或31,15,120b B C ===．

【变式2】在ABC ∆中20a =, 210b =,45A =, 求B 和c ；

【答案】 ∵2sin 45sin o a B =， ∴1sin 2

B =

∵0180B <<， ∴30B =或150B =

①当30B =时，105C =，)13(10c +=；

②当150B =时，195180A B +=>（舍去）。

【变式3】在ABC ∆中，60B =，14a =, b =求A ∠.

【答案】由正弦定理，得226

760sin 14sin sin 0=⨯==b B a A . ∵a b <, ∴A B <，即 060A <<

∴45A =

类型二：余弦定理的应用：

例3．已知ABC ∆中，3AB =、BC =4AC =，求ABC ∆中的最大角。

思路点拨: 首先依据大边对大角确定要求的角，然后用余弦定理求解.

解析：∵三边中BC =BC 其所对角A 最大，

根据余弦定理：222222341cos 22342

AB AC BC A AB AC +-+-===-⨯⨯，

∵ 0180A <<， ∴120A =

故ABC ∆中的最大角是120A =.

总结升华：

1.ABC ∆中，若知道三边的长度或三边的关系式，求角的大小，一般用余弦定理；

2.用余弦定理时，要注意公式中的边角位置关系.

举一反三：

【变式1】已知ABC ∆中3a =, 5b =, 7c =, 求角C .

【答案】根据余弦定理：2222225371cos 22352

a b c C ab +-+-===-⨯⨯， ∵0180C <<， ∴120o C =

【变式2】在ABC ∆中，角,,A B C 所对的三边长分别为,,a b c ，若::a b c =

2:1），求ABC ∆的各角的大小．

【答案】设a =，2b k =，)

1c k =，()0k >