2006年河南省中考数学试卷(课标卷)答案与解析

2006年河南省中考数学试卷（课标卷）
参考答案与试题解析
一、选择题（共7小题，每小题3分，满分21分）
1．（3分）（2011•仙桃）﹣的倒数是（）
A．
B．﹣3 C．D．3﹣
考点：倒数．
专题：计算题．
分析：
根据倒数的定义可得到﹣的倒数为﹣3．
解答：
解：﹣的倒数为﹣3．
故选B．
点评：
本题考查了倒数的定义：a（a≠0）的倒数为．
2．（3分）（2006•河南）2005年末，我国外汇储备达到8 189亿美元，用科学记数法表示（保留3个有效数字）是（）
A．8.19×1011B．8.18×1011C．8.19×1012D．8.18×1012
考点：科学记数法与有效数字．
专题：应用题．
分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．1亿=108．
解答：解：8 189亿=8 189×108=8.19×1011．
故选A．
点评：此题考查用科学记数法表示大数，用科学记数法表示数的关键是确定a与10的指数n，确定a时，要注意范围，n等于原数的整数位数减1．
要注意保留3个有效数字，要观察第4个有效数字，四舍五入．
3．（3分）（2008•兰州）在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的玻璃球共有40个，除颜色外其他完全相同，小明通过多次摸球试验后发现其中摸到红色球、黑色球的频率稳定在15%和45%，则口袋中白色球的个数可能是（）
A．24 B．18 C．16 D．6
考点：利用频率估计概率．
专题：应用题；压轴题．
分析：先由频率之和为1计算出白球的频率，再由数据总数×频率=频数计算白球的个数．
解答：解：∵摸到红色球、黑色球的频率稳定在15%和45%，
∴摸到白球的频率为1﹣15%﹣45%=40%，
故口袋中白色球的个数可能是40×40%=16个．
故选C．
点评：大量反复试验下频率稳定值即概率．关键是算出摸到白球的频率．
4．（3分）（2006•河南）如图，一次函数y=kx+b的图象经过A、B两点，则kx+b＞0解集是（）
A．x＞0 B．x＞﹣3 C．x＞2 D．﹣3＜x＜2
考点：一次函数与一元一次不等式．
专题：压轴题；数形结合．
分析：根据一次函数的增减性以及函数与x轴的交点坐标即可求出所求不等式的解集．
解答：解：一次函数y=kx+b的图象经过A（﹣3，0），函数值y随x的增大而增大；
因此当x＞﹣3时，y=kx+b＞0；
即kx+b＞0的解集为x＞﹣3．
故选B．
点评：本题考查了一次函数与不等式（组）的关系及数形结合思想的应用．解决此类问题关键是仔细观察图形，注意几个关键点（交点、原点等），做到数形结合．
5．（3分）（2006•河南）由一些大小相同的小正方形组成的几何体三视图如图所示，那么，组成这个几何体的小正方体有（）
A．6块B．5块C．4块D．3块
考点：由三视图判断几何体．
分析：根据三视图可知，主视图以及俯视图都有4个小正方体．而左视图可以确定该几何体由两列小正方体组成．解答：解：综合主视图，俯视图，左视图底面有4个正方体，第二层有1个正方体，所以搭成这个几何体所用的小立方块的个数是5．
故选B．
点评：本题考查对三视图的理解应用及空间想象能力．可从主视图上分清物体的上下和左右的层数，从俯视图上分清物体的左右和前后位置，综合上述分析数出小立方块的个数．
6．（3分）（2008•乌兰察布）如图，一块含有30°角的直角三角板ABC，在水平桌面上绕点C接顺时针方向旋转到A′B′C′的位置．若BC=15cm，那么顶点A从开始到结束所经过的路径长为（）
A．10πcm B．30πcm C．15πcm D．20πcm
考点：弧长的计算．
专题：压轴题．
分析：顶点A从开始到结束所经过的路径是一段弧长是以点C为圆心，AC为半径，旋转的角度是180﹣60=120，所以根据弧长公式可得．
解答：
解：=20πcm，
故选D．
点评：本题的关键是弄准弧长的半径和圆心角的度数．
7．（3分）（2011•武汉）函数y=中自变量x的取值范围为（）
A．x≥0 B．x≥﹣2 C．x≥2 D．x≤﹣2
考点：函数自变量的取值范围．
专题：压轴题；函数思想．
分析：本题主要考查自变量的取值范围，函数关系中主要有二次根式．根据二次根式的意义，被开方数是非负数即可求解．
解答：解：根据题意，得x﹣2≥0，
解得x≥2．
故选C．
点评：考查了函数自变量的范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．
二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分）
8．（3分）（2010•丹东）写出具有“图象的两个分支分别位于第二、四象限内”的反比例函数：y=﹣（答案不唯一）．（写出一个即可）
考点：反比例函数的性质．
专题：压轴题；开放型．
分析：根据反比例函数的性质解答．
解答：解：根据题意，反比例函数的性质图象的两个分支分别位于第二、四象限内，
所以反比例函数k＜0就可以，
例如y=﹣（答案不唯一）．
点评：本题主要考查反比例函数当k＞0时，图象分别位于第一、三象限；当k＜0时，图象分别位于第二、四象限．
9．（3分）（2006•河南）在“手拉手活动”中，小明为捐助某贫困山区的一名同学，现已存款300元，他计划今后每月存款10元，n月后存款总数是（300+10n）元．
考点：列代数式．
专题：应用题．
分析：首先表示他n月共存款是10n元，则n月后存款总数是（300+10n）元．
解答：解：n月后存款总数是（300+10n）元．
故答案为：（300+10n）．
点评：注意多项式的后边有单位时，要带上括号．列代数式的关键是正确理解文字语言中的关键词，找到其中的数量关系．
10．（3分）（2009•广元）如图，点A、B、C是⊙O上的三点，若∠BOC=56°，则∠A=28度．
考点：圆周角定理．
分析：根据同弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半求解即可．
解答：解：∵∠BOC=56°
∴∠A=∠BOC=28°．
点评：本题考查圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
11．（3分）（2006•河南）如图，C、D分别是一个湖的南、北两端A和B正东方向的两个村庄，CD=6km，且D位于C的北偏东30°方向上，则AB=3km．
考点：解直角三角形的应用-方向角问题．
专题：压轴题．
分析：过C作CE⊥BD于E，根据题意及三角函数可求得CE的长，从而得到AB的长．
解答：解：过C作CE⊥BD于E，则CE=AB．
直角△CED中，∠ECD=30°，CD=6，
则CE=CD•cos30°=3=AB．
∴AB=3（km）．
点评：此题的关键是添加辅助线构造直角三角形，再运用三角函数定义求解．
12．（3分）（2006•河南）已知二次函数y=﹣x2+2x+c2的对称轴和x轴相交于点（m，0），则m的值为1．
考点：二次函数的性质．
分析：先根据对称轴公式求出对称轴是x=1，再根据对称轴和x轴相交，交点横坐标相同求m．
解答：
解：根据对称轴公式得，对称轴x==1，
因为对称轴和x轴相交于点（m，0），所以m=1．
点评：主要考查了求抛物线的对称轴的方法和交点的意义．
13．（3分）（2006•河南）如图，要拼出和图中的菱形相似的较长对角线为88cm的大菱形（如图）需要图1中的菱形的个数为121．
考点：相似多边形的性质．
分析：大小菱形相似，又面积比等于相似比的平方，利用大菱形的面积除以小菱形的面积就可以得到小菱形的个数．
解答：解：小菱形的对角线长为8，大菱形的对角线长为88，相似比为8：88=1：11，
设小菱形的面积为单位1，则大菱形的面积为112=121个单位．菱形的个数为121．
点评：本题考查相似多边形的性质．相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比，而面积之比等于相似比的平方．
14．（3分）（2006•河南）如图，在△ABC中，AC=BC=2，∠ACB=90°，D是BC边的中点，E是AB边上一动点，则EC+ED的最小值是．
考点：轴对称-最短路线问题．
专题：压轴题；动点型．
分析：首先确定DC′=DE+EC′=DE+CE的值最小．然后根据勾股定理计算．
解答：解：过点C作CO⊥AB于O，延长CO到C′，使OC′=OC，连接DC′，交AB于E，连接CE，此时DE+CE=DE+EC′=DC′的值最小．
连接BC′，由对称性可知∠C′BE=∠CBE=45°，
∴∠CBC′=90°，
∴BC′⊥BC，∠BCC′=∠BC′C=45°，
∴BC=BC′=2，
∵D是BC边的中点，
∴BD=1，
根据勾股定理可得DC′==．
故答案为：．
点评：此题考查了线路最短的问题，确定动点E何位置时，使EC+ED的值最小是关键．
15．（3分）（2006•河南）如图，把一个矩形纸片OABC放入平面直角坐标系中，使OA、OC分别落在x轴、y轴上，连接OB，将纸片OABC沿OB折叠，使点A落在A′的位置上．若OB=，，求点A′的坐标为
（）．
考点：坐标与图形性质；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）．
专题：压轴题．
分析：由已知条件可得：BC=1，OC=2．设OC与A′B交于点F，作A′E⊥OC于点E，易得△BCF≌△OA′F，那么OA′=BC=1，设A′F=x，则OF=2﹣x．利用勾股定理可得A′F=，OF=，利用面积可得A′E=A′F×OA′÷OF=，利用勾股定理可得OE=，所以点A’的坐标为（）．
解答：
解：∵OB=，
∴BC=1，OC=2
设OC与A′B交于点F，作A′E⊥OC于点E
∵纸片OABC沿OB折叠
∴OA=OA′，∠BAO=∠BA′O=90°
∵BC∥A′E
∴∠CBF=∠FA′E
∵∠AOE=∠FA′O
∴∠A′OE=∠CBF
∴△BCF≌△OA′F
∴OA′=BC=1，设A′F=x
∴OF=2﹣x
∴x2+1=（2﹣x）2，
解得x=
∴A′F=，OF=
∵A′E=A′F×OA′÷OF=
∴OE=
∴点A’的坐标为（）．
故答案为：（）．
点评：解决本题的关键是利用三角形的全等得到点A′所在的三角形的一些相关的线段的长度，进而利用面积的不同表示方法和勾股定理得到所求的点的坐标．
三、解答题（共8小题，满分75分）
16．（8分）（2006•河南）计算：．
考点：实数的运算；零指数幂；二次根式的乘除法；特殊角的三角函数值．
专题：计算题．
分析：本题涉及实数运算、二次根式化简等多个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
解答：
解：原式=
==1．
点评：本题考查实数的运算能力，属基础题．
17．（9分）（2006•河南）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=DC，点E为底边BC的中点，且DE∥AB．试判断△ADE的形状，并给出证明．
考点：等边三角形的判定；全等三角形的判定与性质；梯形．
专题：探究型．
分析：此题可以发现并证明两个平行四边形，根据平行四边形的性质得到三角形的三边关系进行证明．
解答：解：△ADE是等边三角形．
证明：∵AD∥BC，DE∥AB，
∴四边形ABED为平行四边形．
∴AB=DE，AD=BE．
∵BE=CE，
∴AD=CE．
∴四边形AECD是平行四边形．
∴AE=CD．
∵AB=AD=CD，
∴AD=AE=DE．
∴△ADE为等边三角形．
点评：此题的重点是发现两个平行四边形，根据平行四边形的性质以及已知条件找到线段之间的等量关系．
18．（9分）（2006•河南）一个均匀的正方体子，六个面分别标有数字1、2、3、4、5、6，连续抛掷两次，朝上的数字分别为m、n．若把m、n作为点A的横纵坐标，那么点A（m，n）在函数y=2x的图象上的概率是多少？
考点：一次函数图象上点的坐标特征；概率公式．
分析：列举出所有情况，让点A（m，n）在函数y=2x的图象上的情况数除以总情况数即为所求的概率．
解答：解：根据题意，以（m，n）为坐标的点A共有36个，（4分）
而只有（1，2），（2，4），（3，6）三个点在函数y=2x图象上，（7分）
所以，所求概率是，
即：点A在函数y=2x图象上的概率是．（9分）
点评：用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
19．（9分）（2006•河南）某公司员工的月工资情况统计如下表：
员工人数 2 4 8 20 8 4
月工资（元）5000 4000 2000 1500 1000 700
（1）分别计算该公司月工资的平均数、中位数和众数；
（2）你认为用（1）中计算出的哪个数据来表示该公司员工的月工资水平更为合适？
（3）请你画出一种你认为合适的统计图来表示上面表格中的数据．
考点：加权平均数；统计图的选择；中位数；众数；统计量的选择．
专题：应用题．
分析：（1）平均数只要求出数据之和再除以总个数即可；对于中位数，按从小到大的顺序排列，只要找出最中间的一个数（或最中间的两个数）即可，本题是最中间的两个数；对于众数可由出现频数最大的数据写出．（2）根据中位数、众数和平均数的意义回答．
（3）画条形统计图．
解答：
解：（1）平均数为=1800（元）．
中位数为1500元．
众数为1500元．
（2）用中位数或众数都可以表示该公司员工的月工资水平．
（3）画条形统计图较合适．
点评：本题考查的是平均数、众数、和中位数的基本算法以及统计图的作法．
20．（9分）（2006•河南）如图，线段AB=4，点O是线段AB上的点，点C、D是线段OA、OB的中点，小明很轻松地求得CD=2．他在反思过程中突发奇想：若点O运动到线段AB的延长线上或直线AB外，原有的结论“CD=2”是仍然成立呢？请帮小明画出图形分析，并说明理由．
考点：三角形中位线定理；比较线段的长短．
专题：动点型；探究型．
分析：运动到延长线时，应用根据线段中点定义得到有关的线段表示出所求的线段长；当在直线AB外时，O、A、B三点构成三角形，利用三角形的中位线即可求解．
解答：解：原有的结论仍然成立．理由如下：
（1）当点O在AB的延长线上时，如图所示，
CD=OC﹣OD=（OA﹣OB）=AB=×4=2．
（2）当点O在AB所在的直线外时，如图所示，
C，D分别是OA，OB的中点，由三角形中位线定理可得：
CD=AB=×4=2．
点评：解决本题需利用线段中点定义和三角形的中位线定理．熟练掌握运用以上知识是解题的关键．
21．（10分）（2006•河南）甲、乙两家超市以相同的价格出售同样的商品，为了吸引顾客，各自推出不同的优惠方案：在甲超市累计购买商品超出300元之后，超出部分按原价8折优惠；在乙超市累计购买商品超出200元之后，超出部分按原价8.5折优惠．设顾客预计累计购物x元（x＞300）．
（1）请用含x代数式分别表示顾客在两家超市购物所付的费用；
（2）试比较顾客到哪家超市购物更优惠？说明你的理由．
考点：一元一次不等式的应用．
专题：应用题；方案型．
分析：（1）根据超市的销售方式可列式表示在甲超市购物所付的费用和在乙超市购物所付的费用；
（2）购物所需费用需分情况讨论，一般分为①两家超市购物所付费用相同，②到乙超市更优惠，③到甲超市更优惠，三种情况，分别计算即可．
解答：解：（1）在甲超市购物所付的费用是：300+0.8（x﹣300）=（0.8x+60）元，
在乙超市购物所付的费用是：200+0.85（x﹣200）=（0.85x+30）元；
（2）①当0.8x+60=0.85x+30时，解得x=600．
∴当顾客购物600元时，到两家超市购物所付费用相同；
②当0.8x+60＞0.85x+30时，
解得x＜600，而x＞300，
∴300＜x＜600．
即顾客购物超过300元且不满600元时，到乙超市更优惠；
③当0.8x+60＜0.85x+30时，解得x＞600，
即当顾客购物超过600元时，到甲超市更优惠．
点评：此题的关键是用代数式列出在甲、乙两超市购物所需的费用，（2）用了分类讨论的方法，是解决此类问题常用的方法．
22．（10分）（2006•河南）如图△ABC中，∠ACB=90度，AC=2，BC=3．D是BC边上一点，直线DE⊥BC于D，交AB于点E，CF∥AB交直线DE于F．设CD=x．
（1）当x取何值时，四边形EACF是菱形？请说明理由；
（2）当x取何值时，四边形EACD的面积等于2？
考点：菱形的判定；一元二次方程的应用．
专题：压轴题．
分析：（1）ED、AC同时垂直于BC，因此EF∥AC，又有CF∥AB，那么四边形ACFE是个平行四边形，要想使其为菱形，就必须让CF=AC=2，然后用x表示出，CF、DF的值．在Rt△CDF中用勾股定理求出x的值即可．
（2）由于四边形ACDE是个直角梯形，可根据其面积公式求出关于x的一元二次方程，然后求出x的值．解答：解：（1）∵在△ABC中，∠ACB=90°，
∴AC⊥BC，
又∵DE⊥BC，
∴EF∥AC
又∵AE∥CF，
∴四边形EACF是平行四边形．
当CF=AC时，四边形ACFE是菱形．
此时，CF=AC=2，BD=3﹣x，tanB=，
∵tanB=．
∴ED=BD•tanB=（3﹣x）．
∴DF=EF﹣ED=2﹣（3﹣x）=x．
在Rt△CDF中，由勾股定理得CD2+DF2=CF2，
∴x2+（x）2=22，
∴x=±（负值不合题意，舍去）．
即当x=时，四边形ACFE是菱形．
（2）由已知得，四边形EACD是直角梯形，S梯形EACD=DC•（DE+AC）=×（4﹣x）•x=﹣x2+2x，依题意，得﹣x2+2x=2．
整理，得x2﹣6x+6=0．
解之，得x1=3﹣，x2=3+．
∵x=3+＞BC=3，
∴x=3+舍去．
∴当x=3﹣时，梯形EACD的面积等于2．
点评：本题的关键是如何判定四边形EFCA是菱形，菱形的判别方法是说明一个四边形为菱形的理论依据，常用三种方法：①定义，②四边相等，③对角线互相垂直平分．
23．（11分）（2006•河南）如图，在平面直角坐标系中，直线y=﹣x+4分别交x轴、y轴于A、B两点．
（1）求两点的坐标；
（2）设是直线AB上一动点（点P与点A不重合），设⊙P始终和x轴相切，和直线AB相交于C、D两点（点C 的横坐标小于点D的横坐标）设P点的横坐标为m，试用含有m的代数式表示点C的横坐标；
（3）在（2）的条件下，若点C在线段AB上，求m为何值时，△BOC为等腰三角形？
考点：一次函数综合题．
专题：压轴题；动点型．
分析：
（1）因为直线y=﹣x+4分别交x轴、y轴于A、B两点，所以分别令x=0、y=0，即可求出A、B的坐标；
（2）设点C的横坐标为n．由（1）知AB==5，所以sin∠OBA=，要求点C的横坐标，可过C作CE⊥x轴于E，过P作PG⊥x轴于G，PF⊥CE于F，则∠FCP=∠OBA，PF=m﹣n．
①若m＜3时，因为P点的横坐标为m，P在直线y=﹣x+4上，所以PC=PG=﹣m+4，利用三角函数可
得PF=PC•sin∠FCP=PC•sin∠OBA，即可得到关于m、m的关系式，整理即可；
②当m＞3时，P在x轴的下方，所以PC=PG=，PF=PC•sin∠FCP=PC•sin∠OBA，整理即可得到另
一个m、n的关系式；
（3）当点C在线段AB上时，由（2）知，C点的横坐标n=m﹣，因为△BOC为等腰三角形，所以需要分情况讨论：
①当CB=CO时，因为△OBA是直角三角形，∠BOA=90°，所以此时C为AB的中点，C点的横坐标为，
即n=，即，解之即可；
②当CB=OB=4时，因为AB=5，可得AC=AB﹣CB=1，利用三角函数可得AE=AC•cos∠OAB=，又因
OE+AE=OA，就可得到关于m的方程，解之即可；
③当OC=OB时，因为OB＞OA，所以C在线段BA的延长线上，即在线段AB上不存在点C，使OC=OB．解答：
解：（1）当x=0时，y=4；当y=0时，﹣x+4=0，x=3．
∴A（3，0），B（0，4）．（2分）
（2）设点C的横坐标为n．由（1）知AB==5，
∴sin∠OBA=．
过C作CE⊥x轴于E，过P作PG⊥x轴于G，PF⊥CE于F，
则∠FCP=∠OBA，PF=m﹣n．
①当m＜3时，∵PC=PG=﹣m+4，
∴PF=PC•sin∠FCP=PC•sin∠OBA，
∴m﹣n=（﹣m+4）×．
解得n=m﹣．（5分）
②当m＞3时，PC=PG=，PF=PC•sin∠FCP=PC•sin∠OBA，
∴m﹣n=（m﹣4）×．
解得n=m+．（7分）
（3）当点C在线段AB上时，由（2）知，C点的横坐标n=m﹣，
以下两种情况△BOC为等腰三角形．
①当CB=CO时，
∵△OBA是直角三角形，∠BOA=90度．
∴此时C为AB的中点，
∴C点的横坐标为．
∴，解得m=．（9分）
②当CB=OB时，
∵AB=5，
∴AC=AB﹣CB=1，
∴AE=AC•cos∠OAB=．
∵OE+AE=OA，
∴，解得m=．
∵OB＞OA，
∴在线段AB上不存在点C，使OC=OB．
所以，当m=或m=时，△BOC为等腰三角形．（11分）
点评：本题的解决需要用到分类讨论、数形结合、方程和转化等数学思想方法．。