二阶常系数线性齐次递归数列通项的求解

5 3
an+1-
2 3
*
an（n∈N ），
可 得 an+2-an+1=
2 3
an+1-
2 3
an=
2 3
*
（an+1-an）（n∈N ）。
则{an+1-an}是首项为a2-a1=
5 3
-1=
2 3
，公比为
2 3
的等比数列，
故
an+1-an=（
2 3
n
*
） ，（n∈N ）
，即an-an-1=（
2 3
n-1
○ 数学教学与研究 2009年第33期（上卷）
周刊
二阶常系数线性齐次递归数列通项的求解
尤田
（泗阳致远中学，江苏 泗阳 223700）
递推公式是认识数列的一种重要形式，是给出数列的基
本方式之一。 学习数学的根本目的在于培养数学能力，即拥
有运用数学解决实际问题和进行发明创造的本领，这种能力
不仅表现在对数学知识的记忆中，更主要的是反映在数学思
2
3
则有G（x）=a1+a2x+a3x +a4x +…
%-
5 3
x·G（x）=-
5 3
a1x-
5 3
2
a2x -
5 3
3
a3x -
5 3
4
a4x +…
+）
2
2
x G（x）=
3
2 3
2
a1x +
2 3
3
a2x +
2 3
4
a3x +…%
（1-
5 3
x+
2 3
2
x ）G（x）=a1+（a2-
5 3
a1）x=1
子具体说明。
例 ：设 数 列 {an} 满 足 a1=1，a2=
5 3
，an+2=
5 3
an+1-
2 3
*
an（n∈N ）。
求 数 列 {an}的 通 项 an。
分 析 ：中 学 阶 段 通 常 设 法 把an+1分λan+1给an+2，从 而 转 化 为
a′n+1=p′a′n+q′形 式 。
解 ： 由 an+2=
想方法的素养上。 因此，研究由递推公式求数列通项公式中
的数学思想方法是很有必要的。 二阶常系数线性齐次递归数
列 （形 如an+1=pan+qan-1（n≥2）的 递 推 式 ）的 通 项 公 式 的 求 解 是
数列学习中的一个难点。 其求解过程中渗透了多种数学思想
方法，因此求解过程往往显得方法多、技巧性强。 下面通过例
参考文献： ［1］汪晓梦.极限思想的形成、发展及其哲学意义 ［J］.中共 合 肥 市 委 党 校 学 报 ，2004，(3). ［2］陈 纪 修 ，於 崇 华 ，金 路.数 学 分 析 ［M］.北 京 ：高 等 教 育 出 版 社 ，2004. ［3］同济大学数学系.高等数学(第 六 版)［M］.北 京:高 等 教 育 出 版 社 ，2007.
最后，对于函数极限的定义而言，无外乎多了一个邻域和 邻域半径的概念， 其实仍然是上面两种简单的极限过程的一 种引申。 邻域或者邻域半径只是极限过程的一个条件，理解透 了极限过程的话就很容易理解这个过程所需要的条件的。 有 了函数的定义就有微积分的一系列重要的概念，比如连续、导 数、微分、积分等。 就是这些基础的概念构成整个微积分学，因 此归根结底，仍然是极限思想。
圯α+β=1
解 α+ 2 β=0圯α=-2，β=3， 3
所以G（x）= -2 + 3 1- 2 x 1-x 3
∑ ∑ ∞
=（-2）·
（
2
k
x） +3
∞
k
x
k=0 3
k=0
∑ =
∞
［（-2）·（
2
k+1
k+1
） +3］x
k=0
3
∴an+1=（-2）·（
2 3
n
） +3圯an=3-2·（
2 3
n-1
）
以上解法表明，对于二阶常系数线性齐次递归数列的通
故G（x）=
1
1-
5
x+
2
2
x
33
2
∵f（x）=x -
5
x+
2
=（x-
2
）（x-1） 根 分 别 为
2
，1，
33
3
3
∴D（x）=1-
5
x+
2
2
x =（1-
2
x）（1-x），
33
3
故G（X）=
1
= α +β
1-
Fra Baidu bibliotek
5
x+
2
2
x
1- 2 x
1-x
33
3
（α+β）-（α+ 2 β）x
=
3，
1-
5
x+
2
2
x
33
征 方 程 ），其 中x1，x2是 特 征 方 程x -px-q=0的 两 个 根 。 有 下 面
结论：
2
定 理 如 果1，2是 递 推 式an+1=pan+qan-1（n≥2）的 特 征 方 程x -
px-q=0的 两 个 根 ，那 么
n
n
（1）当 x1≠x2时 ，an=αx1+βx2；
n
（2） 当 x1=x2时 ，an=（α+βn）x1；
项公式的求解，使用特征方程或使用母函数具有一般性，学生
在学习中应多加体会。
参考文献： ［1］陈 传 理 ，张 同 君 .竞 赛 数 学 教 程 ［M］.高 等 教 育 出 版 社 . ［2］李 玉 琪 .初 等 代 数 研 究 .中 国 矿 业 大 学 出 版 社 .
69
n
（3）当x1=r（cosθ+isinθ），x2=r（cosθ-isinθ）时 ，an=r （cosnθ+
渡→实例分析→抽象→本质特征→得出极限概念。 相信按 此思路，层层铺垫，步步深入，学生理应会慢慢接受，并逐 层理解消化。
数学思想方法是数学知识的精髓， 是对数学知识和方法 的本质认识，为解决数学问题提供了科学方法，是培养智力和 提高能力的有效工具。 因此， 数学思想方法是数学教学的核 心，数学教师必须重视对学生数学思想方法的教育。
2
3
4
%pxG（x）= pa0x+pa1x +pa2x +pa3x +…
2
% +）qx G（x）=
2
3
4
qa0x +qa1x +qa2x +…%
2
2
4
（1+px+qx ）G（x）=a0+（a1+pa0）x+（a2+pa1+qa2）x +（a3+pa2+qa1）x +…
2
于是 （1+px+qx ）G（x）=a0+（a1+pa0）x
5 3
-2×1=3
∴由 上 面 两 式 消 去 an+1得 an=3-3（
2 3
n
） ，n≥1。
2
知 识 链 接 ：我 们 常 把 方 程x -px-q=0称 为 递 推 式an+1=pan+
2
qan-1（n≥2）的 特 征 方 程 （只 要 将an+1，an，an-1换 成x ，x，1即 得 特
2
2 3
n
）
圯 由a1=1，a2=
5 3
得
圯圯 a1=α+β·
2 3
=1
：圯 圯圯 a2=α+β·（
2 3
2
）=
5 3
圯
αβ==3-3，
∴an=3-3（
2 3
n
）。
知识链接： 形式幂级数又称作母函数。 其一般的形式如
∞
∞
∑ ∑ n
∞
n
下：G（x）= anx ，我们给定数列{an}n=0，它所造出的G（x）= anx
所以，G（x）= a0+（a1+pa0）x 。 2 1+px+qx
2
令分母为D（x）=1+px+qx ，
姨% 2
如果λ1，2= -p±
p -4q 是特征多项式f（x）的两根， 2
2
则有D（x）=1+px+qx =（1-λ1x）（1-λ2x）。
我 们 可 以 将 G（x）作 一 个 分 式 的 改 写 （假 设 二 根 相 异 ）
2 3
n-1
） +（
2 3
n-2
）+
…+ 2 ， 3
故an=（an-an-1）+（an-1-an-2）+…+（a2-a1）+a1
=（
2
n-1
） +（
2
n-2
） +…+
2
+1
3
3
3
1-（
2
n
）
=
3
=3［1-（
2
n
） ］。
1- 2
3
3
②用解方程组法
解 ：∵an+1-an=（
2 3
n
），
3an+1-2an=3an-2an-1=…=3a2-2a1=3×
∞
∞
∑ ∑ k k
kk
=α λ1x +β λ2x
k=0
k=0
∞
∞
∑ ∑ k
k
kk
所以G（x）= αkx = （αr1+βr2）x （λ1≠λ2）。
k=0
k=0
n
n
比 较 系 数 ，得an=αλ1+βλ2，其 中λ2，λ2为 特 征 多 项 式 的 两
根。
2
3
于是可得解法3：令G（x）=a1+a2x+a3x +a4x +…
G（x）= a0+（a1+pa0）x = α + β ，其中α，β是某两个常数。
2
（1+px+qx ）
1-λ1x
1-λ2x
由公式
1
23
=1+x+x +x +…可得：
1-x
周刊 2009年第33期（上卷） ○ 数学教学与研究
22
22
G（x）=α（1+λ1x+λ1x +…）+β（1+λ2x+λ2x +…）
3
x +…（广义二项
2！
3！
式定理）
对 于 递 归 数 列 {an}：an+pan-1+qan-2=0，p≠0，q≠0
2
其特征多项式：f（x）=x +px+q
2
3
令数列的母函数：G（x）=a0+a1x+a2x +a3x +…
则有下面的算式：
2
3
4
%G（x）=a0+a1x+ a2x + a3x + a4x +…
让学生学着用数学的理性的语言来描述这一概念。 可以不要 求规范性， 但要求严谨性， 要保证描述的定义能够 “滴水不 漏”。 实际 上 跟x→0类 似 ，x→∞也 可 用 同 样 的 方 法 描 述 ，只 需 要注意一点，也就是对于任意给定一个常量M（一般是指很大 的 一 个 大 于0的 量 ），x更 靠 近∞指 的 是｜x｜比 任 意 大 的 量M还 要 更大。 即：x→∞圳坌M＞0，｜x｜＞M。
本文得到江西省高等教育教学改革课题 (项目编号 JXJG-07-84-6)资 助 。
isinnθ）其 中 α，β是 可 由 初 始 值 确 定 的 常 数 。
2
由此可推出解法2：递推关系对应的特征方程为：3λ -5λ+
2=0圯λ=1，λ= 2 。 3
n
则an=α（1） +β（
2 3
n
） =α+β（
总的来说， 极限理论教学要始终贯穿用 “已知” 认识 “未 知 ”，从 量 变 产 生 飞 跃 到 质 变 的 科 学 辩 证 思 想 ，运 用 定 性描述和定量分析的方法。 大概的讲授步骤为：引例→过
68
an-a1= （an-an-1 ）+ （an-1-an-2 ）+ … + （a2-a1 ）= （
n=0
n=0
则称为数列的母函数。 关于母函数的运算我们要先记住：
（1）
1
23
=1+x+x +x +…
1-x
（2）
1
2
=1+2x+3x +…
2
（1-x）
（3）
1
=1+nx+
n（n+1）
2
x+
n（n+1）（n+2）
3
x +…
n
（1-x）
2！
3！
r
（4）（1+x） =1+rx+
r（r-1）
2
x+
r（r-1）（r-2）
） （n≥2）。
（ 此 处 也 可 以 用 迭 代 法 求 出 an+1-an来 ：
an+1-an=
2 3
（an-an-1）=（
2 3
2
） ·（an-1-an-2）=…=（
2 3
n-1
） ·（a2-
a1）=（
2 3
n
） ）。
接下来：
①用累加法
坌ε＞0，｜x-a｜＜ε。 接着是“无穷大”的概念，有了上面的分析以后，可以试着