高等数学(二)BW试题答案济南大学

1
dy
0
f (x, y)dx 等于（
）.
0
y
1
0
1
1
(A) dx f (x, y)dy (B) dx f (x, y)dy
0
x
0
x
0
1
0
0
(C) dx f (x, y)dy (D) dx f (x, y)dy
1
x
1
x
分析:教材P125-132
解. 积分域如图.
D :
0 y1 y x 0
可表示成
z A x B y o( ) ,
其中 A , B 不依赖于 x , y , 仅与 x , y 有关，则称函数
f ( x, y ) 在点( x, y) 可微，A Δx B Δ y 称为函数 f ( x, y )
在点 (x, y) 的全微分, 记作
dz d f Ax By
若函数在域 D 内各点都可微, 则称此函数在D 内可微.
y 1y (0,1)
表示为X型区域 D : 1xxy01
原式
0
1
dx f (x, y)dy
1
x
D
y x
1 O x
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D 5. 下列级数中, 绝对收敛的是(
)
A. (1)n cos 1 ; B. (1)n ; C. (1)n ; D. (1)n .
n1
济南大学1516高等数学 (二)BW参考解答
一．选择题(每小题2分,共10分)
B 1. 极限 lim sin(xy) （ ) x ( x, y)(0,1)
2016.6.27
(A) 0， (B) 1， (C) 2， (D) 不存在.
教材P707等2价无穷小替换,重要极限
分析:多元函数的极限
解: 原式 =
0) 的极限.
解: 设 P(x , y) 沿直线 y = k x 趋于点 (0, 0) , 则有
lim
x0
f (x, y)
lim
x0
x2
kx2 k2x2
1
k k
2
y kx
k 值不同极限不同 !
故 f ( x, y)在 (0,0) 点极限不存在 .
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2. 二元函数 f (x, y) 在点( x0, y0 ) 处的两个一阶偏导数
n2
n1 n
n1 n
n2
n1
分析:重要参考级数: 几何级数, p -级数, 调和级数.
A的一般项不趋于零，级数发散(教材P186)
B，C是条件级数 (教材P196-200) ，D 绝对收敛
(教材P198-199)
aqn
n0
当 当
q q
1时 ,收 敛 1时 ,发 散
1 当p 1时,收敛 n0 n p 当p 1时,发散
20 10
0
2
-10
于是所求平面的夹角为
-5 0
0
uur uur
-2 5
cos
n1 n2 uur uur
165
10
0
n1 n2 1 4 1
综上，两平面的夹角为
19
.
25
2
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三、两平面的夹角
两平面法向量的夹角(常指锐角)称为两平面的夹角.
设平面∏1的法向量为 n1 ( A1 , B1 , C1)
可微分
偏导数连续
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3.
B 点(0,0)是二元函数 f (x, y) x2 y2 的(
)
(A) 极大值点. (C) 驻点但不是极值点. 分析:教材P109-111
当 x2 y2 0 时,
因此
(B) 极小值点. (D)驻点和极值点.
x2 y2 z (0,0) 0
平面∏2的法向量为 n2 ( A2 , B2 , C2 )
则两平面夹角 的余弦为
2
cos n1 n2
n1 n2
即
cos
A1 A2 B1B2 C1C2
A12 B12 C12 A22 B22 C22
n1
n2
1
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1 : n1 ( A1, B1, C1) 2 : n2 ( A2 , B2 , C2 )
1 发散, (1)n1 收敛,
n1 n
n1 n
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二、填空题（每小题2分，共10分） 1． 两平面 x 2 y z 2 和 x 3y 5z 0
的夹角为_____.
教材P29-35
解: 两平面的法向量
uur
uur
n1 (1, 2,1), n2 (1, 3, 5)
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当函数可微时 :
lim z lim ( A x B y ) o ( ) 0
x0
0
y0
得 lim f (x x, y y) f ( x, y )
x0 y0
即
函数
zz
=
f f(x( ,xy)
在 点x , y(x,
y)y可) 微f
(函x ,数y )在该点连续
cos
n1 n2 n1 n2
特别有下列结论：
n2
(1) 1 2
n1 n2
1
A1 A2 B1 B2 C1 C2 0
n1
2
(2) 1 // 2
n1 // n2 A1 B1 C1 A2 B2 C2
n2 n1
2
1
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A 连续是f (x , y)在该点连续的(
)
(A) 充分条件. (C) 充分必要条件.
(B) 必要条件. (D) 既非充分也非必要条件.
分析:教材P86-P87 内容
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全微分的定义
定义: 如果函数 z = f ( x, y )在定义域 D 的内点( x , y )
处全增量
为极小值. z
又 f (x, y)
fx
(0,
0)
lim
x0
x2 y2 , 在(0,0)处连续, O
x2
0
0
lim
|
x
|
x
不存在
x
x0 x
y
fy
(0,
0)
lim
y0
0 y2 0 lim | y | 不存在.
y
y0 y
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C 4. 设函数 f (x, y) 连续，则
下面两个定理给出了可微与偏导数的关系:
d(1z)函d数f 可 微A x B y 偏导数存在 (2z)偏A导x数连B续y o ( ) 函数可微
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多元函数连续、可导、可微的关系
函数连续
偏导数存在
函数可微
小结
偏导数连续
极限，连续，可导，可微的关系图
极限存在
连续
偏导数存在
lim sin(xy) y 11 1 xy ( x, y)(0,1)
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• 若当点 P ( x, y )以不同方式趋于 P0 ( x0 , y0 ) 时 , 函数
趋于不同值或有的极限不存在，则可以断定函数极限
不存在 . 讨论函数
f
(x, y)
xy x2 y2
在点 (0,