南开大学顾沛教授主讲数学文化

南开大学顾沛教授主讲数学文化

他是我接触过的第二个号称是首届“国家级教学名师”的人了，第一个是自己学校机械学院吴鹿鸣教授。吴鹿鸣教授当时带过我们机械设计基础的实验，他很健谈，人老的不行但精神旺盛的无法说。他讲了很多在国外的趣闻，我到现在还记得比较清晰的事就是他和德国朋友喝咖啡，有间谍拍到英国雷达自己一伙人搞研究的事。两外就是把其它学校说的一文不值，把交大吹上天，假如不晓得他那么牛你还以为他是吹牛，牛人就是牛人，毕竟首届“国家级教学名师”机械方面全国就两个，一个是清华的一个教授，一个就是他了，不牛的人能那么吹么？再说了，我们学校的本科教学的机械实验室确实是全国最牛的，清华和另外几个牛B学校的都要抄我们的，其它有些二流学校想抄都没钱抄，呵呵。

顾沛也是牛人，也是牛气轰轰的人。来我们学校讲学，送的礼物就是他写的一本书《数学文化》，就送这么一本不足为道的书（估计我们学校图书馆都订了），还举行了个隆重的仪式，我们学校数学学院院长恭恭敬敬接过说，然后千恩万谢，简直就像得到了一件稀世之宝一般。你看牛人就不一般，不送别的就送本书，既显得有品味，又成本低（估计是出版社印了直接给他，零成本），呵呵。

顾沛教授演讲是按他平时上课的形式来的。他最大的特点就是能调动台下学生的积极性，引导大家的思维，并且结合实际的东西而不照本宣科。听说他在南开很火爆，估计也有那么回事，至少肯定不是吹的。

他的几个例子我现在还有印象。

一个是讲微软一个关于病狗的面试题目，题目是村子里有50个人，每人有一条狗。在这50条狗中有病狗(这种病不会传染)。于是人们就要找出病狗。每个人可以观察其他的49条狗，以判断它们是否生病，只有自己的狗不能看。观察后得到的结果不得交流，也不能通知病狗的主人。主人一旦推算出自己家的是病狗就要枪毙自己的狗，而且每个人只有权利枪毙自己的狗，没有权利打死其他人的狗。第一天，第二天都没有枪响。一直到第十天传来一阵枪声，问有几条病狗，如何推算得出？他给了我们两点：1、病狗肯定不止一条；2、数学归纳法。呵呵，这个题目以前貌似看到过，但详细推理过程还是表达不出。后面在网上摘点别人怎么做的：

1.如果为1条病狗，第一天那条狗必死，因为狗主人没看到病狗，但病狗存在。

2.若为2条病狗，狗主人为a、b。a看到一条病狗，b也看到一条病狗，但a看到b的病狗没死故知狗数不为1，而其他人没病狗，所以自己的狗必为病狗，故开枪；而b的想法与a一样，故也开枪。由此，为2时，第一天后2条狗必死。

3.若为3条病狗，狗主人为a、b、c。a第一天看到2条病狗，若a设自己的不是病狗，由推理2，第二天看时，那2条狗没死，故狗数肯定不是2，而其他人没病狗，所以自己的狗必为病狗，故开枪；而b 和c的想法与a一样，故也开枪。由此，为3时，第二天后3条狗必死。

4.余下即为递推了，由n-1推出n。即第几天有枪声就有多少条狗死。

一个是关于可以装无限个旅客的旅馆。里面无限与有限的关系方面的数学思维用的比较多，这里不详细了。

一个讲到关于数学的几次危机，我只记得了数学里面的δ-Ε语言了。

这次讲座的收获主要的还是他讲的关于数学思维数学素养方面的启迪。

他讲了数学素养，我记得他的定义是：除去所有的数学知识，留下来的就是数学素养。

他说了很多生活处处有数学，处处用到数学的思维。数学是不同于其它所有学科的学科。

另外就讲了在中国举行的那次全球数学大会的标志，里面是古代中国数学家对勾股定理的证明。

另外就讲了华罗庚说那个三角形三内角之和的定理不好。那个结论本身没错，但没有揭示规律性的东西。

顾沛说，很多年的数学学习后，那些数学公式、定理、解题方法也许都会被忘记，但是形成的数学素养却终身受用。数学素养就是把所学的数学知识都排出或忘掉后剩下的东西。

他常举的例子有（写博时摘自网上）：

例一：芝诺悖论与无限——从初等数学到高等数学

很多人都听过芝诺悖论中的“阿基里斯永远追不上乌龟”的问题，顾沛在分析这个问题时，指出这一悖论的症结在于混淆了有限与无限的问题。芝诺认为阿基里斯在追赶乌龟的过程中，首先要到达乌龟原先的位置A，而这时乌龟已经到了位置B，阿基里斯继续追赶则要先到达B，这时乌龟又到达了位置C，以此类推，阿基里斯似乎永远也追不上乌龟了，可是芝诺却忽视了一个问题，无限长度或时间的和，可能是有限的。

另一个与无限有关的是“有无限个房间的旅馆”问题，一个有无限个房间的旅馆客满后来了一个客人，应该怎样安排他？答案很简单，让原先住在1号房的客人搬进2号房，原先住在2号房的客人住进3号房，以此类推，让原先住在K号房的客人住进K+1号房，这样就空出了1号房给新来的客人。同理，来了一个团的无穷个旅客，一万个团的无穷个旅客甚至无穷个团的无穷个旅客也应对自如了。在场的许多同学都有所领悟，给出了精彩的解答。

奇妙的数学，从有限到无限，不可能的也成了可能。

例二：海岸线的长度问题——分形与混沌

首先是分形问题。B．B．Mandelbrot发现英国的海岸线永远也无法测量，为什么呢？柯赫曲线的几何现象说明了这个问题。（组图略）

这样的一组图具有自相似性，在测量海岸线时，如果尺子的长度精确度不同，那么海岸线的形状就可以无限分形，当然无法准确测量了。正是这样一个问题，发展成了数学界一个非常重要的分支。

混沌问题。这个问题是E．N．Lorenz在做天气预报中发现的。大家都知道的“蝴蝶效应”，也是一种混沌现象，由此可见，数学问题无处不在。

例三：历史上的数学危机——数学的思想大解放

顾沛讲到，我们学习数学，却不知道数学背后的历史。

牛顿为了计算瞬时速度，创立了微积分学，可是贝克莱却对牛顿发难：无穷小作为一个量，究竟是否为0？

在算式 s/ t=gt +1/2 g( t)中，贝克莱质疑道：如果无穷小量等于0，则等号左端无意义，若不等于0，则右边的后一项不能随意取掉，因此，反驳贝克莱成了一个棘手的问题。

直到数百年后，柯西的极限理论的出现，“ξ-σ”语言的出现。才消除了这一危机。

由此可见，在数学中，知识的逻辑顺序与历史顺序有时是不同的。

例四：周髀算经与勾股定理——中国和世界数学的骄傲

顾沛讲到，很多人都知道北京2008年举行奥运会，可是却很少有人知道2002年在北京举行的“国际数学家大会”，这是我国许多世界顶尖数学大师和政府争取来的荣誉。这次大会的会