第六章-连续介质力学基础

连续介质力学基础

物质坐标和空间坐标

对于有限个质点组成的质点系统，我们可以采用给质点编号的方式区分各个质点;对于有无限个质点组成的系统，我们就采用坐标识别系统中各个物质点。用于标示质点的坐标称为物质坐标132(,,)ξξξ；为了区分，我们将表示空间中几何点的坐标

312(x ,x ,x )称为空间坐标。

两种坐标是通过连续体的运动联系起来的：如果在时刻t 质点132(,,)ξξ

ξ占据空间位置312(x ,x ,x )，则二者之间具有函数关系：

k k 123x x (,,

,t)=ξξξ

这个函数描述了物质点132

(,,)ξξξ的轨迹。由于同一时刻不同物质点不能占据同一位置，这个函数必须是一一映射的，其反函数存在并且唯一：

k k 123

(x ,x ,x ,t )

ξ=ξ 其意义为t 时刻几何点312(x ,x ,x )在物质点132(,,)ξξξ的轨迹上。因此，质点的位置、速度等物理量都可以等价地用物质坐标或空间坐标描述，分别称为物质描述和空间描述； 物质描述侧重于物理量的变化规律，空间描述侧重于物理量的空间分布。前者适合于固体力学，后者适合于流体力学。

在物质点的轨迹所覆盖的区域内，同一时刻的空间每一个几何点都唯一地属于某个物质点的轨迹，因而物质坐标也可看作为描述空间位置的一种特殊的曲线坐标。

物质坐标系基底矢量：

i i ˆ∂=∂ξ

r

g

空间坐标基底基矢量：

i i x

∂=∂r g

两者之间的转换关系为：

k k i k i k i i x x ˆx ∂∂∂∂===∂ξ∂∂ξ∂ξr r g

g ； j j

m m ˆx ∂ξ=∂g g k k i k i i k i ˆx x x ∂∂ξ∂∂ξ===∂∂∂ξ∂r r g g

； j j

m m x ˆ∂=∂ξ

g g 物质导数

保持物质坐标不变时，张量T 随时间的变化率称为张量的物质导数，记作

D Dt

T

或T 。对物质描述的张量，物质导数就是对时间的偏导数；对空间描述的张量，物质导数是对时间的全导数。

例如：物质点ξ的速度定义为矢径的物质导数，即：

k k k k

(,t)()x (,t)v t x t ∂∂∂===∂∂∂r ξr x ξv g 其中

k k

x (,t)

v t

∂=

∂ξ 为物质点ξ的速度在空间基底下的逆变分量。 空间坐标基底矢量的物质导数：

()k

k k m

i i i i ik m k k x ,t D v v Dt x t x ∂∂∂====Γ∂∂∂ξg g g g g

()k i i i k k i i m mk k k x ,t D v v Dt x t x

∂∂∂====-Γ∂∂∂ξg g g g g

物质坐标基底矢量的物质导数：

i i i

ˆD (,t)ˆDt t ⎛⎫∂∂== ⎪∂∂ξ⎝⎭

g

r ξg

矢量求偏导数的顺序是可以交换的，因此

()

i m i i m i

(,t)t ˆˆˆv ∂∂⎛⎫=== ⎪∂ξ∂⎝⎭∂∇∂ξ

r ξv g

g 其中i

ˆ∇表示对物质坐标i ξ的协变导数。利用协变基与逆变基之间的关系可得： ()()m

i m

i i i ˆˆˆˆˆ=∂=⊗⋅=∇∂ξ

∇⋅⋅v g g g g g

v v 其中我们利用了矢量的左、右梯度互为对称的性质：

()T

T i i i i ˆˆ⎛⎫∂∂∇=⊗=⊗=∇ ⎪∂ξ∂ξ⎝⎭v v v g g v ()T

T

i i i i

ˆˆ⎛⎫∂∂∇=⊗=⊗=∇ ⎪∂ξ∂ξ⎝⎭

v v v g

g v 以及二阶张量与速度的点积性质：

T T

⋅=⋅⋅=⋅T v v T v T T v

物质坐标逆变基底矢量的物质导数可以由逆变基的定义式

j j i i ˆˆ⋅=δg

g 求得。显而易见：

i m

ˆˆD()0Dt

⋅=g

g

因此 i i i m m

m

ˆˆˆˆˆ∂⋅=-⋅=-⋅∂ξ

v

g

g g g g 该式左端是逆变基物质导数在协变基m

ˆg

下的分量，因而

()()()

m i m i

i m m k m i m k i i i m m

ˆˆˆˆˆˆˆˆ=()ˆˆˆˆv ˆˆv ∂=⊗⋅-⊗⋅=--∇⋅∇∂ξ=-⋅∇⋅=-∇⊗=v g g g g g g v g g g g g g

v

物质坐标协变基与逆变基物质导数的比较：

协变基i ˆg 的物质导数为速度右梯度∇v 与i ˆg 的点积（基矢量与梯度算子相邻）；

逆变基i ˆg 的物质导数为速度左梯度∇v 与i ˆg 点积的负数（基矢量与梯度算子相邻）。 速度梯度分量与Christoffel 符号的比较

()()

i i i m m m m ˆˆˆˆv ˆv ==∇∇g g g ； m m i m kim k ki ˆˆˆ∂==ΓΓ∂ξ

g g g

()

m

m i i ˆˆv ˆ∇=-g g ； i k i m

m k

ˆˆ∂=-Γ∂ξ

g g

空间描述下张量的物质导数

空间描述下，张量是空间坐标和时间的函数，所以张量i

j .j i T =⊗T g g 的物质导数：

k k k k

k k ()t ()t

x v t t x t x ∂∂+∇⋅∂+∂∂∂∂=+⊗⋅∂∂=

=∂∂=+⋅∂∂+⋅∇∂=⊗∂∂T T T T T g T T T v T v T v v g T 考虑到

i j

k i k

.j T x

∇⊗∂=∂g g T i

.j

j i t T t

∂⊗∂∂=∂T g g （空间基底矢量不是时间的函数） 张量的物质导数还可表示为：

i

.j j i D Dt D T D t

==⊗T T g g

其中张量分量的物质导数：

()i i .j

.j

k i

k .j D T t

T T v t

D ∂=

+∇∂

物质描述下张量的物质导数

物质描述下，张量是物质坐标和时间的函数，张量i j .j i

ˆˆˆT =⊗T g g 的物质导数： ()()()()i .j j m j i m i .j m .m i i m j i .j j i m .j

m .m i i .j j i ˆT ˆˆˆˆˆˆˆT T

t ˆT ˆˆt ˆT ˆˆˆˆT ˆˆt

ˆT ∂=⊗+⊗+⊗∂∂=⊗+∇⋅-⋅∇∂∂=

⊗+∇⋅-⋅∇⊗⊗∂T g g g g g g g g g v v g

g v T g g g T v 考虑到：

()()i m j m .j i

ˆˆˆv T ∇⋅=∇⊗v T g g