简单荷载作用下梁的挠度和转角
梁弯曲时的位移1梁的位移——挠度和转角2梁的挠曲线
当全梁各横截面上的弯矩 可用一个弯矩方程表示时(例如 图中所示情况)有
EIw M xd x C1
EIw M xd x d x C1x C2
以上两式中的积分常数C1， C2由边界条件确定后即可得出梁 的转角方程和挠曲线方程。
转角则明显不同。
在图示坐标系中，挠度w向下为正，向上为负；
顺时针转向的转角q为正，逆时针转向的转角q为负。
§5-2 梁的挠曲线近似微分方程及其积分
Ⅰ. 挠曲线近似微分方程的导出 在§4-4中曾得到等直梁在线弹性范围内纯弯曲情况
下中性层的曲率为
1M EI
这也就是位于中性层内的挠曲线的曲率的表达式。
例题5-1 试求图示等直梁的挠曲线方程和转角方程，
并确定其最大挠度wmax和最大转角qmax。
解：该梁的弯矩方程为
M x Fl x
挠曲线近似微分方程为
EIw M x Fl x
以x为自变量进行积分得
EIw
F lx
x2 2
C1
EIw
横截面的转角q 也就是挠曲线在该相应点的切线与x轴之
间的夹角，从而有转角方程：
q tanq w f x
(a)
(b)
直梁弯曲时的挠度和转角这两个位移不但与梁的弯曲
变形程度(挠曲线曲率的大小)有关，也与支座约束的条件
有关。图a和图b所示两根梁，如果它们的材料和尺寸相同， 所受的外力偶之矩Me也相等，显然它们的变形程度(也就 是挠曲线的曲率大小)相同，但两根梁相应截面的挠度和
w
M x
1 w2 3/2 EI
梁弯曲时的位移1梁的位移——挠度和转角2梁的挠曲线
x
a
3
x3
l2
b2
x
左、右两支座处截面的转角分别为
qA
q1
|x0
Fb l 2 b2 6lEI
Fabl b
6lEI
qB
q2
|xl
Fabl
6lEI
a
当a>b时有
qmax qB
Fabl a
6lEI
根据图中所示挠曲线的大致形状可知，最大挠度wmax 所在w 0 处在现在的情况下应在左段梁内。令左段梁的
22
2
挠曲线近似微分方程为
EIw M x q lx x2 2 以x为自变量进行积分得：
EIw
q 2
lx2 2
x3 3
C1
EIw
q 2
lx3 6
x4 12
C1x
C2
该梁的边界条件为 在 x=0 处 w=0， 在 x=l 处 w=0
悬臂梁和简支梁在简单荷载(集中荷载，集中力偶，分 布荷载)作用下，悬臂梁自由端的挠度和转角表达式，以及 简支梁跨中挠度和支座截面转角的表达式已在本教材的附 录Ⅳ中以及一些手册中给出。根据这些资料灵活运用叠加 原理，往往可较方便地计算复杂荷载情况下梁的指定截面 的挠度和转角。
从几何方面来看，平面曲线的曲率可写作
1
w
x 1 w2 3/2
式中，等号右边有正负号是因为曲率1/为度量平面曲线 (挠曲线)弯曲变形程度的非负值的量，而w"是q = w' 沿x方
《材料力学》课件5-3按叠加原理计算梁的挠度和转角
F
A
B
C 2 BF BM
M FL2
C
C 3 BF BM L2
C 3 C1 C 2 C 3
3 2 2 2 2 FL FL FL L L FL L FL FL2 1 2 1 1 2 1 2 2 L1 2 2 EI z1EI z1 2 EI z1 EI z1 3EI z 2 3EI z1
(d)
Me
Me
Me
Me
A
l 2
B
l 2
C
l 2
D
A
l 2
B
l 2
C
l 2
D
(a)
Me Me Me Me
A
l 2
B
l 2
C
l 2
D
A
l 2
B
l 2
C
l 2
D
(b)
(C)
Me
Me
A
l 2
B
l 2
C
l 2
D
AB,CD段弯矩为零，所以这两段保持直 线不发生弯曲变形。AB,BC,CD三段变 形曲线在交界处应有共切线。
q
B
EI z
A
c qc Fc
5qL4 qc 384 EI z
FL3 Fc 48EI z
C
l 2
l 2
q
A
B
5qL4 FL3 c 384 EI z 48EI z
C
EI z
l 2
F A
l 2
A qA FA
B
qL3 qA 24 EI z FL2 FA 16 EI z
按叠加原理计算梁的挠度和转角
七章梁弯曲时的位移
§7－5 梁的刚度校核 提高梁的刚度的措施
一、梁的刚度条件
wm ax l
w l
max
例题5-8 图示悬臂梁AB，承受均布荷载 q 的作用。已知： l=3m，q=3kN/m，，梁采用20a号工字钢，其弹性模量 E=200GPa，试校核梁的刚度。
q
A l
y
Bx
解：查得工字钢的惯性矩为:
I 0.237104 m4
(x
a) 2
C2
（c）
EIw2
Fb 6l
x3
F 6
(x
a)3
C2 x
D2
（d）
应用位移边界条件求积分常数 支座约束条件：
w x0 0 w xl 0
位移连续条件：
w1(a) w2 (a), w1(a) w2 (a)
得：
C1 C2
Fb (l 2 b2 ), 6l
D1 D2 0
④ 写出转角方程及挠曲线方程。
例题7-4 一弯曲刚度为EI的简支梁受荷载如图所示。试 按叠加原理求梁跨中点的挠度和支座处横截面的转角。
Me
q
A
C
l
q
A Me
A
解：此梁上的荷载可以分为 B 两项简单荷载，如图所示。
wC
wCq
wCM
5ql 4 384 EI
Mel2 16 EI
B
A
Aq
AM
ql3 24 EI
M el 3EI
正对称荷载作用下：
wC1
5(q / 2)l 4 384 EI
5ql 4 768 EI
A1
B1
(q / 2)l3 24 EI
ql3 48 EI
B
q
《梁的挠度及转角 》课件
有限元分析
在现代工程分析中，有限元分析 是一种常用的方法来计算挠度和 转角。通过将梁离散化为有限个 小的单元，可以更精确地模拟梁
的变形和应力分布。
02
梁的挠度分析
静力挠度分析
静力挠度分析是指在静力载荷作 用下，对梁的挠度进行计算和分
析的过程。
静力挠度分析主要考虑梁的自重 、外部施加的均布载荷和集中载 荷等因素，通过计算得到梁的挠
温度转角分析
温度转角的大小取决于梁的材料、尺寸和温度变化等 因素。
单击此处添加正文，文字是您思想的提一一二三四五 六七八九一二三四五六七八九一二三四五六七八九文 ，单击此处添加正文，文字是您思想的提炼，为了最 终呈现发布的良好效果单击此4*25}
温度转角分析的目的是确定梁在温度变化下的变形程 度和转角大小，从而评估梁的耐热性能和稳定性。
5. 总结分析结果，提 出改进建议。
4. 将实测数据与理论 计算结果进行对比分 析；
案例分析结果与结论
结果
实测数据与理论计算结果基本一致， 证明了理论的正确性和实用性；
结论
梁的挠度和转角是结构安全的重要指 标，应加强监测和理论研究，以提高 结构的安全性和稳定性。
05
梁的挠度及转角优化设 计
优化设计方法与步骤案例二高层建筑中源自梁结构挠度及转角变 化案例三
大跨度钢结构的梁在风载作用下的 挠度及转角表现
案例分析方法与步骤
• 方法：理论计算与实测数据相结合
案例分析方法与步骤
步骤
1. 收集相关资料，了解工程概况和梁的结构特点 ； 2. 进行理论计算，预测梁的挠度和转角；
案例分析方法与步骤
3. 实地监测，获取梁 的实际挠度和转角数 据；
材料力学(土木类)第五章 梁弯曲时的位移(2)
3 3 3
利用叠加原理求图示弯曲刚度为EI的悬臂梁 例5-6 利用叠加原理求图示弯曲刚度为 的悬臂梁 自由端B截面的挠度和转角 截面的挠度和转角。 自由端 截面的挠度和转角。
F A l C EI l F D l B
原荷载可看成为图a和 两种荷载的叠加 两种荷载的叠加， 解：原荷载可看成为图 和 b两种荷载的叠加，对应 的变形和相关量如图所示。 的变形和相关量如图所示。
Fl θ C1 = 2 EI
2
3
由位移关系可得此时B截面的挠度和转角为： 由位移关系可得此时 截面的挠度和转角为： 截面的挠度和转角为
Fl 3 Fl 2 4 Fl 3 wB1 = wC1 + θ C1 ⋅ BC = + × 2l = 向下） （向下） 3EI 2 EI 3EI Fl θ B1 = θ C1 = 2 EI
q ( x) x 2 dθ B = dθ ( x) = dx 2 EI
范围对q(x)dx的作用进行叠加，相当于 的作用进行叠加， 在x=0, l范围对 范围对 的作用进行叠加 对上两式在前述范围内积分， 对上两式在前述范围内积分，即：
wB = ∫ d wB = ∫
0
l
l
0
11q 0 l q ( x ) x (3l − x ) dx = 6 EI 120 EI
上次课回顾： 上次课回顾：
1、度量梁变形的两个基本位移量：挠度和转角 度量梁变形的两个基本位移量： 2、挠曲线近似微分方程
EIw′′ = − M ( x )
3、挠曲线近似微分方程的积分 、
EIw ' ( x ) = ∫ ( − M ( x )) dx + C1
EIw ( x ) =
惯性矩截面系数弯矩图计算公式汇总
惯性矩、截面系数、弯矩图计算公式汇总附录1 截面图形的几何性质提要:不同受力形式下杆件的应力和变形，不仅取决于外力的大小以及杆件的尺寸，而且与杆件截面的几何性质有关。
当研究杆件的应力、变形，以及研究失效问题时，都要涉及到与截面形状和尺寸有关的几何量。
这些几何量包括:形心、静矩、惯性矩、惯性半径、极惯性矩、惯性积、主轴等，统称为“平面图形的几何性质”。
研究上述这些几何性质时，完全不考虑研究对象的物理和力学因素，作为纯几何问题加以处理。
平面图形的几何性质一般与杆件横截面的几何形状和尺寸有关，下面介绍的几何性质表征量在杆件应力与变形的分析与计算中占有举足轻重的作用。
附1.1 截面的静矩与形心任意平面几何图形如图1.1所示。
在其上取面积微元dA，该微元在yOz坐标系中的SSy=?zdA，Sz=?ydA坐标为z、y。
设静矩为，则有:AA图1.1 静矩的概念 (附1.1)静矩的量纲为长度的3次方。
由于均质薄板的重心与平面图形的形心有相同的坐标zC和yC。
则A?zC=?z?dA=Sy A———————————————————————————————————————————————由此可得薄板重心的坐标zC为zC=?AzdAA=SyA 同理有yC=Sz A?260? 材料力学所以形心坐标或zC=SyA，yC=SzA(附1.2)Sy=AzC，Sz=AyC由式(附1-2)得知，若某坐标轴通过形心轴，则图形对该轴的静矩等于零，即yC=0，Sz=0;zC=0，则Sy=0;反之，若图形对某一轴的静矩等于零，则该轴必然通过图形的形心。
静矩与所选坐标轴有关，其值可能为正，负或零。
如一个平面图形是由几个简单平面图形组成，称为组合平面图形。
设第i块分图形的面积为Ai，形心坐标为 yCi,zCi ，则其静矩和形心坐标分别为———————————————————————————————————————————————Sz=?AiyCi，Sy=?AizCii=1i=1nniCi(附1.3)SyC=z=A?Ayii=1nCi?Ai=1n，zC=SyA=?Azi=1nn(附1.4) ———————————————————————————————————————————————i?Ai=1i【例附1.1】求图1.2所示半圆形的Sy,Sz及形心位置。
第5章(梁的挠度和转角及挠曲线近似微分方程)
再注意到在图示坐标系中，负弯矩对应于正值w" ，正弯矩对
应于负值的w" ，故从上列两式应有 w M x 2 3/ 2 EI 1 w 由于梁的挠曲线为一平坦的曲线，上式中的w2与1相比可略 去，于是得挠曲线近似微分方程 w M x EI 一般记为 EIw M x
于x轴方向的线位移w称为挠度，横截面对其原来位置的角
位移q 称为横截面的转角。
2
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
在图示坐标系中，挠度w向下为正，向上为负；
顺时针转向的转角q为正，逆时针转向的转角q为负。
3
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
思考题：梁的截面位移与变形有何区别？有何联系？
答：梁的截面位移是指：截面形心的线位移和截面相对其
是挠曲线在该相应点的切线与x轴之间的夹角，从而有转
角方程：
5
q tanq w f x
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
(a)
(b)
直梁弯曲时的挠度和转角这两个位移不但与梁的弯曲
变形程度(挠曲线曲率的大小)有关，也与支座约束的条件
有关。图a和图b所示两根梁，如果它们的材料和尺寸相同， 所受的外力偶之矩Me也相等，显然它们的变形程度(也就 是挠曲线的曲率大小)相同，但两根梁相应截面的挠度和 转角则明显不同。
10
8
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
从几何方面来看，平面曲线的曲率可写作
1 w x 1 w2
3/ 2
式中，等号右边有正负号是因为曲率1/为度量平面曲线 (挠曲线)弯曲变形程度的非负值的量，而w"是q = w' 沿x方 向的变化率，是有正负的。
第七章-梁的位移-转角、挠度
Ezy I2 14 qLx4C 1xC 2
q Lx3L3 6EzI
y q Lx44L 3xL 4 2E 4zI 12
第七章 梁的弯曲变形
例7-3 求图示简支梁在集中荷载F的作用下（F力在右半跨）的最大
挠度。
a A
Fb L
x
F b
C
l
y
x
B
M1x
x
Fb L
x
0xa
Fa
M2xF Lb xFxa
A
AA A A A
A
~
~
~
~~
A
AA
~
~
yA 0
yA 0
A 0
yALyAR
ALAR
10
第七章 梁的弯曲变形
例7-1 求图所示悬臂梁A端的挠度与转角。
F
x
A
yA
A
l
M xFx
B
x
d d EE Ix zy zId dFx y 2x 2M E (CF IZ x1)x dd x C x C11
EIdd2xy2 EIy'' M(x)
若梁上只有第i个载荷单独作用，截面上弯矩
为
Mi ( x) ，转角为
，挠度为
i
yi
，则有：
EIiy''Mi(x)
n
由弯矩的叠加原理知：Mi (x) M(x) i1
n
n
所以， E I y''i E(Iyi)''M(x)
i1
i1
17
7-4
第七章 梁的弯曲变形
n
故
y' ' ( yi )' '
第五章梁弯曲时的位移
式中 ，x 为梁变形前轴线上任一点的横坐标 ，w 为该点的挠度。
A
挠曲线
y
CB
x
w挠度
C'
转角
5
三、挠度与转角的关系：
A
挠曲线
y
CB
x
w挠度
C'
转角
tg w' w'(x)
6
四、挠度和转角符号的规定 挠度：向下为正，向上为负。 转角：自 x 转至 切线方向，顺时针转为正，逆时针转为负。
b
l
FB
两段梁的弯矩方程分别为
b M1 FA x F l x
(0 x a)
b M2 F l x F(x a) (a x l)
36
两段梁的挠曲线方程分别为
挠曲线方程
1 ( 0 x a)
EIw1"
M1
F
b l
x
转角方程 挠度方程
EIw1'
F
b l
x2 2
C1
EIw1
F
b l
x3 6
l
EIw Fl
46
l
F x
b(x)
b1
bmax h
EIw Fl
EIw Flx C
EIw Fl x2 Cx D 2
47
l
F x
b(x)
b1
bmax h
EIw Flx C
EIw Fl x2 Cx D 2
边界条件： x l , w 0
xl , w0
48
l
F x
b(x)
b1
w2 与 1 相比十分微小而可以忽略不计, 故上式可近似为
材料力学第六章弯曲变形
以图示悬臂梁为例： x
A
w
q qy
2.梁的变形可以用以下两个位移度量：
F Bx
B1
① 挠度：梁横截面形心的竖向位移y，向下的挠度为正 ② 转角：梁横截面绕中性轴转动的角度q，顺时针转动为正
简支梁
挠度方程：挠度是轴线坐标x的函数
转角方程(小变形下)：转角与挠度的关系
=tan =dy =f ´(xd)x
梁在简单荷载作用下的转 角和挠度可从表中查得。
例3 图示悬臂梁，其弯曲刚度EI为常数，求B点转角和挠度。
q
A
C
F
1.在F作用下：
查表： BF
Fl 2 2EI
,
yBF
Fl 3 3EI
B
2.在q作用下：
查表： Cq
q(l / 2)3 6EI
ql3 48 EI
A A
qBF
F
B
q(l / 2)4 ql4
M图 Fl / 4
Wz
M max
35 103 160 106
2.19 10 4 m3
3、梁的刚度条件为：
Fl3 l 48EIz 500
解得
Iz
500 Fl 2 48 E
500 35 103 42 48 200 109
2.92 10 5 m4
由型钢表中查得，22a工字钢的弯曲截面系数Wz＝3.09×l0-4m3 ，惯性矩 Iz=3.40×10-5m4，可见．选择.22a工字钢作梁将同时满足强度和刚度要求。
提高梁刚度的措施：
y ln EI
1.增大梁的弯曲刚度 EI；主要增大截面惯性矩I值，在截面 面积不变的情况下，采用适当形状，尽量使面积分布在距中性轴 较远的地方。例如：工字形、箱形等。
§8-4 用叠加法求挠度和转角
Fl
3
ql
4
3 EI
2
8 EI
3
B BF Bq
Fl
ql
2 EI
6 EI
§8-4 用叠加法求挠度和转角
F q
A
C a a B
按叠加原理求A点转角和C点挠度.
解:（a）载荷分解如图 （b）由梁的简单载荷变形表,
F
A
=
B
查简单载荷引起的变形.
( A ) F Fa
2
q
5qa
F
A
3 EI
24 EI
=
B
（c）叠加
A ( A )F ( A )q
a
2
(3 F 4qa )
+
q
A B
12 EI
yc ( yc ) F ( yc ) q
( 5qa
4
Fa
3
)
24 EI
6 EI
1
M
2
M
3
一、前提条件：弹性、小变形。 二、叠加原理：各荷载同时作用下，梁任一截面的挠度或转角，等于各荷 载分别单独作用下同一梁同一截面挠度或转角的代数和。
B ( F1 , F 2 , , F n ) B 1 ( F1 ) B 2 ( F 2 ) Bn ( F n )
§8-4 用叠加法求挠度和转角
解：集中力 F在B端产生的挠度和转角
y BF
Fl
3
3 EI
BF
Fl
2
2 EI
§8-4 用叠加法求挠度和转角
均布载荷q在B端产生的挠度和转角
挠度和转角的关系公式
挠度和转角的关系公式在我们学习力学的奇妙世界里，有一对颇为重要的概念，那就是挠度和转角。
这俩家伙的关系公式，就像是一把解开许多工程难题的神秘钥匙。
先来说说什么是挠度吧。
想象一下一根长长的钢梁，在承受了一堆重物之后，它会向下弯曲。
这个弯曲的程度，就是挠度啦。
比如说，一根钢梁中间部位向下弯曲了 5 厘米，这 5 厘米就是它的挠度。
再讲讲转角。
还是那根钢梁，它弯曲的地方形成的角度，就是转角。
比如说，钢梁在某个位置弯曲了 30 度，这 30 度就是转角。
那挠度和转角到底有啥关系呢？这就得提到它们的关系公式啦。
一般来说，在材料力学里，我们可以用数学公式来描述它们之间的联系。
我记得有一次，在一个建筑工地上，我看到工人们正在搭建一座钢结构的桥梁。
我好奇地凑过去，和一位老师傅聊了起来。
他指着那还没完工的钢梁说：“小伙子，你看这钢梁，要是挠度和转角没算好，这桥可就危险咯。
”我当时就想，这看似简单的钢梁，背后竟然隐藏着这么多的学问。
回到挠度和转角的关系公式，具体的公式会因为不同的梁的类型和受力情况而有所不同。
比如说，对于简支梁，在集中荷载作用下，它们的关系公式就可以通过一些复杂的推导得出。
但别被这吓到，其实本质上就是在描述梁弯曲的程度和角度之间的内在联系。
在实际的工程应用中，准确计算挠度和转角非常重要。
比如说在建造高楼大厦的时候，如果柱子的挠度太大，那整栋楼可能就会变得不安全；如果桥梁的转角不符合设计要求，车辆行驶在上面就会感觉颠簸不平。
学习挠度和转角的关系公式，不仅仅是为了应对考试，更是为了能够在实际生活中解决问题。
就像那次在工地上，我深刻地感受到，这些看似枯燥的公式，其实是保障我们生活中各种建筑安全稳固的重要工具。
总之，挠度和转角的关系公式虽然有点复杂，但只要我们用心去理解，结合实际的例子去思考，就能掌握其中的奥秘，为我们的工程世界添砖加瓦。
希望大家在学习的过程中，都能像探索宝藏一样，充满好奇和热情，把这看似难啃的知识拿下！。
梁的挠度和转角
常数D表示起始截面的挠度×刚度(EI)
第八章 弯曲变形 /三、计算弯曲变形的两种方法
例题 一简支梁受力如图所示。试求 ( x), ( x) 和 , 。 A max F y 解： 1、求支座反力 x x C B A Fb Fa x FAy , FBy a b
L
L
L
2、分段列出梁的弯矩方程 AC段 (0 x a)
Fb( L2 b 2 ) A 0, 6 LEI
则由 解得：
C 1 x a
Fab(a b) 0( a b) 3LEI
0在AC段。
Fb 1 ( x ) [3x 2 ( L2 b 2 )] 0 6 LEI
x L2 b 2 3
D左 D右 连续条件： D左 D右 B左 B右
第八章 弯曲变形 /三、计算弯曲变形的两种方法
④积分常数的物理意义和几何意义
物理意义：将x=0代入转角方程和挠曲线方程，得 C 即坐标原点处梁的转角，它的 EI o EI倍就是积分常数C； 即坐标原点处梁的挠度的 EI倍就是积分常数D。 D EI o 几何意义：C——转角 D——挠度
第八章 弯曲变形 /三、计算弯曲变形的两种方法
例题：列出图示结构的边界条件和连续条件。
A 0 边界条件： A 0
连续条件：
B左 B右 B左 B右
第八章 弯曲变形 /三、计算弯曲变形的两种方法
例题：列出图示结构的边界条件和连续条件。
A 0 解：边界条件： A 0 C 0
答案 D
2、挠曲线的特征：光滑连续曲线(2)
FA＝0 FB＝0 MCD＝const
A C D B
答案 D
梁的挠度及转角_OK
连续性假设
梁的轴线将由原来的水平直线变成一
条连续平坦(flat)的曲线—挠曲线。
6
直梁平面弯曲的两种位移
A
C
F X
挠度（deflection）w—
B 横截面形心在垂直于
C ′ B ′ 轴线方向的位移。
A
x y
cB F x yw
c′ u
B′
转角（slope）—横截
5. EXAMPEL
9
1、挠度和转角的关系
AA
x y
cB F x yw
c′
B′
挠曲线 y=f(x) 上任
意点的切线斜率为：
dy df (x) (b)
dx dx
结论：梁截面的转角等于挠曲线y对于位置坐标 x的一阶导数。
10
2、建立挠曲线微分方程 1 M 4-4
积分（法1、）叠物加理法方、面奇: 异函数法、能量 EIZ
列挠曲线近似微分方程求约束反力flei列弯矩方程mxfxfl5exanpel15ei6ei求b截面转角和位移将xl代入eifleifl求约束反力列弯矩方程17求位移方程列挠曲线近似微分方程确定积分常数求最大挠度和位移eiqleiql38418example53图示一弯曲刚度为ei的简支梁在d点处受一集中荷载作用
力的分解法----各横截面的位移或转角等 于每项荷载独立作用时在同位置产生的挠 度和转角代数和。
A= A1+ A2= FL2/16EI + mL/6EI
B= B1+ B2= - FL2/16EI - mL/3EI
yc= yc1 + yc2 = FL3/48EI +mL2/16EI
简支梁挠度计算公式
简支梁挠度计算公式均布荷载作用下工字梁的最大挠度在梁跨中间，其计算公式如下: Ymax = 5 ql ^ 4 / (384 ej)。
地点:ymax是中间的最大挠度梁的跨度(CM)Q为均匀线荷载(kg / cm)E为工字梁弹性模量，对于工程结构钢，E = 2100000 kg / cm ^ 2 J为工字梁截面惯性矩，可在型钢表(cm ^ 4)中求得也可转换为kn;以m为单位ra=rb=p/2mc=mmax=pl/4fc=fmax=pl^3/48eiθa=θb=pl^2/16ei符号意义及单位p——集中载荷，n；q——均布载荷，n；r——支座反力，作用方向向上者为正，n；m——弯矩，使截面上部受压，下部受拉者为正，nm；q——剪力，对邻近截面所产生的力矩沿顺时针方向者为正，n；f——挠度，向下变位者为正，mm；θ——转角，顺时针方向旋转者为正，°；e——弹性模量，gpa；i——截面的轴惯性矩，m^4；ξ＝x/l，ζ=x'/l，α＝a/l，β=b/l，γ=c/l简支梁就是承载两端竖向荷载，而不提供扭矩的支撑结构。
体系温变、混凝土收缩徐变、张拉预应力、支座移动等都不会在梁中产生附加内力。
简支梁受力简单，为力学简化模型。
将简支梁体加长并越过支点就成为外伸梁，简支梁支座的铰接是固定铰支座、滑动铰支座的基数级跨中弯距Mka：Mka= (Md+Mf) ×VZ/VJ+ΔMs/VJ －MsMka= (Md+Mf)×1.017/1.0319+△Ms/1.0319－Ms=(17364.38+0)×1.017/1.0319+4468.475/1.0319－164.25 = 21279.736（kN·m）计算各加载级下跨中弯距：Mk= (k(Mz+Md+Mh+Mf) －Mz) ×VZ/VJ+ΔMs/VJ －MsMk=(k(Mz+Md+Mh+Mf) －Mz)×1.017/1.0319 +△Ms/1.0319―Ms=（k (31459.38+17364.38+24164.75+0)－31459.38）×1.017/1.0319+4468.475/1.0319－164.25=71934.601×k－26839.0389（kN·m）计算静活载级系数：Kb = [Mh/(1+μ) +Mz+Md+Mf]/(Mh+Mz+Md+Mf)Kb= [24164.75/1.127+31459.38+17364.38+0]/ (24164.75+31459.38+17364.38+0)=0.963计算基数级荷载值：Pka=Mka/α=21279.736/54.75=388.671（kN）计算各荷载下理论挠度值：f = 2 P [ L+2 (L/2－Χ1)(3L－4(L/2－Χ1)) +2 (L/2－Χ2)(3L－4(L/2－Χ2)) ] / 48EI/1000=0.01156P。
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w= Mx( 2 l— 6 EIl
2 x2— 3 b )
(当 a≥b 时)
θA= M e (6 al −3a −2l 6 EIl
2
2
)
( 0≤ x ≤ a )
12
w= M x 6 EIL
θB =
x 3-3 l ( x a ) 2 - ( l 2 3 b2 ) x (a < x < l )
θB =
wB =
Fa 2 2 EI
Fa 2 (3l − a ) 6 EI
4
w=
qx ( x 2 + 6l 2 − 4lx) 24 EI
2
ql 3 6 EI ql 4 wB = 8 EI
θB =
·286·
材料力学
续表
序号
梁上荷载及弯矩图
挠曲线方程
转角和挠度
q0 l 3 24 EI q l4 wB = 0 30 EI
Me 2 (l − 3a 2 ) 6 EIl
w=
2 ⎞⎤ qb5 ⎡⎢ x3 x ⎛ ⎜2 l −1⎟ ⎟⎥ − 2 ⎜ ⎟ 3 2 ⎢ ⎟⎥⎥ ⎜ b⎝ b 24 EIl ⎣⎢ b ⎠ ⎦
(0 ≤ x ≤ a )
13
w= ⎤ q ⎡⎢ b 2 x 3 b 2 x 2 2 (2l − b 2 ) −( x −a ) 4 ⎥ − ⎢ ⎥ l 24 EI ⎣ l ⎦ (a ≤ x ≤ l )
附录 3 简单荷载作用下梁的挠度和转角
w=沿 y 方向的挠度 wB=w(l)=梁右端处的挠度 θ B = w′(l ) =梁右端处的转角 w=沿 y 的方向挠度 l wc=w( )=梁的中点挠度 2 θ a = w′(0) =梁左端处的转角
θ a = w′(l ) =梁右端处的转角
序号
梁上荷载及弯矩图
M Bl 6 EI M l θB = − B 3EI M l2 wc = B 16 EI
θA =
8
w=
qx 3 (l − 2lx 2 + x3 ) 24 EI
ql 3 24 EI ql 3 θB = − 24 EI 5ql 4 wc = 384 EI
θA =
θA =
9
w= q0 x (7l 4 − 10l 2 x 2 + 3 x l − b) 2 θB = − 24 EIl qb5 ⎛ 3 l3 1 l ⎞ ⎟ ⎜ ⎟ wc = ⎜ 3− ⎟ ⎟ 24 EIl ⎜ 2 b⎠ ⎝4 b
θA =
qb 2 (2l 2 − b 2 )
(当 a > b 时)
qb5 3 l 3 wc = − 24 EIl 4 b3 1l 1 l5 + 2 b 16 b5 ⎛ ⎞ ⎟ ⎜1 − 2a ⎟ •⎜ ⎟ ⎜ ⎝ l ⎠
7 q0l 3 360 EI q0 l 3 θ B =45EI 5q0l 4 wc = 768EI
w=
10
Fx (3l 2 − 4 x 2 ) 48 EI l ( 0≤ x≤ ) 2
Fl 2 16 EI Fl 2 θB = − 16 EI Fl 3 wc = 48EI
θA =
·286·
附录 3 简单荷载作用下梁的挠度和转角
挠曲线方程
转角和挠度
Mel EI Mel 2 wB = 2 EI
1
M x2 w= e 2 EI
θB =
2
w=
Fx (3l − x) 6 EI
2
θB =
Fl 2 2EI Fl 3 wB = 3EI
3
Fx 2 (3a − x) 6 EI (0 ≤ x ≤ a ) w= Fa 2 (3 x − a) 6 EI (a ≤ x ≤ l ) w=
5
w=
q0 x (10l 3 − 10l 2 x + 5lx 2 − x3 ) 120 EIl
2
θB =
6
w=
M Ax (l − x)(2l − x) 6 EIl
M Al 3EI M l θB = − A 6 EI M Al 2 wC = 16 EI
θA =
7
w=
MBx 2 (l − x 2 ) 6 EIl
·287· 续表
序 号
梁上荷载及弯矩图
w=
挠曲线方程
Fbx 2 (l − x 2 − b 2 ) 6 EIl
转角和挠度
Fab(l + b) 6 EIl Fab(l + a) θB = − 6 EIl Fb(3l 2 − 4b 2 ) wc = 48EI
θA =
11
( 0≤ x≤a ) ⎡ ⎤ Fb l ⎢ ( x − a) 3 + (l 2 − b 2)x − x 3 ⎥ w= 6 EIl ⎣⎢ b ⎦⎥ ( a≤ x≤l )
4
⎤ ⎥ ⎥ ⎥⎦
(当 a < b 时)
·287·