浅谈导数在解题中的应用

浅谈导数在解题中的应用1 引言导数是微分学的理论基础，它的思想最初是由法国数学家费马为研究极值问题而引入的．导数作为研究客观世界物质变化的有力工具，在现代化建设的各个领域内有着广泛的应用．现在高中数学教材已引入了导数的内容，这不仅丰富了中学数学知识， 也为中学数学问题的研究提供了新的视角、新的方法和新的途径，同时优化了解题思维，简化了运算过程，拓宽了解题思路．本文就导数在解题中的应用进行总结，同时对部分问题通过初等数学解法和导数解法比较，进一步说明利用导数解题的优越性．2 导数的基本理论2.1导数的定义设函数()y f x =在点0x 的某邻域内有定义，若极限000()()limx x f x f x x x →--存在,则称函数f 在点0x 处可导，并称该极限为函数f 在点0x 处的导数，记作0()f x '．2.2 导数的几何意义函数f 在点0x 的导数)(0x f '是曲线)(x f y =在点),(00y x 处的切线斜率． 2.3 导数的相关结论[1](P93;123-124;142-143)．3 导数在解题中的应用3.1 导数在求极限中的应用在求解极限的问题时，主要是用导数的定义式，即0000()()lim ()x x f x f x f x x x →-'=-来解决，所以导数的概念是应用导数求解问题的基础．例1[2](P23) 设函数0()f x 在0x 处可导，试求下式的极限值．000()()lim2h f x h f x h h→+--解 000()()lim 2h f x h f x h h →+--00000()()()()lim 2h f x h f x f x f x h h→+-+--=00000000()()()()11lim[][()()]()22h f x h f x f x f x h f x f x f x h h →+---'''=+=+= 已知导数概念的变形式，通过加减同一式子或分子分母同乘一式子，化成导数定义式的和差，或导数定义式与函数的极限的和差等形式，从而求出所要求的极限值．3.2 导数在函数单调性中的应用定理1[1](P123) 设()f x 在区间I 上可导，则()f x 在I 上递增（减）的充要条件是()0f x '≥（0)(≤'x f ）．例2[3](P207) 已知可导函数()f x 对任意实数12,x x 都有1212()()()f x x f x f x +=，若存在实数a ,b ,使()0f a ≠且()0f b '>．证明：(1) ()0f x >；(2) ()f x 在),(+∞-∞上单调递增．证明 (1) 2()()()()[()]22222xx x x x f x f f f f =+==，又因为0)2()2()]2(2[)(≠-=-+=xa f x f x a x f a f ．所以 0)2(≠x f ，0)]2([2>x f ， 所以 ()0f x >．(2) 因为00()()()()()()(()1)()limlim limx x x f b x f b f b f x f b f b f x f b x x x∆→∆→∆→+∆-∆-∆-'===∆∆∆． 又因为00()()()()()()(()1)()limlim limx x x f x x f x f x f x f x f x f x f x x x x∆→∆→∆→+∆-∆-∆-'===∆∆∆ 0()()(()1)()lim ()()()x f x f b f x f x f b f b x f b ∆→∆-'=⋅=⋅∆ 因为 ()0f x >，()0f b >，()0f b '>， 所以 ()()()0()f x f x f b f b ''=⋅> 所以 ()f x 在),(+∞-∞上单调递增．例3[4](P25) 已知a R ∈，求函数2()axf x x e =的单调区间． 解 函数()f x 的导数 22()2(2)axax ax f x xeax e x ax e '=+=+．(1) 当0a =时，若0x <，则()0f x '<，若0x >，则()0f x '>．所以当0a =时，函数()f x 在区间(,0)-∞内为减函数，在区间(0,)+∞内为增函数；(2) 当0a >，由220x ax +>，解得2x a <-或0x >，由220x ax +<，解得20x a-<<．所以当0a >时，函数()f x 在区间2[,]a -∞-内为增函数，在区间2[,0]a-内为减函数，在区间(0,)+∞内为增函数；(3) 当0a <时，由220x ax +>，解得20x a <<-．由220x ax +<，解得0x <或2x a>-． 所以当0a <时，函数()f x 在区间(,0)-∞内为减函数，在区间2[0,]a-内为增函数，在区间2[,]a-+∞内为减函数． 例4[5](P13) 设函数()f x 与数列{}n a 满足关系： ① 1a α>，其中α是方程()f x x =的实数根；② )(1n n a f a =+，N n ∈；③()f x 的导数()()0,1f x '∈． (1) 证明：n a α>，N n ∈；(2) 判断n a 与1n a +的大小，并证明你的结论．解 (1) (用数学归纳法) 当1n =时，由题设知1a α>，所以原式成立． 假设 当n k =时，k a α>成立．因为 ()0f x '>，所以()f x 是单调递增函数．所以 1()()k k a f a f αα+=>=（因为α是方程()f x x =的实数根）． 即 当1n k =+时原式成立．故对于任意自然数N n ∈，原式均成立．(2) 设()()g x x f x =-，x α≥．所以()1()g x f x ''=-， 又因为 0()1f x '<<，所以()0g x '>． 所以 ()g x '在[),α+∞上是单调递增函数．而()()0g f ααα=-=，所以 ()()g x g α>． 即 ()x f x >． 又由(1) 知n a α>，所以 1()n n n a f a a +>=通过上述例题的解决可以看出，利用导数理论讨论函数的单调性问题，优势是非常明显的，它将求单调区间的问题直接转化为解不等式的问题，因此降低了题目的难度，而且只要是可导函数，均适合此方法．3.3 导数在函数极值(最值)中的应用定理2[1](P93) 设函数()y f x =在点0x 的某邻域内有定义，且在点0x 可导．若点0x 为f 的极值点，则必有 0()0f x '=．定理3[1](P142-144) (极值的第一充分条件) 设f 在点0x 连续，在某邻域);(00δx U 内可导．(1) 若当),(00x x x δ-∈时0()0f x '≤，当),(00δ+∈x x x 时，0()0f x '≥，则f 在点0x 取得极小值．(2) 若当),(00x x x δ-∈时0()0f x '≥，当),(00δ+∈x x x 时，0()0f x '≤，则f 在点0x 取得极大值．定理4[1](P142-144) (极值的第二充分条件) 设f 在点0x 的某邻域);(00δx U 内一阶可导，在0x x =处二阶可导，且0()0f x '=，0()0f x ''≠．(1) 若 0()0f x ''<，则f 在点0x 取得极大值． (2) 若 0()0f x ''>，则f 在点0x 取得极小值．定理５[1](P142-144) (极值的第三充分条件) 设f 在点0x 的某邻域内存在直到1n -阶导函数，在0x 处n 阶可导，且()0()0k f x = (1,2,,1)k n =-…，()0()0n f x ≠，则(1) 当n 为偶数时，f 在点0x 取得极值，且当()0()0n f x <时取极大值，()0()0n f x >时取极小值．(2) 当n 为奇数时，f 在0x 处不取极值．例5[1](P143) 求()(2f x x =-的极值点与极值．解 5233()(225f x x x x =-=-在),(+∞-∞上连续，且当0x ≠时，有21331010()33f x x x -'=-=．易见， 1x =为f 的稳定点，0x =为f 的不可导点．（表中↗表示递增，表示↘递减）；由上表可见：0x =为f 的极大值点，极大值(0)0f =；1x =为f 的极小值点，极小值(1)3f =-．例6[1](P144) 试求函数43(1)x x -的极值．解 由于 32()(1)(74)f x x x x '=--，因此0x =，1x =，74=x 是函数的三个稳定点． f 的二阶导数为 22()6(1)(782)f x x x x x ''=--+，由此得，(0)(1)0f f ''''==及4()07f ''>．所以 ()f x 在47x =时取得极小值．求三阶导数 32()6(3560304)f x x x x x '''=-+-，有(0)0,(1)0f f ''''''=>．由于3n =为奇数， 由定理知f 在1x =不取极值．再求f 的四阶导数(4)32()24(3545151)f x x x x =-+-，有(4)(0)0f<．因为4n =为偶数，故f 在0x =取得极大值．综上所述，(0)0f =为极大值，434436912()()()777823543f =-=-为极小值．在求函数的最值中，若函数f 的最大（小）值点0x 在区间),(b a 内，则0x 必定是的极大（小）值点．若f 在0x 可导，则0x 还是一个稳定点．所以我们只要比较f 在所有稳定点、不可导点和区间端点上的函数值，就能从中找到f 在[],a b 上的最大值与最小值．例7[1](P147) 求函数543551y x x x =-++在闭区间[]1,2-上的最大值与最小值．解 4322520155(1)(3)y x x x x x x '=-+=--． 令0y '=，解得0x =，1x =，3x =． 因为 []31,2∉-，故3x =舍去．由于 1)0(=y ，2)1(=y ，10)1(-=-y ，7)2(-=y ，比较大小得，函数在1x =-时取最小值10-，在1x =处取最大值2．例8[4](P25-26)已知a 为实数,2()(4)()f x x x a =--(1) 求()f x '；(2) 若(1)0f '-=，求()f x 在[]2,2-上的最大值和最小值； (3) 若()f x 在]2,(-∞和),2[+∞上都是递增的，求a 的取值范围． 解 (1) 由原式得 32()44f x x ax x a =--+．则2()324f x x ax '=--．(2) 由(1)0f '-=，得12a =，此时有 321()422f x x x x =--+，2()34f x x x '=--．令 ()0f x '=得43x =或1x =-．又450()327f =-，9(1)2f -=，(2)0f -=． 所以 ()f x 在[]2,2-上的最大值为92，最小值为5027-．(3) 2()324f x x ax '=--的图象为开口向上且过点()0,4-的抛物线，由条件得 (2)0f '-≥，(2)0f '≤，即480a +≥ 且 840a -≥，解得 22a -≤≤．所以a 的取值范围为[]2,2-．通过上述例题的解题过程可知,在求解函数的极值(最值)的问题中需要考虑函数各阶导数的情况(一般1—4阶导数即可)，并根据充分和必要条件进行判断，比较各点函数值之间的大小关系，求出极值(最值)．在应用导数解题的过程中,导数不仅能解决有关函数的一些问题，或是简化一些问题的运算，优化解题思维，也为数学解题提供了一种新的方法，拓宽了解题的思路.3.4 导数在证明不等式中的应用例9[6](P33) 设1x >-，n 是不小于2的正整数，求证：(1)1nx nx +≥+（贝努利不等式）． 证明 (数学归纳法) 当2n =时，22(1)1212x x x x +=++≥+． 所以原式成立．假设 当n k =时，(1)1kx kx +≥+ 成立． 当1n k =+时，12(1)(1)(1)(1)(1)1(1)1(1)k k x x x kx x k x kx k x ++=++≥++=+++≥++即 1(1)1(1)k x k x ++≥++ 成立．所以1x >-，n 是不小于2的正整数时，(1)1nx nx +≥+成立．证明 (导数法) 设 ()(1)(1)nf x x nx =+-+，则11()(1)(1)1n n f x n x n n x --'⎡⎤=+-=+-⎣⎦．当 0x >，()0f x '>； 当 0x =时，()0f x '=； 当 10x -<<时，()0f x '<；故当 0x =时，min ()0f x =．即 (1)1nx nx +≥+．在证明不等式时常用的方法有分析法、比较法、重要不等式法、综合法、数学归纳法等等，这道题采用了数学归纳法和导数两种方法进行了证明，从证明的过程可以看出用导数的方法进行证明方法较为简单．例10[7](P95) 证明：当1x >时，不等式2(1)ln 1x x x ->+恒成立． 证明 令 2(1)()ln 1x f x x x -=-+ 2212(1)2(1)14()(1)(1)x x f x x x x x +--'=-=-++2222(1)4(1)(1)(1)x x x x x x x +--==++ 因为 1x >，所以 ()0f x '>．即当 1x >时，()f x 为增函数． 所以 2(11)()(1)ln10(11)f x f ⨯->=-=+， 即 2(1)ln 01x x x -->+．所以 2(1)ln 1x x x ->+． 有些不等式用初等数学的方法证明非常困难，甚至是不能证明．若恰当构造辅助函数，将不等式两边看作函数在某两点的函数值，通过判断函数单调性就可以得到一种新的证明方法．例11 (2007年山东高考题)设函数)1ln()(2++=x b x x f ,其中0≠b ． (1) 当21>b 时,判断函数)(x f 在定义域上的单调性. (2) 求函数)(x f 的极值点.(3) 证明对任意正整数n ，不等式 3211)11ln(nn n ->+都成立． 解 (1) (2) 略．(3) 当1-=b 时，函数)1ln()(2+-=x x x f ． 令函数 )1ln()()(233++-=-=x x x x f x x h ，则1)1(31123)(232+-+=++-=x x x x x x x h ，所以 当),0[+∞∈x 时，0)(>'x h ，从而函数)(x h 在),0[+∞上单调递增， 又 0)0(=h ,所以 ),0(+∞∈x 时，恒有 0)0()(=>h x h ， 即 )1ln(23+->x x x 恒成立．故当),0(+∞∈x 时，有 32)1ln(x x x ->+． 所以对任意正整数n ，取 ),0(1+∞∈=nx ， 则有 3211)11ln(nn n ->+，所以结论成立． 这是一道高考题，在第三问中证明不等式似乎和题中所给的函数联系不上，但把n1看作一个整体，就和已知所给的函数联系在了一起，把函数、导数和不等式三者联系了起来．3.5 导数在证明组合恒等式中的应用例12[6](P33) 求证：1231232n n n n n n C C C nC n -++++=⋅…．证明 设12323nn n n n S C C C nC =++++… ①因为 n n n C C =0，11-=n n n C C ，…所以 1212)1(n n n n n n C C C n nC S +++-+=-Λ，122102)2()1(--+++-+-+=n n n n n n n C C C n C n nC S Λ ② ①＋②得 nn n n n n n n n nC nC nC nC nC S 2212210⋅=+++++=--Λ所以 12-⋅=n n S所以 1231232n n n n n n C C C nC n -++++=⋅…证明 (导数法)设()(1)1nf x x =+-，则12233()(1)1n n nn n n n f x x C x C x C x C x =+-=++++…，两边求导有：123211()23(1)n n n n n n n f x C C x C x nC x n x --'=++++=+…．在上式中取1x =，则有 1231232n n n n n n C C C nC n -++++=⋅…成立．本题采用倒序相加的方法，并且结合组合数和等差数列的性质即可解决该问题，但其过程较为复杂．如果通过构造函数并用求导的解法，那么问题就会变的简单，而且还会得出很多意想不到的结论．3.6 导数在数列求和中的应用例13[6](P33) 求和：21123n S x x nx -=++++…．解 21123n S x x nx-=++++… ①2323n xS x x x nx =++++… ②①－②得 21(1)1n n x S x x x nx --=++++-…当1x =时，则(1)2n n S +=； 当1x ≠时，则()121(1)1n n n x nx S x +-++=-综上，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≠-+--=+=+1,)1()1(11,2)1(21x x nx x n x n n S n n解 (导数法) 当1x =时，(1)1232n n S n +=++++=…； 当1x ≠时，设 23(1)()1n nx x f x x x x nx x-=++++=-…，两边求导，则有()12121(1)()1231n n n n x nx f x x x nxx +--++'=++++=-…综上，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≠-+--=+=+1,)1()1(11,2)1(21x x nx x n x n n S n n本题利用错位相减的方法，并结合等比数列的前n 项和的公式去解决．也可利用导数的方法去解决．从本题可以看出，利用导数法求解问题为解题提供了一种新的方法．3.7 导数在方程求解中的应用例14[8] 已知函数432()410125f x x x x x =-+-+,则方程()0f x =在]5,2[上的根的个数是多少?解 )52()1(512104)(22234+--=+-+-=x x x x x x x x f )21)(21()1(2i x i x x +----=所以方程有四个根，分别为11=x ，12=x ，i x 213+=，i x 214-=． 而[]5,21∉，且i 是一个虚数单位，i 21+，i 21-无法与2、5比较大小， 所以无法判断方程()0f x =在]5,2[上的根的个数．解 (导数法) 因为322()41220124(1)(23)f x x x x x x x '=-+-=--+．令 ()0f x '=，得 24(1)(23)0x x x --+=．因为 223x x -+无实数解，所以1x =， 所以 ()f x 的图象的驻点只有一个1x =．当 1x >时，2()4(1)(23)0f x x x x '=--+>，所以()f x 在),1(+∞上是增函数． 所以 ()f x 在]5,2[上是增函数． 因为 (2)30f =-<，(5)0f >． 所以 ()f x 在]5,2[上有且只有一个根．本题是一个关于x 的四次函数，要讨论根的问题就要去看这个函数所构成的方程的解的情况．用初等数学的方法得到的根含有复数，这时无法判断根的情况．而利用导数的方法去求解方程就避免了去求出方程的根，从而根据函数的性质就可以判断根的情况．例15[8](P17) 证明：方程1sin 02x x -=只有一个根． 证明 构造函数 1()sin 2f x x x =-，x R ∈．因为 1()1cos 02f x x '=->，所以()f x 在R 上是单调递增的．又(0)0f =，所以曲线 ()y f x =与x 轴有且仅有一个交点，即方程 1sin 02x x -=有唯一的一个根． 本题是一个含有三角函数的超越方程，在中学所学习的过程中没有涉及超越方程的解法，所以只能采取作图象的方法，但实际操作较难．而构造函数进行求导则简化了作题的难度．3.8 导数在几何中的应用例16[9](P11) (2003年全国高考题)已知抛物线1C ：x x y 22+=和2C ：a x y +-=2，如果直线l 同时是1C 和2C 的切线，称l 是1C 和2C 的公切线，a 为何值时，1C 和2C 有且仅有一条公切线？写出公切线的方程．解 函数x x y 22+=的导数是22+='x y ，曲线1C 在点)2,(1211x x x P +的切线方程是))(22()2(11121x x x x x y -+=+-，即 211)22(x x x y -+= ①函数a x y +-=2的导函数是x y 2-='，曲线2C 在点),(222a x x Q +-的切线方程是)(2)(2222x x x a x y --=+--，即 a x x x y ++-=2222 ② 如果l 是过P 和Q 的公切线，则①和②都是l 的方程，则有 ⎩⎨⎧+=--=+a x x x x 2221211． 消去2x ，得 0122121=+++a x x ． 0)1(244=+⨯-=∆a ，即 21-=a 时，211-=x ，此时P 、Q 重合． 所以 21-=a 时，1C 和2C 有且仅有一条公切线，公切线方程为 41-=x y ． 导数的几何意义为导数与解析几何结合奠定了基础，本题不仅引入公切线，同时又渗透了同一法的解题思想，把导数与解析几何、方程的联系更为紧密．3.9 导数在实际问题中的应用在注重培养能力的今天，学习理论知识不应只限于解答纯数学问题上，更应侧重于运用所学的知识解决现实生活中所遇到的问题，导数在解决实际问题中也有广泛的应用．例17[5](P15) 某汽车厂有一条价值为a 万元的汽车生产线，现要通过技术改造来提高该生产线的生产能力，提高产品的增加值．经过市场调查，产品的增加值y 万元与技术改造投入x 万元之间满足：① y 与()a x -和2x 的乘积成正比；② 当2a x =时，3y a =．并且技术改造投入比率：],0()(2t x a x ∈-，其中t 为常数且]2,0(∈t ． ⑴ 求()y f x =的解析式及定义域；⑵ 求出产品的增加值y 的最大值及相应的x 值．解 ⑴ 由已知，设2()()y f x k a x x ==-， 因为当2a x =时，3y a =，即 2324a a a k =⋅⋅, 所以 8k =．则 2()8()f x a x x =-．因为 02()x t a x <≤-，解得 2021at x t <≤+． 所以函数()f x 的定义域为 2021at x t <≤+． ⑵ 因为 2()2416(2416)f x x ax x x a '=-+=-+令 ()0f x '=,则 0x =(舍去)，23a x =． 当 203a x <<时，()0f x '>，此时()f x 在)32,0(a 上单调递增; 当 23a x >时，()0f x '<，此时()f x 是单调递减的． 所以 当22213at a t ≥+时，即 12t ≤≤时，3max 232()327a y f a ==． 当22213at a t <+时，即 01t <<时，32min 3232()21(21)at a t y f t t ==++． 综上所述，当12t ≤≤时，投入23a 万元，最大增加值是33227a ； 当01t <<时，投入221at t +万元，最大增加值是32332(21)a t t +． 例18[10](P24) 请你设计一个帐篷，它下部的形状是高1m 为的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m 的正六棱锥，问当帐篷的顶点O 到底面中心G 的距离为多少时，帐篷的体积最大？解 设OG x =，14x <<=设帐篷的体积为()V x ，则231()62)[(1)1]12)3V x x x x x x =+-⋅-+=+-． 2()(123)2V x x '=-． 令()0V x '=，得2x =-（舍去），所以2x =．当12x <<时，()0V x '>；当24x <<时，()0V x '<；所以当2x =时，()V x 最大．上述两题是求实际问题的最值，在求解之前首先应建立一个目标函数，并根据实际意义确定其定义域．若根据问题的本身就可以断定所建立的目标函数()f x 有最大或最小值，并且一定在所定义的区间内取得，这时如果()f x 在所定义区间的内部只有一个使0()0f x '=的点，那么不必判断0x 是否为极值点或取什么极值点，就可以判断0()f x 所求就是所求的最大或最小值．例19[4](P9-10) 如图所示,直线MN 为宽度忽略不计的一条小溪，小溪的一侧是沙地，另一侧是草地，沙地上的点A 到小溪MN 的距离20AC km =，草地上的点B 到小溪MN 的距离30BD km =，且70CD km =，现有一位骑士要把情报从A 送到B ，已知骑士在草地上的行进速度是在沙地上行进速度的２倍，骑士应选择怎样的行进路线才能尽快将情报送出？解 设骑士行进线路为AOB （O 在直线MN 上），以10km 为单位．令CO x =，则7OD x =-（07x ≤≤），不妨设骑士在沙地上的速度为1，则在草地上的速度为2，骑士行进的总时间为y =．从而 y '=令0y '=，得唯一的极值点1x =．当O 点选在离C 点10km 处时，能使骑士从A 到B 用时最少．本题主要考查学生的数学建模能力及应用导数求函数最值的能力．对于含有根式的函数求最值的问题可以运用导数求解，导数解题的优越性就更加明显了．4 综述通过上述例题的解答可以看出，导数在解题中的应用是非常广泛的．例如在证明不等式、组合恒等式和数列求和的应用中，通过初等数学和导数的方法进行比较得到，导数并不是最简单、也不是唯一的解题方法，它只是给我们提供了一种新的解题思路，使我们的思维模式不仅仅限于以前的做法，拓宽了解题的空间；而在求解和讨论高次和超越方程的根的情况中，初等数学大多采用因式分解和图象的方法，但它对运算能力和作图的准确性要求较高，所以采用导数的方法可以快速简洁地解决问题，而且还可深化和拓广对方程问题的研究．在应用导数解决实际问题时，关键是要建立恰当的数学模型（比如函数解析式，方程或不等式等等），然后再利用导数的定义或性质去解决问题，而且要注意实际问题中自变量的取值范围，符合实际问题中的情况．导数不仅在数学方面，而且各学科领域例如物理和现实生活的各个方面都有所涉及，新的高中课本引入导数这一数学工具，使得高中的很多问题变得好懂易学，因此，熟练掌握和深刻理解如何利用导数的方法去解决问题，对中学生来说是非常必要的，对提高他们的创新能力和实践能力也有着重要的意义．。