浅谈导数在解题中的应用

浅谈导数在解题中的应用

1 引言

导数是微分学的理论基础，它的思想最初是由法国数学家费马为研究极值问题而引入的．导数作为研究客观世界物质变化的有力工具，在现代化建设的各个领域内有着广泛的应用．现在高中数学教材已引入了导数的内容，这不仅丰富了中学数学知识， 也为中学数学问题的研究提供了新的视角、新的方法和新的途径，同时优化了解题思维，简化了运算过程，拓宽了解题思路．本文就导数在解题中的应用进行总结，同时对部分问题通过初等数学解法和导数解法比较，进一步说明利用导数解题的优越性．

2 导数的基本理论

2.1导数的定义

设函数()y f x =在点0x 的某邻域内有定义，若极限0

00

()()

lim

x x f x f x x x →--存在,则称函数f 在

点0x 处可导，并称该极限为函数f 在点0x 处的导数，记作0()f x '．

2.2 导数的几何意义

函数f 在点0x 的导数)(0x f '是曲线)(x f y =在点),(00y x 处的切线斜率． 2.3 导数的相关结论[1](P93;123-124;142-143)．

3 导数在解题中的应用

3.1 导数在求极限中的应用

在求解极限的问题时，主要是用导数的定义式，即0

000

()()

lim ()x x f x f x f x x x →-'=-来解决，

所以导数的概念是应用导数求解问题的基础．

例1[2](P23) 设函数0()f x 在0x 处可导，试求下式的极限值．

000()()

lim

2h f x h f x h h

→+--

解 000()()lim 2h f x h f x h h →+--00000()()()()

lim 2h f x h f x f x f x h h

→+-+--=

00000000()()()()1

1lim[][()()]()22

h f x h f x f x f x h f x f x f x h h →+---'''=+=+= 已知导数概念的变形式，通过加减同一式子或分子分母同乘一式子，化成导数定义式的和差，或导数定义式与函数的极限的和差等形式，从而求出所要求的极限值．

3.2 导数在函数单调性中的应用

定理1[1](P123) 设()f x 在区间I 上可导，则()f x 在I 上递增（减）的充要条件是()0f x '≥（0)(≤'x f ）．

例2[3](P207) 已知可导函数()f x 对任意实数12,x x 都有1212()()()f x x f x f x +=，若存在实数

a ,

b ,使()0f a ≠且()0f b '>．证明：

(1) ()0f x >；

(2) ()f x 在),(+∞-∞上单调递增．

证明 (1) 2

()()()()[()]22222

x

x x x x f x f f f f =+==，又因为

0)2()2()]2(2[)(≠-=-+=x

a f x f x a x f a f ．

所以 0)2(≠x f ，0)]2

([2

>x f ， 所以 ()0f x >．

(2) 因为

00()()()()()()(()1)

()lim

lim lim

x x x f b x f b f b f x f b f b f x f b x x x

∆→∆→∆→+∆-∆-∆-'===∆∆∆． 又因为

00()()()()()()(()1)

()lim

lim lim

x x x f x x f x f x f x f x f x f x f x x x x

∆→∆→∆→+∆-∆-∆-'===∆∆∆ 0()()(()1)()

lim ()()()

x f x f b f x f x f b f b x f b ∆→∆-'=

⋅=⋅∆ 因为 ()0f x >，()0f b >，()0f b '>， 所以 ()

()()0()

f x f x f b f b ''=

⋅> 所以 ()f x 在),(+∞-∞上单调递增．

例3[4](P25) 已知a R ∈，求函数2()ax

f x x e =的单调区间． 解 函数()f x 的导数 22()2(2)ax

ax ax f x xe

ax e x ax e '=+=+．

(1) 当0a =时，若0x <，则()0f x '<，若0x >，则()0f x '>．

所以当0a =时，函数()f x 在区间(,0)-∞内为减函数，在区间(0,)+∞内为增函数；

(2) 当0a >，由2

20x ax +>，解得2x a <-

或0x >，由2

20x ax +<，解得20x a

-<<．

所以当0a >时，函数()f x 在区间2[,]a -∞-内为增函数，在区间2

[,0]a

-

内为减函数，在区间(0,)+∞内为增函数；

(3) 当0a <时，由2

20x ax +>，解得20x a <<-

．由2

20x ax +<，解得0x <或2x a

>-． 所以当0a <时，函数()f x 在区间(,0)-∞内为减函数，在区间2

[0,]a

-内为增函数，在区间

2

[,]a

-+∞内为减函数． 例4[5](P13) 设函数()f x 与数列{}n a 满足关系： ① 1a α>，其中α是方程()f x x =的实数根；

② )(1n n a f a =+，N n ∈；③()f x 的导数()()0,1f x '∈． (1) 证明：n a α>，N n ∈；

(2) 判断n a 与1n a +的大小，并证明你的结论．

解 (1) (用数学归纳法) 当1n =时，由题设知1a α>，所以原式成立． 假设 当n k =时，k a α>成立．

因为 ()0f x '>，所以()f x 是单调递增函数．

所以 1()()k k a f a f αα+=>=（因为α是方程()f x x =的实数根）． 即 当1n k =+时原式成立．

故对于任意自然数N n ∈，原式均成立．

(2) 设()()g x x f x =-，x α≥．所以()1()g x f x ''=-， 又因为 0()1f x '<<，所以()0g x '>． 所以 ()g x '在[),α+∞上是单调递增函数．而

()()0g f ααα=-=，

所以 ()()g x g α>． 即 ()x f x >． 又由(1) 知n a α>，所以 1()n n n a f a a +>=

通过上述例题的解决可以看出，利用导数理论讨论函数的单调性问题，优势是非常明显的，它将求单调区间的问题直接转化为解不等式的问题，因此降低了题目的难度，而且只要是可导函数，