量子力学21-24力学量随时间的演化与对称性
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量子力学优秀课件
[Fˆ ,Gˆ ] | n 0
c | n 0 但由题意知 c | n 0
这是相互矛盾旳， 即全部能级都简并。
23
设能级 En 的简并度为fn（fn 1），
本征态记为 | n v (v 1,2,, fn )，
在此 fn 维态空间中求矩阵 FG 的迹（trace）
tr(FˆGˆ ) fn nv | (FˆGˆ ) | nv v1
即能量本征态必有确定的宇称，其宇称就 是宇称算符Pˆ的本征值：
Pˆ n (x) n (x) (1)n n (x) 即宇称为(1)n
22
推论2 定理中如[Fˆ ,Gˆ ] c（为不等于0的常数）,
则体系全部能级都简并，而且简并度为无穷大
证明：（用反证法） 首先，设某能级 En不简并，上面已证明
10
②量子力学各守恒量不一定都可同步取确 定值，除非在同一种守恒量完全集中。 如中心力场中，
L是守恒量，Lx , Ly , Lz自然都是守恒量
但一般不能同时有确定值.
但特殊情况l 0时，Y00是它们的共同 本征态。因而此时它们同步有拟定值0。
11
③守恒量与定态旳异同
（1）概念不同 a. 定态是能量取拟定值旳状态—能量本征态 b.守恒量是特殊旳力学量，要满足一定条件
Lˆ2Y l(l 1)2Y 的形式,故Lˆ不取确定值。
9
守恒量是否处于某本征态由初始条件拟定: 假设力学量A是守恒量：
测值几率分布不随时间变化
a. 若初始时为A旳本征态，则体系保持本征态；? 本征态相应旳量子数称为好量子数
b. 若初始时没有处于 A 旳本征态，则后来任意 时刻也不会处于本征态，但是测值几 率不随 时间变化。
]
i
( pˆ x2
c | n 0 但由题意知 c | n 0
这是相互矛盾旳， 即全部能级都简并。
23
设能级 En 的简并度为fn（fn 1），
本征态记为 | n v (v 1,2,, fn )，
在此 fn 维态空间中求矩阵 FG 的迹（trace）
tr(FˆGˆ ) fn nv | (FˆGˆ ) | nv v1
即能量本征态必有确定的宇称，其宇称就 是宇称算符Pˆ的本征值：
Pˆ n (x) n (x) (1)n n (x) 即宇称为(1)n
22
推论2 定理中如[Fˆ ,Gˆ ] c（为不等于0的常数）,
则体系全部能级都简并，而且简并度为无穷大
证明：（用反证法） 首先，设某能级 En不简并，上面已证明
10
②量子力学各守恒量不一定都可同步取确 定值，除非在同一种守恒量完全集中。 如中心力场中，
L是守恒量，Lx , Ly , Lz自然都是守恒量
但一般不能同时有确定值.
但特殊情况l 0时，Y00是它们的共同 本征态。因而此时它们同步有拟定值0。
11
③守恒量与定态旳异同
（1）概念不同 a. 定态是能量取拟定值旳状态—能量本征态 b.守恒量是特殊旳力学量，要满足一定条件
Lˆ2Y l(l 1)2Y 的形式,故Lˆ不取确定值。
9
守恒量是否处于某本征态由初始条件拟定: 假设力学量A是守恒量：
测值几率分布不随时间变化
a. 若初始时为A旳本征态，则体系保持本征态；? 本征态相应旳量子数称为好量子数
b. 若初始时没有处于 A 旳本征态，则后来任意 时刻也不会处于本征态，但是测值几 率不随 时间变化。
]
i
( pˆ x2
量子力学-力学量随时间的演化与对称性
6
例题1： 判断下列提法的正误94页。 例题2： 对于自由粒子，Hˆ pˆ 2 ，证明动量 p 是守恒量。
2m
7
教材96页 4.4 。
证明： 由于 d A 1 [Aˆ, Hˆ ], 因此 dt ih
d2A dt 2
1 ih
[ dA dt
,
Hˆ
],
1 h2
[[ Aˆ,
Hˆ
],
Hˆ
]
可见： －h2 d 2 A [[ Aˆ, Hˆ ], Hˆ ] dt 2
16
守恒量与对称性
对于三维空间的无穷小平移 r ，则有
其中：
pˆ
i
即动量算符。
如果体系对于平移具有不变性，即 [Hˆ , Sˆr] 0
则有
[Hˆ , pˆ ] 0
根据力学量守恒条件可知：动量算符守恒。
17
守恒量与对称性
例2. 空间旋转不变性与角动量守恒。
则波函数的变化为
() ( ) () ........
由力学量守恒条件可知：角动量守恒。
20
定理：设体系有两个彼此不对易的守恒量F和G，
即[F , H ] 0,[G, H ] 0, 但[F ,G] 0
则：体系能级一般是简并的。
2
证明： 由于[F , H ] 0, F与H可以有共同本征函数， H E, F F '
考虑到[G, H] 0,有HG GH EG, 即G也是H的本征态，对应于能量本征值E。
15
守恒量与对称性
例1. 空间平移不变性与动量守恒
考虑沿 x 方向的无穷小平移 x ，则波函数的变化为
(x) (x x) (x) x ........
x exp{x } (x)
例题1： 判断下列提法的正误94页。 例题2： 对于自由粒子，Hˆ pˆ 2 ，证明动量 p 是守恒量。
2m
7
教材96页 4.4 。
证明： 由于 d A 1 [Aˆ, Hˆ ], 因此 dt ih
d2A dt 2
1 ih
[ dA dt
,
Hˆ
],
1 h2
[[ Aˆ,
Hˆ
],
Hˆ
]
可见： －h2 d 2 A [[ Aˆ, Hˆ ], Hˆ ] dt 2
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守恒量与对称性
对于三维空间的无穷小平移 r ，则有
其中：
pˆ
i
即动量算符。
如果体系对于平移具有不变性，即 [Hˆ , Sˆr] 0
则有
[Hˆ , pˆ ] 0
根据力学量守恒条件可知：动量算符守恒。
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守恒量与对称性
例2. 空间旋转不变性与角动量守恒。
则波函数的变化为
() ( ) () ........
由力学量守恒条件可知：角动量守恒。
20
定理：设体系有两个彼此不对易的守恒量F和G，
即[F , H ] 0,[G, H ] 0, 但[F ,G] 0
则：体系能级一般是简并的。
2
证明： 由于[F , H ] 0, F与H可以有共同本征函数， H E, F F '
考虑到[G, H] 0,有HG GH EG, 即G也是H的本征态，对应于能量本征值E。
15
守恒量与对称性
例1. 空间平移不变性与动量守恒
考虑沿 x 方向的无穷小平移 x ，则波函数的变化为
(x) (x x) (x) x ........
x exp{x } (x)
第4章 力学量随时间的演化和对称性
先讨论力学量的平均值如何随时间改变.
第四章 力学量随时间的演化与对称性
§4.1 力学量随时间的演化
一、力学量平均值随时间的变化
在波函数(x,t)所描写的态中，力学量A的平均值为
A(t) *(x,t)Aˆ (x,t)dx (1)
dA dt
*
t
Aˆ
dx
*
Aˆ
t
dx
*
Aˆ
t
dx
(2)
由薛定谔方程，i Hˆ
4.5.1 全同粒子的交换对称性
自然界中存在各种不同种类的粒子，例如电 子，质子，中子，光子，π介子等。 同一类粒子 具有完全相同的内禀属性，包括静质量，电荷,自 旋，磁矩，寿命等.
在量子力学中，把内禀属性相同的一类粒 子称为全同（identical）粒子.
全同粒子组成的多体系的基本特征是： 任何可观测量，特别是Hamilton 量，对于任
dt ih
t
如Â不显含t，即:
Aˆ 0 t
则有:
dA 1 [ Aˆ, Hˆ ] (3) dt ih
这就是力学量 平均值随时间 变化的公式。
若
[ Aˆ, Hˆ ] 0
(4)
则
dA 0
(5)
dt
即这种力学量在任何态 (t) 之下的平均值都不随
时间改变。
力学量 A 的平均值为
用标积表示
At t, A t
守恒量有两个重要性质： (1) 在任意态(t)之下的平均值都不随时间改变； (2) 在任意态(t)之下的概率分布不随时间改变。
三、举例
1、证明：若Ĥ不显含时间t,则Ĥ为守恒量
证： ∵Hˆ 不显含t
∴ Hˆ 0 t
又∵ [Hˆ , Hˆ ] 0
第四章 力学量随时间的演化与对称性
§4.1 力学量随时间的演化
一、力学量平均值随时间的变化
在波函数(x,t)所描写的态中，力学量A的平均值为
A(t) *(x,t)Aˆ (x,t)dx (1)
dA dt
*
t
Aˆ
dx
*
Aˆ
t
dx
*
Aˆ
t
dx
(2)
由薛定谔方程，i Hˆ
4.5.1 全同粒子的交换对称性
自然界中存在各种不同种类的粒子，例如电 子，质子，中子，光子，π介子等。 同一类粒子 具有完全相同的内禀属性，包括静质量，电荷,自 旋，磁矩，寿命等.
在量子力学中，把内禀属性相同的一类粒 子称为全同（identical）粒子.
全同粒子组成的多体系的基本特征是： 任何可观测量，特别是Hamilton 量，对于任
dt ih
t
如Â不显含t，即:
Aˆ 0 t
则有:
dA 1 [ Aˆ, Hˆ ] (3) dt ih
这就是力学量 平均值随时间 变化的公式。
若
[ Aˆ, Hˆ ] 0
(4)
则
dA 0
(5)
dt
即这种力学量在任何态 (t) 之下的平均值都不随
时间改变。
力学量 A 的平均值为
用标积表示
At t, A t
守恒量有两个重要性质： (1) 在任意态(t)之下的平均值都不随时间改变； (2) 在任意态(t)之下的概率分布不随时间改变。
三、举例
1、证明：若Ĥ不显含时间t,则Ĥ为守恒量
证： ∵Hˆ 不显含t
∴ Hˆ 0 t
又∵ [Hˆ , Hˆ ] 0
第五章力学量随时间的演化与对称性资料.
❖ 2、力学量完全集中力学量的个数并不一定等于自 由度的数目。一般说来，力学量完全集中力学量的 个数大于或等于体系的自由度数目。
❖ 3、体系的任何态总可以用包含Ĥ在内的一组力学量 完全集的共同本征态来展开。
❖ 5.2 力学量随时间的变化
❖ 5.2.1 守恒量
❖ 1. 力学量的平均值随时间的变化关系
本征函数为(λ),则
❖ =∫cλ(λ) dλ
❖ 例 1：三维空间中自由粒子，完全确定其状态需要
三个两两对易的力学量： pˆ x , pˆ y , pˆ z
p r
1
2
3 2
e
i
pr
❖ 任何一个函数都可以按
❖ 动量的本征函数展开：
r
1
2
3 2
p
e
i
p r
dp
❖ 例 2：一维谐振子，只需要一个力学量就可完全确 定其状态：Hˆ
❖ 力学量A在(r,t)中的平均值为:
A(t) *(x,t)Aˆ (x,t)dx
(5-3)
❖ 因为是时间的函数Â也可能显含时间，所以
Ā通常是时间t的函数。为了求出Ā随时间的变
化，上式两边对t求导
❖ ❖
dA dt
*
Aˆ
t
dx
t
*
Aˆ
dx
*
Aˆ
t
dx
(5-4)
❖ 由薛定谔方程，i Hˆ
t
t
2
2mr 2
r
(r 2
) r
lˆ 2 2mr 2
V (r)
pˆ r2 2m
lˆ 2 2mr
2
V (r)
❖ lˆ2,lˆx,lˆy ,lˆz 皆不显含时间，，
❖ 3、体系的任何态总可以用包含Ĥ在内的一组力学量 完全集的共同本征态来展开。
❖ 5.2 力学量随时间的变化
❖ 5.2.1 守恒量
❖ 1. 力学量的平均值随时间的变化关系
本征函数为(λ),则
❖ =∫cλ(λ) dλ
❖ 例 1：三维空间中自由粒子，完全确定其状态需要
三个两两对易的力学量： pˆ x , pˆ y , pˆ z
p r
1
2
3 2
e
i
pr
❖ 任何一个函数都可以按
❖ 动量的本征函数展开：
r
1
2
3 2
p
e
i
p r
dp
❖ 例 2：一维谐振子，只需要一个力学量就可完全确 定其状态：Hˆ
❖ 力学量A在(r,t)中的平均值为:
A(t) *(x,t)Aˆ (x,t)dx
(5-3)
❖ 因为是时间的函数Â也可能显含时间，所以
Ā通常是时间t的函数。为了求出Ā随时间的变
化，上式两边对t求导
❖ ❖
dA dt
*
Aˆ
t
dx
t
*
Aˆ
dx
*
Aˆ
t
dx
(5-4)
❖ 由薛定谔方程，i Hˆ
t
t
2
2mr 2
r
(r 2
) r
lˆ 2 2mr 2
V (r)
pˆ r2 2m
lˆ 2 2mr
2
V (r)
❖ lˆ2,lˆx,lˆy ,lˆz 皆不显含时间，，
力学量随时间演化及对称性
isenberg 表象)留待习题课讲，重点放在薛定谔表象中是波函数随时间变化， 力学量不变，而Heisenberg 表象中，波函数不变，力学量随时间变化。在相互作用表象中，两者同时变化。
4.2 守 恒 量 与 对 称 性 的 关 系
1.对称性的含义： 狭义的对称性是指在某种操作或者变换下，系统仍然保持不变，表现为系统的Hamiltonian 在这些变 换下保持不变。研究对称性的意义：第一，构造发展理论。按Heisenberg 的观点，”必须寻找的是基本 对称性”；第二，增强物理直觉，利于迅速抓住问题要点，化简提法；第三，简化一些计算。不经求 解Schr¨ odinger 方程即可得到态及本征值的某些知识。包括能级特征、矩阵元计算、禁戒规则等。 2. 量子力学中的对称性 无论就对称性的种类和程度来说，量子力学的对称性都高于经典力学中的对称性。经典力学中存在的对 称性量子力学中也都对应存在，如时间、空间的均匀、各向同性对称性；而且，量子力学还存在一些经典 力学中所没有的对称性，如全同性原理、同位旋对称性。然而，个别对称性除外，弱等效原理这种对称性 在经典力学中存在，但在量子力学中被破坏，只当向经典过渡时才又逐渐显现出来。这是说，弱等效原理 被量子涨落所破坏。
′ ˆ ψ′ ∂U ˆU ˆ ψ ′ ⇒ i ∂ψ = U ˆ −1 H ˆU ˆψ =H ∂t ∂t
[ ] ˆ, H ˆ =0 U
⟨ ⟩ ⟨ ⟩ ˆ ψ |U ˆ ψ = ψ |U ˆ +U ˆ |ψ = ⟨ψ |ψ ⟩ ⇒ U ˆ +U ˆ =1 ⟨ψ ′ |ψ ′ ⟩ = U
ˆ 是幺正算符，此变换是个幺正变换。如果U ˆ 是连续变化的(注：U ˆ 也可能是一个分立变换，如对于时间反 即U 演和空间反射，这里我们不作讨论)，总可以表示为
4.2 守 恒 量 与 对 称 性 的 关 系
1.对称性的含义： 狭义的对称性是指在某种操作或者变换下，系统仍然保持不变，表现为系统的Hamiltonian 在这些变 换下保持不变。研究对称性的意义：第一，构造发展理论。按Heisenberg 的观点，”必须寻找的是基本 对称性”；第二，增强物理直觉，利于迅速抓住问题要点，化简提法；第三，简化一些计算。不经求 解Schr¨ odinger 方程即可得到态及本征值的某些知识。包括能级特征、矩阵元计算、禁戒规则等。 2. 量子力学中的对称性 无论就对称性的种类和程度来说，量子力学的对称性都高于经典力学中的对称性。经典力学中存在的对 称性量子力学中也都对应存在，如时间、空间的均匀、各向同性对称性；而且，量子力学还存在一些经典 力学中所没有的对称性，如全同性原理、同位旋对称性。然而，个别对称性除外，弱等效原理这种对称性 在经典力学中存在，但在量子力学中被破坏，只当向经典过渡时才又逐渐显现出来。这是说，弱等效原理 被量子涨落所破坏。
′ ˆ ψ′ ∂U ˆU ˆ ψ ′ ⇒ i ∂ψ = U ˆ −1 H ˆU ˆψ =H ∂t ∂t
[ ] ˆ, H ˆ =0 U
⟨ ⟩ ⟨ ⟩ ˆ ψ |U ˆ ψ = ψ |U ˆ +U ˆ |ψ = ⟨ψ |ψ ⟩ ⇒ U ˆ +U ˆ =1 ⟨ψ ′ |ψ ′ ⟩ = U
ˆ 是幺正算符，此变换是个幺正变换。如果U ˆ 是连续变化的(注：U ˆ 也可能是一个分立变换，如对于时间反 即U 演和空间反射，这里我们不作讨论)，总可以表示为
量子力学 04力学量随时间的演化与对称性
守恒。
• 然而，对称性在量子力学中尤为重要。利用对称性， 可对问题的研究带来很大方便。如一些对称性产生守
恒量，而守恒量的存在又导致选择定则，在空间反射
下的不变性导致系统的宇称守恒，将不同宇称的态联 系在一起的过程是禁戒的；又如根据系统的对称性，
可确定系统解的可能形式。
对称性变换 一、首先要求对称性变换是幺正变换，幺正变换不改变系统 的物理性质 •a、在幺正变换下，两态矢的内积不变 • 说明：
ˆ i i (t) | H | (t) > + (t) | | (t) > - (t) | H | (t) > t ˆ i = (t) | (H H) | (t) > + (t) | | (t) > t ˆ i = (t) | ([H, ]) | (t) > + (t) | | (t) > t
U i ˆ U (t ) U U (t ) t
ˆ i U U (t ) U U (t ) t
ˆ i (t ) U U (t ) t
•对比 •故有：
ˆ i (t ) (t ) t ˆ ˆ ˆ ˆ U U U U ˆ ˆ ˆ ˆ U U [ U ]
ˆ 力学量。而 [ P, 0
ˆ 故有 D r e
i rp
即动量为守恒量。
总之，如果系统满足空间平移不变性，则系统的动量为守恒 量。
空间的各向同性（旋转不变性）与角动量守恒
•一、转动变换算符 • • 现在考虑系统绕 z 轴旋转无穷小角度 ，
U ' U , U ˆ ˆ ˆ
• 然而，对称性在量子力学中尤为重要。利用对称性， 可对问题的研究带来很大方便。如一些对称性产生守
恒量，而守恒量的存在又导致选择定则，在空间反射
下的不变性导致系统的宇称守恒，将不同宇称的态联 系在一起的过程是禁戒的；又如根据系统的对称性，
可确定系统解的可能形式。
对称性变换 一、首先要求对称性变换是幺正变换，幺正变换不改变系统 的物理性质 •a、在幺正变换下，两态矢的内积不变 • 说明：
ˆ i i (t) | H | (t) > + (t) | | (t) > - (t) | H | (t) > t ˆ i = (t) | (H H) | (t) > + (t) | | (t) > t ˆ i = (t) | ([H, ]) | (t) > + (t) | | (t) > t
U i ˆ U (t ) U U (t ) t
ˆ i U U (t ) U U (t ) t
ˆ i (t ) U U (t ) t
•对比 •故有：
ˆ i (t ) (t ) t ˆ ˆ ˆ ˆ U U U U ˆ ˆ ˆ ˆ U U [ U ]
ˆ 力学量。而 [ P, 0
ˆ 故有 D r e
i rp
即动量为守恒量。
总之，如果系统满足空间平移不变性，则系统的动量为守恒 量。
空间的各向同性（旋转不变性）与角动量守恒
•一、转动变换算符 • • 现在考虑系统绕 z 轴旋转无穷小角度 ，
U ' U , U ˆ ˆ ˆ
曾谨言《量子力学教程》(第3版)笔记和课后习题(含考研真题)详解-力学量随时间的演化与对称性(圣才出
第4章 力学量随时间的演化与对称性4.1 复习笔记一、力学量随时间的演化1．守恒量对于力学量A ，其平均值随时间变化关系式如下A tH A i dt A d ˆ]ˆ,ˆ[1∂∂+=η 故对于Hamilton 量H 不含时的量子体系，如果力学量A 与H 对易，力学量A 对应算符不显含时间t ，则无论体系处于什么状态（定态或非定态），A 的平均值及其测值的概率分布均不随时间改变．则把A 称为量子体系的一个守恒量．2．能级简并与守恒量的关系（1）守恒量与简并关系的定理定理 设体系有两个彼此不对易的守恒量F 和G ，即[F ，H]＝0，[G ，H]＝0，但[F ，G ]≠0，则体系能级一般是简并的．推论 如果体系有一个守恒量F ，而体系的某条能级部简并（即对应于某能量本征值E 只有一个本征态E ψ），则E ψ必为F 的本征态．（2）位力（virial ）定理当体系处于定态下，关于平均值随时间的变化，有一个有用的定理，即位力virial ）定理．设粒子处于势场V （r ）中，Hamilton 量为)(2p 2r V mH += 则位力定理表述如下位力定理推论：若势场函数V(r)为r 的n 次齐次式，则有推论V T 2n =二、波包的运动，Ehrenfest 定理设质量为m 的粒子在势场V （r ）中运动，用波包ψ（r ，t ）描述．设粒子的Hamilton 量为)(2p 2r V mH += 作如下定义：则Ehrenfest 定理表述如下：三、Schr ödinger 图像与Heisenberg 图像（1）（1）式这种描述方式称为Schrödinger 图像（picture ）．亦称Schrödinger 表象． 在Schtodlnger 图像中，态矢随时间演化，遵守Schrödinger 方程，而算符则不随时间的变化；与此相反，在Heisenberg 图像中，则让体系的态矢本身不随时间的变化而算符切随时间的变化，遵守Heisenberg方程．四、守恒量与对称性的关系1．对称性变换[Q，H]＝0 （2）凡满足式（2）的变换，称为体系的对称性变换．物理学中的体系的对称性变换，总是构成一个群，称为体系的对称性群（symmetrygroup）．2．对称性对应守恒量体系在Q变换下的不变性[Q，H]＝0，应用到无穷小变换，就导致F就是体系的一个守恒量．这充分说明对称性变换Q必定对应一个守恒量F．典型的两个例子是：平移不变性对应动量守恒，空间旋转不变性对应角动量守恒．五、全同粒子体系与波函数的交换对称性1．全同粒子体系的交换对称性（1）全同性原理全同性原理：任何可观测到，特别是Hamilton量，对于任何两个粒子交换是不变的，即交换对称性．凡满足P ijψ＝ψ的．称为对称（symmetric）波函数；满足P ijψ＝-ψ的称为反对称（anti—symmetrle）波函数．（2）玻色子与费米子凡自旋为 整数倍（s＝0,1，2，…）的粒子，波函数对于两个粒子交换总是对称的，如π介子（s＝0）．光子（s＝1）．在统计方法上，它们遵守Bose统计，故称为Bose 子．凡自旋为h的半奇数倍（s＝1/2，3/2，…）的粒子，波函数对于两粒子交换总是反对称的，如电子，质子，中子等．它们遵守Fermi统计，故称为Fermi子．2．两个全同粒子组成的体系Pauli不相容原理：不允许有两个全同的Fermi子处于同一个单粒子态．Pauli原理是一个极为重要的自然规律，后来从量子力学波函数的反对称性来说明Pauli原理的是Heisenberg，Fermi和Dirac的贡献．3．N个全同Fermi子组成的体系设N个Fermi子分别处于k2<k z<…<k N态下，则反对称波函数可如下构成（3）P代表N个粒子的一个置换（permutation）．式（3）常称为slater行列式，是归一化因子．4．N个全同Bose子组成的体系Bose子不受Pauli原理限制，可以有任意数目的Bose子处于相同的单粒子态．设有n i个Bose子处于k，态上（i＝1，2，…，N），则该体系的归一化的对称波函数可表为4.2 课后习题详解4.1 判断下列提法的正误：（正确○，错误×）（a）在非定态下，力学量的平均值随时间变化；（×）（b）设体系处于定态，则不含时力学量的测值的概率分布不随时间变化；（○）（c）设Hamilton量为守恒量，则体系处于定态；（×）（d）中心力场中的粒子，处于定态，则角动量取确定值；（×）（e）自由粒子处于定态，则动量取确定值；（×）（f）一维粒子的能量本征态无简并；（×）（g）中心力场中的粒子能级的简并度至少为（2ι／＋1），ι＝0，1，2，…．（○）4.2 设体系有两个粒子，每个粒子可处于三个单粒子态φ 1、φ 2、φ 3中的任何一个态．试求体系可能态的数目，分三种情况讨论：（a）两个全同Bose子；（b）两个全同Fermi 子；（c）两个不同粒子．【解答与分析见《量子力学习题精选与剖析》[下]，7.1题．】7.1 考虑由两个全同粒子组成的体系．设可能的单粒子态为φ1、φ2、φ3，试求体系的可能态数目．分三种情况讨论：（a）粒子为Bose子（Bose统计）；（b）粒子为Fermi子（Fermi统计）；（c）粒子为经典粒子（Boltzmann统计）．解：以符号△、○、口分别表示φ1、φ2、φ3态．Bose子体系的量子态对于两个粒子的交换必须是对称的，Fermi子体系则必须是反对称的，经典粒子被认为是可区分的，体系状态没有对称性的限制．当两个粒子处于相同的单粒子态时，体系的状态必然是交换对称的，这种状态只能出现于Bose子体系和经典粒子体系，体系波函数的构造方式为当两个粒子处于不同的单粒子态（φi和φj，i≠j）时，如果是经典粒子，有两种体系态，即由单粒子态φi和φj可以构成对称和反对称的体系态各一种，即对称态适用于Bose子体系，反对称态适用于Fermi子体系．对于两粒子体系来说，Bose子体系的可能态总数与Fermi子体系的可能态总数之和，显然正好等于经典粒子（可区分粒子）体系的可能态总数．如可能的单粒子态为k个，则三种两粒子体系的可能态数目如下：经典粒子N＝k2本题k＝3，Fermi子、Bose子、经典粒子体系的可能态数目分别为3、6、9．体系态。
量子力学第四章
ˆ 证明：设 Hψ k = Ekψ k , 证明： ˆ Aψ k = Akψ k
2
在任意态 ψ (t) = ∑ak (t)ψ k ，测值分布为 ak (t) 其中 ak (t) = (ψ k ,ψ (t))
* k
k
complex conjugation
da d 2 证法一： 证法一： ak (t) = ( )ak + c.c. dt dt Ek ∂ψ (t) 2 =( ,ψ k )(ψ k ,ψ (t)) + c.c. = − (ψ k ,ψ (t)) + c.c. = 0 dt iℏ
z
绕 n方向旋转 δϕ变换算符 ˆ ˆ (δϕ n) = exp( −iδϕ n ⋅ l / ℏ) R
ˆ ˆ [R, H] = 0
ˆ , H] = 0 [l ˆ
§4.5 全同粒子体系与波函数的交换对称性 4.5.1 全同粒子体系的交换对称性 ψ (⋯, xi , yi , zi ,⋯) 多粒子体系 波函数： 波函数：
ψ (q1,⋯, qi ,⋯q j ,⋯qN )
全同粒子： 全同粒子： 内禀属性完全相同的粒子 质 电 自 磁 寿 同 量 荷 旋 矩 命 位 旋 由于波动性，全同粒子是不可区分的。 由于波动性，全同粒子是不可区分的。 ψ (q1,⋯, q j ,⋯qi ,⋯qN ) = Cψ (q1,⋯, qi ,⋯q j ,⋯qN ) 交换两粒子编号不改变体系的任一状态。 交换两粒子编号不改变体系的任一状态。 ……
全同粒子不可分辨；体系具有确定不变的交换对 全同粒子不可分辨； 称性； 费米 玻色子体系具有交换(反 对称性 费米)玻色子体系具有交换 对称性。 称性；(费米 玻色子体系具有交换 反)对称性。 4.5.2 两个全同粒子组成的体系 ˆ ˆ ˆ H = h(q ) + h(q )
2
在任意态 ψ (t) = ∑ak (t)ψ k ，测值分布为 ak (t) 其中 ak (t) = (ψ k ,ψ (t))
* k
k
complex conjugation
da d 2 证法一： 证法一： ak (t) = ( )ak + c.c. dt dt Ek ∂ψ (t) 2 =( ,ψ k )(ψ k ,ψ (t)) + c.c. = − (ψ k ,ψ (t)) + c.c. = 0 dt iℏ
z
绕 n方向旋转 δϕ变换算符 ˆ ˆ (δϕ n) = exp( −iδϕ n ⋅ l / ℏ) R
ˆ ˆ [R, H] = 0
ˆ , H] = 0 [l ˆ
§4.5 全同粒子体系与波函数的交换对称性 4.5.1 全同粒子体系的交换对称性 ψ (⋯, xi , yi , zi ,⋯) 多粒子体系 波函数： 波函数：
ψ (q1,⋯, qi ,⋯q j ,⋯qN )
全同粒子： 全同粒子： 内禀属性完全相同的粒子 质 电 自 磁 寿 同 量 荷 旋 矩 命 位 旋 由于波动性，全同粒子是不可区分的。 由于波动性，全同粒子是不可区分的。 ψ (q1,⋯, q j ,⋯qi ,⋯qN ) = Cψ (q1,⋯, qi ,⋯q j ,⋯qN ) 交换两粒子编号不改变体系的任一状态。 交换两粒子编号不改变体系的任一状态。 ……
全同粒子不可分辨；体系具有确定不变的交换对 全同粒子不可分辨； 称性； 费米 玻色子体系具有交换(反 对称性 费米)玻色子体系具有交换 对称性。 称性；(费米 玻色子体系具有交换 反)对称性。 4.5.2 两个全同粒子组成的体系 ˆ ˆ ˆ H = h(q ) + h(q )
量子力学_4.1 力学量随时间的演化
4
相似.
4.1 力 学 量随 时 间 的 演 化
量子力学教程(第二版)
2
式 3 代入式
，得
d m 2 r F r dt
2
5
上式即谓Ehrenfest定理.其形式也与经典Newton方 程相似.
但是, 只当 F r 可以近似代之为 F r 时,波 r 包中心 的运动规律才与经典粒子相同. 那么, 在什么条件下可以做这种近似呢?
i i t
1 1 A , HA , AH , i i t
1 A , A , H , i t
1 A A, H i t
7
时 ， 才 此时,式 可 才与经典Newton方程形式上完全相同. 5 近 由此可以看出： 似 7 要求 式在整个运动过程中成立，就要满 代 足以下条件. 之 为
4.1 力 学 量随 时 间 的 演 化
量子力学教程(第二版)
(a)波包很窄，而且在运动过程中扩散不厉害. (b) V 在空间变化较缓慢（在波包范围中变化 很小）. 从式（7）还可以看出 ,如果 V x a bx cx2 a, b, c为常量 . 所以对于线性势或谐振子势，条件
级一般是简并的.
推论
如果体系有一个守恒量 F ，而体系的某条能 级不简并（即对应于某能量本征值 E ，只有一个 本征态 E ），则 E 必为 F 的本征态.
例如 一维谐振子势 2 不简并的,而空间反射 P 为守恒量, P, H 0, 所以 能量本征态必为 的本征态,即有确定宇称. P
按4.1节式 3 ,粒子坐标和动量的平均值随时 间变化如下: d 1 r r, H p m 2 dt i
量子力学21-24力学量随时间的演化与对称性
不确定关系：若两个力学量A和B不对易，则一般来说ΔA和ΔB不能 同时为零，即A,B , 不能同时测定（特殊态例外), 或者说，它们不能 有共同本征态；
推论： 如果体系有一守恒量F，而体系的某条能级并不
简并，即对应某个能量本征值 简并 即对应某个能量本征值E只有一个本征态 只有 个本征态 ΨE，则ΨE必为F 的本征态。
Hψ (t ) ,ψ k (ψ k ,ψ (t )) 复共轭项 i 1 (ψ (t ), ) Hψ k )(ψ k ,ψ (t )) 复共轭项 i Ek 2 (ψ (t ), ) ψ k ) 复共轭项 0 i
结论： 如果力学量A不含时间，若 不含时间 若[A, H]=0(即为守恒量)，则 则 无论体系处于什么状态，A的平均值和测值概率均不随时间变化。
例题1 判断下列说法的正误 (1) 在非定态下，力学量的平均值随时间变化(错) (2) 设体系处在定态，则不含时力学量测值的概率不随时间变化(对) (3)设哈密顿量为守恒量，则体系处在定态（错） 设哈密顿量为守恒量 则体系处在定态（错） (4) 中心力场中的粒子处于定态，则角动量取确定的数值（错） (5) ( ) 自由粒子处于定态，则动量取确定值（错） （能级是二重简并的） (6)一维粒子的能量本征态无简并（错） （ （一维束缚态粒子的能量本征态无简并） 束缚态 态 并） 证明： 对于属于能量E的任何两个束缚态波函数有 则
4. 经典与量子力学中的守恒量间的关系 (1) 与经典力学中的守恒量不同，量子力学中的守恒量不一定取 确定的数值. 若初始时刻体系处于守恒量A的本征态，则体系 将保持在该本征态 此态对应的量子数将伴随终生 因此守 将保持在该本征态。此态对应的量子数将伴随终生，因此守 恒量的本征态对应的量子数称为好量子数。 (2) ( ) 量子体系的各守恒量并不 量子体系的各守恒量并不一定都可以同时取确定值。 定都可 同时取确定值。 5 守恒量与定态 5. (1) 定态是体系的 定态是体系的一种特殊状态 种特殊状态，即能量本征态，而守恒量则 即能量本征态 而守恒量则 是一种特殊的力学量，与体系的Hamilton量对易。 (2) 在定态下一切力学量的平均值和测值概率都不随时间改变； 而守恒量则在一切状态下的平均值和测值概率都不随时间 改变
曾谨言《量子力学教程》(第3版)笔记和课后习题(含考研真题)详解(4-6章)【圣才出品】
只有一个本征态 E ），则 E 必为 F 的本征态．
（2）位力（virial）定理 当体系处于定态下，关于平均值随时间的变化，有一个有用的定理，即位力 virial）定 理．设粒子处于势场 V（r）中，Hamilton 量为
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Bose 子不受 Pauli 原理限制，可以有任意数目的 Bose 子处于相同的单粒子态．设有 ni 个 Bose 子处于 k，态上（i＝1，2，…，N），
则该体系的归一化的对称波函数可表为
4.2 课后习题详解
4.1 判断下列提法的正误：（正确○，错误×） （a）在非定态下，力学量的平均值随时间变化；（×） （b）设体系处于定态，则不含时力学量的测值的概率分布不随时间变化；（○） （c）设 Hamilton 量为守恒量，则体系处于定态；（×） （d）中心力场中的粒子，处于定态，则角动量取确定值；（×） （e）自由粒子处于定态，则动量取确定值；（×） （f）一维粒子的能量本征态无简并；（×） （g）中心力场中的粒子能级的简并度至少为（2ι／＋1），ι＝0，1，2，…．（○）
3．N 个全同 Fermi 子组成的体系 设 N 个 Fermi 子分别处于 k2<kz<…<kN 态下，则反对称波函数可如下构成
（3）
P 代表 N 个粒子的一个置换（permutation）．式（3）常称为 slater 行列式，
是归一化因子．
4．N 个全同 Bose 子组成的体系
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4.2 设体系有两个粒子，每个粒子可处于三个单粒子态φ 1、φ 2、φ 3 中的任何一个 态．试求体系可能态的数目，分三种情况讨论：（a）两个全同 Bose 子；（b）两个全同 Fermi 子；（c）两个不同粒子．
（2）位力（virial）定理 当体系处于定态下，关于平均值随时间的变化，有一个有用的定理，即位力 virial）定 理．设粒子处于势场 V（r）中，Hamilton 量为
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Bose 子不受 Pauli 原理限制，可以有任意数目的 Bose 子处于相同的单粒子态．设有 ni 个 Bose 子处于 k，态上（i＝1，2，…，N），
则该体系的归一化的对称波函数可表为
4.2 课后习题详解
4.1 判断下列提法的正误：（正确○，错误×） （a）在非定态下，力学量的平均值随时间变化；（×） （b）设体系处于定态，则不含时力学量的测值的概率分布不随时间变化；（○） （c）设 Hamilton 量为守恒量，则体系处于定态；（×） （d）中心力场中的粒子，处于定态，则角动量取确定值；（×） （e）自由粒子处于定态，则动量取确定值；（×） （f）一维粒子的能量本征态无简并；（×） （g）中心力场中的粒子能级的简并度至少为（2ι／＋1），ι＝0，1，2，…．（○）
3．N 个全同 Fermi 子组成的体系 设 N 个 Fermi 子分别处于 k2<kz<…<kN 态下，则反对称波函数可如下构成
（3）
P 代表 N 个粒子的一个置换（permutation）．式（3）常称为 slater 行列式，
是归一化因子．
4．N 个全同 Bose 子组成的体系
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4.2 设体系有两个粒子，每个粒子可处于三个单粒子态φ 1、φ 2、φ 3 中的任何一个 态．试求体系可能态的数目，分三种情况讨论：（a）两个全同 Bose 子；（b）两个全同 Fermi 子；（c）两个不同粒子．
第4章 力学量随时间的演化与对称性
1）量子体系的守恒量并不一定取确定值，即体系
的状态并不一定就是某个守恒量的本征态，例如
自由粒子的动量是守恒的，但自由粒子的状态并 不一定处于动量本征态(平面波)。而一般是一个 波包。一个体系在某个时刻t是否处于某守恒量的 本征态，完全依赖于初始状态，若初时体系处于
某守恒量的本征态，则以后任何时候都将处于其
即没有确定的轨道，因而在两波函数重叠的区 域内，我们就无法区分它们。由此可见，
18重叠时，
才是可区分的，波函数发生重叠后，它们就不 可区分。
1
2
1
(a)
2
(b )
(c )
经典粒子的可区分性和 全同典粒子的不可区分 性
19
全同粒子的这种不可区分性是微观粒子所具有
Q I iF
ε是刻画无穷小变换的实参数
QQ ( I iF )( I iF ) I i( F F ) O(2 ) I F F
即F为厄米算符，称为变化Q的无穷小算符。由于它是 厄米算符，可用它来定义一个与Q变换相联系的可观测 量。体系在Q变换下的不变性就导致
17
运动过程中，都有自己确定的轨道，在任一时 刻，都有确定的位置和速度，这样我们就可以
判断哪个是第一个粒子，哪个是第二个粒子。
但在量子力学中，情况就完全不同了，两个全 同粒子的位置可以用相应的波函数来描述。在 运动过程中，两个波函数会在空间发生重叠。 由于两粒子的固有性质完全相同，同时它们的
位置和速度不象经典粒子那样同时有确定的值，
定态是体系的一种特殊状态。即能量本征态〈在 其中能量有确定的值〉，而守恒量则是体系的一 种特殊力学量，它与体系的哈密顿量对易。在定
的状态并不一定就是某个守恒量的本征态，例如
自由粒子的动量是守恒的，但自由粒子的状态并 不一定处于动量本征态(平面波)。而一般是一个 波包。一个体系在某个时刻t是否处于某守恒量的 本征态，完全依赖于初始状态，若初时体系处于
某守恒量的本征态，则以后任何时候都将处于其
即没有确定的轨道，因而在两波函数重叠的区 域内，我们就无法区分它们。由此可见，
18重叠时，
才是可区分的，波函数发生重叠后，它们就不 可区分。
1
2
1
(a)
2
(b )
(c )
经典粒子的可区分性和 全同典粒子的不可区分 性
19
全同粒子的这种不可区分性是微观粒子所具有
Q I iF
ε是刻画无穷小变换的实参数
QQ ( I iF )( I iF ) I i( F F ) O(2 ) I F F
即F为厄米算符，称为变化Q的无穷小算符。由于它是 厄米算符，可用它来定义一个与Q变换相联系的可观测 量。体系在Q变换下的不变性就导致
17
运动过程中，都有自己确定的轨道，在任一时 刻，都有确定的位置和速度，这样我们就可以
判断哪个是第一个粒子，哪个是第二个粒子。
但在量子力学中，情况就完全不同了，两个全 同粒子的位置可以用相应的波函数来描述。在 运动过程中，两个波函数会在空间发生重叠。 由于两粒子的固有性质完全相同，同时它们的
位置和速度不象经典粒子那样同时有确定的值，
定态是体系的一种特殊状态。即能量本征态〈在 其中能量有确定的值〉，而守恒量则是体系的一 种特殊力学量，它与体系的哈密顿量对易。在定
力学量随时间的演化与对称性
守恒量有两个特点： (1). 在任何态(t)之下的平均值都不随时间改变；
(2). 在任意态(t)下A的概率分布不随时间改变。
量子力学中的守恒量的概念，与经典力学中守恒 量概念不同。这实质上是不确定度关系的反映。
(a) 与经典力学守恒量不同，量子体系的守恒量并不一定取确定 值，即体系的状态并不一定就是某个守恒量的本征态。 一个体系在某时刻t是否处于某守恒量的本征态，要根据初始条 件决定。若在初始时刻(t=0)，守恒量A具有确定值，则以后任 何时刻它都具有确定值，即体系将保持在Â的同一个本征态。 由于守恒量具有此特点，它的量子数称为好量子数。但是，
不变性。
设体系的状态用 描述，随时间的演化遵守薛定谔方程： i H t
考虑某种线性变换Q (存在逆变换Q－1），在此变换下 变化如下：
' Q
体系对于变换的不变性体现为和 ' 遵守相同的运动方程：
即：
i ' H ' t
i Q HQ t 1 用Q 运算得： i Q 1 HQ t
又，
2 H , l 0 H, l 0 ( x , y , z )
2
所以粒子在中心力场中运动时，角动量平方和角动量分量
lˆ 2 , lˆx , lˆy , lˆz 都是守恒量。
3、哈密顿不显含时间的体系能量守恒
ˆ 不显含t ∵ H
证明： HFE FHE FEE EFE
即FE 也是H的本征值为 E的本征态。但已知 能级E无简并，所以FE 与E 只能是同一个 量子态。因此最多只能 相差一个常数因子 F '， 即FE F 'E，所以E 也是F的本征态（F '本征值）
第五章 力学量随时间的演化与对称性
不能同时取确定值。 （2） Vivial Theorem 维里定理 ） 不显含 t 的力学量，在定态上的平均是与t 无关。
ˆ ˆ ˆ dr ⋅ p [ r ⋅ p, H ] , =0= dt ih
2 ˆ] 1 ˆ ˆ [ r ⋅ p, H p 1 ˆ ˆ ] + [ r ⋅ p, V( r )] = [ r ⋅ p, ih ih 2 m ih
ˆ 不随t变，而取 As 的几率 ∑ cns 2 也不随t变。 A
n
我们称与体系 H 对易的不显含时间的力学量算符 与体系 ˆ
ˆ A
为体系的运动常数。 为体系的运动常数。
各运动常数并不都能同时取确定值。因尽管它们
ˆ 都与 H对易，但它们之间可能不对易。如
p ˆ + V( r ) H= 2m
与
2
ˆ 2 , L x , L y , Lz对易，但 L , L , L 不对易， ˆx ˆy ˆz L ˆ ˆ ˆ
ˆ x, p x
的平均值。 的平均值。
ˆ A=x ˆ ˆ ˆ d < px > [px , H ] ∂V ˆ = =< − >=< Fx > dt ih ∂x
m
d <x> dt
2
2
ˆ d < px > ∂V ˆ = =< − >=< Fx > dt ∂x
称为的恩费斯脱定理。 称为的恩费斯脱定理。 我们可以看到，上面三个式子与经典力学看起来 非常相似
第四章
力学量随时间的演化与对称性
1. 力学量随时间的演化，运动常数（守恒 力学量随时间的演化，运动常数（ 恩费斯脱定理（ 量）,恩费斯脱定理（Ehrenfest Theorem）。 恩费斯脱定理 ） （1）力学量的平均值随时间变化，运动常数 ）力学量的平均值随时间变化， 力学量的平均值为： 力学量的平均值为： 它随时间变化为
量子力学(第四章)
2.
能级简并与守恒量的关系
守恒量的应用极为广泛，在处理能量本 征值问题，量子态随时间变化，量子跃 迁以及散射等问题中都很重要。这里要 害是涉及能量简并，它们包括：(a)能 级是否简并？(b)在能级简并的情况下， 如何标记各简并态。
定理：设体系两个彼此不对易的守恒量 F 和 G ， 0 即 F , H 0, G, H 0 ，但 F , G ，则体系能 级一般是简并的。
讨论，在什么条件下可以做这种近似。
从物理上讲，要用一个波包来描述粒子的运动，
波包必须很窄，波包大小与粒子大小相当。此
外，还要求势场
波包中心处的势场
在空间变化很缓慢，使得 V (r ) r) V (与粒子感受到的势 V (很 r)
接近。但一般说来，波包会随时间演化而扩散，
如果要求波包能描述经典粒子的运动，必须要
守恒量
与经典力学不同，量子力学中， 处于量子态下的体系，在每一时刻， 并非所有力学量都具有确定值，而只 具有确定的几率分布和平均值。
ˆ 力学量 A的平均值为 ˆ A(t ) (t ), A (t )
(1)
所以
d ˆ ˆ A(t ) , A , A dt t t
证：由于 F , H 0， F H可以有共同本征函 与 数
H E , F F
考虑到 G, H 0 ，故有
HG GH GE EG
即 G 也是H 的本征态，对应于本征值 E 。
但 G 与 是否同一个量子态？考虑到 F , G 0，一般说来，
它们与经典粒子运动满足的正则方程
d p r , dt m dp V dt
相似。
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4. 经典与量子力学中的守恒量间的关系 (1) 与经典力学中的守恒量不同，量子力学中的守恒量不一定取 确定的数值. 若初始时刻体系处于守恒量A的本征态，则体系 将保持在该本征态 此态对应的量子数将伴随终生 因此守 将保持在该本征态。此态对应的量子数将伴随终生，因此守 恒量的本征态对应的量子数称为好量子数。 (2) ( ) 量子体系的各守恒量并不 量子体系的各守恒量并不一定都可以同时取确定值。 定都可 同时取确定值。 5 守恒量与定态 5. (1) 定态是体系的 定态是体系的一种特殊状态 种特殊状态，即能量本征态，而守恒量则 即能量本征态 而守恒量则 是一种特殊的力学量，与体系的Hamilton量对易。 (2) 在定态下一切力学量的平均值和测值概率都不随时间改变； 而守恒量则在一切状态下的平均值和测值概率都不随时间 改变
例题2 求 求一维谐振子在态 维谐振子在态Ψn下的动能和势能的平均值
1 解： 一维谐振子的能量本征值为 En n ω 2
由位力定理知: 则 所以
T V
1 E n H T V n ω 2 1 1 T V n ω 2 2
对于像在引力、Coulomb力作用下粒子做有界运动（当然也 就包含了周期运动）的情形，我们就得到了 个很有兴趣的 就包含了周期运动）的情形，我们就得到了一个很有兴趣的 结论：势能平均的负值等于动能平均的两倍，即
位力定理与统计力学中的配分定理有着密切的联系，而 在天体物理中，它将星体的内部温度、质量以及半径联 系起来并用以讨论星体的稳定性。对于一些很不直观的 来并 稳 对 直 结果——例如星体由于辐射能量而收缩时，它的温度将升 高而不是下降——利用位力定理也可以非常容易的得到。 利用位力定理也可以非常容易的得到
又因为 [G, H]=0, 则
ˆ G ˆH ˆ E EG ˆ ˆG ˆ G H
即GΨ也是H的本征函数，对应的本征值也是E。即体系的能级 是简并的。
即GΨ也是H的本征函数，对应的本征值也是E。即体系的能级 是简并的。Why? 如果不简并，则GΨ=g Ψ ,即Ψ也是G的本征函数， 对应的本征值是g 。
不确定关系：若两个力学量A和B不对易，则一般来说ΔA和ΔB不能 同时为零，即A,B , 不能同时测定（特殊态例外), 或者说，它们不能 有共同本征态；
推论： 如果体系有一守恒量F，而体系的某条能级并不
简并，即对应某个能量本征值 简并 即对应某个能量本征值E只有一个本征态 只有 个本征态 ΨE，则ΨE必为F 的本征态。
例题1 判断下列说法的正误 (1) 在非定态下，力学量的平均值随时间变化(错) (2) 设体系处在定态，则不含时力学量测值的概率不随时间变化(对) (3)设哈密顿量为守恒量，则体系处在定态（错） 设哈密顿量为守恒量 则体系处在定态（错） (4) 中心力场中的粒子处于定态，则角动量取确定的数值（错） (5) ( ) 自由粒子处于定态，则动量取确定值（错） （能级是二重简并的） (6)一维粒子的能量本征态无简并（错） （ （一维束缚态粒子的能量本征态无简并） 束缚态 态 并） 证明： 对于属于能量E的任何两个束缚态波函数有 则
证明：设ΨE是一能量本征态。因F是守恒量，则[F, H]=0
ˆF ˆψ F ˆH ˆψ F ˆEψ EF ˆψ H E E E E
即FΨE也是 也是一个能量本征态，对应的本征值也是 个能量本征态，对应的本征值也是E. 根据假定 能级不简并，则必有
ˆ ψ F ψ F E E
即ΨE也是F的本征态，对应的本征值是 的本征态 对应的本征值是F’
ψ 2ψ1 ψ1ψ 2
/ 2 1 / 1 2
两边同时积分得
ψ1 C ψ 2
上节课回顾：量子力学中的守恒量
A (t ) (t ), A (t ) A 0 d A 1 t A (t ) 0 [ A, H ] dt t i [ A, H ] 0 埃伦费斯特定理 结论： 若力学量A与体系的哈密顿量对易，则A为守恒量。
Hψ (t ) ,ψ k (ψ k ,ψ (t )) 复共轭项 i 1 (ψ (t ), ) Hψ k )(ψ k ,ψ (t )) 复共轭项 i Ek 2 (ψ (t ), ) ψ k ) 复共轭项 0 i
结论： 如果力学量A不含时间，若 不含时间 若[A, H]=0(即为守恒量)，则 则 无论体系处于什么状态，A的平均值和测值概率均不随时间变化。
位力定理： 设粒子处于势场V(r)，其哈密顿为
H p / 2m V ( r )
2
r·p的平均值随时间的变化为
d 1 2 i r p [ r p , H ] [ r p, p ] [ r p,V ( r )] dt 2m p2 i r V m d 对定态有 r p0 dt
Note
ψ i Hψ t
1 1 A , HA ( , AH ) , i i t 1 A A 1 ( , [ A, H ] ) , [ A, H ] i t t i
若力学量不显含时间，即 则 若
A 0 t
d 1 A (t ) [ A, H ] dt i [ A, H ] 0 d A (t ) 0 dt
可见：若力学量A与体系的哈密顿量对易，则A为守恒量。
3. 守恒量的性质 选包括H和A在内的一组力学量完全集，则
Hψ k Ekψ k , Aψ k Akψ k
则
1 2 p r V m
2T r V
证明： [ r p,V ( r )] [ xp x ,V ( r )] [ yp y ,V ( r )] [ zp z ,V ( r )] V ( r ) V ( r ) V ( r ) x ( i ) y ( i ) z ( i ) x y z i r V ( r )
V V V n 1 x y z nc V ( x , y , z ) (cx ) (cy ) (cz ) 令c =1得 r V nV
2T r V nV
则由位力定理得 如谐振子 库仑势 δ势
1 V ( x ) mω 2 x 2 , n 2 V T 2 1 V ( r ) ~ , n 1, V 2T r 1 δ (力学量随时间的演化 4 1 1 守恒量 4.1.1
1. 经典物理中的守恒量 守恒量：力学量的值不随时间变化 动量守恒： 质点受的合外力为零 机械能守恒：外力和内非保守力不做功 角动量守恒：质点所受到的合外力矩为零 2 量子力学中的守恒量 2. 守恒量：在任意态下力学量的平均值不随时间变化 在任意量子态Ψ下，力学量A的平均值为
第4 章 力学量随时间的演化与对称性
§4.1 §4 1 力学量随时间的演化 §4.2 波包的运动，Ehrenfest定理 §4 3 Schrödinger §4.3 S h ödi 图像与H i b 图像 图像与Heisenberg图像 §4.4 * 守恒量与对称性的关系 §4.5 全同粒子体系与波函数的交换对称性
这是否会影响位力定理得证明。 答：从位力定理的证明可以看出，将r·p厄米化后并不能影响 到定理的证明。
例题1 设V(x,y,z)是x, x y,z的n次齐次函数，即 次齐次函数 即
V (cx , cy , cz ) c V ( x , y , z )
n
证明
nV 2T
证明： V ( cx , cy , cz ) c nV ( x , y , z ) 两边对c求导数得
2 [ r p, p ]
2 2 [ xp x , p x ] [ yp y , p 2 ] [ zp , p y z z]
2ip 2ip 2ip
2 x 2 2 y
2 z
2ip
思考题： r·p并不是厄米算符，应进行厄米化
1 r p (r p p r ) 2
选包括H和A在内的一组力学量完全集，则
Hψ k Ekψ k , Aψ k Akψ k
d 2 ak (t ) 0 ψ (t ) ak (t )ψ k , ak (t ) (ψ k ,ψ (t )) dt k
结论： 如果力学量A不含时间，若 结论 含时间 若[A, H]=0( ] 0(即为守恒量 为守恒量)，则 则 无论体系处于什么状态，A的平均值和测值概率均不随时间变化。
A (t ) ψ (t ), Aψ (t )
守恒的条件？
d A , A , A A (t ) , dt t t t A H , A , A , t t i
4.1.2 能级简并与守恒量的关系
定理 设体系有两个彼此不对易的守恒量F和G，即 [F H]=0 [G H]=0 [F G]≠0, 则体系能级一般是简并的。 [F,H]=0,[G,H]=0,[F,G] 则体系能级一般是简并的 证明： [F, [F H]=0,则F, F H有共同的本征函数Ψ
ˆ E , F ˆ F H
力矩反映了力的切向分量对物体运动的影响，而角动量反映了物 体在切向上的运动，这个直观的图像其结论就是角动量定理。 关于力的径向分量也有一个有趣的结果，这就是virial（位力）定 理，它涉及的是各种力学量的时间平均值之间的关系。
对于周期性的运动，如果我们使时间间隔恰巧等于运动的周期. 即便对于非周期性的运动 如果粒子的运动总是在空间中的一个 即便对于非周期性的运动，如果粒子的运动总是在空间中的 个 有限区域中进行的（有界运动）也就是说，粒子的坐标始终是有 限的数值,G必然有一个上限
例如： 一维谐振子势中粒子的能级并不简并，空间反射算符P为 守恒量， [P,H]=0, 则能量本征态必为 能 本 态 为P的本征态，即有确定的 本 态 有确 宇称。事实上，也确是如此，