画法几何第4章 直线与平面、平面与平面之间的相对位置
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解：（1）分析：已知平面 ABC 是用两相交直线表 示的，且未限定所求平面的表示方式，故可依据直线与 直线、平面与平面平行的几何条件，直接作出用两相交 直线表示的所求平面。 （2）作图：如图 4.7（b），过点 L作直线 LM∥BA，LN∥BC，则两相交直线 LM、LN 所确定的 平面平行于已知平面 ABC。
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（2）投影图有特征 ①两个投影面垂直面相互平行，则二者具有积聚性 的那组投影必然相互平行；而且它们之间的距离，就是 此二平行平面之间的距离。
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②当两平行平面均是用迹线表示时，则其同面迹线 一定相互平行。
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4.2 直线与平面、平面与平面相交
直线与平面、平面与平面若不平行，则必相交。本 节主要从直线与平面、平面与平面相交的特殊情况入手， 讨论直线与平面的交点和两平面的交线在投影图上的作 图问题。 4.2.1 直线与平面相交的特殊情况 1.一般位臵直线与特殊位臵平面相交 特殊位臵平面至少有一个投影具有积聚性，直线与 平面相交的交点是二者共有的，交点既要属于平面的积 聚投影，又要属于直线的同面投影，所以交点的同面投 影就是平面的积聚投影和直线同面投影的交点。
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例 4.6 求直线 MN 与铅垂面△ABC 的交点，并判别 可见性（图 4.12（a））。
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解：（1）分析：图中铅垂面△ABC 的 H 投影积聚 为直线段 abc，交点应属于 abc；交点是二者共有的， 交点又该属于 mn，所以交点 K 的 H 投影 k为 abc和 mn的交点。 （2）作图： ①求交点。自 abc和 mn的交点 k引投影联系线与 m′n′相交得 k′。如图 4.12（b）所示，点K 为所求。 ②判别可见性。因为△ABC 的 H 投影积聚为直线 段，故 H 投影图勿须判别其可见性。而V投影图中 m′n′ 与△a′b′c′相重合的部分，就要判别其可见性。
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（2）作图：见图 4.2（b）所示。 ①作属于平面△ABC 的任一水平线 AD。即在 V 投 影中过 a′作 a′d′∥OX，再依 a′d′求出 ad。 ②过已知点 M 引直线 MN∥AD。其投影作图过程 是在 V投影中过 m′作 m′n′∥a′d′∥OX， 在 H 投影中过 m 作 mn∥ad。MN 为所求水平线。
第4章 直线与平面、平面与平面 之间的相对位臵
直线与平面、平面与平面之间的相对位臵均可分为 平行和相交，而相交又可分为垂直相交与倾斜相交两种 情况。本章将在立体几何有关定理的基础上研究其投影 性质及投影作图方法。
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4.1 直线与平面、平面与平面平行
4.1.1 直线与平面平行 1.几何条件 若一直线与属于平面的某一直线平行，则此直线与 该平面平行。反之若一直线与某平面平行，则经过属于 此平面的任意一点都可作出与该直线平行的直线。 2.投影作图 依据上述几何条件，一般有两类投影作图问题，即 作直线平行于某一平面或者作平面平行于已知直线，以 及判断直线与平面是否平行。这两类投影作图问题又都 可分成一般和特殊两种情况。
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例 4.5 试判别平面 ABC 和平面 LMN 是否相互平行 （图 4.8（a））。
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解：（1）分析：两平面是否平行取决于能否作出 既属于其中一平面，如平面 ABC，又能平行于属于另一 平面 LMN 的两条相交直线。
（2）作图：过点 A作辅助线，使 ak∥lm，并由此 获 a′k′，但是 a′k′与 l′m′不平行，即 AK 不平 行平面 LMN。无需作第二条辅助线，就可断定两已知 平面不平行。
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（1）一般情况———直线与一般位臵平面平行 例 4.1 过已知点 M 作一水平线 MN 平行于已知平面 △ABC（图 4.2（a））。 解：（1）分析：由图可知，△ABC 为一般位臵平 面，要求所作 MN 既平行于 H，又要平行于平面△ABC， 那么 MN 应平行于平面△ABC 与 H 面的交线，即平面 △ABC 的水平迹线，也是属于平面△ABC 的水平线的 方向。另一种分析是无论平面处于何种位臵，过点 M 可作无数条直线平行于已知平面△ABC，但其中却只有 一条是水平线。
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2.投影面垂直线与一般位臵平面相交 由于直线积聚为一点，当然交点的同面投影也是此 点；交点又是共有点，故也应属于平面。于是可利用直 线的积聚性，在平面上取点，作出交点。如图 4.13（ a） 所示，直线MN 为一正垂线，其 V 投影积聚成一点。所 以它与△ABC 交点 K 的 V投影 k′必然与之重合。
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例 4.2 试判别直线 KL是否平行于平面△ABC（图 4.3（a））。
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解：（1）分析：直线 KL与平面△ABC 是否平行， 取决于是否能作出一条属于平面△ABC 的直线平行于直 线 KL。 （2）作图：作一条属于平面△ABC 的辅助直线 MN，使其 V投影 m′n′∥k′l′，再求其 H 投影mn，由图 4.3（b）可知 mn与 kl不平行。图示表明，作不出一条 属于平面△ABC 的直线平行于直线 KL，故直线 KL不平 行于平面△ABC。 （2）特殊情况———直线与特殊位臵平面平行 特殊位臵平面至少有一个投影积聚为一直线。若直线平 行于特殊面，则平面的积聚投影一定与直线的同面投影 平行，且二者间距等于直线与特殊位臵平面距离（图 4.4）。
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4.1.2 平面与平面平行 1.几何条件 属于一平面的两相交直线，若分别平行于属于另一平面 的两相交直线，则此二平面相互平行。如图 4.6所示，P 平面内两条相交直线 AB、BC，Q 平面内两条相交直线 DE、EF，若有 AB∥DE，BC∥EF，则 P∥Q。 2.投影作图 一般亦可归结为两类问题，即作平面平行于已知平面和 判别两平面是否平行。此两类投影作图问题通常会有两 种情来自百度文库。 （1）投影图无特征 例 4.4 过点 L作一个平面平行于已知平面 ABC（图 4.7（a））。
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4.1.2 平面与平面平行 1.几何条件 属于一平面的两相交直线，若分别平行于属于另一平面 的两相交直线，则此二平面相互平行。如图 4.6所示，P 平面内两条相交直线 AB、BC，Q 平面内两条相交直线 DE、EF，若有 AB∥DE，BC∥EF，则 P∥Q。 2.投影作图 一般亦可归结为两类问题，即作平面平行于已知平面和 判别两平面是否平行。此两类投影作图问题通常会有两 种情况。
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解：（1）分析：已知平面 ABC 是用两相交直线表 示的，且未限定所求平面的表示方式，故可依据直线与 直线、平面与平面平行的几何条件，直接作出用两相交 直线表示的所求平面。 （2）作图：如图 4.7（b），过点 L作直线 LM∥BA，LN∥BC，则两相交直线 LM、LN 所确定的 平面平行于已知平面 ABC。
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（2）投影图有特征 ①两个投影面垂直面相互平行，则二者具有积聚性 的那组投影必然相互平行；而且它们之间的距离，就是 此二平行平面之间的距离。
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②当两平行平面均是用迹线表示时，则其同面迹线 一定相互平行。
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4.2 直线与平面、平面与平面相交
直线与平面、平面与平面若不平行，则必相交。本 节主要从直线与平面、平面与平面相交的特殊情况入手， 讨论直线与平面的交点和两平面的交线在投影图上的作 图问题。 4.2.1 直线与平面相交的特殊情况 1.一般位臵直线与特殊位臵平面相交 特殊位臵平面至少有一个投影具有积聚性，直线与 平面相交的交点是二者共有的，交点既要属于平面的积 聚投影，又要属于直线的同面投影，所以交点的同面投 影就是平面的积聚投影和直线同面投影的交点。
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例 4.6 求直线 MN 与铅垂面△ABC 的交点，并判别 可见性（图 4.12（a））。
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解：（1）分析：图中铅垂面△ABC 的 H 投影积聚 为直线段 abc，交点应属于 abc；交点是二者共有的， 交点又该属于 mn，所以交点 K 的 H 投影 k为 abc和 mn的交点。 （2）作图： ①求交点。自 abc和 mn的交点 k引投影联系线与 m′n′相交得 k′。如图 4.12（b）所示，点K 为所求。 ②判别可见性。因为△ABC 的 H 投影积聚为直线 段，故 H 投影图勿须判别其可见性。而V投影图中 m′n′ 与△a′b′c′相重合的部分，就要判别其可见性。
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（2）作图：见图 4.2（b）所示。 ①作属于平面△ABC 的任一水平线 AD。即在 V 投 影中过 a′作 a′d′∥OX，再依 a′d′求出 ad。 ②过已知点 M 引直线 MN∥AD。其投影作图过程 是在 V投影中过 m′作 m′n′∥a′d′∥OX， 在 H 投影中过 m 作 mn∥ad。MN 为所求水平线。
第4章 直线与平面、平面与平面 之间的相对位臵
直线与平面、平面与平面之间的相对位臵均可分为 平行和相交，而相交又可分为垂直相交与倾斜相交两种 情况。本章将在立体几何有关定理的基础上研究其投影 性质及投影作图方法。
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4.1 直线与平面、平面与平面平行
4.1.1 直线与平面平行 1.几何条件 若一直线与属于平面的某一直线平行，则此直线与 该平面平行。反之若一直线与某平面平行，则经过属于 此平面的任意一点都可作出与该直线平行的直线。 2.投影作图 依据上述几何条件，一般有两类投影作图问题，即 作直线平行于某一平面或者作平面平行于已知直线，以 及判断直线与平面是否平行。这两类投影作图问题又都 可分成一般和特殊两种情况。
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例 4.5 试判别平面 ABC 和平面 LMN 是否相互平行 （图 4.8（a））。
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解：（1）分析：两平面是否平行取决于能否作出 既属于其中一平面，如平面 ABC，又能平行于属于另一 平面 LMN 的两条相交直线。
（2）作图：过点 A作辅助线，使 ak∥lm，并由此 获 a′k′，但是 a′k′与 l′m′不平行，即 AK 不平 行平面 LMN。无需作第二条辅助线，就可断定两已知 平面不平行。
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（1）一般情况———直线与一般位臵平面平行 例 4.1 过已知点 M 作一水平线 MN 平行于已知平面 △ABC（图 4.2（a））。 解：（1）分析：由图可知，△ABC 为一般位臵平 面，要求所作 MN 既平行于 H，又要平行于平面△ABC， 那么 MN 应平行于平面△ABC 与 H 面的交线，即平面 △ABC 的水平迹线，也是属于平面△ABC 的水平线的 方向。另一种分析是无论平面处于何种位臵，过点 M 可作无数条直线平行于已知平面△ABC，但其中却只有 一条是水平线。
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2.投影面垂直线与一般位臵平面相交 由于直线积聚为一点，当然交点的同面投影也是此 点；交点又是共有点，故也应属于平面。于是可利用直 线的积聚性，在平面上取点，作出交点。如图 4.13（ a） 所示，直线MN 为一正垂线，其 V 投影积聚成一点。所 以它与△ABC 交点 K 的 V投影 k′必然与之重合。
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例 4.2 试判别直线 KL是否平行于平面△ABC（图 4.3（a））。
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解：（1）分析：直线 KL与平面△ABC 是否平行， 取决于是否能作出一条属于平面△ABC 的直线平行于直 线 KL。 （2）作图：作一条属于平面△ABC 的辅助直线 MN，使其 V投影 m′n′∥k′l′，再求其 H 投影mn，由图 4.3（b）可知 mn与 kl不平行。图示表明，作不出一条 属于平面△ABC 的直线平行于直线 KL，故直线 KL不平 行于平面△ABC。 （2）特殊情况———直线与特殊位臵平面平行 特殊位臵平面至少有一个投影积聚为一直线。若直线平 行于特殊面，则平面的积聚投影一定与直线的同面投影 平行，且二者间距等于直线与特殊位臵平面距离（图 4.4）。
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4.1.2 平面与平面平行 1.几何条件 属于一平面的两相交直线，若分别平行于属于另一平面 的两相交直线，则此二平面相互平行。如图 4.6所示，P 平面内两条相交直线 AB、BC，Q 平面内两条相交直线 DE、EF，若有 AB∥DE，BC∥EF，则 P∥Q。 2.投影作图 一般亦可归结为两类问题，即作平面平行于已知平面和 判别两平面是否平行。此两类投影作图问题通常会有两 种情来自百度文库。 （1）投影图无特征 例 4.4 过点 L作一个平面平行于已知平面 ABC（图 4.7（a））。
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4.1.2 平面与平面平行 1.几何条件 属于一平面的两相交直线，若分别平行于属于另一平面 的两相交直线，则此二平面相互平行。如图 4.6所示，P 平面内两条相交直线 AB、BC，Q 平面内两条相交直线 DE、EF，若有 AB∥DE，BC∥EF，则 P∥Q。 2.投影作图 一般亦可归结为两类问题，即作平面平行于已知平面和 判别两平面是否平行。此两类投影作图问题通常会有两 种情况。