绝对值几何定义
绝对值的几何意义公式(二)
绝对值的几何意义公式(二)绝对值的几何意义公式绝对值在数学中是一个重要的概念，它表示一个数与零之间的距离。
在几何意义上，绝对值可以表示为一条有向线段的长度。
本文将列举一些与绝对值相关的公式，并给出解释和示例。
绝对值的定义绝对值是一个数的非负值，表示该数离零的距离。
绝对值的定义如下：|x| = x，如果x ≥ 0 |x| = -x，如果x < 0绝对值的几何意义公式1. 绝对值的定义表示根据绝对值的定义，可以将绝对值表示为一条线段的长度。
公式： |x| = AB，其中A是原点，B是点x的坐标位置示例：考虑点A(0, 0)和点B(3, 0)，则|3| = AB = 3。
2. 绝对值的线段平移绝对值函数|x - a|表示点x距离a的距离。
公式： |x - a| = PA，其中P是点a的坐标位置示例：考虑点P(2, 0)，点Q(5, 0)，则|Q - 2| = PQ = 3。
3. 绝对值的线段缩放绝对值函数|kx|表示点x与原点的距离缩放到原来的k倍。
公式： |kx| = k * |x|示例：对于点A(2, 0)，如果k = 3，则|3x| = 6.4. 绝对值的线段合并绝对值函数|x - a| + |x - b|表示点x到a，b两点的距离之和。
公式： |x - a| + |x - b| = PA + PB示例：对于点A(2, 0)和点B(6, 0)，则|5x - 16| + |3x - 8| = PA + PB。
5. 绝对值的线段交换绝对值函数|a - x| = |b - x|表示点x与a，b两点的距离相等。
公式： |a - x| = |b - x|示例：对于点A(2, 0)和点B(6, 0)，则|2 - x| = |6 - x|。
总结绝对值的几何意义公式在解决各种几何问题中起到了重要的作用。
通过几何意义公式，我们可以更好地理解绝对值的概念，并将其运用于实际问题中。
这些公式包括绝对值的定义表示、线段平移、线段缩放、线段合并和线段交换。
绝对值表达式的几何意义-2022年学习资料
基础训练题-1当x取何值时，|x-31有最小值？这个最小值是多少-2当x取何值时，5-|+2|有最大值？这 最大值是多-少？-3当x取何值时，16+x-7有最小值？这个最小值是多-答：1=3时值最小，-最小值是0： 2X=-2时值最大，-最大值是5：-3X=7时值最小，-最小值是16。
从实际问题入手：-一个生产流水线上依次排着三个工作台A,B,C,三-个工人分别在工作台上工作，问只有一个检 工-具箱放在何处，才能使工作台上操纵机器的三个-工人每人取一次工具所走的路程之和最短？-放在点B的位置上， 们所走的路程之和最短-如果有五工作台呢？-点c的位置；-有七个工作台呢？-点D的位置-E
含一个绝对值，求最值-例3.当x=2时，x-2有最小值，是0-变式1当x=2时，-x-2有最大值，是0-变 2当x=2时，x-2+1有最小值，是1-变式3当x=2时，一x-2+1有最大值是？-归纳：对于代数式4x一 +c，当-=时-若a>0,则它有最小值，-a<0,则它有最大值，是
含一个绝对值，求最值-问题：当x=-时，|x-21-3有-最小值，最小值是多少？-解：.x一2≥0-..X 2-32-3-.当x=2时，X一2=0-.当X=2时，X一2一3=一3-因此，当x=2时，|x一2|一3有 小值-最小值是一3
绝对值表达式的几何意义
学习目标-1.掌握并理解数轴上的点与数的对应关。-2.掌握绝对值的概念及绝对值的几何意-3.通过数轴与绝对 的学习，体验数形结-合的思想
绝对值的概念：-1绝对值的几何定义：-一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点-与原点的距离；-点A到原点的 离是|a|,点C到原点的距离是「c;-2、a是什么数？最小是多少？-1a是非负数，即|a≥0，最小值是0
化育张萍老师《绝对值的几何意义》
A
0 -1 营山中学
B
C
D
F
1 2 3 4 5 6 化育中学 云凤 二中 城北 三中
P
合作探究：
Ix+1I + Ix-2I +Ix-3I +Ix-4I +Ix-5I +Ix-6I
规律：
当x满足什么条件时？
∣x－a1∣+ ∣x－a2∣+ ∣x－a3∣+ ... + ∣x－an∣有最小值 已知a1≤a2≤a3≤... ≤an
解：当x=6时，原式有最小值. 它的最小值是： I6-1I+I6-2I+I6-3I+…+I6-6I+I6-7I+I6-8I+…+I6-11I =5+4+3…+0+1+2+…+5 =2×（1+2+3+4+5）
=2×15 =30
拓展延伸二
当x满足什么条件时 ，∣x－1∣+ ∣x－2∣+ ∣x－3∣+...+ ∣x－21∣ +∣x－22∣有最小值，最小值是多少？ 解: 当11≤x≤12时，有最小值. 最小值是: （12-11）+（13-10）+（14-9）+... +（21-2） +（22-1） =1+3+5+...+19+21 =(1+21)×11÷2
绝对值的几何意义
-----求 最 值
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
x
化育中学
张萍
知识点复习：
1、绝对值的几何定义： 一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点 与原点的距离； 数a到原点的距离是︱a︱,数c到原点的距离是︱c︱; 2、∣a∣最小值是多少？ ∣a∣是非负数，即∣a∣≥0，最小值是0
绝对值 几何意义
绝对值几何意义：在数轴上，一个数与原点的距离叫做该数的绝对值（absolute value）．如：指在数轴上表示的点与原点的距离，这个距离是5，所以的绝对值是5，又如指在数轴上表示1.5的点与原点的距离，这个距离是1.5，所以1.5的绝对值是1.5，代数意义：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数,0的绝对值是0互为相反数的两个数的绝对值相等绝对值用“|a |”表示．读作“a的绝对值”．如：|－2|读作－2的绝对值。
正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，,绝对值是非负数≥0。
特殊的零的绝对值既是他的本身又是他的相反数,写作|0|=0|3|=3 |-3|=3（相反数绝对值互为倒数）两个负数比较大小，绝对值大的反而小比如:若|2(x—1）—3+|2y—4）|=0，则x=___,y=____。
（|是绝对值）答案:2(X-1)-3=0X=5/22Y-4=0Y=2一对相反数的绝对值相等：例+2的绝对值等于—2的绝对值(因为在数轴上他们离原点的单位长度相等) 绝对值的几何意义和代数意义：几何定义：数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值。
（在数轴上表示数a的点与原点的距离一定是非负数）代数定义：|a|={a>0 a=a{a<0 a=-a{a=o a=0关于绝对值的题目：已知|x|=3，|y|=1/2,且|x-y|=y-x,求y-x解：因为|x-y|>0 或=0，且|x-y|=y-x，所以x<0，x只能等于-3。
y=-1/2 或=1/2。
设y=1/2，则原式=1/2-（-3）= 3又1/2。
设y=-1/2，则原式=（-1/2）—（-3）=2又1/2。
答：y-x等于3又1/2或2又1/2。
|x-1|+|x-2|+|x-3|.....|x-5|的最小值为多少，可以用几何意义来做，要想最小就要取中间的也就是x-3=0即x=3原式=6，为最小值|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|则取2，3中间任意一点，得4公式|m-n|-|n-m|=0m/n可以是任何数2. 绝对值的有关性质无论是绝对值的代数意义还是几何意义，都揭示了绝对值的以下有关性质：（1）任何有理数的绝对值都是大于或等于0的数，这是绝对值的非负性。
绝对值几何意义及动点问题(一)
绝对值几何意义及动点问题(一)绝对值几何意义及动点问题在几何学中，绝对值是一个常见的概念，它表示一个数到零的距离。
在这篇文章中，我们将探讨绝对值的几何意义以及与动点相关的问题。
绝对值的几何意义绝对值可以用几何的方式来解释。
首先，我们可以将绝对值看作一个点到零点的距离。
例如，对于实数x，绝对值|x|表示点x到零点的距离。
如果x是负数，则绝对值表示x在数轴上的投影到零点的距离。
绝对值的性质绝对值具有以下性质： - |x| >= 0：绝对值永远大于等于零。
- |x| = 0 当且仅当 x = 0：只有当x等于零时，绝对值才等于零。
- |x * y| = |x| * |y|：绝对值的乘积等于各个数的绝对值的乘积。
绝对值的动点问题在几何学中，动点问题是一类常见的问题，它涉及到点在运动中的位置、轨迹等特性。
绝对值可以应用在动点问题中，通过求解动点到其他点的距离。
以下是一些与绝对值和动点相关的问题： 1. 给定一个动点A和两个固定点B、C，求动点A到点B和点C的距离之和的最小值。
2. 已知动点A在直线L上运动，点B为直线L上的固定点，求动点A到点B的距离的最大值。
3. 给定一个动点A和一个固定点B，在直线L 上构建一个点C，使得动点A到点B和点C的距离之和最小。
这些问题都可以通过绝对值的几何意义来解决。
我们可以使用点到点的距离公式，通过求解绝对值来得到问题的答案。
绝对值在几何学中具有重要的意义，它可以帮助我们解决许多与动点相关的问题。
通过理解绝对值的几何意义，我们可以更好地应用它来解决各种几何问题。
希望通过这篇文章，你对绝对值的几何意义及动点问题有更深入的理解。
(完整版)绝对值的性质及化简
绝对值的几何意义：一个数a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点与原点的距离.数a 的绝对值记作a . 绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0. 注意：①取绝对值也是一种运算，运算符号是“”，求一个数的绝对值，就是根据性质去掉绝对值符号. ②绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0. ③绝对值具有非负性，取绝对值的结果总是正数或0. ④任何一个有理数都是由两部分组成：符号和它的绝对值，如：5-符号是负号，绝对值是5.求字母a 的绝对值：①(0)0(0)(0)a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩②(0)(0)a a a a a ≥⎧=⎨-<⎩ ③(0)(0)a a a a a >⎧=⎨-≤⎩ 利用绝对值比较两个负有理数的大小：两个负数，绝对值大的反而小.绝对值非负性：如果若干个非负数的和为0，那么这若干个非负数都必为0.例如：若0a b c ++=，则0a =，0b =，0c =绝对值的其它重要性质：（1）任何一个数的绝对值都不小于这个数，也不小于这个数的相反数，即a a ≥，且a a ≥-；（2）若a b =，则a b =或a b =-；（3）ab a b =⋅；a a b b=(0)b ≠； （4）222||||a a a ==；（5）a b a b a b -≤+≤+，对于a b a b +≤+，等号当且仅当a 、b 同号或a 、b 中至少有一个0时，等号成立；对于a b a b -≤+，等号当且仅当a 、b 异号或a 、b 中至少有一个0时，等号成立．绝对值几何意义当x a =时，0x a -=，此时a 是x a -的零点值．零点分段讨论的一般步骤：找零点、分区间、定符号、去绝对值符号．即先令各绝对值式子为零，求得若干个绝对值为零的点，在数轴上把这些点标出来，这些点把数轴分成若干部分，再在各部分内化简求值．例题精讲绝对值的性质及化简a b -的几何意义：在数轴上，表示数a 、b 对应数轴上两点间的距离．一、绝对值的概念【例1】 ⑴m n -的几何意义是数轴上表示m 的点与表示n 的点之间的距离．x 的几何意义是数轴上表示 的点与 之间的距离；x 0-（>，=，<）； ⑵21-的几何意义是数轴上表示2的点与表示1的点之间的距离；则21-= ； ⑶3x -的几何意义是数轴上表示 的点与表示 的点之间的距离，若31x -=，则x = ． ⑷2x +的几何意义是数轴上表示 的点与表示 的点之间的距离，若22x +=，则 x = ．二、绝对值的性质【例2】 填空：若a b a b +=+，则a ，b 满足的关系 ．【巩固】 填空：若a b a b -=-，则a ，b 满足的关系 ．【例3】 填空：已知a 、b 是有理数，1a ≤，2b ≤，且3a b -=，则a b += ．【巩固】 若ab ab <，则下列结论正确的是 ( )A. 00a b <<，B. 00a b ><，C. 00a b <>，D. 0ab <【例4】 下列各组判断中，正确的是 ( ) A ．若a b =，则一定有a b = B ．若a b >，则一定有a b >C. 若a b >，则一定有a b > D ．若a b =，则一定有()22a b =-【例5】如果2a＞2b，则( )A．a b< D a＜b>B．a＞b C．a b【例6】（4级）若a b<，则下列说法正确的是（）>且a bA．a一定是正数B．a一定是负数C．b一定是正数D．b一定是负数【巩固】下列式子中正确的是( )A．a a≥-≤-D．a a>-B．a a<-C．a a【例7】对于1m-，下列结论正确的是( )A．1||≥D．1||1m m≤-----≥B．1||m mm mm m-≤C．1||1【例8】已知2332-=-，求x的取值范围x x【例9】下列说法中正确的个数是( )①当一个数由小变大时，它的绝对值也由小变大；②没有最大的非负数，也没有最小的非负数；③不相等的两个数，它们的绝对值一定也不相等；④只有负数的绝对值等于它的相反数．A．0 B．1 C．2 D．3【例10】绝对值等于5的整数有个，绝对值小于5的整数有个【例11】绝对值小于3.1的整数有哪些？它们的和为多少？【巩固】 非零整数m n ，满足50m n +-=，所有这样的整数组()m n ，共有【例13】 已知123a b c ===，，，且a b c >>，那么a b c +-=【例14】 如右图所示，若a 的绝对值是b 的绝对值的3倍，则数轴的原点在 点．（填“A ”“B ”“C ”或“D ”）【例15】 如果1a b -=，1b c +=，2a c +=，求2a b c ++的值．【例16】 已知a 、b 、c 、d 都是整数，且2a b b c c d d a +++++++=，则a d += ．【例17】 已知a 、b 、c 、d 是有理数，9a b -≤，16c d -≤， 且25a b c d --+=，则b a d c ---= ．【巩固】 有理数a 、b 、c 、d 各自对应着数轴上X 、Y 、Z 、R 四个点，且 （1）b d -比a b -，a c -、a d -、b c -、c d -都大；（2）d a a c d c -+-=-；（3）c 是a 、b 、c 、d 中第二大的数.则点X 、Y 、Z 、R 从左到右依次是【例18】 I f 3x ≤,1y ≤,4z ≤,and 29x y z -+=,then 246x y z = ．【例19】 如果1,11,a a a x a =+-=-那么____x a x a +--=。
绝对值的代数意义和几何意义
绝对值的代数意义和几何意义绝对值是数学中一个重要的概念，它具有代数意义和几何意义。
在代数中，绝对值表示一个数与零之间的距离，而在几何中，绝对值表示一个点在数轴上的位置。
代数意义：在代数中，绝对值常用符号“，x，”表示，其中x表示任意实数。
绝对值的定义是：x，=x,当x>=0x，=-x，当x<0绝对值的代数意义是表示一个数与零之间的距离。
无论一个数是正数还是负数，它与零的距离都是一个非负数。
例如，对于数-5来说，它与零的距离为5，即，-5，=5、对于数8来说，它与零的距离也是8，即，8，=8、因此，绝对值可以将负数转化为正数，而保持正数不变。
绝对值在代数中有多种应用。
首先，绝对值可以用来定义两个实数的大小关系。
例如，对于实数a和b来说，如果，a，<，b，则a的绝对值小于b的绝对值，即a的绝对值离零更近。
其次，绝对值还可以用来确定一个数的符号。
如果一个数的绝对值是正数，则该数为正数；如果一个数的绝对值是负数，则该数为负数。
几何意义：在几何中，绝对值被用来表示一个点在数轴上的位置。
数轴是一个直线，可以将实数一一对应地映射到数轴上的点。
绝对值表示一个点到原点的距离，且方向无关。
通过绘制一个数轴，我们可以将绝对值的几何意义更加直观地理解。
假设有一个点A在数轴上，它与原点O之间的距离为，x，点A在数轴上的位置取决于该点到原点的距离。
如果x>=0，则点A在原点的右侧距离为x；如果x<0，则点A在原点的左侧距离为-x。
无论点A在哪一侧，它的距离始终是非负数。
除了数轴，绝对值的几何意义还可以应用到平面几何中。
在平面几何中，绝对值可以表示一个点到原点的距离，在二维坐标系中常用来计算两个点之间的距离。
例如，对于点P(x1,y1)和Q(x2,y2)来说，它们之间的距离可以表示为：d = sqrt((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2)其中，sqrt表示平方根运算。
由于平方根运算的结果始终是非负数，因此绝对值用于确保距离始终是非负数。
绝对值表达式的几何意义
从实际问题入手：
一个生产流水线上依次排着三个工作台A,B,C,三
个工人分别在工作台上工作，问只有一个检修工
具箱放在何处，才能使工作台上操纵机器的三个
工人每人取一次工具所走的路程之和最短？
A
B
∣
∣
C
∣
放在点B的位置上，他们所走的路程之和最短。
如果有五工作台呢？ 点c的位置;
A
B
∣
∣
有七个工作台呢？
C
D
E
∣
∣
∣
点D的位置;
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
A
B
C
D
E
F
G
探究二
当x=
时， ∣x－1∣+ ∣x－2∣有最小值，
最小值是多少？
思维点拨：
1、∣x－1∣表示的意义是什么？
2、∣x－2∣表示的意义是什么？
3、∣x－1∣ + ∣x－2∣表示的意义又是什么？
问题解决
解:设A：1，B：2，M：x
则AM=∣x－1∣，BM= ∣x－2∣
C. a c
D. a c
2.已知 a 在数轴上的位置如下图所示，化简
式子 a 1 的值为 －１ . a 1
a
-1 0
3.已知 a b a b 2b ，在数轴上给出
关于 a、b的四种情况如图所示，则成立的是
①、③ （写出所有正确的序号）
a0 b
①
b0
a
②
0a b
③
0b a
④
1.数轴上一动点A向左移动两个单位长度到达
－2012∣有最小值，最小值是多少？
当1006≤x≤1007时，原式有最小值. 它的最小值
绝对值的几何意义
绝对值的几何意义知识要点大家知道,|a|的几何意义是：数轴上表示a的点到原点的距离；|a－b|的几何意义是：数轴上表示数a、b的两点的距离．对于某些问题用绝对值的几何意义来解,直观简捷,事半功倍．例题精讲例题我们知道,|a|可以理解为|a-0|表示数a到原点的距离,这是绝对值的几何意义．进一步地,数轴上两个点A．B,分别用a,b表示,那么A、B两点之间的距离为AB=|a-b|,利用此结论,回答以下问题：1数轴上表示8和3的两点之间的距离是______,数轴上表示-2和5的两点之间的距离是___________,数轴上表示-3和-7的两点之间的距离是__________；2数轴上点A用a表示,则|a-3|=5的几何意义是_____________,利用数轴及绝对值的几何意义写出a的值是___________________；3 利用数轴及绝对值的几何意义写出该式能取得的最小值是_____________. 思路点拨1根据数轴上两点间的距离公式,可得答案；2根据到一点距离相等的点有两个,可得a的值；3根据线段上的点与线段两端点的距离的和最小,可得答案．解析解：1数轴上表示8和3的两点之间的距离是5,数轴上表示-2和5的两点之间的距离是7,数轴上表示-3和-7的两点之间的距离是4；2数轴上点A用a表示,则|a-3|=5的几何意义是数轴上表示a和3两点之间的距离是5,利用数轴及绝对值的几何意义写出a的值是-2或8；3说出|x+1|+|x+2|表示的几何意义数轴上点x与-1的距离与点x与-2距离的和,利用数轴及绝对值的几何意义写出该式能取得的最小值是1, 故答案为：5,7,4；数轴上表示a与3两点之间的距离是5,-2或8；数轴上点x与-1的距离与点x与-2的距离的和是1．总结升华本题考查了绝对值,1数轴上两点间的距离公式,2到一点距离相等的点有两个；3线段上的点与线段两端点的距离的和最小．例题阅读下列材料：我们知道|x|的几何意义是在数轴上数x对应的点与原点的距离；即|x|=|x-0|,也就是说,|x|表示在数轴上数x与数0对应点之间的距离；这个结论可以推广为|x1-x2|表示在数轴上数x1,x2对应点之间的距离；在解题中,我们会常常运用绝对值的几何意义：例1：解方程|x|=2．容易得出,在数轴上与原点距离为2的点对应的数为±2,即该方程的x=±2；例2：解不等式|x-1|＞2．如图,在数轴上找出|x-1|=2的解,即到1的距离为2的点对应的数为-1,3,则|x-1|＞2的解为x＜-1或x＞3；参考阅读材料,解答下列问题：1方程|x+3|=4的解为____________________；2解不等式|x-3|+|x+4|≥9；3若|x-3|-|x+4|≤a对任意的x都成立,求a的取值范围．思路点拨仔细阅读材料,根据绝对值的意义,画出图形,来解答．解析解：1根据绝对值得意义,方程|x+3|=4表示求在数轴上与-3的距离为4的点对应的x的值为1或-7．2∵3和-4的距离为7,因此,满足不等式的解对应的点3与-4的两侧．当x在3的右边时,如图,易知x≥4．当x在-4的左边时,如图,易知x≤-5．∴原不等式的解为x≥4或x≤-53原问题转化为：a大于或等于|x-3|-|x+4|最大值．当x≥3时,|x-3|-|x+4|应该恒等于-7,当-4＜x＜3,|x-3|-|x+4|=-2x-1随x的增大而减小,当x≤-4时,|x-3|-|x+4|=7,即|x-3|-|x+4|的最大值为7．故a≥7．总结升华本题是一道材料分析题,通过阅读材料,同学们应当深刻理解绝对值得几何意义,结合本题是一道材料分析题,通过阅读材料,同学们应当深刻理解绝对值得几何意义,结合数轴,通过数形结合对材料进行分析来解答题目．由于信息量较大,同学们不要产生畏惧心理．巩固练习1、我们知道|x|的几何意义是在数轴上数x对应的点与原点的距离；即|x|=|x-0|,也就是说,|x|表示在数轴上数x与数0对应点之间的距离；这个结论可以推广为|x1-x2|表示在数轴上x1,x2对应点之间的距离；例1解方程|x|=2,容易看出,在数轴下与原点距离为2点的对应数为±2,即该方程的解为x=±2例2解不等式|x-1|＞2,如图,在数轴上找出|x-1|＞2的解,即到1的距离为2的点对应的数为-1、3,则|x-1|＞2的解为x＜-1或X＞3参考阅读材料,解答下列问题：不等式|x+3|＞4的解为_____________________.2、结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：1数轴上表示1和4的两点之间的距离是____________；表示-3和2的两点之间的距离是___________；表示-5和-4的两点之间的距离是_________；一般地, 数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于__________．2如果表示数a和-2的两点之间的距离是3,那么a=____________．3若数轴上表示数a的点位于-4与2之间,求|a+4|+|a-2|的值；答案1、解：∵|x+3|=|x--3|＞4,即到-3的距离为4的点对应的数为-7、1,用数轴表示为：∴不等式|x+3|＞4的解为x＜-7或x＞1．2、解：1|1-4|=3,|-3-2|=5,|-5--4|=1,|m-n|,故答案为：3；5；1；|m-n|；2|a--2|=3,所以,a+2=3或a+2=-3,解得a=1或a=-5,故答案为：-5和1；3∵表示数a的点位于-4与2之间,∴a+4＞0,a-2＜0,∴|a+4|+|a-2|=a+4+-a-2=a+4-a+2=6；。
绝对值的几何意义解不等式
绝对值的几何意义是表示一个数到另一个数的距离，通常用竖线“| |”表示。
例如，|x-3|表示x与3之间的距离。
对于一个不等式，例如|a| < b，其中a和b是实数，其几何意义为，表示以0为中心的数轴上，距离0点不超过b的数的集合，与距离0点大于b的数的集合的交集。
可以用图形化的方法来解决这种不等式，具体步骤如下：
1.在以0为中心的数轴上，标出b的位置，将数轴分成两个部分。
2.将a所在的点画在数轴上，然后根据其与0点的距离判断该点所在的集
合。
3.如果该点到0的距离小于b，则该点位于以0为中心、半径为b的圆内，
符合不等式，解为- b < a < b。
4.如果该点到0的距离大于等于b，则该点位于以0为中心、半径为b的圆
外，不符合不等式。
因此，对于不等式|a| < b，其解为-a < a < b，或者说a的取值范围是(-b, b)。
绝对值
绝对值一、绝对值的定义：数轴上一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值。
二、绝对值的几何意义：在数轴上，表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|①、绝对值表示距离，由于距离不可能是负数，所以任何数的绝对值总是正数或0，即|a|≥0②、在数轴上，互为相反数的两个数分别位于原点的两侧，且到原点的距离相等，所以互为相反数的两个数的绝对值相等，即|－a |＝|a| ③、在数轴上表示互为相反数的两个数的点关于原点对称。
三、绝对值的代数意义正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0；即：①、任何数的绝对值总是非负数，如果几个数的绝对值的和为0，那么这几个数都为0；②、0的绝对值既是它本身又是它的相反数，因此，若|a|＝a ，则a≥0；若|a|＝－a ，则a≤0；四、在数轴上两点之间的距离的几何定义：1、一般地，如果 a(x1)，b(x2) ，则这两点的距离公式为:d(a,b)＝|x2－x1|即数轴上两点之间的距离等于对应两数之差的绝对值；“数轴”是数型结合的重要工具（通过两点之间的距离公式可以理解） 加深理解，如：① 、|3＋1|表示数轴上数3到数-1的距离(等于对应两数之差的绝对值)，即：|3－(－1)|＝4② 、|x |表示数轴上某一个点到原点的距离；即：|x －0|＝|x |当数x 在数轴上原点的左边时（x ＜0），|x|＝－x(诠注：根据绝对值的代数意义：负数的绝对值是它的相反数)当数x 在数轴上原点的右边时（x ＞0），|x |＝|x －0|＝x(诠注：根据绝对值的代数意义：正数的绝对值是它本身)③ 、|－5|＝|－5－0|表示数轴上－5到原点的距离；④ 、|x －a |表示数轴上某一个点到a 的距离；⑤ 、|x ＋a |＝|x －(－a)|表示数轴上某一个点到－a 的距离；⑥ 、|2x ＋3|＝2|x －(－23)|表示数轴上某一个点到－23的距离的2倍；2、真正理解绝对值的几何意义？（1）、|1－x |＝1＋|x |分析：由该式的已知条件应立即可知：x ≤0由|1－x |＝1＋|x | 可化为：|1－x |＝|1－0|＋| x －0|即：线段a 与b 的距离之和为：a ＋b ＝c ，即1至0的距离（等于a ）与0至x的距离（等于b）之和；。
绝对值的几何意义,绝对值求最值
绝对值的几何意义，绝对值求最值一个数的绝对值就是数轴上表示这个数的点到原点的距离，|a-b|就表示点a与点b的距离。
所以绝对值可以转化成数轴上点与点间的距离，可以利用数形结合快速解决绝对值的最值问题。
首先我们先理解数轴(线段)上点间距离的最值问题。
如果小学奥数学过这种线段上找距离和最短的问题，可能会更容易理解。
例题:在数轴上找一点，使这点到所有点的距离和最小。
①先看两个点的，想要找一个点，使到1和3的距离和最短，应该选在1与3(包括点1,3)之间。
这个最短距离和是2。
即当1≤x≤3时，|x-1|+|x-3|有最小值2。
②接着看三个点的，想要找一个点，使到1,2和3的距离和最短，应该选2这个点。
这个最短距离和是2。
即当x=2时，|x-1|+|x-2|+|x-3|有最小值2。
③再看下四个点的，想要找一个点，使到1,2,3,4的距离和最短，应该选在2与3(包括点2,3)之间。
这个最短距离和是4。
即当2≤x≤3时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|有最小值4。
可以得出以下结论:如果有偶数个点，那么这个点取在正中间的两点之间(包括这两点)就可以。
如果有奇数个点，那么这个点取在正中间的点就可以。
掌握了这个最基本的方法后，我们再研究有重复的点(即x的系数不是1)例如:求|x-1|+ 2|x-2|的最小值。
为了便于理解，我们可以把它写成|x-1|+ |x-2|+ |x-2|所以是三个点，这个点应该选在最中间的x=2。
所以最小值是1。
下面看一道少儿初中部的一道练习题:题目:设x是有理数，p=|3x+6|+ |x-3|+|2x-6|+ |x-9|，试求p的最小值。
先把x的系数提出来，看一看这些点都有哪些，如果这些点不是从小到大的，注意要按顺序排好！！！。
p=3|x+2|+ |x-3|+2|x-3|+ |x-9|共7个点即-2,-2,-2,3,3,3,9，所以选最中间的(第4个点)x=3，最小值是21。
我们知道数轴上的点包括有理数和无理数，那么对于无理数也是成立的，比如我们学过无理数之后，像下面这种题应该自然就会做了。
绝对值的几何意义
绝对值的几何意义：一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离.数a的绝对值记作a.绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.注意：①取绝对值也是一种运算，运算符号是“”，求一个数的绝对值，就是根据性质去掉绝对值符号.②绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.③绝对值具有非负性，取绝对值的结果总是正数或0.④任何一个有理数都是由两部分组成：符号和它的绝对值，如：5-符号是负号，绝对值是5.求字母a的绝对值：①(0)0(0)(0)a aa aa a>⎧⎪==⎨⎪-<⎩②(0)(0)a aaa a≥⎧=⎨-<⎩③(0)(0)a aaa a>⎧=⎨-≤⎩利用绝对值比较两个负有理数的大小：两个负数，绝对值大的反而小.绝对值非负性：如果若干个非负数的和为0，那么这若干个非负数都必为0.例如：若0a b c++=，则0a=，0b=，0c=绝对值的其它重要性质：（1）任何一个数的绝对值都不小于这个数，也不小于这个数的相反数，即a a≥，且a a≥-；（2）若a b=，则a b=或a b=-；（3）ab a b=⋅；aab b=(0)b≠；（4）222||||a a a==；。
初一数学绝对值几何意义解题
初一数学绝对值几何意义解题
初一数学中，绝对值是一个重要的概念，也是学习几何意义解题的基础。
在解决几何问题时，我们需要深入理解绝对值的含义和性质，才能正确地应用到实际问题中。
首先，我们需要明确绝对值的定义：对于任意实数x，其绝对值为| x |，表示x到原点的距离，也就是说，| x | = x（当x≥0时），| x | = -x（当x<0时）。
接下来，我们可以通过几何意义来理解绝对值的含义。
例如，当x=3时，| x | = 3，表示数轴上点3距离原点的距离为3个单位。
当x=-2时，| x | = 2，表示数轴上点-2距离原点的距离也为2个单位。
在解题时，我们可以通过绝对值的几何意义来判断两点之间的距离。
例如，求点A(3,4)和点B(-1,2)之间的距离。
我们可以通过绝对值来求解，即| AB | = | 3-(-1) | + | 4-2 | = 4+2 = 6。
因此，点A和点B之间的距离为6个单位。
此外，在解决数轴问题时，我们也需要深入理解绝对值的性质。
例如，当a、b为实数时，有| a-b | = | b-a |，即两点之间的距离与顺序无关。
这个性质在解决一些简单的数轴问题时非常有用，可以帮助我们更加快速地求解问题。
综上所述，初一数学中，我们需要深入理解绝对值的几何意义和性质，灵活运用到实际问题中，才能更好地完成数学学习和应用。
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绝对值的几何意义公式(一)
绝对值的几何意义公式(一)
绝对值的几何意义公式
1. 基本公式
•绝对值的定义：对于任意实数x，其绝对值记作| x | ，表示x 与原点之间的距离。
•绝对值的几何意义：绝对值表示一个数到原点的距离。
2. 几何意义公式
数轴上的绝对值公式
•公式1：对于任意实数x，有| x |=x或者|x |=- x 。
–解释：若x≥0，则x与原点之间的距离为x本身；若x<0，则x与原点之间的距离为-x，即与x绝对值相等。
平面直角坐标系中的绝对值公式
•公式2：对于平面直角坐标系中的两点A(a, b)与B(c, d)，有| AB |=√(c-a)^2+ (d-b)^2。
–解释：两点A(a, b)和B(c, d)之间的距离就是线段AB的长度，而绝对值| AB |表示线段AB的长度。
三维空间中的绝对值公式
•公式3：对于三维空间中的两点A(x1, y1, z1)与B(x2, y2, z2)，有| AB |=√(x2-x1)^2+ (y2-y1)^2+ (z2-z1)^2。
–举例：设点A(1, 2, 3)和点B(4, 5, 6)，计算| AB |的值。
–解答：根据公式3，计算得到| AB |=√(4-1)^2+ (5-
2)^2+ (6-3)^2=√27≈。
3. 结论
•绝对值的几何意义公式包括数轴上的绝对值公式、平面直角坐标系中的绝对值公式和三维空间中的绝对值公式。
这些公式用于计
算点之间的距离，并在几何学中具有重要的应用价值。
绝对值几何意义及动点问题
绝对值几何意义及动点问题
在数学中，绝对值有一个几何意义。
绝对值表示一个数距离原点的距离，既可以是正数，也可以是零。
在数轴上，绝对值表示一个点到原点的距离。
如果一个数的绝对值为3，则表示它在数轴上距离原点为3的位置。
绝对值也可以用来解决动点问题。
在动点问题中，通常涉及到一个或多个变化的变量，而我们需要找到满足特定条件的变量的取值。
利用绝对值可以将这些条件转化为等式或不等式，从而解决问题。
例如，假设有一个点P(x,y)，我们希望找到离原点(0,0)的距离为5的点。
可以将这个条件表达为|x|+|y|=5。
这个等式代表了所有满足条件的点的集合。
我们可以将这个等式进一步简化为两个不等式|x|≤5和|y|≤5，来确定满足条件的点的位置。
另一个例子是求两个点之间的距离。
假设有两个点A(x1,y1)和B(x2,y2)，我们希望找到它们之间的距离。
可以使用绝对值表达式来表示：d=√((x2-x1)²+(y2-y1)²)。
这个公式将两个点的坐标差的平方和开方，得到它们之间的距离。
综上所述，绝对值在几何中具有重要的意义，并且可以应用于解决动点问题。
绝对值的几何意义
绝对值的几何意义绝对值是指一个数在数轴上所对应点到原点的距离叫做这个数的绝对值，绝对值用“ | |”来表示。
|b-a|或|a-b|表示数轴上表示a的点和表示b的点的距离。
下面是店铺给大家整理的绝对值的几何意义，希望对大家有所帮助!绝对值的几何意义绝对值的几何意义是表示数轴上一点到另外一点的距离,|x|表示的才是数轴上x到原点的距离.比如|a+b|就是a、b之和的绝对值.也就是a+b的结果,如果是负数的话,就不要绝对值后到原点的距离.而|a|+|b|就是他们的绝对值相加,他们的值一定会大于等于0的.例：|X+3|=5,那在数轴上就是到-3的距离为5，那就是2或-8。
绝对值的应用举例正数的绝对值是它本身。
负数的'绝对值是它的相反数。
0的绝对值还是0。
特殊的零的绝对值既是他的本身又是他的相反数，写作|0|=0。
任何有理数的绝对值都是非负数，也就是说任何有理数的绝对值都≥0。
任何纯虚数的绝对值是就是虚部的绝对值(如：|2i|=2;|-ei|=e)。
0的绝对值还是0。
|3|=3 =|-3|当a≥0时，|a|=a当a<0时，|a|=-a这是|a|=a吧存在|a-b|=|b-a|两个负数比较大小，绝对值大的反而小比如:若 |2(x—1)—3|+|2(y—4)|=0，则x=___,y=____。
(| | 是绝对值)。
答案:2(X-1)-3=0 ，且2Y-8=0解得X=5/2 ，且Y=4 。
一对相反数的绝对值相等：例+2的绝对值等于-2的绝对值(因为在数轴上他们离原点的单位长度相等)绝对值的有关性质无论是绝对值的代数意义还是几何意义，都揭示了绝对值的以下有关性质：(1)任何有理数的绝对值都是大于或等于0的数，这是绝对值的非负性。
(2)绝对值等于0的数只有一个，就是0。
(3)绝对值等于同一个正数的数有两种，这两个数互为相反数或相等。
(4)互为相反数的两个数的绝对值相等。
(5)正数的绝对值是它本身。
(6)负数的绝对值是它的相反数。
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绝对值：
几何定义：数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值。
（在数轴上表示数a的点与原点的距离一定是非负数）
代数定义：|a|={a>0 a=a
{a<0 a=-a
{a=o a=0
相反数：
在数轴两端，单位距离一样的，即除零外仅有符号不同的两数叫做互为相反数。
其特征是：两数相加得0，两数绝对值相等，两数相乘得正数个负数即：-a^2=-(aa)。
互为相反数的两个数的绝对值相等。
或者，值相等符号不同的两个数也叫做互为相反数。
特例：0的相反数是0.
相反数也表示两个相反的量。
一般地，a和-a互为相反数，特别的，0的相反数仍得0。
相反数就是正数和负数的“相反” —1的相反数也就是1。
互为相反数的表示方法有如下规律：
1.a的相反数是-a
2.a-b的相反数是b-a
3.a+b的相反数是-a-b。