思修说课教案爱国主义

2 0 16 2 0 17 学年度第

教学过程设计备注

一、导入新课

1. 提问数学分析中聚点、孤立点、边界点、有（无）界集概念•

2. 回忆上节提到的线段、直线等，它们都是复平面的点集，后续课中讲到解析函数，其定义域、值域均为复平面上某点集•

二、讲授新课

（一）平面点集基本概念

1•点集的基本概念

（1）Zo的P-邻域,Z o的去心邻域

（2）聚点、内点、孤立点、外点、边界点、边界

（3）闭集、开集；有界集、无界集

⑷区域、闭域

充分理解上述定义，得出以下结论：

1）内点必为聚点；2）聚点可能属于E,可能不属于E；3）孤立点必为边界点；4）有边界的不一定是有界集，无边界的必为无界集•

例1.7 （1）带形区域力clmz c y2（图1-3） ;（2）同心圆环区域r v|Z < R（图1-4）

图1-3 图1-4

2.若当曲线

图1-5非简单曲线图1-6简单曲线图1-7非简单闭曲线

图1-8简单闭曲线图1-9光滑曲线图1-10光滑闭曲线（二）复变函数

1. 定义（图1-11）

单值w = z，w = z2多值w = Argz, w = n，‘ z

图1-11

2. 代数式w =u（x, y ）+iv（x, y ），指数式w = P（r,& ）+iQ（r,。）

例1.8设有函数w = z2,试问它把z平面上的下列曲线分别变成w平面上的何

种曲线？（1）以原点为心,2为半径，在第一象限例的圆弧；⑵倾角日=一的直线；

3邻域为复数列与极限论的基础

此部分内容师生共同讨论完成

对于若当曲线，给出图形举例，省去繁琐而抽象的定义赘述

对比数学分析中函数的概念，找到异同点

解释复变函数的图象需要四维空间，不能形象描述

提示学生前两题考虑模与辐角，三题考虑代数关系，师生共同讨论完成学生总结本堂课知识，不足的教师补充

续

例1.10设lim f z 二，则f z 在z 的某去心邻域内有界. 析：要找到某一 M ,使f z _ M .由lim f z 二 知-；0, 0, - z:有

1 ■ z

f

f z - ：：：；.在此式中想解出f z < M ，需要利用绝对值不等式

f z -卜

解出 f z

例1.11设lim f z 二f z 。f z 0 -0 ,则f z 在z 。的某邻域内恒不为零.

析：即证 |f U J>0，由 lim f (z )= f (z 0 )有F 名 >0^ >0^/z:有 | f (z f (z 0 D c 名 z ― 0 想证 f (z ) >0利用绝对值不等式 |f (z )f (z )得| f (z )>| f(z 0 只需取；二f Z °即可. 此题过程由学生完成. (二)复球面与无穷远点

1. 无穷远点的引入：首节课引例 3知球面上点N 在平面上无对应点，引入无穷

远点与之对应，得到扩充复平面 C ~^C -:

\与之对应的球面为 复球面.扩充复

平面的一个几何模型就是复球面.

2. 00的邻域:日〉1;处的去心邻域：丄c|z| £邑

P 名：>0,萊 >0,p z: Ov|z —Zo |v6 有 |u (x ，y )—和 |v (x,y )—冲 VE 于 是 f (z )—(a +ib j =

|b(x, y )—a ] + i V(x, y )—b I

< |u(x, y a| + V (x, y b| c 2呂即 lim f (z )= a + ib

2.

连续

lim f (z )=

f (z 0 冶 * >0,萊 A O,F z: z — z 0 有| f (z )—

f (z 0 pc 名

^^0

I

例1.9证明f (z )= *

工0)在原点无极限，从而在原点不连续.

提问：；是

否可取其他 值？只要取

名兰f(Z0 D

I

都可证明 学生总结本 堂

课知识， 不

足的教师 补充

2Rezlm z

设 z = r COST i sin v ，贝U

2

…i 2r cos^sin 日 f z ---------------- 2

r

1,沿一趋近原点 \ 4

0,沿，二0趋近原点

.极限不存在，故在原点不连

f z =

2i

1 Z z z-z _ 2i zz 一

(1) f z在Z o解析=f z在Z o可微；

(2) f z在区域D解析二f z在区域D可微

2. 奇点：不解析点(无定义、不连续、不可导)

(三)柯西-黎曼方程

1. C.-R.方程的引出

假设W = f z]=u x, y iv x, y是复变函数x iy的一个定义在区域D内

的函数.当二元实函数ux,y,vx, y给定时，此函数也就完全确定.一般说来，如果函数u X, y ,v X, y相互独立，即使函数u x, y ,v x, y对x与y所有的偏导数都存在，函数fz通常仍是不可微的.例如，w = z=x-iy处处连续，并且u=x,v = -y对

x与y的一切偏导数都存在且连续，但w = z却是一个处处不可微的函数

提出想法：如果函数是可微的，它的实部u x, y与虚部v x, y应不是独立的,

而必须适合一定的条件，下面我们来探讨这种条件。

探讨：若f Z在一点x iy可微，则有

f Z Z - f z

f z呷 ------------ :z—

设.：z = x k y, f z =z - f z 二• :u i. ：v,则(2.1)变为

(2.2) 先设A y =O,A X T0，则(2.2)式变为f "(z )=直巳严十i

即

(2.3)

再设也x=0, A y T 0，则(2.2)式变为f "(z )=-i ^巳严+

(2.4)(2.1)

f z =

=x ky

f z，

ex