圆锥曲线几何性质之离心率的求法.ppt

微专题：
关于离心率的求值问题分类精析与
方法归纳点拨
策略一：根据定义式求离心率的值
b 1.直接求出 a, c ，或求出 a ，代公式
c b2 c b2 e椭圆 1 2 ，e双曲线 1 2 a a a a
求解.
例1.（2018年新课标2第5题改编） 双曲线
x 2 y 2 （a>0,b>0）的渐近线方程为 2 1 y 2 a b
20 2018卷 III 直线与椭圆位置关系、椭圆几 点差法求斜 何性质 率、长度关 系
解答题中第（1）问通常是简单性 质的应用；第（2）问则是直线与圆锥曲 线的综合应用，如定值定点问题、范围 问题、轨迹问题、探究存在性问题.尽管 题型基本趋于稳定，但又稳中求新.
题型归类及评析 纵观 2015-2018年高考全国卷，从整 体结构来看变化不大；从知识的角度去 分析，既突出了以教材为核心，又突出 本质特征且与其它领域的知识交叉甚广 ；从思想方法上看，考查了学生分类讨 论、数形结合等多种思想方法.
2x
，则离心率为________
答案：
3
练习：若 m 是 2 和 8 的等比中项，则圆锥
2 y 2 x 曲线 1 的离心率是 m
.
3 答案： 5或 2
策略二：构造
a, c 的关系式求离心率
根据题设条件，借助 a , b, c 之间的关系，沟通
a、c 的关系（特别是齐次式），进而得到关于 e
表3
2015-2018年圆锥曲线模块的解答题考查情况
主要知识点 题眼分析
题型 题 年份/考卷 号 20 2015 卷 I 20 2015 卷 II 解 答 题 20 2016 卷 I
直线与抛物线位置关系、抛物 切线方程、 线的切线 存在性 椭圆的方程、性质、直线与圆 定值、探究 的位置关系 性 直线与椭圆、轨迹方程 轨迹、面积 范围
（C） 2 1
（D） 3 1
2.借助圆锥曲线的定义构造a,c的关系求解
x2 y 2 例 4： F1 和 F2 分别是双曲线 2 2 1 的两个焦点， a b
A 和 B 是以 O 为圆心，以 OF1 为半径的圆与该双曲 线左支的两个交点，且 F1 AB 是等边三角形，则双 曲线的离心率是 ；
14（椭） 20（抛） --20（椭）
2015 全国卷 II 11（双） 5（双） 全国卷 I --20（椭） 3 22 150 14.67%
10（抛） 2016
全国卷 II 11（双） 全国卷 III 11（椭） ----20（椭） 20（抛） 2 2 17 17 150 150 11.33% 11.33%
F1F2 P 120 的直线上， PF1F2 为等腰三角形，
1 3
,则C的离心率为（ D ）
A.
1 B. 2
C.
1 D. 4
练4、（2018年新课标3第11题） 已知
F1 , F2
x y 是双曲线E： 2 2 1 的左，右焦 a b
2
2
点，O是坐标原点.过F2作C的一条渐近线的垂线,垂 足为P,若 PF1 6 OP ,则C的离心率为( C )
（ A） 5
（ B） 2
（ C） 3
（ D） 2
4.构造辅助圆(几何法）判断离心率取值范围
F2 是椭圆的两个焦点， 例 5： 已知 F1 、 满足 MF1 MF2 0
的点 M 总在椭圆内部，则椭圆 C 离心率 e 的取值范围 为 ；
2 (0, ) 答案： 2
练 习 ： 已 知 M 是 以 F1 、 F2 为 焦 点 的 椭 圆
题型 题号 年份/考卷 8 11 选 择 题 5 2018 卷 I 2018 卷 I 2018卷 II
12
2018卷 II
椭圆几何性质焦三角形
离心率
11 2018卷 III
双曲线几何性质渐近线
离心率
表2
2015-2018年圆锥曲线模块的选、填考查情况
主要知识点 题眼分析
年份/考 题型 题号 卷 14
填 空 15 题
2015 卷 I
椭圆的顶点、圆的方程
圆的 标准方程
双曲线性质、点到直线的距离 2017 卷 I 公式、圆的性质
离心率
16
2017 卷 抛物线方程、性质、直线与抛 II 物线位置关系 2018卷 III
距离
16
抛物线方程、性质、直线与抛 物线位置关系 直线斜率
选择、填空中考查频率最高的是离 心率，其次是标准方程、范围距离、最 值，考查的知识点是几何性质的应用（ 包括定义、标准方程、焦点、焦点弦、 渐进线等）.
为A，以A为圆心，b为半径做圆A，圆A与双曲线C 的一条渐近线交于M、N两点.若∠MAN=60°，则C 的离心率为________
答案：2 3 3
练3、（2018年新课标2第12题） 已知
3 6
2 3
x2 y 2 F1 , F2 是椭圆 C : 2 2 1 （a>0，b>0） a b
的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率 为
）的左、右顶点
分别为 A1, A2 ,且以线段 A1 A2 为直径的圆与直线
bx ay 2ab 0 相切，则椭圆的离心率为（ A ） 6 3 1 2 A．3 B．3 C． D． 3 3
练2、（2017年新课标1第15题）
x2 y2 已知双曲线C： 2 2 1（a>0，b>0）的右顶点 a b
20 2017卷 III 直线与抛物线位置关系、直线 直线、圆方 与圆的方程 程
表3
2015-2018年圆锥曲线模块的解答题考查情况
题型 题 年份/考卷 主要知识点 题眼分析 号 19 2018 卷 I 椭圆性质、直线与椭圆位置关 直线方程、 系 直线斜率 19 2018卷 II 解 答 题 抛物线焦点弦、圆的切线 直线方程、 圆的方程
曲线C上存在点P，使线段PF的中点恰为其虚轴的
一个端点，则曲线的离心率是________
答案：
5
例3：（2014年新课标2第20题第（1）问） 设
2 y2 x F1 , F2 分别是椭圆C: 2 2 1 a b 0 的左,右焦 a b
点，M是C上一点且 MF2 与x轴垂直，若直线 MF1的
20 2016卷 II
椭圆的性质、直线与椭圆的位 面积、范围 置关系
表3
2015-2018年圆锥曲线模块的解答题考查情况
题型 题 年份/考卷 主要知识点 题眼分析 号 20 2016卷 III 抛物线方程、性质、直线与抛 面积、轨迹 物线位置关系 20 2017 卷 I 解 答 题 20 2017卷 II 椭圆性质、直线与椭圆位置关 定点 系 椭圆、轨迹方程的求法、平面 轨迹方程 向量坐标运算
从题数与所占比重来看，几乎是两 小一大，各种曲线都会涉及到；出现只 有两道的年份，这样的差别是增加了直 线与方程、圆与方程等知识的题，使其 平面解析几何在整个高考卷中的比重趋 于稳定.
从题型与内容上看，椭圆在整个圆 锥曲线模块占的比重最大，年年都考； 双曲线、抛物线考查频率相差无几. 可见，新课标对椭圆的考查大于抛物线 与双曲线，尤其是双曲线的考查要求显 著降低，这一现象正符合新课标的要求.
3 斜率为 则C的离心率为________ 4
1 答案： 2
x2 y 2 练习：椭圆 C : 2 2 1 a b 0 的半焦距为 c ， a b
若直线 y 2 x 与椭圆 C 的一个交点横坐标恰为c ， 则椭圆 C 的离心率是（ C ）
2 2 （A） 2 2 2 1 （B） 2
圆锥曲线内容梳理 与常见问题类型解答
宁夏银川一中 张德萍
圆锥曲线是高中数学的重、难点， 是每年高考的主干考点，它包含的内容 丰富、题型多样.
表1 2015-2018年高考全国卷对圆锥曲线的总体考查情况
题型（题号/内容） 题 合计 试卷 所占
年份
考卷
选择题 全国卷 I 5（双） 填空题 解答题 数 3 2 分值 22 17 总分 150 150 比重 14.67% 11.33%
双曲线性质、圆的方程、直线与圆 2017 卷 II 的位置关系 离心率
双曲线方程、渐近线、椭圆的几何 2017 卷 III 性质 标准方程
5
10 2017 卷 III 椭圆的性质、直线与圆的位置关系 离心率
表2
2015-2018年圆锥曲线模块的选、填考查情况
主要知识点 抛物线几何性质焦点 双曲线几何性质渐近线 双曲线几何性质离心率 题眼分析 向量数量积 长度计算 渐近线
题型（题号/内容）
题
合计
试卷
所占
年份
考卷
选择题
全国卷 I 全国卷 II 2017
填空题
解答题
数
3 3
分值
22 22
总分
150 150
比重
14.67% 14.67%
10（抛） 15（双） 20（椭） 9（双） 16（抛） 20（椭）
全国卷 5（双、椭） III 10（椭）
全国卷 I 8（抛）
Hale Waihona Puke Baidu
---
20（抛） 19（椭）
在一点 P ，使 F1PF2 90 ，则该椭圆的离心率 e 的取 值范围为 ；
2 答案：[ 2 ,1)
复习开心 备考快乐
x2 y 2 C : 2 2 1 a b 0 上一点，若 F1MF2 为钝角， a b
则椭圆 C 离心率 e 的取值范围为
.
2 答案：( 2 ,1)
5.利用曲线中变量的范围求离心率的范围
x2 y 2 例 6：以 F1 、 F2 为焦点椭圆 C : 2 2 1 a b 0 上存 a b
3 3
22 22
150 150
14.67% 14.67%
11（双） 5（双） 全国卷 II 12（椭） 2018 全国卷 11（双） III
----19（抛） 16（抛 ） 20（椭） 3 22 150 14.67%
3
22
150
14.67%
由上表数据可看出：近四年高考中 圆锥曲线模块出现的题目呈现稳定的趋 势，分值在22分左右，几乎每年试题中 出现选填位置（双、抛）相对靠后、第 20(19)题都是直线与椭圆曲线的综合题 目，难度系数相对而言比较高，因此称 其为压轴题.
的一元方程，从而解方程得出离心率.
1.代点法（点在曲线上）构造关于a、c关系求解 例2、（2015年新课标2第11题）
已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上， ∆ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心 率为（ D ） （ A） 5 （ B） 2 （ C） 3 （ D） 2
x2 y2 练习、设F是双曲线C: a 2 b 2 1的一个焦点，若
例4、（2017年新课标2第9题）
若双曲线
x2 y2 2 1（a>0，b>0）的一条渐近 2 a b
线被圆 x 2 2 y 2 4 所截得的弦长为2，则的离心 率为（ A ） A． 2 B． 3 C． 2 D．2 3
3
练1、（2017年新课标3第10题）
x2 y 2 已知椭圆 C : a2 b2 1（ a b 0
双曲线的标准方程、几何性质 11 2016 卷 II 、三角函数 11 2016 卷 III 椭圆的几何性质、三点共线
离心率
离心率
表2
2015-2018年圆锥曲线模块的选、填考查情况
主要知识点 题眼分析 最值
题型 题号 年份/考卷 10 选 择 题 9
2017 卷 I 抛物线定义、焦点弦、基本不等式
表2
2015-2018年圆锥曲线模块的选、填考查情况
主要知识点 题眼分析
题型 题号 年份/考卷
5
2015 卷 I
向量数量积、双曲线性质
双曲线标准方程、几何性质
取值范围
离心率
11 2015 卷 II
选
择 题 5 10 双曲线几何性质、一元二次不 2016 卷 I 等式 2016 卷 I 抛物线及圆的几何性质 取值范围 距离
答案： 1
3
练习、（2016年新课标2第11题） 已知
F1 , F2
1 sin MF2 F1 点，点M在E上，MF1与x轴垂直， 3
x y 是双曲线E： 2 2 1 的左，右焦 a b
2
2
,则 E
的离心率为（ A ） （ A） 2
3 （ B） 2
（ C） 3
（ D） 2
3.题目已知等量关系建立a,c齐次式方程来求解