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近世代数期末考试试卷及答案

1、设 G 有 6 个元素的循环群， a 是生成元，则G的子集（）是子群.

A、 a

B、a, e

C、e, a3

D、e, a,a 3

2、下面的代数系统（ G，* ）中，（）不是群

A、G为整数集合， * 为加法 B 、G为偶数集合， * 为加法

C、G为有理数集合， * 为加法 D 、G为有理数集合， * 为乘法

3、在自然数集 N 上，下列哪种运算是可结合的？（）

A、a*b=a-b

B、 a*b=max{a,b} C 、 a*b=a+2b D 、a*b=|a-b|

4、设 1 、 2 、3 是三个置换，其中 1 =（12）（23）（13）， 2 =（24）（14），3 =

（ 1324），则3 =（）

A、 2 B 、1 2C 、 2 D 、 2 1

1 2

5、任意一个具有 2 个或以上元的半群，它（）.

A、不可能是群

B、不一定是群

C、一定是群

D、是交换群

二、填空题 ( 本大题共 10 小题，每空 3 分，共 30 分) 请在每小题的空格中填上正确答案. 错填、不填均无分 .

1、凯莱定理说：任一个子群都同一个 ---------- 同构 .

2、一个有单位元的无零因子 ----- 称为整环 .

3、已知群G

中的元素

a

的阶等于 50，则

a

4 的阶等于 ------.

4、a 的阶若是一个有限整数n，那么 G与------- 同构 .

5、A={1.2.3} B={2.5.6} 那么 A∩B=-----.

6、若映射既是单射又是满射，则称为----------------- .

7、叫做域F

的一个代数元，如果存在 F 的a

0 , a1 ,

, a n使得

a

a

1 a n

n

0 .

8、a

是代数系统

( A,0)

的元素，对任何x A 均成立x a

x

，则称

a

为 --------- .

9、有限群的另一定义：一个有乘法的有限非空集合G 作成一个群，如果满足G对于乘法封

闭；结合律成立、 ---------.

10、一个环 R 对于加法来作成一个循环群，则P 是----------.

三、解答题（本大题共 3 小题，每小题 10 分，共 30 分）

1、设集合 A={1,2,3}G 是 A 上的置换群， H 是 G的子群， H={I,(1 2)}，写出H的所有陪集.

2、设 E 是所有偶数做成的集合，“?”是数的乘法，则“?”是 E 中的运算，（ E，?）是一个代数系统，问（ E，?）是不是群，为什么？

3、a=493, b=391,求(a,b), [a,b]和p, q.

四、证明题（本大题共 2 小题，第 1 题 10 分，第 2 小题 15 分，共 25 分）

1、若 是群，则对于任意的a、 b∈ G，必有惟一的 x∈ G使得 a*x ＝ b.

2、设 m是一个正整数，利用m定义整数集 Z 上的二元关系： a? b 当且仅当 m︱ a– b.

近世代数模拟试题三

一、单项选择题 ( 本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分) 在每小题列出的四个备选项中只

有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内. 错选、多选或未选均无分.

1、6 阶有限群的任何子群一定不是（）.

A、2阶

B、3 阶

C、4阶

D、6阶

2、设 G是群， G有（）个元素，则不能肯定G是交换群 .

A、4个

B、5个

C、6个

D、7个

3、有限布尔代数的元素的个数一定等于（）.

A、偶数

B、奇数

C、4的倍数

D、2的正整数次幂

4、下列哪个偏序集构成有界格（）

A、（N,）

B、（Z,）

C、（ {2,3,4,6,12},|（整除关系））

D、 (P(A),)

5、设 S3＝ {(1) ， (12) ， (13) ， (23) ，(123) ，(132)} ，那么，在 S3 中可以与 (123) 交换的所有元素有（）

A、(1) ， (123) ，(132) B 、 12) ，(13) ，(23)

C、(1) ， (123) D 、 S3 中的所有元素

二、填空题 ( 本大题共 10 小题，每空 3 分，共 30 分) 请在每小题的空格中填上正确答案. 错填、不填均无分 .

1、群的单位元是 -------- 的，每个元素的逆元素是 -------- 的 .

2、如果f

是 A 与A间的一一映射，

a

是 A 的一个元，则

f

1

f a

---------- .

3、区间 [1 ， 2] 上的运算a

b

{min a,b}

的单位元是 -------.

4、可换群 G中|a|=6,|x|=8, 则|ax|= —————————— .

5、环 Z8的零因子有 ----------------------- .

6、一个子群 H 的右、左陪集的个数 ---------- .

7、从同构的观点，每个群只能同构于他/ 它自己的 --------- .

8、无零因子环 R 中所有非零元的共同的加法阶数称为R的----------- .

9、设群G

中元素

a

的阶为

m

，如果

a

n

e

，那么

m

与

n

存在整除关系为 -------- .

三、解答题（本大题共 3 小题，每小题10 分，共 30 分）

1、用 2 种颜色的珠子做成有 5 颗珠子项链，问可做出多少种不同的项链？

2、S1， S2是 A的子环，则 S1∩ S2也是子环 .S 1 +S2也是子环吗？

3、设有置换(1345)(1245) ，(234)(456) S6.

1．求和1

；

2．确定置换

1

的奇偶性 . 和

四、证明题（本大题共 2 小题，第 1 题 10 分，第 2 小题 15 分，共 25 分）

1、一个除环 R 只有两个理想就是零理想和单位理想.

2、M为含幺半群，证明b=a-1的充分必要条件是aba=a 和 ab2a=e.