5.1 线性方程组基本概念和一些理论

1. 1 线性方程组形式
� � � � ⎛ x1 ⎞ dX ⎟ 矩阵形式： = A(t) X + F(t), X = ⎜ ⎜ ⎟ x dt ⎝ 2⎠
⎛ cos 2 t sin(t)cos( t)− 1⎞ � ⎛0⎞ ⎟,F(t) = ⎜ 例 11 A(t) = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 2 ⎜ 1 + sin(t) cos(t) ⎟ 0 sin t ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
3.3 齐次线性方程组通解定理
� � � T 写出矩阵形式： X(t) = Φ(t) C, C =(C 1, , C ) ⋯ m � � � Φ(t) =(x1(t),x 2(t),⋯ ,x n(t))T ,称之为基解矩阵
3.4 验证基解矩阵（作业P216习题1）
问题： 如何求齐次线性方程组 的基解矩阵？
3.5 非齐次线性微分方程组通Biblioteka Baidu理论
4.1 非齐次线性微分方程组特解-常数 变易公式
4.2 非齐次线性微分方程组特解-常数 变易公式例子（讲义：作业65）
5.1 齐次线性微分方程的刘维尔公式
5.2 运用刘维尔公式求另一线性无关 解函数（讲义：作业66）
0 ⎛ ⎞ � lnt ⎟ F(t) = ⎜ ⎜ − 36 3 ⎟ t ⎠ ⎝
2. 解的存在唯一性定理（P194定理1）
(3) 教材 P121 定理1
3.1 齐次线性方程组解空间为线性空间
3.2 向量函数线性相关、线性无关概念
3.2 向量函数线性无关-Wronsky方法
3.2齐次线性方程组解函数线性无关判 定-Wronsky方法
⎧ x1'= x 2 ⎪ ⎨x '= − 4 x + 6 x − 36 lnt 2 2 2 1 3 ⎪ t t t ⎩ � � � ⎛α⎞ dX 或 ⎟ = AX + F(t), X(1) = ⎜ ⎜ ⎟ β dt ⎝ ⎠ 1 ⎞ ⎛ 0 A(t) = ⎜ ⎜ − 4/t 6/t 2 ⎟ ⎟, ⎝ ⎠
第一节 线性方程组一些理论
Yuhai Wu
yuhaiwu@ujs.edu.cn
Faculty of Science, Jiangsu University
简介
1. 线性方程组形式与高阶线性方程关系 2. 线性方程组解的存在唯一性定理 3. 线性方程组通解理论 -常数变易公式 4. 特解求解 特解求解5. 刘维尔公式及其运用
1.2 向量函数和矩阵函数概念
1. 向量函数和矩阵函数连 续、可微、可积： 参见教材P187 和 P188
2. 向量函数和矩阵函数运 算律： 参见教材 P188
1.3 高阶线性方程和线性方程组 ( 作业：P201习题2-(1)(2) )
Let x1 = x, x 2 = x'
初始条件：x(1) =α, x' (1) =β
例子：参见教材P21 8 习题11 和 习题12
� ⎛ 1/t − 1 ⎞ ⎛ t ⎞ 例 12 A(t) = ⎜ ⎜ 1/t 2 2/t ⎟ ⎟, F(t) = ⎜ ⎜ − t2 ⎟ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 两个概念：称像例11 中 线性方程组为齐次线性 方程组 称像例12中线性方程 组为非齐次线性方程。