《线性代数学习提纲及知识点》

《线性代数学习提纲及知识点》

第一章 行列式 本章学习提纲：

一、二阶、三阶行列式的计算及n 阶行列式的计算公式。 二、行列式的性质及应用 三、克莱姆法则。

本章重点：三阶行列式的计算。

本章难点：应用行列式的性质计算行列式 知识点：

一、1、二阶行列式 用记号

2221

1211a a a a 表示代数和21122211a a a a -，称为二阶行列式。

即

22

21

1211a a a a =21122211a a a a -

例1计算二阶行列式

()1331252

31

5=⨯--⨯=- 例2计算二阶行列式 b a ab b

a

b

a

2222

-=

2、三阶行列式 计算公式如下

33

323123222113

1211a a a a a a a a a =312213332112322311322113312312332211a a a a a a a a a a a a a a a a a a ---++

例3计算三阶行列式

()()5848106

421051030431526016015043

21-=--=⨯⨯-⨯⨯--⨯⨯-⨯⨯+-⨯⨯+⨯⨯=-

例4、计算三阶行列式

()()700001251

401301050001431511

4

0053101-=---+-=⨯⨯-⨯⨯--⨯⨯-⨯⨯+-⨯⨯+⨯⨯=-

3、n 阶行列式的定义：用2n 个元素()n j i a ij ,,2,1, =组成的记号

nn

n n n

n

a a a a a a a a a

212222111211称为n 阶行列式，其中横排成为行，纵排称为列。ij a 称

为第i 行第j 列的元素，n 阶行列式表示所有可能取自不同的行，不同的列的n 个元素乘积的代数和。一般项可以表示为()

()

n n nj j j j j j N a a a 2121211-

二、行列式的性质

将行列式D 的行与列互换后得到的行列式，称为D 的转置行列式。记为

T

D 即nn

n n

n n T

nn

n n n n a a a a a a a a a D a a a a a a a a a D

212

2212

1211121

22221

11211

=

=

则

性质1、将行列式转置，行列式的值不变。

性质2、交换行列式的两行（列），行列式的值变号。

推论 如果行列式中有两行（列）的对应元素相同，则此行列式的值为零。 性质3、用数k 乘行列式的某一行（列），等于以数k 乘此行列式。

推论1、如果行列式某行（列）的所有元素有公因子，则公因子可以提到 行列式外面。

推论2、如果行列式有两行（列）的对应元素成比例，则行列式的值等于零。

性质4、如果将行列式中的某一行（列）的所有元素都乘以数k 后加于另 一行（列）对应位置的元素上，行列式的值不变。

三、克莱姆法则（以三元方程组为例）

设三元线性方程组 ⎪⎩⎪

⎨⎧=++=++=++b

x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 3332

3213123232221211313212111

当D ≠0时，其解为()3,2,1==

j D

D x j j 其中333231

232221

131211a a a a a a a a a D = 3332

3

23222

13

121

1a a b a a b a a b D = 333312322113

1

11

2a b a a b a a b a D = 3

32

31222

21112

11

3b a a b a a b a a D = 若方程组中的常数()3,2,1=i b i 均为零时，方程组称为齐次线性方程组。 当齐次线性方程组的系数行列式不等于零时，方程组仅有唯一的零解。

例1、用克莱姆法则解方程组⎩⎨⎧=+=+2

731

52y x y x

解：115147352-=-==D ，310772511-=-==D ，134231

22=-==D

所以 3131=--==D D x ， 11

1

2-=-==D D y

例2、用克莱姆法则解方程组⎪⎩⎪

⎨⎧=+-=+--=-+4452227253

2z y x z y x z y x

解：计算行列式 634

5

27252

11=---=D

63454

72222131=----=D 12644272252312=--=D 1894

5222253

113=---=D

163631===

D D x 263

126

2===D D y 3631893===D D z

例3、解线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+-+--=++=+-=-+-4

221234422243213214

314321x x x x x x x x x x x x x x

解：计算行列式

022********

1022111≠-=-----=D 22

12401214

10421121-=------=

D

421410113414221212=------=D 024*******

40222113=-----=D

1412111234

10221114-=------=D

所以111==

D D x ， 222-==D D x ， 033==D D x ， 2

1

44==D D x

第二章 矩 阵 本章学习提纲：

一、矩阵的概念及运算、几种特殊矩阵、逆矩阵。 二、矩阵的初等变换及矩阵的秩。

本章重点：矩阵的概念及矩阵的初等变换。 本章难点：逆矩阵的求法。 知识点：

一、矩阵的定义：

()n j m i a n m ij ,2,1;,2,1==⨯个数由按一定次序排成的一个m 行n 列的矩形表，称为一个m 行n 列的矩阵，简称n m ⨯矩阵，