三重积分的概念及直角坐标系下的计算教学内容

截面法的一般步骤：
(1)把积分区域向某轴（例如z 轴）投影，得投
影区间[c1,c2]；
(2) 对z[c1,c2]用过z轴且平行xoy平面的平面去 截，得截面Dz;
(3)计算二重积分 f (x, y, z)dxdy z
Dz
其结果为z 的函数F(z)；
(4)最后计算单积分 c2 F(z)dz即得三重积分值. c1
其中dv叫做体积元. 素
在直角坐标系用 中平 ，行 如于 果坐标
的平面来,划则 分 vi xj yk zl.
三 重 积 记 为
n
f(x,y,z)dxdyl id 0m i1 zf(i,i,i)vi.
其中 dxdy叫 dz做直角坐标系 积中 元的 .素体
二、在直角坐标系下计算三重积分
直角坐标系中将三重积分化为三次积分．
F (x,y)z2(x,y)f(x,y,z)dz z1(x,y)
计算 F(x,y)在闭区 D上间 的二重积分
F (x ,y )d[z2 (x ,y )f(x ,y ,z)d]d z.
D
Dz 1 (x ,y )
D : y 1 ( x ) y y 2 ( x ) a , x b ,得
f (x, y,z)dv
例1 化三重积分If(x,y,z)dxd为 y三 dz
次积分，其 中积分区 域 为由曲面zx22y2 及z2x2所围成的 闭区域.
解 由zzx222x2y2,
得 交 线 投 影 区 域
x2y21,
1 x1
故： 1 x2 y 1 x2,
x2 2y2 z 2 x2
1
1 x 2
2 x 2
Idx dy f(x ,y,z)d.z 1 1 x 2 x 2 2y2
b dx y2(x)dz y 2(x,y)f(x ,y,z)d.z a y1(x) z1(x,y)
注意 这是平z行 轴于 且穿过 闭 内区 部域 的 直线与闭 的 区边 域界S曲 相面 交不多 于两点情形．
在 类 似 的 条 件 下 ，将还积可分 域 投 影 到 其
坐 标 面 上 ， 分 别 得应到的相计 算 公 式 ， 例
由椭球面 x2 a2
y2 b2
z2 c2
1所成的空间闭区域.
解 : {(x,y,z)|czc, ax22by221cz22}
z
Dz
o
y
原式 cz2dz dxdy, c
x
Dz
D z{x (,y)|a x2 2b y2 21c z2 2}
D zdxd ya2(1c z2 2) b2(1c z2 2)
原 式
1x2d
1
xdz
ydy
1x2z2
Dxz
1
1x2
dx
1x2x2z2dz
1 1x2
2
111x2(x2zz3 3)|1 1 x2 x2dx
11(1x22x4)dx 28 .
13
45
三、小结
三重积分的定义和计算
（计算时将三重积分化为三次积分） 在直角坐标系下的体积元素
dvdxdydz
如图，闭区域 在 xoy z
zz2(x,y)
面上的投影为闭区D域,
z2 S2
S1: zz1(x,y), S2 : zz2(x,y),
z1 S1
zz1(x,y)
过(点 x,y)D作直 , 线 ao 从z1穿入z， 2穿从 出 xb ．
D
(x, y) yy1(x)
y
yy2(x)
先x将 ,y看作定 f(x,值 y,z)只 ， 看 z的 将 作 函数，则
作乘积 f ( i , i , i ) vi ，( i 1,2, , n ) ，并作和,
如果当各小闭区域的直径中的最大值 趋近 于零
时，这和式的极限存在，则称此极限为函数
f ( x, y, z)在闭区域 上的三重积分，记为
f ( x , y, z )dv ,
n
即 f(x ,y ,z ) d l v 0 ii 1 m f(i,i,i) v i.
例2 化三重积分 I f ( x, y, z)dxdydz为三
次积分，其中 积分区域
为由曲面z x2 y2, y x2, y 1, z 0所围
成的空间闭区域. 如图，
解 :0zx2y2,
x2y1, 1x1.
1 1 x 2 y 2
I 1 d x 2 d x 0yf( x ,y ,z ) d . z
3.4 三重积分的概念及直角坐 标系下的计算
一、三重积分的概念 二、在直角坐标系下计算三重积分
三、小结
一、三重积分的概念
设 f ( x, y, z)是空间有界闭区域 上的有界 函数，将闭区域 任意分成n 个小闭区域 v1 ，
v2 , , v n ，其中 v i 表示第i 个小闭区域，也 表示它的体积, 在每个vi 上任取一点( i , i , i )
ab(1cz22),
原式
ccab(1cz22)z2dz
4 abc3. 15
例 5 计算三重积分 y 1 x2dxdydz，其中
由曲面 y 1 x2 z2 ， x2 z2 1， y 1所
围成.
解 如图, 将
投影到 zox平面得
Dx： z x2z21
先对 y积分，再求 D xz
上二重积分,
将 积 分 域 Ω 投 影z到平y面 o ， 可 以 得 到积三
分的计算公式
f(x ,y ,z)d vddy 2 z (z)dx 2 y (y ,z)f(x ,y ,z)d.x
c y 1 (z) x 1 (y ,z)
将积分域Ω投影 z平到面xo，可以得到
f(x ,y ,z)d vfdz2 x (x )dy 2 z (x ,z)f(x ,y ,z)d. e z1 (x ) y 1 (x ,z)
例 3 计算三重积分 zdxdydz ，其中 为三个
坐标面及平面 x y z 1所围成的闭区域.
1
解
zdxdydz 0 zdzdxdy,
z
1
Dz
D z {x ,( y ) |x y 1 z }
1
o
Dzdxdy2(1z)(1z)
1
x百度文库
原 式 1z1(1z)2d z1.
02
24
y
1
例 4 计算三重积分 z2dxdydz，其中 是