空间向量练习题
空间向量部分基础练习题
16一、选择题1.下列说法中不正确的是( )A. 平面α的法向量垂直于与平面α共面的所有向量B. 一个平面的所有法向量互相平行C. 如果两个平面的法向量垂直，那么这两个平面也垂直D. 如果a 、b 与平面α共面且n ⊥a ，n ⊥b ，那么n 就是平面α的一个法向量2.已知a ＝(cos α，1，sin α)，b ＝(sin α，1，cos α)，则向量a ＋b 与a －b 的夹角是( )A. 90°B. 60°C. 30°D. 0° 3.已知A 、B 、C 三点的坐标分别为A (4,1,3)，B (2，－5,1)，C (3,7，λ)，若AB⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则λ等于( ) A. 28 B. －28 C. 14 D. －144.若向量{a ，b ，c }是空间的一个基底，则一定可以与向量p ＝2a ＋b ，q ＝2a －b 构成空间的另一个基底的向量是( )A. aB. bC. cD. a ＋b5.若直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为n ，则能使l ∥α的是( )A. a ＝(1,0,0)，n ＝(－2,0,0)B. a ＝(1,3,5)，n ＝(1,0,1)C. a ＝(0,2,1)，n ＝(－1,0，－1)D. a ＝(1，－1,3)，n ＝(0,3,1)6.已知a ，b 是两异面直线，A ，B ∈a ，C ，D ∈b ，AC ⊥b ，BD ⊥b 且AB ＝2，CD ＝1，则直线a ，b 所成的角为( )A. 30°B. 60°C. 90°D. 45° 7.已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，若点F 是侧面CD 1的中心，且AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD⃗⃗⃗⃗⃗ +mAB ⃗⃗⃗⃗⃗ −nAA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 则m ，n 的值分别为( ) A.11,22- B. 11,22-- C. 11,22- D. 11,228.已知A (－1,1,2)，B (1,0，－1)，设D 在直线AB 上，且AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =2DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，设C (λ，13＋λ，1＋λ)，若CD ⊥AB ，则λ的值为( )A. 116B. －116C. 12D. 13 9.如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝2，AA 1＝√2，E 、F 分别是面A 1B 1C 1D 1、面BCC 1B 1的中心，则E 、F 两点间的距离为( )A. 1B. √52C. √62D. 32 10.如图，在空间直角坐标系中有长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1，AB ＝1，BC ＝2，AA 1＝3，则点B 到直线A 1C 的距离为( )A. 27B. 2√357C. √357D. 111.如图所示，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AD ＝AA 1＝1，AB ＝2，点E是棱AB 的中点，则点E 到平面ACD 1的距离为( )A. 12B. √22C. 13D. 16 12.如图所示，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是正方形ADD 1A 1和ABCD 的中心，G 是CC1的中点，设GF ，C 1E 与AB 所成的角分别为α，β，则α＋β等于( )A. 120°B. 60°C. 75°D. 90°二、填空题13.已知A (1,2,0)，B (0,1，－1)，P 是x 轴上的动点，当AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BP⃗⃗⃗⃗⃗ 取最小值时，点P 的坐标为__________．14.已知正四棱台ABCD －A 1B 1C 1D 1中，上底面A 1B 1C 1D 1边长为1，下底面ABCD 边长为2，侧棱与底面所成的角为60°，则异面直线AD 1与B 1C 所成角的余弦值为__________．15.三棱锥P －ABC 中，PA ＝PB ＝PC ＝AB ＝AC ＝1，∠BAC ＝90°，则直线PA 与底面ABC 所成角的大小为________________．16.已知矩形ABCD 中，AB ＝1，BC ＝，将矩形ABCD 沿对角线AC 折起，使平面ABC 与平面ACD 垂直，则B 与D 之间的距离为__________．三、解答题17.若e 1、e 2、e 3是三个不共面向量，则向量a ＝3e 1＋2e 2＋e 3，b ＝－e 1＋e 2＋3e 3，c ＝2e 1－e 2－4e 3是否共面？请说明理由．18.如图，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，已知AB＝2，AA1＝5，E、F分别为D1D、B1B上的点，且DE＝B1F ＝1.(1)求证：BE⊥平面ACF；(2)求点E到平面ACF的距离．19.如图，在四棱锥A－BCDE中，平面ABC⊥平面BCDE，∠CDE＝∠BED＝90°，AB＝CD＝2，DE＝BE＝1，AC＝√2．(1)证明：AC⊥平面BCDE；(2)求直线AE与平面ABC所成的角的正切值．20.如图，四边形ABCD与BDEF均为菱形，设AC与BD相交于点O，若∠DAB＝∠DBF＝60°，且F A＝FC．(1)求证：FC∥平面EAD；(2)求二面角A－FC－B的余弦值．21.如图，在四棱锥中，侧面为钝角三角形且垂直于底面，，点是的中点，，，.（Ⅰ）求证：平面平面；（Ⅱ）若直线与底面所成的角为60°，求二面角余弦值．22. 如图，在边长为4的菱形ABCD 中，60BAD ∠=，AC 与BD 交于点O ，将ADB ∆沿直线DB 折起到PDB ∆的位置（点P 不与A ，C 两点重合）.（1）求证：不论PDB ∆折起到何位置，都有BD ⊥平面PAC ；（2）当PO ⊥平面ABCD 时，点M 是线段PC 上的一个动点，若OM 与平面PBC 所成的角为30，求PM MC 的值.。
高二数学空间向量必刷的练习题
高二数学空间向量必刷的练习题在高二数学中，空间向量是一个重要而又复杂的概念，它在解决空间几何问题时起到了重要的作用。
为了帮助同学们更好地掌握和应用空间向量的知识，下面将介绍几道必刷的空间向量练习题。
练习题一：已知向量A=10A+6A+5A，向量A=A−A+3A，向量A=4A−2A+A，求向量A=(2A+5A−A)的模长。
解析：首先，计算向量A=(2A+5A−A)的具体数值。
将已知向量代入得到：A=2(10A+6A+5A)+5(A−A+3A)−(4A−2A+A)=20A+12A+10A+5A−5A+15A−4A+2A−A=21A+9A+24A然后，计算向量A的模长：|A|=sqrt((21A)^2+(9A)^2+(24A)^2)=sqrt(441A^2+81A^2+576A^2)练习题二：已知向量A=A−2A+2A，向量A=−A+4A−4A，向量A=A−6A+6A，求向量A=(A+2A−3A)的方向向量。
解析：首先，计算向量A=(A+2A−3A)的具体数值。
将已知向量代入得到：A=(A−2A+2A)+2(−A+4A−4A)−3(A−6A+6A)=A−2A+2A−2A+8A−8A−3A+18A−18A=−4A+24A−24A然后，根据向量的性质，可以知道向量A的方向与其具体数值无关，方向向量为：(−4, 24, −24)练习题三：已知三点A(1,2,3)、A(4,5,6)和A(7,8,9)，求向量AA和向量AA的数量积。
解析：首先，根据已知点的坐标，可以计算出向量AA和向量AA的具体数值：向量AA=(4−1,5−2,6−3)=(3,3,3)向量AA=(7−1,8−2,9−3)=(6,6,6)然后，计算向量AA和向量AA的数量积：AA·AA=3×6+3×6+3×6=54练习题四：已知三点A(-1,1,2)、A(2,3,4)和A(3,2,0)，求向量AA和向量AA的向量积。
高中空间向量练习题及讲解讲解
高中空间向量练习题及讲解讲解### 高中空间向量练习题及讲解#### 练习题一：空间向量的坐标运算题目：设空间向量\( \vec{a} \)和\( \vec{b} \)的坐标分别为\( (1, 2, 3) \)和\( (4, -1, 2) \)，求向量\( \vec{a} + \vec{b} \)的坐标。
解答：向量加法遵循坐标的分量相加原则。
对于向量\( \vec{a} \)和\( \vec{b} \)，其坐标分别为\( (a_1, a_2, a_3) \)和\( (b_1,b_2, b_3) \)，向量和的坐标为\( (a_1 + b_1, a_2 + b_2, a_3 +b_3) \)。
将给定的向量坐标代入公式，得到：\[ \vec{a} + \vec{b} = (1 + 4, 2 - 1, 3 + 2) = (5, 1, 5) \]#### 练习题二：空间向量的模长题目：已知空间向量\( \vec{c} \)的坐标为\( (2, 3, -1) \)，求向量\( \vec{c} \)的模长。
解答：空间向量的模长可以通过以下公式计算：\[ |\vec{c}| = \sqrt{c_1^2 + c_2^2 + c_3^2} \]将向量\( \vec{c} \)的坐标代入公式，得到：\[ |\vec{c}| = \sqrt{2^2 + 3^2 + (-1)^2} = \sqrt{4 + 9 + 1} = \sqrt{14} \]#### 练习题三：空间向量的夹角题目：设空间向量\( \vec{d} \)和\( \vec{e} \)的坐标分别为\( (1, 2, 1) \)和\( (2, 1, 3) \)，求向量\( \vec{d} \)和\( \vec{e} \)的夹角。
解答：空间向量\( \vec{d} \)和\( \vec{e} \)的夹角可以通过向量的点积来求得，公式为：\[ \cos \theta = \frac{\vec{d} \cdot \vec{e}}{|\vec{d}||\vec{e}|} \]首先计算点积：\[ \vec{d} \cdot \vec{e} = 1 \times 2 + 2 \times 1 + 1 \times 3 = 2 + 2 + 3 = 7 \]然后计算模长：\[ |\vec{d}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 1^2} = \sqrt{6} \]\[ |\vec{e}| = \sqrt{2^2 + 1^2 + 3^2} = \sqrt{14} \]代入公式计算夹角的余弦值：\[ \cos \theta = \frac{7}{\sqrt{6} \times \sqrt{14}} \]最后，通过反余弦函数求得夹角\( \theta \)。
空间向量练习卷
《空间向量》练习卷1、空间直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是（）A．B．C．D．2、设平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，若，则k＝（）A．2 B．－4 C．－2 D．43、设点M是Z轴上一点,且点M到A（1,0,2）与点B（1,－3,1）的距离相等,则点M的坐标是( )A．（－3,－3, 0）B．（0,0,－3）C．（0,－3,－3）D．（0,0,3）4、已知空间四面体的每条边都等于1，点分别是的中点，则等于（）A．B．C．D．5、如图，在正方体，若，则的值为（）A．3 B．1 C．－1 D．－36、的三个内角的对边分别为，已知，向量，。
若，则角的大小为（）A．B．C．D．7、在ΔABC中，已知＝(2,4,0),＝(－1,3,0)，则∠ABC大小为（）.A．45°B．90°C．120°D．135°8、已知向量=（2，4，x），=（2，y，2），若||=6，⊥，则x+y的值是（）A．－3或1 B．3或－1 C．－3 D．19、如果正方体的棱长为，那么四面体的体积是：A．B．C．D．10、已知向量a=(3，5，-1)，b=(2，2，3)，c=(4，-1，-3)，则向量2a-3b+4c的坐标为( )A．(16，0，-23) B．(28，0，-23) C．(16，-4，-1) D．(0，0，9)分卷II 注释一、填空题(每小题5分共25分)11、已知，则的最小值是___ ____________．12、与A(-1，2，3)，B(0，0，5)两点距离相等的点P(x，y，z)的坐标满足的条件为__________．13、已知，且//(),则k=__ ____.14、正方体的棱长为，若动点在线段上运动，则的取值范围是______________.15、已知正方体中，E为的中点，则异面直线AE与BC所成角的余弦值为 .二、解答题(12+12+12+12+13+14)16、如图，在直四棱柱中，底面为平行四边形，且，，，为的中点.（Ⅰ）证明：∥平面；（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值.17、如图所示，直三棱柱ABC—A1B1C1中，CA=CB=1，∠BCA=90°，棱AA1=2，M、N分别是A1B1、A1A的中点. （1）求的长；（2）求cos< >的值；（3）求证：A1B⊥C1M.18、长方体中，（1）求直线所成角；（2）求直线所成角的正弦.19、在边长是2的正方体-中，分别为的中点.应用空间向量方法求解下列问题.(1)求EF的长(2)证明：平面；(3)证明: 平面.20、如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，BC⊥侧面AA1C1C，AC=BC=1，CC1=2，∠CAA1=，D、E分别为AA1、A1C的中点．（1）求证：A1C⊥平面ABC；（2）求平面BDE与平面ABC 所成角的余弦值．21、如图所示，四边形为直角梯形，，，为等边三角形，且平面平面，，为中点．（1）求证：；（2）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值；（3）在内是否存在一点，使平面，如果存在，求的长；如果不存在，说明理由．。
高二数学空间向量的练习题
高二数学空间向量的练习题在高二数学学习中，空间向量是一个重要的知识点，它与平面向量有许多相似之处，同时也具备一些特殊的性质和运算规则。
为了提高对空间向量的理解和应用能力，以下是一些空间向量的练习题，供大家进行巩固和练习。
练习题一：已知空间向量 a = 3i + 4j - 2k，b = i - 2j + 5k，c = 2i - j + 3k，求：1. a + b - c；2. |a × b|；3. ∠(a, b) 的大小。
练习题二：已知平面内的向量 u = 3i + 4j - k，v = 2i - 6j + 3k，w = -7i + 8j - k，求：1. u × v 的大小和方向；2. 建立平面向量 u, v, w 的三角形 ABC，求三角形 ABC 的面积。
练习题三：已知空间向量 a = 3i - j + 4k，b = 2i + 3j - 5k，c = ai + bj + ck，且 |c| = √27，则 a, b, c 为何种关系？练习题四：已知空间向量 d = 4i + 2j - k，e = 3i - j + k，f = 5i + 3j + 2k，求实数λ，使得 d + λe = λf。
练习题五：已知空间向量 a = 3i + 4j - k，b = 2i - j - 4k，c = 4i + 2j - 2k，d = 2i + j + 2k，求向量组 {a, b, c, d} 的线性相关性与线性无关性。
练习题六：已知空间向量 a, b, c 满足 |a| = 3，|c| = 2，且 a × b = c，则向量组 {a, b, c} 的线性相关性与线性无关性如何？练习题七：已知空间向量 a = i + j - k，b = 2i + 3j + k，c = xi + yj + zk，如果向量组 {a, b, c} 线性无关，则实数 x 和 y 的取值范围是什么？练习题八：已知空间向量 a = 2i + j + 4k，b = i + 3j + k，c = 3i - 2j + 5k，d = xi + yj + zk，且向量组 {a, b, c, d} 线性相关，则实数 x 和 y 的取值范围是什么？练习题九：已知坐标为 A(1, 2, -1)，B(-3, 5, 6)，C(2, -1, 3)，求向量 BA × BC 的大小和方向。
空间向量练习题
空间向量练习题1一、选择题：1．已知A 、B 、C 三点不共线，对平面ABC 外的任一点O ，下列条件中能确定点M 与点A 、B 、C 一定共面的是（ ）A ．OM ++=B ．OM --=2C ．3121++= D ．313131++=2．若向量λμλμλ且向量和垂直向量R b a n b a m ∈+=,(,、则)0≠μ （ ）A ．n m //B ． n m ⊥C ．也不垂直于不平行于,D ．以上三种情况都可能3．设向量},,{是空间一个基底，则一定可以与向量-=+=,构成空间的另一个基底的向量是（ ）A ．B ．C ．D ．或4．设A 、B 、C 、D 是空间不共面的四点，且满足0,0,0=⋅=⋅=⋅AD AC AD AB AC AB 则△BCD 是（ ）A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．不确定5．在棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 和N 分别为A 1B 1和BB 1的中点，那么直线AM 与CN 所成角的余弦值是（ ）A ．52-B ．52C ．53D ．1010二．解答题：6．如图：ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD，M、N分别是PC、AB中点，求证：MN⊥平面PCD7．一条线段夹在一个直二面角的两个面内，它和两个面所成的角都是30°，求这条线段与这个二面角的棱所成的角。
8．长方体1111ABCD A B C D -中，4AB BC ==，E 为11A C 与11B D 的交点，F 为1BC 与1B C 的交点，又AF BE ⊥，求长方体的高1BB ．9．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为BB 1、D 1B 1的中点， 求证：EF ⊥平面B 1AC_1_ A _A _B_ G_ F_ E_ A _ B_ C_ D_ A _1_ B _1 _ C _1_ D _1AC BPEF10．在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为11A B 的中点，求异面直线1D E 和1BC 间的距离.11．已知边长为ABC 中，E 、F 分别为BC 和AC 的中点，PA ⊥面ABC ，且2PA =，设平面α过PF 且与AE 平行，求AE 与平面α间的距离.。
高二空间向量练习题及答案
高二空间向量练习题及答案空间向量是高中数学的一个重要内容，掌握空间向量的概念和运算方法对于解决几何问题有着重要的作用。
下面是一些高二空间向量的练习题及其答案，帮助大家巩固和提升空间向量的学习。
一、选择题1. 设向量a=2i-j+3k，向量b=-3i+j+2k，则a·b的值为：A. -11B. 11C. -9D. 9答案：A2. 设向量a=2i-3j+k，向量b=-i+2j-3k，则a与b的夹角为：A. 60°B. 90°C. 120°D. 150°答案：C3. 已知向量a=2i-j+3k，向量b=3i+2j-4k，则a与b的数量积等于：A. -17B. 17C. -3D. 3答案：B4. 设向量a=3i+4j-2k，向量b=i-3j+5k，则a×b的结果为：A. 23i+2j-13kB. -23i-12j+13kC. 23i-12j+13kD. -23i+2j+13k答案：C5. 向量a=3i+j+k，向量b=2i-4j-2k，求向量a与向量b的和向量c，并求c的模长。
A. 向量c=5i-3j-k，|c|=√35B. 向量c=5i-3j-k，|c|=√33C. 向量c=5i-5j-3k，|c|=√31D. 向量c=5i-3j-k，|c|=√31答案：D二、填空题1. 向量a=2i+3j-4k，向量b=5i-2j+k，求a+b的结果为________。
答案：7i+j-3k2. 向量a=2i-3j+k，向量b=-i+j+2k，求a与b的夹角的余弦值为________。
答案：-1/√143. 设向量a=3i-4j+2k，向量b=2i-3j+k，求a×b的结果为________。
答案：-5i-4j-1k4. 设向量a=-i+2j+k，d是一条过点A(1，2，3)且与向量a垂直的直线方程，则d的方程为_______。
答案：x-2y+z-3=05. 已知平行四边形的两条对角线的向量分别为a=2i-j+k和b=-3i+4j-2k，求平行四边形的面积为_______。
空间向量练习及答案解析
空间向量练习一、选择题(共15小题，每小题4.0分,共60分)1.已知平面α的一个法向量是(2，－1,1)，α∥β，则下列向量可作为平面β的一个法向量的是() A． (4,2，－2) B． (2,0,4) C． (2，－1，－5) D． (4，－2,2)2.如图，过边长为1的正方形ABCD的顶点A作线段EA⊥平面AC，若EA＝1，则平面ADE与平面BCE所成的二面角的大小是()A． 120° B． 45° C． 150° D． 60°3.已知＝(1,2,3)，＝(2,1,2)，＝(1,1,2)，点Q在直线OP上运动，则当·取得最小值时，点Q的坐标为()A． B． C． D．4.将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A－BD－C，有如下四个结论：①AC⊥BD；②△ACD是等边三角形；③AB与平面BCD所成的角为60°；④AB与CD所成的角为60°.其中错误的结论是()A．① B．② C．③ D．④5.如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB＝BC＝AA1，∠ABC＝90°，点E，F分别是棱AB，BB1的中点，则直线EF和BC1的夹角是()A． 45° B． 60° C． 90° D． 120°6.已知在空间四面体O－ABC中，点M在线段OA上，且OM＝2MA，点N为BC中点，设＝a，＝b，＝c，则等于()A．a＋b－ c B．－a＋b＋ c C．a－b＋ c D．a＋b－c7.已知在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是DC的中点，建立如图所示的空间直角坐标系，则AB1与D1E所成角的余弦值为()A． B． C．－ D．－8.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N，P分别是棱CC1，BC，A1B1上的点，若∠B1MN＝90°，则∠PMN的大小()A．等于90° B．小于90° C．大于90° D．不确定9.如图，S是正三角形ABC所在平面外一点，M，N分别是AB和SC的中点，SA＝SB＝SC，且∠ASB＝∠BSC＝∠CSA＝90°，则异面直线SM与BN所成角的余弦值为()A．－ B． C．－ D．10.已知平面α内两向量a＝(1,1,1)，b＝(0,2，－1)且c＝ma＋nb＋(4，－4,1)．若c为平面α的法向量，则m ，n 的值分别为( ) A ． －1,2 B ． 1，－2 C ． 1,2 D ． －1，－211.如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱AA 1⊥底面ABC ，底面ABC 是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，侧棱AA 1＝2，D ，E 分别是CC 1与A 1B 的中点，点E 在平面ABD 上的射影是△ABD 的重心G ，则A 1B 与平面ABD 所成角的正弦值为( )A ．√23B ．√73C ．√32D ．√3712.如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠ACB ＝90°，2AC ＝AA 1＝BC ＝2，若二面角B 1－DC －C 1的大小为60°，则AD 的长为( ) A ．√2 B ．√3 C ． 2 D ．√2213.三棱锥A －BCD 中，平面ABD 与平面BCD 的法向量分别为n 1，n 2，若〈n 1，n 2〉＝π3，则二面角A －BD －C 的大小为( ) A ．π3 B ．2π3 C ．π3或2π3D ．π3或－π314.已知AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(1,5，－2)，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝ (3,1，z )，若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，BP ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(x －1，y ，－3)，且BP ⊥平面ABC ，则BP ⃗⃗⃗⃗⃗ 等于( ) A ．(407,157,−3) B ．(337,157,−3) C ．(−407,−157,−3) D ．(337,−157,−3)15.如图，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点M ，P ，Q 分别为棱AB ，CD ，BC 的中点，平行六面体的各棱长均相等．给出下列结论：①A 1M ∥D 1P ；②A 1M ∥B 1Q ；③A 1M ∥平面DCC 1D 1；④A 1M ∥平面D 1PQB 1.这四个结论中正确的个数为( ) A ． 1 B ． 2 C ． 3 D ． 4二、填空题(共6小题，每小题4.0分,共24分)16.如图所示，已知正四面体A-BCD 中，AE ＝AB ，CF ＝CD ，则直线DE 和BF 所成角的余弦值为________．17.已知a ＝(3，－2，－3)，b ＝(－1，x －1,1)，且a 与b 的夹角为钝角，则x 的取值范围是________．18.如图，平面PAD ⊥平面ABCD ，ABCD 为正方形，∠PAD ＝90°，且PA ＝AD ＝2，E ，F 分别是线段PA ，CD 的中点，则异面直线EF 与BD 所成角的余弦值为________． 19.如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，所有棱长均为1，且AA 1⊥底面ABC ，则点B 1到平面ABC 1的距离为________．20.如下图所示，PD 垂直于正方形ABCD 所在平面，AB ＝2，E 为PB 的中点，cos 〈DP⃗⃗⃗⃗⃗ ，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ 〉＝√33，若以DA ，DC ，DP 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则点E 的坐标为________．21.已知点P 是平行四边形ABCD 所在的平面外一点，如果AB⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(2，－1，－4)，AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(4,2,0)，AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(－1,2，－1)．对于结论：①AP ⊥AB ；②AP ⊥AD ；③AP ⃗⃗⃗⃗⃗ 是平面ABCD 的法向量；④AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ∥BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .其中正确的是____________．三、解答题(共6小题，每小题11.0分,共66分) 22.如图所示，已知四棱锥P －ABCD 的底面为直角梯形，AB ∥DC ，∠DAB ＝90°，PA ⊥底面ABCD ，且PA ＝AD ＝DC ＝12AB ＝1，M 是PB 的中点．(1)证明：面PAD ⊥面PCD ；(2)求AC 与PB 所成角的余弦值； (3)求面AMC 与面BMC 所成二面角的余弦值．23.如下图所示，在三棱锥P －ABC 中，PA ⊥底面ABC ，PA ＝AB ，∠ABC ＝60°，∠BCA ＝90°，点D ，E 分别在棱PB ，PC 上，且DE ∥BC . (1)求证：BC ⊥平面PAC ；(2)当D 为PB 的中点时，求AD 与平面PAC 所成的角的正弦值； (3)是否存在点E ，使得二面角A －DE －P 为直二面角？并说明理由．24.如图，在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点E ，F 是棱BC ，CD 的中点，求：(1)直线DF 与B 1F 所成角的余弦值；(2)二面角C 1－EF －A 的余弦值．25.如图，在四棱锥S－ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB垂直于AD和BC，侧棱SB⊥平面ABCD，且SB＝AB＝AD＝1，BC＝2.(1)求SA与CD所成的角；(2)求平面SCD与平面SAB所成的锐二面角的余弦值．26.如下图，四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，侧棱A1A⊥底面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，AD＝CD＝1，AA1＝AB＝2，E为棱AA1的中点．(1)证明B1C1⊥CE；(2)求二面角B1－CE－C1的正弦值．27.如下图，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，AA1＝4，E为BC的中点，F为CC1的中点．(1)求EF与平面ABCD所成的角的余弦值；(2)求二面角F－DE－C的余弦值．空间向量练习答案解析1.【答案】D【解析】∵α∥β，∴β的法向量与α的法向量平行，又∵(4，－2,2)＝2(2，－1,1)，故选D.2.【答案】B【解析】以A为坐标原点，分别以AB，AD，AE所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则E(0,0,1)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，＝(1,0，－1)，＝(1,1，－1)．设平面BCE的法向量为n＝(x，y，z)，则即可取n＝(1,0,1)．又平面EAD的法向量为＝(1,0,0)，所以cos〈n，〉＝＝，故平面ADE与平面BCE所成的二面角为45°.3.【答案】C【解析】设Q(x，y，z)，因Q在上，故有∥，设＝λ(λ∈R)，可得x＝λ，y＝λ，z＝2λ，则Q(λ，λ，2λ)，＝(1－λ，2－λ，3－2λ)，＝(2－λ，1－λ，2－2λ)，所以·＝6λ2－16λ＋10＝62－，故当λ＝时，·取最小值，此时Q.4.【答案】C【解析】如图所示，取BD的中点O，以点O为坐标原点，OD，OA，OC所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Oxyz，设正方形ABCD边长为，则D(1,0,0)，B(－1,0,0)，C(0,0,1)，A(0,1,0)，所以＝(0，－1,1)，＝(2,0,0)，·＝0，故AC⊥BD.①正确．又||＝，||＝，||＝，所以△ACD为等边三角形．②正确．对于③，为面BCD的一个法向量，cos〈，〉＝＝＝＝－.所以AB与OA所在直线所成的角为45°，所以AB与平面BCD所成角为45°.故③错误．又cos〈，〉＝＝＝－.因为异面直线所成的角为锐角或直角，所以AB与CD所成角为60°.故④正确．5.【答案】B【解析】不妨设AB＝BC＝AA1＝1，则＝－＝(－)，＝＋，∴||＝|－|＝，||＝，·＝(－)·(＋)＝，∴cos〈，〉＝＝＝，∴〈，〉＝60°，即异面直线EF与BC1的夹角是60°.6.【答案】B【解析】＝－＝(＋)－＝b＋c－a.7.【答案】A【解析】∵A(2,2,0)，B1(2,0,2)，E(0,1,0)，D1(0,2,2)，∴＝(0，－2,2)，＝(0,1,2)，∴||＝2，||＝，·＝0－2＋4＝2，∴cos〈，〉＝＝＝，又异面直线所成角的范围是，∴AB1与ED1所成角的余弦值为.8.【答案】A【解析】A1B1⊥平面BCC1B1，故A1B1⊥MN，·＝(＋)·＝·＋·＝0，∴MP⊥MN，即∠PMN＝90°.9.【答案】B【解析】不妨设SA＝SB＝SC＝1，以S为坐标原点，，，所在直线分别为x轴，y轴，z 轴，建立空间直角坐标系Sxyz，则相关各点坐标为A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，S(0,0,0)，M，N.因为＝，＝，所以||＝，||＝，·＝－，cos〈，〉＝＝－，因为异面直线所成的角为锐角或直角，所以异面直线SM 与BN 所成角的余弦值为.10.【答案】A【解析】 c ＝ma ＋nb ＋(4，－4,1)＝(m ，m ，m )＋(0,2n ，－n )＋(4，－4,1)＝(m ＋4，m ＋2n －4，m －n ＋1)，由c 为平面α的法向量，得即解得11.【答案】A【解析】∵侧棱与底面垂直，∠ACB ＝90°，所以分别以CA ，CB ，CC 1所在直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图空间直角坐标系， 设CA ＝CB ＝a ，则A (a,0,0)，B (0，a,0)，A 1(a,0,2)，D (0,0,1)， ∴E (a 2,a2,1)，G (a 3,a 3,13)，GE ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(a 6,a 6,23)，BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(0，－a,1)， ∵点E 在平面ABD 上的射影是△ABD 的重心G ，∴GE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥平面ABD ，∴GE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝0，解得a ＝2，∴GE ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(13,13,23)，BA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(2，－2,2)，∵GE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥平面ABD ，∴GE ⃗⃗⃗⃗⃗ 为平面ABD 的一个法向量， 又cos 〈GE ⃗⃗⃗⃗⃗ ，BA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 〉＝GE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |GE ⃗⃗⃗⃗⃗ ||BA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |＝43√63×2＝√23，∴A 1B 与平面ABD 所成角的正弦值为√23，故选A.12.【答案】A【解析】如下图，以C 为坐标原点，CA ，CB ，CC 1所在的直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则C (0,0,0)，A (1,0,0)，B 1(0,2,2)，C 1(0,0,2)设AD ＝a ，则D 点坐标为(1,0，a )，CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(1,0，a )，CB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(0,2,2)，设平面B 1CD 的一个法向量为m ＝(x ，y ，z )，则{m ·CB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,m ·CD⃗⃗⃗⃗⃗ =0⇒{2y +2z =0,x +az =0,令z ＝－1， 得m ＝(a,1，－1)，又平面C 1DC 的一个法向量为n ＝(0,1,0)， 则由cos 60°＝m·n|m ||n |，得1√a 2+1＝12，即a ＝√2，故AD ＝√2. 13.【答案】C【解析】如图所示，当二面角A －BD －C 为锐角时，它就等于〈n 1，n 2〉＝π3；当二面角A －BD －C 为钝角时，它应等于π－〈n 1，n 2〉＝π－π3＝2π3. 14.【答案】D【解析】因为AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝0，即1×3＋5×1＋(－2)z ＝0，所以z ＝4， 因为BP ⊥平面ABC ，所以BP⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，且BP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，即1×(x －1)＋5y ＋(－2)×(－3)＝0，且3(x －1)＋y ＋(－3)×4＝0.解得x ＝407，y ＝－157，于是BP ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(337,−157,−3).15.【答案】C【解析】因为A 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＋AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＋12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，D 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝D 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＋DP ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＋12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以A 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∥D 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，从而A 1M ∥D 1P ，可得①③④正确． 又B 1Q 与D 1P 不平行，故②不正确．故选C. 16.【答案】 【解析】＝＋＝＋，＝＋＝＋，所以cos 〈，〉＝＝＝＝.17.【答案】 B【解析】 若两向量的夹角为钝角，则a ·b ＜0，且a 与b 不共线，故3×(－1)＋(－2)×(x －1)＋(－3)×1＜0，且x ≠，解得x ＞－2，且x ≠，故选B. 18.【答案】【解析】 以A 为坐标原点，AB ，AD ，AP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示空间直角坐标系Axyz ，则E (0,0,1)，F (1,2,0)，B (2,0,0)，D (0,2,0)． ＝(1,2，－1)，＝(－2,2,0)，故cos 〈，〉＝＝.19.【答案】√217【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，则A (√32,12,0)，B (0,1,0)，B 1(0,1,1)，C 1(0,0,1)，则C 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(√32,12,−1)，C 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(0,1,0)，C 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(0,1，－1)，设平面ABC 1的一个法向量为n ＝(x ，y,1)，则有{C 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·n =√32x +12y −1=0,C 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·n =y −1=0.解得n ＝(√33,1,1)，则所求距离为|C 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·n |n ||＝1√13+1+1＝√217.20.【答案】(1,1,1)【解析】设PD ＝a (a ＞0)，则A (2,0,0)，B (2,2,0)，P (0,0，a )，E (1,1,a2).∴DP ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(0,0，a )，AE⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(−1,1,a2)，∵cos 〈DP ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ 〉＝√33，∴a 22＝a √2+a 24·√33，∴a ＝2.∴E 的坐标为(1,1,1)．21.【答案】①②③【解析】由于AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝－1×2＋(－1)×2＋(－4)×(－1)＝0， AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝4×(－1)＋2×2＋0×(－1)＝0，所以①②③正确． 22.【答案】因为PA ⊥AD ，PA ⊥AB ，AD ⊥AB ，以A 为坐标原点，AD 长为单位长度，如图建立空间直角坐标系，则各点坐标为A (0,0,0)，B (0,2,0)，C (1,1,0)，D (1,0,0)，P (0,0,1)，M (0,1,12)， (1)∵AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(0,0,1)，DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(0,1,0)，故AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝0，∴AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴AP ⊥DC ， 又由题设知：AD ⊥DC ，且AP 与AD 是平面PAD 内的两条相交直线， 由此得DC ⊥面PAD ，又DC 在面PCD 上，故面PAD ⊥面PCD ； (2)∵AC⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(1,1,0)，PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(0,2，－1)， ∴|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |＝√2，|PB ⃗⃗⃗⃗⃗ |＝√5，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PB⃗⃗⃗⃗⃗ ＝2，∴cos 〈AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，PB ⃗⃗⃗⃗⃗ 〉＝√105， 由此得AC 与PB 所成角的余弦值为√105；(3)在MC 上取一点N (x ，y ，z )，则存在λ∈R ，使NC ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝λMC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，NC ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(1－x,1－y ，－z )，MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(1,0,−12)，∴x ＝1－λ，y ＝1，z ＝12λ.要使AN ⊥MC ，只需AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝0，即x －12z ＝0，解得λ＝45， 可知当λ＝45时，N 点坐标为(15,1,25)，能使AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·MC⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝0， 此时，AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(15,1,25)，BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(15,−1,25)， 由AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝0，BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝0，得AN ⊥MC ，BN ⊥MC ， ∴∠ANB 为所求二面角的平面角，∵|AN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |＝√305，|BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |＝√305，AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝－45，∴cos 〈AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 〉＝－23， 故所求的二面角的余弦值为－23.23.【答案】以A 为原点，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AP ⃗⃗⃗⃗⃗ 分别为y 轴、z 轴的正方向，过A 点且垂直于平面PAB 的直线为x 轴，建立空间直角坐标系Axyz ，设PA ＝a ，由已知可得：A (0,0,0)，B (0，a ，0)，C (√34a,34a,0)，P (0,0，a )．(1)AP⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(0,0，a )，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(√34a,−a 4,0)，∴BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝0，∴BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴BC ⊥AP ， 又∵∠BCA ＝90°，∴BC ⊥AC ，∴BC ⊥平面PAC .(2)∵D 为PB 的中点，DE ∥BC ，∴E 为PC 的中点，∴D (0,a 2,a2)，E (√38a,38a,a 2)，∴由(1)知，BC ⊥平面PAC ，∴DE ⊥平面PAC ，垂足为点E ， ∴∠DAE 是AD 与平面PAC 所成的角，∵AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(0,a 2,a 2)，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(√38a,38a,a 2)，∴cos ∠DAE ＝AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AE ⃗⃗⃗⃗⃗|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||AE ⃗⃗⃗⃗⃗ |＝√144， ∴AD 与平面PAC 所成的角的正弦值为√24.(3)∵DE ∥BC ，又由(1)知BC ⊥平面PAC ，∴DE ⊥平面PAC ， 又∵AE ⊂平面PAC ，PE ⊂平面PAC ，∴DE ⊥AE ，DE ⊥PE ，∴∠AEP 为二面角A －DE －P 的平面角． ∵PA ⊥底面ABC ，∴PA ⊥AC ，∴∠PAC ＝90°，∴在棱PC 上存在一点E ，使得AE ⊥PC ，这时∠AEP ＝90°， 故存在点E ，使得二面角A －DE －P 是直二面角．24.【答案】如图，以A 为坐标原点，建立空间直角坐标系Axyz ，则D (0,2,0)，E (2,1,0)，F (1,2,0)，B 1(2,0,2)，C 1(2,2,2)，(1)因为DE ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(2，－1,0)，B 1F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(－1,2，－2)，所以cos 〈DE ⃗⃗⃗⃗⃗ ，B 1F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 〉＝DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·B 1F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||B 1F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |＝−43√5＝－4√515， 所以直线DE 与B 1F 所成角的余弦值为4√515； (2)因为C 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(0，－1，－2)，EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(－1,1,0)， 设平面C 1EF 的一个法向量为n ＝(x ，y,1)， 则由{n ·C 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n ·EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,可得{−y −2=0,−x +y =0, 解得x ＝y ＝－2，所以n ＝(－2，－2,1)，又AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(0,0,2)是平面AEF 的一个法向量，所以cos 〈AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，n 〉＝n·AA1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |n ||AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |＝22×3＝13， 观察图形，可知二面角C 1－EF －A 为钝角，所以二面角C 1－EF －A 的余弦值为－13. 25.【答案】(1)建立如图所示的空间直角坐标系，则B (0,0,0)，S (0,0,1)，A (1,0,0)，C (0,2,0)，D (1,1,0)，SA ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(1,0，－1)， CD⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(1，－1,0)， 因为cos 〈SA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 〉＝SA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CD ⃗⃗⃗⃗⃗|SA⃗⃗⃗⃗⃗ ||CD ⃗⃗⃗⃗⃗ |＝12，所以SA 与CD 所成的角为60°； (2)设平面SCD 的法向量为n 1＝(x ，y ，z )， 又SC⃗⃗⃗⃗ ＝(0,2，－1)，{n 1·SC⃗⃗⃗⃗ =0,n 1·CD⃗⃗⃗⃗⃗ =0,所以{2y −z =0,x −y =0, 令x ＝1，则n 1＝(1,1,2)，因为BC ⊥平面SAB ，第 11 页 共 11 页 所以平面SAB 的一个法向量为n 2＝(0,1,0)，cos 〈n 1，n 2〉＝√66， 所以平面SCD 与平面SAB 所成的锐二面角的余弦值为√66. 26.【答案】如下图，以点A 为原点建立空间直角坐标系，依题意得A (0,0,0)，B (0,0,2)，C (1,0,1)，B 1(0,2,2)，C 1(1,2,1)，E (0,1,0)．(1)易得B 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(1,0，－1)，CE ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(－1,1，－1)，于是B 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·CE⃗⃗⃗⃗⃗ ＝0，所以B 1C 1⊥CE ；(2)B 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(1，－2，－1)，设平面B 1CE 的法向量m ＝(x ，y ，z )，则{m ·B 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,m ·CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即{x −2y −z =0,−x +y −z =0, 消去x ，得y ＋2z ＝0，不妨令z ＝1，可得一个法向量为m ＝(－3，－2,1)，由(1)，B 1C 1⊥CE ，又CC 1⊥B 1C 1，可得B 1C 1⊥平面CEC 1，故B 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(1,0，－1)为平面CEC 1的一个法向量，于是cos 〈m ，B 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 〉＝m·B 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |m ||B 1C 1|＝−4√14×√2＝－2√77，从而sin 〈m ，B 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 〉＝√217，所以二面角B 1－CE －C 1的正弦值为√217. 27.【答案】建立如下图所示的空间直角坐标系D-xyz ，则D (0,0,0)，A (2,0,0)，C (0,2,0)，B (2,2,0)，E (1,2,0)，F (0,2,2)，(1)EF⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(－1,0,2)，易得平面ABCD 的一个法向量为n ＝(0,0,1)， 设EF ⃗⃗⃗⃗⃗ 与n 的夹角为θ，则cos θ＝EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ·n |EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ||n|＝25√5，∴EF 与平面ABCD 所成的角的余弦值为2√55； (2)EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(－1,0,2)，DF ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(0,2,2)，设平面DEF 的一个法向量为m ，则m ·DF ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝0，m ·EF⃗⃗⃗⃗⃗ ＝0， 可得m ＝(2，－1,1)，∴cos 〈m ，n 〉＝m·n|m ||n |＝√66，∴二面角F －DE －C 的余弦值为√66.。
高二数学空间向量练习题
高二数学空间向量练习题1. 已知向量AB = 3i + 4j + 2k，向量AC = -5i + 2j - 6k，求向量AB + 2AC的模长。
2. 若向量a = 2i - j + 3k，向量b = i - 3j + 2k，求向量a + b的模长。
3. 已知三角形ABC中，向量AB = i - j + 2k，向量BC = 2i + 3j - k，向量CA = 3i + j - 4k，求三角形ABC的面积。
4. 若向量a = 3i - j + 4k，向量b = 2i + 2j - k，求向量a与向量b的夹角的余弦值。
5. 已知向量a = i + 2j - 3k，向量b = 2i + j + k，向量c = 3i - j + 2k，如果向量d满足a + d = 2b - c，求向量d的坐标表示。
6. 已知平面P的法向量为向量a = i + j + k，并且过点A(1, 2, -1)。
求平面P的解析式。
7. 已知平面P通过点A(1, 2, -1)，且平面P与向量a = 2i - j + k垂直。
求平面P的解析式。
8. 已知平面P过点A(1, 2, -1)，且平面P与向量a = 2i - j + k和向量b = -i + j - 2k都垂直。
求平面P的解析式。
解答：1. 向量AB + 2AC = 3i + 4j + 2k + 2(-5i + 2j - 6k)= 3i + 4j + 2k - 10i + 4j - 12k= -7i + 8j - 10k那么向量AB + 2AC的模长为√((-7)^2 + 8^2 + (-10)^2) = √149。
2. 向量a + b = (2i - j + 3k) + (i - 3j + 2k)= 3i - 4j + 5k那么向量a + b的模长为√(3^2 + (-4)^2 + 5^2) = √50。
3. 三角形ABC的面积可以通过向量积来计算。
首先计算向量AB与向量AC的向量积：AB × AC = (i - j + 2k) × (3i + j - 4k)= ((-1)(-4) - 2(1))i - (1(3) - (-4)(-1))j + ((1)(1) - (-1)(3))k= (-2i - 7j + 4k)那么三角形ABC的面积为|AB × AC| / 2 = |(-2i - 7j + 4k)| / 2 = √(4 + 49 + 16) / 2 = √(69) / 2。
空间向量练习题(一)
空间向量练习题（一）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．如图，ABCD －EFGH 是棱长为1的正方体，若P 在正方体内部且满足312423AP AB AD AE =++，则P 到AB 的距离为（）A ．34B ．45C ．56D ．352．已知平面α过点()1,1,2A ，它的一个法向量为()3,0,4n =-，则下列哪个点不在平面α内（）A ．()5,5,5B ．()9,7,8C ．()–7,2,8-D ．()3,0,1--3．在四面体O －ABC 中，G 是底面△ABC 的重心，且OG＝x OA ＋y OB ＋z OC ，则log 3|xyz |等于（）A ．－3B ．－1C ．1D ．34．若向量p 在空间的的一组基底{ }a b c ，，下的坐标是132( )，，，则p在基底{ }a b a b c +- ，，下的坐标是（）A ．(4 2 2)-，，B ．(2 1 2)，，C ．(2 1 2)-，，D ．132( )，，5．已知平行六面体1111ABCD A B C D -的所有棱长均为2，1160BAD BAA DAA ∠=∠=∠=︒，M ，N 分别为BC ，11C D 的中点，则MN 的长为（）A ．2B ．3CD 6．已知空间四边形OABC ，其对角线为OB 、AC ，M 、N 分别是边OA 、BC 的中点，点G 在线段MN 上，且使2MG GN =，用向量OA 、OB 、OC 表示向量OG是（）A ．111633OG OA OB OC =++ B ．112633OG OA OB OC =++C ．2233OG OA OB OC=++ D ．122233OG OA OB OC=++7．如图，已知四棱台的底面ABCD 是直角梯形，90BAD ∠=，//AD BC ，111222AD AB BC DD A D ====，1DD ⊥平面ABCD ，E 是侧棱1BB 所在直线上的动点，AE与1CA 所成角的余弦值的最大值为（）A B ．10C ．10D 8．已知矩形,ABCD P 为平面ABCD 外一点，PA ⊥平面ABCD ，点,M N 满足12PM PC =，23PN PD = ．若MN x AB y AD z AP =++，则x y z ++=（）A ．1-B ．1C ．12-D ．12二、多选题9．定义空间两个向量的一种运算||||sin a b a b a =<⊗，b >，则关于空间向量上述运算的以下结论中恒成立的有()A ．a b b a ⊗=⊗B ．()()a b a bλλ=⊗⊗C ．()()()a b c a c b c +=+⊗⊗⊗D ．若1(a x =，1)y ，2(b x =，2)y ，则1221||a b x y x y =-⊗10．（多选）在三维空间中，a b ⨯ 叫做向量a 与b的外积，它是一个向量，且满足下列两个条件：①()a a b ⊥⨯ ，()b a b ⊥⨯ ，且a ，b ，a b ⨯三个向量构成右手系（如图所示）；②sin ,a b a b a b ⨯=.在正方体1111ABCD A B C D -中，已知其表面积为S ，下列结论正确的有（）A ．11AB AC AD DB ⨯=⨯B ．AB AD AD AB⨯=⨯C ．6S BC AC =⨯ D ．111AC A D ⨯ 与1BD 共线11．如图，在四棱锥P ABCD -中，已知PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为等腰梯形，AD ∥,1BC AB AD CD ===，2BC PA ==，记四棱锥P ABCD -的外接球为球O ，平面PAD 与平面PBC 的交线为,l BC 的中点为E ，则（）A ．l ∥BCB ．AB PC⊥C ．平面PDE ⊥平面PAD D ．l 被球O 截得的弦长为1三、填空题12．在正四面体ABCD 中，2AB =，若2AE AB AC =+ ，则AE AD ⋅=．13．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点M 和N 分别是正方形ABCD 和11BB C C 的中心，点P 为正方体表面上及内部的点，若点P 满足DP mDA nDM k DN =++，其中m 、n 、k ∈R ，且1m n k ++=，则满足条件的所有点P 构成的图形的面积是．14．若点B 是点()3,7,4-在xOz 平面上的射影，则OB 等于.15．已知()2,1,3a =- ，()1,4,2b =-- ，()7,5,c λ= ．若a 、b 、c三向量共面，则实数λ=．16．如图，在矩形ABCD 中，1AB =，AD =ABD △沿BD 所在的直线进行翻折，得到空间四边形1A BCD .给出下面三个结论：①在翻折过程中，存在某个位置，使得1AC BD ⊥；②在翻折过程中，三棱锥1A BCD -的体积不大于14；③在翻折过程中，存在某个位置，使得异面直线1A D 与BC 所成角为45°.其中所有正确结论的序号是.17．球O 为正四面体ABCD 的内切球，2AB =，MN 是球O 的直径，点P 在正四面体ABCD的表面运动，则PM PN ⋅的最大值为．18．如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，2PA AB ==，6AD =，点Q 是侧棱PD 的中点，点M ，N 分别在边AB ，BC 上，当空间四边形PMND 的周长最小时，点Q 到平面PMN 的距离为．四、解答题19．已知空间三点()2,0,2A -，()1,1,2B --，()3,0,4C -．(1)求向量AB与AC 夹角θ的余弦值；(2)求向量AB在向量AC 上的投影向量a ．20．图①是直角梯形,,90ABCD AB CD D ∠=︒∥，四边形ABCE 是边长为2的菱形，并且60BCE ∠=︒，以BE 为折痕将BCE 折起，使点C 到达1C 的位置，且1AC =(1)求证：平面1BC E ⊥平面ABED ；(2)在棱1DC 上是否存在点P ，使得点P 到平面1ABC 的距离为5？若存在，求出直线EP 与平面1ABC 所成角的正弦值：若不存在，请说明理由．21．如图所示，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，E 为1AA 上靠近点1A 的三等分点.（1）若F 为1BB 的中点，试在11A B 上找一点P ，使//PF 平面1CD E ；（2）若四边形ABCD 是正方形，且1BB 与平面1CD E 所成角的正弦值为37，求二面角1E D C D --的余弦值.22．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，//AD BC ，AD CD ⊥，且AD CD ==BC =2PA =．(1)求证：AB PC ⊥；(2)在线段PD 上，是否存在一点M ，使得二面角M AC D --的大小为o 45，如果存在，求BM 与平面MAC 所成角的正弦值，如果不存在，请说明理由．23．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面,4,2,ABCD PA AD AB M ===是PD 中点.(1)求证：直线//PB 平面AMC ；(2)求平面ACD 和平面ACM 的夹角的余弦值.24．如图，P 为圆锥的顶点，O 是圆锥底面的圆心，AC 为底面直径，ABD △为底面圆O 的内接正三角形，且ABD △E 在母线PC 上，且AE =1CE =．(1)求证：直线//PO 平面BDE ，并求三棱锥P BDE -的体积：(2)若点M 为线段PO 上的动点，当直线DM 与平面ABE 所成角的正弦值最大时，求此时点M 到平面ABE 的距离．。
空间向量练习及答案解析
空间向量练习及答案解析1.已知平面α的一个法向量为(2,-1,1)，且α∥β，则平面β的一个可能的法向量是哪个？A。
(4,2,-2) B。
(2,0,4) C。
(2,-1,-5) D。
(4,-2,2)2.在如图所示的正方形ABCD中，过点A作线段EA垂直于平面AC，若EA=1，则平面ADE和平面BCE所成的二面角大小是多少？A。
120° B。
45° C。
150° D。
60°3.已知向量a=(1,2,3)，向量b=(2,1,2)，向量c=(1,1,2)，点Q在直线OP上移动，当a·Q+b·Q取得最小值时，点Q的坐标是多少？A。
B。
C。
D.4.将正方形ABCD沿对角线BD折成直角二面角A-BD-C，以下哪个结论是错误的？A。
AC⊥BDB。
△ACD是等边三角形C。
∠ABC与平面BCD所成的角为60°D。
∠ABD与CD所成的角为60°5.在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB=BC=AA1，∠ABC=90°，点E和F分别是棱AB和BB1的中点，直线EF和BC1的夹角是多少？A。
45° B。
60° C。
90° D。
120°6.在空间四面体O-ABC中，点M在线段OA上，且OM=2MA，点N为BC中点，设∠AOM=a，∠BOM=b，∠CON=c，则a+b-c等于多少？A。
a+b-c B。
-a+b+c C。
a-b+c D。
a+b-c7.在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是DC的中点，建立如图所示的空间直角坐标系，AB1和D1E所成角的余弦值是多少？A。
B。
C。
- D。
-8.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M、N、P分别是棱CC1、BC和A1B1上的点，若∠B1MN=90°，则∠PMN的大小是多少？A。
等于90° B。
小于90° C。
高三空间向量练习题
高三空间向量练习题1. 已知向量a = 2i + 3j - k，向量b = i - j + 4k，求向量a与向量b的数量积。
解析：向量a与向量b的数量积可以通过向量的内积公式计算得出。
内积的计算方式为将两个向量对应分量相乘后相加。
a ·b = (2i + 3j - k) · (i - j + 4k)= 2i · i + 3j · (-j) - k · j + 2i · (-j) + 3j · (4k) - k · (4k)= 2 + 3 + 0 - 2 - 12 + 4= -5所以，向量a与向量b的数量积为-5。
2. 已知向量c = 3i + 2j + 4k，向量d = 5i + 6j + 2k，求向量c与向量d的向量积。
解析：向量c与向量d的向量积可以通过向量的叉乘公式计算得出。
叉乘的计算方式为以行列式形式表示，按照i、j、k的顺序展开。
c ×d = |i j k ||3 2 4 ||5 6 2 |= (2 × 2 - 4 × 6)i - (3 × 2 - 4 × 5)j + (3 × 6 - 2 × 5)k= -20i + 7j + 8k所以，向量c与向量d的向量积为-20i + 7j + 8k。
3. 已知向量e = 3i + 4j - 6k，向量f = 2i - 5j + k，求向量e与向量f 的夹角的余弦值。
解析：向量e与向量f的夹角的余弦值可以通过向量的内积和模长的乘积计算得出。
计算公式为：cosθ = (e · f) / (|e| × |f|)。
|e| = √(3^2 + 4^2 + (-6)^2) = √(9 + 16 + 36) = √61|f| = √(2^2 + (-5)^2 + 1^2) = √(4 + 25 + 1) = √30e ·f = (3i + 4j - 6k) · (2i - 5j + k)= 3i · 2i + 4j · (-5j) - 6k · j + 3i · (-5j) + 4j · k - 6k · k= 6 - 20 - 0 - 15 + 4 - 6= -31cosθ = (-31) / (√61 × √30) ≈ -0.283所以，向量e与向量f的夹角的余弦值约为-0.283。
空间向量的应用综合练习题
空间向量的应用综合练习题空间向量是解决空间几何问题的重要工具，具有广泛的应用。
本文将为大家提供一些空间向量的应用综合练习题，帮助大家熟悉空间向量的使用方法。
1. 设A(1, 2, 3)，B(4, -1, 2)，C(-1, 3, 5)为空间中的三个点，求向量AB和向量BC的和。
解答：首先计算向量AB，AB = (4-1, -1-2, 2-3) = (3, -3, -1)；然后计算向量BC，BC = (-1-4, 3-(-1), 5-2) = (-5, 4, 3)；最后计算向量AB和向量BC的和，(3, -3, -1) + (-5, 4, 3) = (-2, 1, 2)。
2. 已知空间中一点A(1, 2, 3)和向量a(2, -1, 3)，求点A向量a的倍数为4时的点的坐标。
解答：点A向量a的倍数为4时，乘以4，得到坐标为(8, -4, 12)的点。
3. 已知向量a(-2, 1, 3)，向量b(4, -1, -2)，求向量a和向量b的点积以及它们的夹角。
解答：向量a和向量b的点积为a·b = (-2)(4) + (1)(-1) + (3)(-2) = -8 - 1 - 6 = -15。
向量a和向量b的模分别为|a| = √((-2)² + 1² + 3²) = √4 + 1 + 9 = √14，|b| = √(4² + (-1)² + (-2)²) = √16 + 1 + 4 = √21。
根据点积公式，可以计算出它们的夹角cosθ = (a·b) / (|a||b|) = -15 / (√14 * √21) ≈ -0.782，从而夹角θ ≈ arccos(-0.782) ≈ 139.2°。
4. 已知向量a(3, 2, -1)和向量b(-1, 1, 4)，求向量a和向量b的叉积以及它们的模。
解答：向量a和向量b的叉积为a × b = (2)(4) - (-1)(1), (-1)(-1) - (3)(4), (3)(1) - (2)(-1) = (11, -13, 7)。
向量练习题
一、基础题1. 已知向量a = (2, 3)，求向量a的模。
2. 已知向量b = (4, 1)，求向量b的单位向量。
3. 计算向量a = (1, 2)与向量b = (1, 3)的和。
4. 计算向量a = (2, 3)与向量b = (4, 5)的差。
5. 已知向量a = (3, 4)，求向量a的相反向量。
二、向量乘法题6. 计算向量a = (2, 3)与向量b = (4, 1)的数量积。
7. 已知向量 a = (1, 2)与向量 b = (1, 3)垂直，求它们的点积。
8. 已知向量a = (3, 4)与向量b = (6, 8)平行，求它们的向量积。
9. 计算向量a = (2, 1, 3)与向量b = (4, 5, 2)的混合积。
10. 已知向量a = (1, 0, 1)，求向量a与自身的向量积。
三、向量组题11. 已知向量组α = {a1 = (1, 2, 3), a2 = (2, 1, 4), a3 = (3, 0, 5)}，判断向量组α是否线性相关。
12. 已知向量组β = {b1 = (1, 0), b2 = (0, 1)}，求向量组β的秩。
13. 已知向量组γ = {c1 = (2, 3), c2 = (4, 6)}，求向量组γ的一个极大线性无关组。
14. 已知向量组δ = {d1 = (1, 2, 3), d2 = (4, 5, 6), d3 = (7, 8, 9)}，判断向量组δ是否线性无关。
15. 已知向量组ε = {e1 = (1, 2), e2 = (2, 4), e3 = (3,6)}，求向量组ε的基。
四、向量应用题16. 在平面直角坐标系中，已知点A(2, 3)、点B(4, 1)，求向量AB。
17. 在空间直角坐标系中，已知点P(1, 2, 3)、点Q(1, 0, 2)，求向量PQ的模。
18. 已知向量a = (3, 4)与向量b = (6, 8)平行，求实数k，使得ka = b。
空间几何与向量练习题及解析
空间几何与向量练习题及解析一、选择题1. 已知向量A = 3A + 2A− A，向量A= −2A + A + 3A，求A与A的数量积A·A的值为：A. 1B. -1C. -10D. 10解析：数量积公式为：A·A = AAAA + AAAA + AAAA，其中AA、AA、AA分别表示向量A和A的A、A、A分量的乘积。
带入已知的A和A的分量进行计算：A·A = (3)(-2) + (2)(1) + (-1)(3) = -6 + 2 - 3 = -7答案：选项A. 12. 在空间直角坐标系中，已知点A(2, 1, 3)和点A(-1, 4, 2)，向量A的末端与向量A的起点重合，A·A的值为：A. 3B. 17C. 11D. -9解析：点A(2, 1, 3)和点A(-1, 4, 2)可以确定唯一的向量A和A。
根据数量积A·A的定义，可以先求出A和A的分量，然后进行运算：A·A = (2)(-1) + (1)(4) + (3)(2) = -2 + 4 + 6 = 8答案：选项B. 17二、填空题1. 设向量A = 2A + 3A− A，向量A = 4A + A，若A = A + AAA，则A和A分别为______、______。
解析：根据已知条件，A的A分量为-1，而A的A分量为1。
因此A = 4，A = -1。
答案：4、-12. 已知点A(1, 2, 3)和点A(4, -1, -2)，则向量AA的大小为________。
解析：向量AA可以由终点坐标减去起点坐标得到，即AA = (4-1)A + (-1-2)A + (-2-3)A = 3A - 3A - 5A。
根据向量的模的定义，可以得到：|AA| = √((3)^2 + (-3)^2 + (-5)^2) = √(9 + 9 + 25) = √43答案：√43三、计算题1. 已知向量A = 3A - 2A + 4A，向量A = A + A，求向量A与向量A 的夹角A的余弦值cos A。
2023-2024学年高考数学空间向量与立体几何专项练习题(附答案)
A ．B ．223．若直线的方向向量为，平面l bA ．()(1,0,0,2,0,0b n ==-()(0,2,1,1,0,1b n ==--A ．B ．5136．如图，在平行六面体ABCDA．1122a b c -++C．1122a b c --+7．如图，在四面体OABC中，1-16．已知四棱锥P ABCDPC棱上运动，当平面1．C【分析】根据已知结合向量的坐标运算可得出，且.然后根据向量的数量积a b a +=- 14a = 运算求解，即可得出答案.【详解】由已知可得，且.()1,2,3a b a+=---=-14a =又，()7a b c +⋅= 所以，即有，7a c -⋅= cos ,14cos ,7a c a c a c -⋅=-=所以，.1cos ,2a c =-又，所以.0,180a c ≤≤ ,120a c =︒ 故选：C.2．C【分析】利用中点坐标公式求出中点的坐标，根据空间两点间的距离公式即可得出中线BC 长.【详解】由图可知：，，，(0,0,1)A (2,0,0)B (0,2,0)C 由中点坐标公式可得的中点坐标为，BC (1,1,0)根据空间两点间距离公式得边上的中线的长为.BC 22211(1)3++-=故选：C 3．D【分析】若直线与平面平行，则直线的方向向量与平面的法向量垂直，利用向量数量积检验.【详解】直线的方向向量为，平面的法向量为，l bαn 若可能，则，即.//l αb n ⊥r r 0b n ⋅=r r A 选项，；()1220b n =⨯-⋅=-≠B 选项，；11305160b n =⨯⨯⋅+⨯+=≠C 选项，；()()01201110b n =⨯-+⨯+⨯-⋅=-≠D 选项，；()1013310b n =⨯+-⨯=⋅+⨯因为，，3AB =4BC =2PA =所以()()(0,0,2,3,0,0,0,0,1P B Q 设平面的法向量为BQD (m x =()(),,3,0,1m BQ x y z ⎧设，2AB AD AS ===则()()()0,0,0,0,0,2,2,2,0,A S C P 设，()0,,2M t t -(1,1,2OM t =--所以1120OM AP t t ⊥=-+-+-=点到平面与平面的距离和为为定值，D 选项正确.M ABCD SAB 22t t -+=，，()2,0,0B ()()2,0,2,0,2,0SB BC =-=设平面的法向量为，SBC (),,n x y z =则，故可设，22020n SB x z n BC y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅==⎪⎩()1,0,1n = 要使平面，又平面，//OM SBC OM ⊄SBC 则，()()1,1,21,0,11210OM n t t t t ⋅=---⋅=-+-=-=解得，所以存在点，使平面，B 选项正确.1t =M //OM SBC 若直线与直线所成角为，又，OM AB 30︒()2,0,0AB =则，()()222213cos3022661122OM ABOM ABt t t t ⋅-︒====⋅-++-+-⨯ 整理得，无解，所以C 选项错误.23970,8143730t t -+=∆=-⨯⨯=-<故选：ABD.10．BCD【分析】根据向量的多边形法则可知A 正确；根据向量的三角不等式等号成立条件可知，B 错误；根据共线向量的定义可知，C 错误；根据空间向量基本定理的推论可知，D 错误．【详解】对A ，四点恰好围成一封闭图形，根据向量的多边形法则可知，正确；对B ，根据向量的三角不等式等号成立条件可知，同向时，应有，即必要,a b a b a b+=+ 性不成立，错误；对C ，根据共线向量的定义可知，所在直线可能重合，错误；,a b对D ，根据空间向量基本定理的推论可知，需满足x +y +z =1，才有P 、A 、B 、C 四点共面，错误．故选：BCD ．11．AB【分析】以，，作为空间的一组基底，利用空间向量判断A ，C ，利用空间向量法ABAD AA 可得面，再用向量法表示，即可判断B ，利用割补法判断D ；1AC ⊥PMN AH【详解】依题意以，，作为空间的一组基底，ABAD AA 则，，11AC AB AD AA =++ ()1122MN BD AD AB ==-因为棱长均为2，，11π3A AD A AB ∠=∠=所以，，224AB AD == 11π22cos 23AA AD AA AB ⋅=⋅=⨯⨯= 所以()()1112D A A C MN AD A A B AA B++⋅⋅=- ，()2211102AB AD AB AD AB AD AA AD AA AB ⋅-+-⋅+==⋅+⋅故，即，故A 正确；1AC MN ⊥1AC MN ⊥同理可证，，面，面，PN AC ⊥MN PN N ⋂=MN ⊂PMN PN ⊂PMN 所以面，即面，即为正三棱锥的高，1AC ⊥PMN AH ⊥PMN AH A PMN -所以()()1133AH AN NH AN NP NM AN AP AN AM AN=+=++=+-+- ，()13AP AM AN =++又，，分别是，，的中点，，P M N 1AA AB AD π3PAM PAN MAN ∠=∠=∠=所以，则三棱锥是正四面体，1PA AM AN PM MN PN ======P AMN -所以()11111133222AH AP AM AN AA AB AD ⎛⎫=++=⨯++ ⎪⎝⎭ ，()111166AA AB AD AC =++=所以，故B 正确；116AH AC =因为()211AC AB AD AA =++ ()()()222111222AB ADAA AB AD AB AA AD AA =+++⋅+⋅+⋅ ，2426==()21111111=AC AA AB AD AA AA AB AA AD AA AA ⋅=++⋅⋅+⋅+ ，11222222=822=⨯⨯+⨯⨯+⨯设直线和直线所成的角为，1AC 1BB θ则，故C 错误；1111111186cos cos ,cos ,3262AC AA AC BB AC AA AC AA θ⋅=====⨯ ，11111111111111A B D C ABCD A B C D A B D A C B D A B ABC D ADCV V V V V V ------=----其中，1111111111116ABCD A B C D A B D A C B D C B ABC D ADC V V V V V -----====所以，故D 错误.1111113A B D C ABCD A B C D V V --=故选：AB.关键点睛：本题解决的关键点是利用空间向量的基底法表示出所需向量，利用空间向量的数量积运算即可得解.12．AC【分析】对于A ，根据即可算出的值；对于B ，根据计算；对于C ，根据||2a = m a b ⊥ m 计算即可；对于D ，根据求出，从而可计算出.a b λ= 1a b ⋅=- m a b + 【详解】对于A ，因为，所以，解得，故A 正确；||2a = 2221(1)2m +-+=2m =±对于B ，因为，所以，所以，故B 错误；a b ⊥ 2120m m -+-+=1m =对于C ，假设，则，a b λ= (1,1,)(2,1,2)m m λ-=--所以，该方程组无解，故C 正确；()12112m m λλλ=-⎧⎪-=-⎨⎪=⎩对于D ，因为，所以，解得，1a b ⋅=- 2121m m -+-+=-0m =所以，，所以，故D 错误.(1,1,0)a =- (2,1,2)b =-- (1,2,2)+=-- a b 故选：AC.13．15【分析】根据线面垂直，可得直线的方向向量和平面的法向量共线，由此列式计算，即得答案.【详解】∵，∴，∴，解得，l α⊥u n ∥ 3123a b ==6,9a b ==∴，15a b +=故1514．2【分析】根据垂直得到，得到方程，求出.()0a a b λ⋅-= 2λ=【详解】，()()()2,1,31,2,12,12,3a b λλλλλ-=---=--- 因为，所以，()a a b λ⊥- ()0a a b λ⋅-= 即，()()2,12,3241293702,1,134λλλλλλλ----=-++-+-=+⋅-=解得.2λ=故215．17【分析】利用向量的加法，转化为，直接求模长即可.CD CA AB BD =++ 【详解】因为.CD CA AB BD =++ 所以()22CD CA AB BD =++ 222222CA CA AB AB AB BD BD CA BD=+⋅++⋅++⋅ 222132022042342⎛⎫=+⨯++⨯++⨯⨯⨯- ⎪⎝⎭17=所以.17CD = 故答案为.1716．33【分析】首先建立空间直角坐标系，分别求平面和平面的法向量，利用法向量垂MBD PCD 直求点的位置，并利用向量法求异面直线所成角的余弦值，即可求解正弦值.M 【详解】如图，以点为原点，以向量为轴的正方向，建立空间直角坐标A ,,AB AD AP ,,x y z 系，设，2AD AP ==，，，，()2,0,0B ()0,2,0D ()002P ,,()2,2,0C 设,()()()0,2,22,2,22,22,22DM DP PM DP PC λλλλλ=+=+=-+-=-- ，，，()2,2,0BD =-u u u r ()2,0,0DC =u u u r ()0,2,2DP =- 设平面的法向量为，MBD ()111,,m x y z =r ，()()11111222220220DM m x y z DM m x y λλλ⎧⋅=+-+-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩33故。
空间向量的数量积运算(经典练习及答案详解)
空间向量的数量积运算1．[多选]下列各命题中，正确的命题是( ) A ．a ·a ＝|a |B ．m (λa )·b ＝(mλ)a ·b (m ，λ∈R )C ．a ·(b ＋c )＝(b ＋c )·aD ．a 2b ＝b 2a解析：选ABC ∵a ·a ＝|a |2，∴a ·a ＝|a |，故A 正确． m (λa )·b ＝(mλa )·b ＝mλa ·b ＝(mλ)a ·b ，故B 正确．a ·(b ＋c )＝a ·b ＋a ·c ，(b ＋c )·a ＝b ·a ＋c ·a ＝a ·b ＋a ·c ＝a ·(b ＋c )，故C 正确．a 2·b ＝|a |2·b ，b 2·a ＝|b |2·a ，故D 不一定正确．2．已知e 1，e 2为单位向量，且e 1⊥e 2，若a ＝2e 1＋3e 2，b ＝k e 1－4e 2，a ⊥b ，则实数k 的值为( )A ．－6B ．6C ．3D ．－3解析：选B 由题意可得a ·b ＝0，e 1·e 2＝0，|e 1|＝|e 2|＝1，∴(2e 1＋3e 2)·(k e 1－4e 2)＝0，∴2k －12＝0，∴k ＝6.3．已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于a ，点E ，F 分别是BC ，AD 的中点，则AE ―→·AF―→的值为( ) A ．a 2 B ．12a 2 C ．14a 2D ．34a 2解析：选C AE ―→·AF ―→＝12(AB ―→＋AC ―→)·12AD ―→＝14(AB ―→·AD ―→＋AC ―→·AD ―→)＝14⎝⎛⎭⎪⎫a ×a ×12＋a ×a ×12＝14a 2.4．已知正三棱柱ABC -A 1B 1C 1的各条棱的长度都为2，E ，F 分别是AB ，A 1C 1的中点，则EF 的长是( )A ．2B ． 3C ． 5D ．7解析：选C 由于EF ―→＝EA ―→＋AA 1―→＋A 1F ―→，所以|EF ―→|＝(EA ―→＋AA 1―→＋A 1F ―→)2＝1＋4＋1＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫0＋0－12＝5，即EF 的长是 5.5.如图，已知P A ⊥平面ABC ，∠ABC ＝120°，P A ＝AB ＝BC ＝6，则PC 等于( )A ．6 2B ．6C ．12D ．144解析：选C 因为PC ―→＝P A ―→＋AB ―→＋BC ―→，所以PC ―→2＝P A ―→2＋AB ―→2＋BC ―→2＋2P A ―→·AB ―→＋2P A ―→·BC ―→＋2AB ―→·BC ―→＝36＋36＋36＋2×36cos 60°＝144，所以PC ＝12.6．已知|a |＝13，|b |＝19，|a ＋b |＝24，则|a －b |＝________. 解析：|a ＋b |2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝132＋2a ·b ＋192＝242，∴2a ·b ＝46，|a －b |2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝530－46＝484，故|a －b |＝22.答案：227.如图，已知四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是矩形，AB ＝4，AA 1＝3，∠BAA 1＝60°，E 为棱C 1D 1的中点，则AB ―→·AE―→＝________. 解析：AE ―→＝AA 1―→＋AD ―→＋12AB ―→，AB ―→·AE ―→＝AB ―→·AA 1―→＋AB ―→·AD ―→＋12AB ―→2＝4×3×cos 60°＋0＋12×42＝14.答案：148．已知e 1，e 2是夹角为60°的两个单位向量，则a ＝e 1＋e 2与b ＝e 1－2e 2的夹角是________．解析：a ·b ＝(e 1＋e 2)·(e 1－2e 2)＝e 21－e 1·e 2－2e 22＝1－1×1×12－2＝－32，|a |＝a 2＝(e 1＋e 2)2＝e 21＋2e 1·e 2＋e 22＝1＋1＋1＝3，|b |＝b 2＝(e 1－2e 2)2＝e 21－4e 1·e 2＋4e 22 ＝1－2＋4＝ 3.∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝－323＝－12.∴〈a ，b 〉＝120°. 答案：120°9.如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是C 1D 1，D 1D 的中点，正方体的棱长为1.(1)求〈CE ―→，AF ―→〉的余弦值；C 1E ―→ (2)求证：BD 1⊥EF .解：(1)AF ―→＝AD ―→＋DF ―→＝AD ―→＋12AA 1―→， CE ―→＝CC 1―→＋C 1E ―→＝AA 1―→＋12CD ―→＝AA 1―→－12AB ―→. 因为AB ―→·AD ―→＝0，AB ―→·AA 1―→＝0，AD ―→·AA 1―→＝0，所以CE ―→·AF ―→＝⎝⎛⎭⎪⎫AA 1―→－12 AB ―→ ·⎝⎛⎭⎪⎫AD ―→＋12 AA 1―→ ＝12. 又|AF ―→|＝|CE ―→|＝52，所以cos 〈CE ―→，AF ―→〉＝25. (2)证明：因为BD 1―→＝BD ―→＋DD 1―→＝AD ―→－AB ―→＋AA 1―→， EF ―→＝ED 1―→＋D 1F ―→＝－12(AB ―→＋AA 1―→)，所以BD 1―→·EF ―→＝0，所以BD 1―→⊥EF ―→.即BD 1⊥EF . 10.如图，正四棱锥P -ABCD 的各棱长都为a . (1)用向量法证明：BD ⊥PC ； (2)求|AC ―→＋PC―→|的值． 解：(1)证明：∵BD ―→＝BC ―→＋CD―→， ∴BD ―→·PC ―→＝(BC ―→＋CD ―→)·PC ―→＝BC ―→·PC ―→＋CD ―→·PC ―→ ＝|BC ―→||PC ―→|·cos 60°＋|CD ―→||PC ―→|cos 120° ＝12a 2－12a 2＝0. ∴BD ⊥PC .(2)∵AC ―→＋PC ―→＝AB ―→＋BC ―→＋PC―→， ∴|AC ―→＋PC ―→|2＝|AB ―→|2＋|BC ―→|2＋|PC ―→|2＋2AB ―→·BC ―→＋2AB ―→·PC ―→＋2BC ―→·PC ―→＝a 2＋a 2＋a 2＋0＋2a 2cos 60°＋2a 2cos 60°＝5a 2，∴|AC ―→＋PC―→|＝5a .1．[多选]在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，则下列命题正确的是( )A ．(AA 1―→＋AD ―→＋AB ―→)2＝3AB ―→2B ．A 1C ―→·(A 1B 1―→－A 1A ―→)＝0 C ．AD 1―→与A 1B ―→的夹角为60° D ．正方体的体积为|AB ―→·AA 1―→·AD ―→| 解析：选AB 如图所示，(AA 1―→＋AD ―→＋AB ―→)2＝(AA 1―→＋A 1D 1―→＋D 1C 1―→)2＝AC 1―→2＝3AB ―→2； A 1C ―→·(A 1B 1―→－A 1A ―→)＝A 1C ―→·AB 1―→＝0；AD 1―→与A 1B ―→的夹角是D 1C ―→与D 1A ―→夹角的补角，而D 1C ―→与D 1A ―→的夹角为60°，故AD 1―→与A 1B ―→的夹角为120°；正方体的体积为|AB ―→||AA 1―→||AD ―→|.综上可知，A 、B 正确． 2．设空间上有四个互异的点A ，B ，C ，D ，已知(DB ―→＋DC ―→－2DA ―→)·(AB ―→－AC―→)＝0，则△ABC 是( ) A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．等腰直角三角形D ．等边三角形解析：选B 因为DB ―→＋DC ―→－2DA ―→＝(DB ―→－DA ―→)＋(DC ―→－DA ―→)＝AB ―→＋AC ―→，所以(AB ―→＋AC ―→)·(AB ―→－AC ―→)＝|AB ―→|2－|AC ―→|2＝0，所以|AB ―→|＝|AC―→|，即△ABC 是等腰三角形． 3.如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，设AD ＝AA 1＝1，AB ＝2，P 是C 1D 1的中点，则B 1C ―→与A 1P ―→所成角的大小为________，B 1C ―→·A 1P ―→＝________.解析：法一：连接A 1D ，则∠P A 1D 就是B 1C ―→与A 1P ―→所成角．连接PD ，在△P A 1D 中，易得P A 1＝DA 1＝PD ＝2，即△P A 1D 为等边三角形，从而∠P A 1D ＝60°，即B 1C ―→与A 1P ―→所成角的大小为60°.因此B 1C ―→·A 1P ―→＝2×2×cos 60°＝1.法二：根据向量的线性运算可得B 1C ―→·A 1P ―→＝(A 1A―→＋)·⎝⎛⎭⎪⎫AD ―→＋12AB ―→ ＝AD ―→2＝1. 由题意可得P A 1＝B 1C ＝2，则2×2×cos 〈B 1C ―→，A 1P ―→〉＝1，从而〈B 1C ―→，A 1P ―→〉＝60°.答案：60° 14.在四面体OABC 中，各棱长都相等，E ，F 分别为AB ，OC 的中点，求异面直线OE 与BF 所成角的余弦值．解：取OA ―→＝a ，OB ―→＝b ，OC ―→＝c ， 且|a |＝|b |＝|c |＝1，则a ·b ＝b ·c ＝c ·a ＝12. 又∵OE ―→＝12(a ＋b )，BF ―→＝12c －b ， ∴OE ―→·BF ―→＝12(a ＋b )·⎝⎛⎭⎪⎫12c －b ＝14a ·c ＋14b ·c －12a ·b －12|b |2＝－12.又|OE ―→|＝32，|BF ―→|＝32，∴cos 〈OE ―→，BF ―→〉＝OE ―→·BF ―→|OE ―→||BF―→|＝－23，∵异面直线夹角的范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π2，∴异面直线OE 与BF 所成角的余弦值为23.5．如图所示，在平行四边形ABCD 中，AB ＝AC ＝1，∠ACD ＝90°，沿着它的对角线AC 将△ACD 折起，使AB 与CD 成60°角，求此时B ，D 间的距离．解：∵∠ACD ＝90°，∴AC ―→·CD ―→＝0， 同理可得AC ―→·BA ―→＝0. ∵AB 与CD 成60°角，∴〈BA ―→，CD ―→〉＝60°或〈BA ―→，CD ―→〉＝120°. 又BD ―→＝BA ―→＋AC ―→＋CD―→， ∴|BD ―→|2＝|BA ―→|2＋|AC ―→|2＋|CD ―→|2＋2BA ―→·AC ―→＋2BA ―→·CD ―→＋2AC ―→·CD ―→＝3＋2×1×1×cos 〈BA ―→，CD ―→〉．∴当〈BA ―→，CD ―→〉＝60°时，|BD ―→|2＝4， 此时B ，D 间的距离为2；当〈BA ―→，CD ―→〉＝120°时，|BD ―→|2＝2， 此时B ，D 间的距离为 2.。
空间向量练习题
空间向量练习题一、选择题1. 空间中两个向量a和b的夹角为60°，|a|=3，|b|=4，求向量a和b的点积。
A. 6B. 7C. 8D. 92. 已知空间向量a=(1,2,3)，b=(4,5,6)，求向量a和b的叉积。
A. (7,0,-1)B. (-1,7,0)C. (0,-1,7)D. (1,-7,0)3. 空间向量a和b共线，且|a|=2|b|，若a=(2,-3,4)，则b的可能值为：A. (1,-1.5,2)B. (-1,1.5,-2)C. (-2,3,-4)D. 以上都是二、填空题4. 若空间向量a=(2,3,4)，求向量a的模。
__________。
5. 已知向量a=(1,0,1)，b=(2,1,0)，求向量a和b的夹角的余弦值。
__________。
6. 空间向量a=(3,-1,2)，b=(1,2,-3)，求向量a和b的混合积。
__________。
三、计算题7. 空间中有三个点A(1,2,3)，B(4,-1,2)，C(-2,3,5)，求向量AB和AC的点积。
8. 已知空间向量a=(1,1,1)，b=(2,3,4)，求向量a和b的夹角。
9. 空间中四个点A(2,1,0)，B(3,2,1)，C(1,3,2)，D(0,1,3)，求向量AB和CD的叉积，并求该叉积向量的模。
四、简答题10. 简述空间向量的基本性质，并给出两个空间向量正交的条件。
11. 解释空间向量在三维几何问题中的应用，并举例说明。
五、证明题12. 证明：若空间向量a，b，c两两垂直，则存在唯一的实数λ，μ，ν，使得a+λb+νc=0。
六、应用题13. 在空间直角坐标系中，点P(2,-1,3)，Q(-1,4,-2)，R(3,2,5)，求三角形PQR的面积。
14. 已知空间向量a=(1,2,3)，b=(4,5,6)，c=(7,8,9)，求向量a在向量b和c上的投影。
七、探索题15. 探索空间向量在解决立体几何问题中的优势，并给出具体的应用场景。
空间向量练习题(二)
空间向量练习题（二）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点E ，F 分别是棱BC ，1CC 的中点，P 是侧面11BCC B 内一点，若1//A P 平面AEF ，则线段1A P 长度的取值范围是（）A ．B ．2⎢⎣C ．4⎡⎢⎣⎦D ．2⎡⎢⎣⎦2．如图，以棱长为1的正方体的具有公共顶点的三条棱所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系O xyz -，点P 在体对角线AB 上运动，点Q 为棱CD 的中点，则当P 最小时，点P 的坐标为（）.A ．112,,333⎛⎫⎪⎝⎭B ．()1,1,0C ．()0,0,1D ．111,,222⎛⎫ ⎪⎝⎭3．将边长为1的正方形11AAO O 及其内部绕1OO 旋转一周形成圆柱，如图， AC 长为5π6，11A B 长为π3，其中1B 与C 在平面11AAO O 的同侧，则直线1B C 与平面11OAAO 所成的角的正弦值为（）A B C ．2D 4．如图，M 是四面体OABC 的棱BC 的中点，点N 在线段OM 上，点P 在线段AN 上，且13,24MN ON AP AN ==，设向量OP xOA yOB zOC =++ ，则x y z ++=（）A ．1112B ．1C ．34D ．565．如图，在三棱锥O ABC -中，点G 为底面ABC V 的重心，点M 是线段OG 上靠近点G 的三等分点，过点M 的平面分别交棱OA ，OB ，OC 于点D ，E ，F ，若OD kOA = ，OE mOB =，OF nOC = ，则111k m n++=（）A ．133B ．23C ．32D ．926．在正方体1111ABCD A B C D -中，点M ，N 分别是1,A C BD 上的动点，当线段MN 的长最小时，直线MN 与平面11BCC B 所成角的正弦值为（）A B C D 二、多选题7．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，P ，Q 分别为AB ，1CC 的中点，R 在直线11A D 上，且111A R A D λ=，PQR 的重心为G ，则（）A ．若G 在平面11CDD C 内，则3λ=B ．若1B ，G ，D 三点共线，则1λ=C ．若DG ⊥平面PQR，则12λ=D ．点G 到直线11A D8．如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，11AB AD AA ===，且1160A AB A AD BAD ∠=∠=∠=︒，则下列说法中正确的有（）A ．11BD AA AD AB=+- B ．1BD =C ．1AC BD⊥D ．直线1A C ⊥平面11BDD B 9．下列选项正确的是（）A ．空间向量()1,1,2a =-与向量()2,2,4b =-- 共线B ．已知向量()2,,4a x = ，()0,1,2b = ，()1,0,0c = ，若a ，b ，c共面，则2x =C ．已知空间向量()1,1,0a =r ，()1,0,2b =-r ，则a 在b 方向上的投影向量为12,0,55⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．点(2,1,1)A 是直线l 上一点，(1,0,0)a =是直线l 的一个方向向量，则点(1,2,0)P 到直线l10．如图，四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是正方形，SA ⊥平面ABCD ，SA AB =，O 、P 分别是,AC SC 的中点，M 是棱SD 上的动点，则（）A ．OM AP⊥B ．存在点M ，使//OM 平面SBCC ．存在点M ，使直线OM 与AB 所成的角为30︒D ．点M 到平面ABCD 与平面SAB 的距离和为定值11．若正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，E 是1CC 中点，则下列说法正确的是（）A ．BD ⊥平面1A AEB ．B 到平面1AB E 的距离为53C ．平面1AB E 和底面1111D C B A 所成角的余弦值为23D ．若此正方体每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面只能是三角形和六边形三、填空题12．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，90BAC ∠= ，14AB AC AA ===，点,,G E F 分别是11A B 、1CC 、AB 的中点，点D 是AC 上的动点.若GD EF ⊥，则线段DF 长度为.13．如图，二面角l αβ--等于120︒，A 、B 是棱l 上两点，AC 、BD 分别在半平面α、β内，AC l ⊥，BD l ⊥，且1AB AC BD ===，则CD 的长等于．14．如图，两个正方形ABCD ，CDEF 的边长都是6，且二面角A CD E --为60︒，M 为对角线AC 靠近点A 的三等分点，N 为对角线DF 的中点，则线段MN =.15．在棱长为2的正四面体ABCD 中，点M 满足()1AM xAB y AC x y AD =+-+-，点N 满足λ=BN BA ()1BC λ+- ，则点M 与平面BCD 的位置关系是；当AM最小且BN uuu r 最小时，AM MN ⋅=．16．已知点P 为棱长等于4的正方体1111ABCD A B C D -内部一动点，且4PA = ，则11PC PD ⋅ 的值达到最小时，1PC 与1PD夹角的余弦值．17．如图，三棱柱111ABC A B C -的各条棱长均为是2，侧棱1BB 与底面ABC 所成的角为60°，侧面11BCC B ⊥底面ABC ，点P 在线段11A C 上，且平面1B CP ⊥平面11ACC A ，则111AC PC =．四、解答题18．如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为正方形，PA ⊥底面ABCD ，2PA AB ==，E 为线段PB 的中点，F 为线段BC上的动点．(1)证明：平面AEF ⊥平面PBC ；(2)若直线AF 与平面PAB所成的角的余弦值为5，求点P 到平面AEF 的距离．19．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，//AD BC ，AD CD ⊥，且AD CD ==BC =2PA =．(1)求证：AB PC ⊥；(2)在线段PD 上，是否存在一点M ，使得二面角M AC D --的大小为o 45，如果存在，求BM 与平面MAC 所成角的正弦值，如果不存在，请说明理由．20．在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是矩形，平面ABCD ⊥平面SBC ，SB SC =，M 是BC 的中点.1AB SM ==，2BC =.(1)求证；AM SD ⊥；(2)求直线SA 与平面SCD 所成角的正弦值；(3)在线段SD 上是否存在点P ，使得面AMP ⊥面SCD ，若存在，求:SP SD 的值；若不存在，说明理由.21．如图，三棱柱111ABC A B C -中，面ABC ⊥面11AAC C ，AB AC ⊥，12AA AB AC ===，160A AC ∠= ．过1AA 的平面交线段11B C 于点E （不与端点重合），交线段BC 于点F ．(1)求证：四边形1AA EF 为平行四边形；(2)若3BF FC =，求直线11A C 与平面1AFC 所成角的正弦值．22．在斜三棱柱111ABC A B C -中，1BC CC ⊥，2AC BC ==，1A 在底面ABC 上的射影恰为AC 的中点D ，又已知11BA AC ⊥.(1)证明：⊥BC 平面11ACC A ．(2)求平面1AA B 和平面1A BC 的夹角的余弦值23．如图所示，四棱锥S -ABCDP 为侧棱SD 上的点．(1)求证：AC ⊥SD ；(2)若SD ⊥平面PAC ，则侧棱SC 上是否存在一点E ，使得BE //平面PAC ？若存在，求SE ∶EC 的值；若不存在，试说明理由．24．如图，在多面体ABCDEF 中，平面ACEF ⊥平面ABCD ，AD BC ∥，AB AD ⊥，2AD =，1AB BC ==．(1)求证：CD AF ⊥；(2)若四边形ACEF 为矩形，且30EDC ∠=︒，求直线DF 与平面DCE 所成角的正弦值；(3)若四边形ACEF 为正方形，在线段AF 上是否存在点P ，使得二面角P BD A --的余弦值为23？若存在，请求出线段AP 的长；若不存在，请说明理由．。
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3、1、5 空间向量运算的坐标表示双基达标(限时20分钟)1.已知a ＝(2,－3,1),则下列向量中与a 平行的就是 ( ). A.(1,1,1) B.(－2,－3,5) C.(2,－3,5) D.(－4,6,－2)2.已知a ＝(1,5,－2),b ＝(m ,2,m ＋2),若a ⊥b ,则m 的值为 ( ). A.0 B.6 C.－6 D.±63.若a ＝(1,λ,2),b ＝(2,－1,2),且a 与b 的夹角的余弦为89,则λ＝ ( ).A.2B.－2C.－2或255D.2或－2554.已知向量a ＝(－1,0,1),b ＝(1,2,3),k ∈R ,若k a －b 与b 垂直,则k ＝________.5.已知点A (－1,3,1),B (－1,3,4),D (1,1,1),若AP →＝2PB →,则|PD →|的值就是______. 6.已知a ＝(1,－2,4),b ＝(1,0,3),c ＝(0,0,2).求 (1)a·(b ＋c ); (2)4a －b ＋2c 、综合提高(限时25分钟)7.若A (3cos α,3sin α,1),B (2cos θ,2sin θ,1),则|AB →|的取值范围就是 ( ).8.已知AB →＝(1,5,－2),BC →＝(3,1,z ),若AB →⊥BC →,BP →＝(x －1,y ,－3),且BP ⊥平面ABC ,则BP →等于 ( ).A.(407,157,－3)B.(337,157,－3)C.(－407,－157,－3)D.(337,－157,－3)9.已知点A (λ＋1,μ－1,3),B (2λ,μ,λ－2μ),C (λ＋3,μ－3,9)三点共线,则实数λ＋μ＝________. 10.已知空间三点A (1,1,1),B (－1,0,4),C (2,－2,3),则AB →与CA →的夹角θ的大小就是________. 11.已知△ABC 三个顶点的坐标分别为A (1,2,3),B (2,－1,5),C (3,2,－5). (1)求△ABC 的面积; (2)求△ABC 中AB 边上的高.12.(创新拓展)在正方体AC 1中,已知E 、F 、G 、H 分别就是CC 1、BC 、CD 与A 1C 1的中点. 证明:(1)AB 1∥GE ,AB 1⊥EH ;(2)A 1G ⊥平面EFD 、证明 如图,以A 为原点建立空间直角坐标系,设正方体棱长为1,则A (0,0,0)、B (1,0,0)、C (1,1,0),D (0,1,0)、A 1(0,0,1)、B 1(1,0,1)、C 1(1,1,1)、D 1(0,1,1),由中点性质得E (1,1,12)、F (1,12,0),G (12,1,0)、H (12,12,1).(1)3、1、4 空间向量的正交分解及其坐标表示双基达标(限时20分钟)1.对于空间中的三个向量a ,b ,2a －b 、它们一定就是 ( ). A.共面向量 B.共线向量 C.不共面向量 D.以上均不对2.若向量MA →,MB →,MC →的起点M 与终点A ,B ,C 互不重合且无三点共线,则能使向量MA →,MB →,MC→成为空间一组基底的关系就是 ( ).A 、OM →＝13OA →＋13OB →＋13OC → B 、MA →＝MB →＋MC →C 、OM →＝OA →＋OB →＋OC →D 、MA →＝2MB →－MC →3.已知A (3,4,5),B (0,2,1),O (0,0,0),若OC →＝25AB →,则C 的坐标就是 ( ).A 、⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－65－45－85B 、⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫65－45－85 C 、⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－65－4585 D 、⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫654585 4.设{i ,j ,k }就是空间向量的一个单位正交基底,a ＝2i －4j ＋5k ,b ＝i ＋2j －3k ,则向量a ,b 的坐标分别为____________.5.设命题p :{a ,b ,c }为空间的一个基底,命题q :a 、b 、c 就是三个非零向量,则命题p 就是q的________条件.6.如图,在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中,以底面正方形ABCD 的中心为坐标原点O ,分别以射线OB ,OC ,AA 1的指向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向,建立空间直角坐标系. 试写出正方体八个顶点的坐标. 解综合提高(限时25分钟)7.已知空间四边形OABC ,M ,N 分别就是OA ,BC 的中点,且OA →＝a ,OB →＝b ,OC →＝c ,用a ,b ,c 表示向量MN →为 ( ). A 、12a ＋12b ＋12c B 、 12a －12b ＋12cC.－12a ＋12b ＋12c D .－12a ＋12b －12c8.已知点A 在基底{a ,b ,c }下的坐标为(8,6,4),其中a ＝i ＋j ,b ＝j ＋k ,c ＝k ＋i ,则点A 在基底{i ,j ,k }下的坐标为( ).A.(12,14,10)B.(10,12,14)C.(14,10,12)D.(4,2,3)9.设a ,b ,c 就是三个不共面的向量,现在从①a ＋b ;②a －b ;③a＋c ;④b ＋c ;⑤a ＋b ＋c 中选出使其与a ,b 构成空间的一个基底,则可以选择的向量为________.10.如图所示,直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中,AB ⊥AC ,D ,E AA 1,B 1C 的中点,若记AB →＝a ,AC →＝b ,AA →＝c ,则DE →＝a ,b ,c 表示).11.如图所示,在平行六面体ABCD －A ′B ′C ′D ′中,AB →＝a ,AD →＝b ,AA ′＝c ,P 就是CA ′的中点,M 就是CD ′的中点,N 就是C ′D ′的中点,点Q 在CA ′上,且CQ ∶QA ′＝4∶1,用基底{a ,b ,c }表示以下向量:(1)AP →;(2)AM →; (3)AN →;(4)AQ →、 解12.(创新拓展)已知{i ,j ,k }就是空间的一个基底设a 1＝2i －j ＋k ,a 2＝i ＋3j －2k ,a 3＝－2i ＋j －3k ,a 4＝3i ＋2j ＋5k 、试问就是否存在实数λ,μ,υ,使a 4＝λa 1＋μa 2＋υa 3成立？如果存在,求出λ,μ,υ的值,如果不存在,请给出证明. 解3、1、3 空间向量的数量积运算双基达标(限时20分钟)1.对于向量a 、b 、c 与实数λ,下列命题中的真命题就是 ( ).A.若a ·b ＝0,则a ＝0或b ＝0B.若λa ＝0,则λ＝0或a ＝0C.若a 2＝b 2,则a ＝b 或a ＝－bD.若a ·b ＝a ·c ,则b ＝c2.如图,已知空间四边形每条边与对角线长都等于a ,点E 、F 、G 分别就是AB 、AD 、DC 的中点,则下列向量的数量积等于a 2的就是 ( ). A.2BA →·AC → B.2AD →·DB →C.2FG →·AC → D.2EF →·CB →3.空间四边形OABC 中,OB ＝OC ,∠AOB ＝∠AOC ＝π3,则cos 〈OA →,BC →〉的值为 ( ).A 、12B 、22 C.－12D.04.已知a ,b 就是空间两个向量,若|a |＝2,|b |＝2,|a －b |＝7,则cos 〈a ,b 〉＝________.5.已知空间向量a ,b ,c 满足a ＋b ＋c ＝0,|a |＝3,|b |＝1,|c |＝4,则a·b ＋b·c ＋c·a 的值为________.6.已知长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中,AB ＝AA 1＝2,AD ＝4,E 为侧面AA 1B 1B 的中心,F 为A 1D 1的中点.求下列向量的数量积: (1)BC →·ED 1→;(2)BF →·AB 1→解综合提高(限时25分钟)7.已知在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中,同一顶点为端点的三条棱长都等于1,且彼此的夹角都就是60°,则此平行六面体的对角线AC 1的长为 ( ). A 、 3 B.2 C 、 5 D 、 68.已知a ,b 就是异面直线,A 、B ∈a ,C 、D ∈b ,AC ⊥b ,BD ⊥b ,且AB ＝2,CD ＝1,则a 与b 所成的角就是 ( ). A.30° B.45° C.60° D.90°9.已知|a |＝32,|b |＝4,m ＝a ＋b ,n ＝a ＋λb ,〈a ,b 〉＝135°,m ⊥n ,则λ＝________.10.如图,已知正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的各条棱长都相等,M 就是侧棱CC 1的中点,则异面直线AB 1与BM 所成的角的大小就是______.11.如图所示,已知△ADB 与△ADC 都就是以D 为直角顶点的直角三角形,且AD ＝BD ＝CD ,∠BAC ＝60°、 求证:BD ⊥平面ADC 、 证明12.(创新拓展)如图,正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中,底面边长为2、(1)设侧棱长为1,求证:AB 1⊥BC 1; (2)设AB 1与BC 1的夹角为π3,求侧棱的长.3、1、2 空间向量的数乘运算双基达标(限时20分钟)1.给出的下列几个命题:①向量a ,b ,c 共面,则它们所在的直线共面; ②零向量的方向就是任意的;③若a ∥b ,则存在唯一的实数λ,使a ＝λb 、其中真命题的个数为 ( ). A.0 B.1 C.2 D.32.设空间四点O ,A ,B ,P 满足OP →＝mOA →＋nOB →,其中m ＋n ＝1,则 ( ). A.点P 一定在直线AB 上 B.点P 一定不在直线AB 上C.点P 可能在直线AB 上,也可能不在直线AB 上 D 、AB →与AP →的方向一定相同3.已知点M 在平面ABC 内,并且对空间任意一点O ,有OM →＝xOA →＋13OB →＋13OC →,则x 的值为( ).A.1B.0C.3 D 、134.以下命题:①两个共线向量就是指在同一直线上的两个向量;②共线的两个向量互相平行;③共面的三个向量就是指在同一平面内的三个向量;④共面的三个向量就是指平行于同一平面的三个向量.其中正确命题的序号就是________.5.设e 1,e 2就是平面内不共线的向量,已知AB →＝2e 1＋k e 2,CB →＝e 1＋3e 2,CD →＝2e 1－e 2,若A ,B ,D 三点共线,则k ＝______.6.如图所示,在空间四边形ABCD 中,E ,F 分别就是AB ,CD 的中点,请判断向量EF →与AD →＋BC →就是否共线？综合提高(限时25分钟)7.对于空间任一点O 与不共线的三点A ,B ,C ,有OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →,则x ＋y ＋z ＝1就是P ,A ,B ,C 四点共面的 ( ).A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件 8.已知O 、A 、B 就是平面上的三个点,直线AB 上有一点C ,满足2AC →＋CB →＝0, 则OC →等于( )。