高等数学考研大总结之三函数的连续性

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第三章 函数的连续性

一,函数连续性的定义(极限定义)

1 第一定义:设函数()x f 在某个()δ,a U 内有定义,如果极限()

a x x f →lim 存在并且

()

a x x f →lim =()a f 则称函数()x f 在a 点连续或称a 是()x f 的一个连续点。

解析:注意连续函数的邻域与极限邻域的区别与联系(局部性定义)

2 第二定义: 设函数()x f 在某个()δ,a U 内有定义,如果对于任意的正数ε>0,存在()0,0δδ∈使得当()δ,a U x ∈时有 ()()a f x f -<ε则称()x f 在a 点连续,特别地,若记a x x -=∆,()()a f x a f y -∆+=∆.则有a x x

→∆lim =0时, a x y

→∆lim =0。

解析:⑴连续函数与函数极限的联系:直观地讲,当自变量x 的改变量(∆x )非常小时函数()x f 相应的改变量也非常小,则()x f 就叫做连续函数。

⑵ 由于∆x 的引入使得在某点连续扩展到区间连续。

⑶ 该定义体现了自变量x 所对应的点填满了整条曲线.换句话说.曲线可以一笔画出. ⑷ 表明了可导与连续的关系。

⑸ 用定义证明函数连续性的一般步骤:①检查函数()x f 在点a 处及其附近是否有定义②两种操作(由选择定义的不同而不同):㈠求极限a x x f →)

(lim ㈡根据自变量的初值a 和终

值x a ∆+求出函数的增量()()a f x a f y -∆+=∆③ 两种操作(由选择定义的不同而不同):㈠检验a x x f →)

(lim 与()a f 是否相等㈡求极限0lim →∆∆x y

是否为0。

3 单侧连续(左(右)连续):设()x f 在某个[)δ+a a ,(或(]a a ,δ-)上有定义,如果()

+→a x x f lim =()a f (或()-→a x x f lim =()a f )则称()x f 在点x =a 右(左)连续。

左(右)连续与连续之间的关系:在某点既左连续又右连续则记称在该点连续。

解析:类比于单侧极限。

4. 一致连续性(区间连续性):设函数f(x)在区间I 上有定义,如果对于任意给定的正数ε总存在着正数δ使得对于区间I 上的任意两点21,x x 当δ<-21x x 时就有ε<-)()(21x f x f ,那么称函数()x f 在区间I 上是一致连续的.如果函数()x f 在[]b a ,上

连续那么它在该区间上一致连续。

解析: ⑴与柯西(Cauchy)准则的联系。

⑵如果函数在某区间上每一点都连续则称在该区间上连续.如果函数在非开区间内每一点连续,而在端点处单侧连续(即在左端点右连续,在右端点左连续)则称在整个区间上一致连续。 二,函数的间断点及其分类:

1 定义:使函数不连续的点0x 叫做函数()x f 的间断点(或不连续点)。

解析: 间断情况的三种情形(函数()x f 在点0x 的某去心邻域内有定义)⑴在x =0x 没有定义。⑵虽然在x =0x 有定义但()

0lim x x x f →不存在。⑶虽在x =0x 有定义且()0lim x x x f →存在但

()

0lim x x x f →≠()0x f 。

2 间断点的分类(按照函数()x f 在间断点0x 处的左右极限是否存在)⑴第一类间断点:当()x f 在间断点0x 的左右极限都存在时, 0x 就叫做()x f 的第一类间断点。(其中第一类间断点包括可去间断点(对该点通过补充定义可以连续)和不可去间断点(或跳跃间断点))即:①第一类可去间断点:函数()x f 在点0x 处无定义,但()

0lim x x x f →存在或函数()x f 在点0x 处

有定义为()0x f 但()

0lim x x x f →≠()0x f (特点:函数在点0x 处间断但有极限)②不可去间断点

(或跳跃间断点): 函数()x f 在点0x 处的两个单侧极限存在,但函数在该点无极限,即()

+

→0lim x x x f ≠()-

→0lim x x x f ③第一类间断点定理:设函数()x f 在开区间I 上单调,如果存在间断点

的话,则函数()x f 在开区间I 上只有第一类间断点⑵第二类间断点:当函数()x f 在间断点0x 处的左右极限至少有一个不存在时, 0x 就叫做()x f 的第二类间断点.( 其中第二类间断点包括无穷大间断点和无穷振荡间断点)即:①无穷大间断点:如果在点0x 处函数()x f 的极限为无穷大,则称点0x 为第二类无穷大间断点②第二类无穷振荡间断点:如果当0x x →时函数()x f 产生无穷振荡(函数值在某一范围之间变动无限多项)则点0x 称为函数()x f 的第二类无穷振荡间断点。

三,连续函数的性质:

1 四则运算性质:有限个连续函数的和差积商仍为连续函数。

2 复合运算: 有限个连续函数的复合仍为连续函数。

3 连续函数与函数极限的关系:若函数()x f 为连续函数,那么进行极限运算时可将极限符号移入函数符号之内,达到简化目的。

4 局部性质(极限角度) (1). 局部保号性:设函数f :I R →在点I x ∈0连续且()()()u x f u x f <>00,则存在0>δ当()I x U x ⋂∈δ,0时有()()()u x f u x f <>,⑵局部有界性:设函数f :I R →在点I x ∈0连续,则存在0>δ使()x f 在()I x U x ⋂∈δ,0上有界。

5 如果函数()x f 在点0x 连续则()x f 在点0x 也连续(利用极限定义证明)特别地,若()x f 及()x g 都是连续函数则,()()(){}x g x f x ,max =ϕ及()()(){}x g x f x ,min =ψ也是连续的即:()()()()()[]()()()()()[]x g x f x g x f x x g x f x g x f x --+=ψ-++=2

1,21ϕ。 6 闭区间上连续函数的性质: ⑴最值定理:在闭区间上连续的函数在该区间上有界且一定能取得最大值和最小值(有界性)

解析:在闭区间上连续的函数在这个区间上取得最大(小)值是唯一的(值域的角度),但取得最大(小)值的最大(小)值点则不一定是唯一的(定义域的角度)。

⑵介值定理:设函数()x f 在闭区间[]b a ,上连续且在区间的端点取不同的函数值: ()a f =A 及()b f =B ,那么对于A 与B 之间的任意一个数c 在开区间()b a ,内至少有一点ξ使得()c f =ξ (a <ξ

解析: ⑴几何意义:连续曲线弧y =()x f 与水平直线y =c 至少有一个交点。

⑵该定理表明:通过闭区间端点值的属性来研究开区间内函数值的性质。

⑶推论:在闭区间上连续的函数必取得介于最大值M 与最小值m 之间的任何值。 ⑶零点定理:设函数()x f 在闭区间[]b a ,上连续且()a f 与()b f 异号(即()()0

解析: ⑴介值定理与零点定理的统一性。

⑵与方程根的分布及近似解有关进而引进了一种求解高次代数方程或其他类型方程近似根的有效方法——二分法。可使其根可达到任意精度。其方法的过程:判断一根在[]b a ,之间,则为加强其精度,则取其中点,再应用零点定理对中点与端点进行符号判断,依次进行下去,进而无限二分,无限应用零点定理直至比较精确为止。其误差小于

()a b n

-21。 ⑶应用该定理时需构造函数,其具有试验的意味。

⑷此定理与单调性的结合判断“只有性”问题。